Q₁ Zig a affiché l’entier 7 à l’écran

A817– La saga de Méphisto⁽¹⁾ (1^er épisode) [** à ***** à la main]

Zig vient de recevoir pour son anniversaire une superbe calculette de marque déposée @Méphisto⁽¹⁾ dont le clavier comporte trois touches originales qui permettent d’obtenir à partir d’un entier quelconque n

strictement positif affiché à l’écran :

1) φ(n), fonction d’Euler, le nombre d’entiers qui sont strictement inférieurs à l’entier n et sont premiers avec lui.

2) σ(n) la somme des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.

3) τ(n) le nombre des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.

Q₁ Zig a affiché l’entier 7 à l’écran. Aidez le à obtenir l’entier 5 en appuyant exclusivement sur les trois touches sans utiliser une quelconque autre touche (opérations élémentaires, mise en mémoire, etc..)[**]

Q₂ En partant de l’entier 2 et en opérant comme précédemment, aidez Zig à obtenir successivement tous les entiers de 3 à 25 pas nécessairement dans cet ordre [****]

Q₃ Pour les plus courageux : soient deux entiers p et q distincts > 1. Prouvez que Zig est toujours en mesure de passer de p à q en un nombre fini d’étapes à l’aide des trois touches seulement[*****]

(1)Nota : alias « mes φ σ τau »

Solution proposée par Jacques Guitonneau

Q₁ Soit φ(n) la fonction d’Euler, σ(n) la somme des diviseurs, τ(n) le nombre de diviseurs.

On peut prendre la suite suivante : σ(7)=8 ; σ (8)=15 ; σ (15)=24 ; σ (24)=60 ; φ (60)=16 ; τ(16)=5.

Q2 Une façon d’obtenir un nombre quelconque p (et en particulier premier), est d’obtenir un multiple de 2 élevé à la puissance p-1. Pour cela on part de 2 et on calcule la suite des σ (n). Quand on obtient un multiple de 2*(p-1), il suffit alors de « redescendre » avec la fonction φ (n), et on obtiendra nécessairement le nombre 2*(p-1), car avec un nombre de la forme 2*(p-1). a …avec a nombre nécessairement impair et on a

nécessairement φ (2*(p-1).a) = φ (2*(p-1)). φ (a)= 2*(p-2) . φ (a) avec φ (a) nécessairement pair, donc φ (2*(p-1).a)= 2*(p-1).b avec b nombre pair ou impair et inférieur à a.

Le processus peut continuer jusqu’à ce qu’on obtienne un nombre 2*q avec q>=(p-1).

On obtient alors en appliquant encore si nécessaire la fonction, φ (n), le nombre 2*(p-1) et donc avec la fonction τ(n), τ(2*(p-1))=p.

Pour obtenir les 25 premiers nombres, on peut suivre le chemin donné ci-dessous, pas nécessairement le plus court , mais qui permet d’obtenir tous les nombres jusqu’à 25..

On doit pouvoir appliquer un processus semblable pour atteindre n’importe quel chiffre.

2 σ 3

3 σ 4

4 σ 7

7 σ 8 2*3

8 σ 15 3.5

15 σ 24 2*3 .3

24 σ 60 2*2.3.5

60 σ 168 2*3.3.7

168 σ 480 2*5.3.5

480 σ 1512 2*3.3*3.7 1512 σ 4800 2*6.3.5*2

4800 σ 15748 2*2.31.127 15748 σ 28672 2*12.7 28672 σ 65528 2*3.8191 65528 σ 122880 2*13.3.5 122880 σ 393192 2*3.3*2.43.127 393192 σ 1098240 2*9.3.5.11.13 1098240 σ 4124736 2*6.3*3.7.11.31 4124736 σ 15605760 2*13.3.5.127 15605760 σ 50328576 2*10.3*2.43.127 50328576 σ 149873152 2*9.11.13.23.89 149873152 σ 371226240 2*7.3*5.5.7.11.31 371226240 σ 1710858240 2*13.3*3.5.7.13.17 1710858240 σ 7926750720 2*9.3*4.5.7.43.127 7926750720 σ 33463001088 2*13.3*2.11*4.31 33463001088 φ 9813196800 2*15.3*2.5*2.11*3

9813196800 φ 2378956800 2*18.3.5*2.11*2 2378956800 φ 576716800 2*21.5*2.11

576716800 φ 209715200 2*23.5*2 209715200 φ 83886080 2*24.5

83886080 φ 33554432 2*25

33554432 φ 16777216 2*24 16777216 τ 25

16777216 φ 8388608 2*23 8388608 τ 24

8388608 φ 4194304 2*22 4194304 τ 23

4194304 φ 2097152 2*21 2097152 τ 22

2097152 φ 1048576 2*20 1048576 τ 21

1048576 φ 524288 2*19 524288 τ 20

524288 φ 262144 2*18 262144 τ 19

262144 φ 131072 2*17 131072 τ 18

131072 φ 65536 2*16 65536 τ 17

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