A530 : Affaire de grandes puissances.
1) trouver le plus petit entier positif dont le tiers est un cube parfait, le septième est une puissance septième parfaite et le huitième est une puissance huitième parfaite.
2) démontrer qu’il existe 2009 nombres entiers distincts qui sont compris entre et et dont le produit est une puissance septième parfaite.
1) N=3a3=7b7=8c8 ; b et c sont divisibles par 3, donc N par une puissance de 3 multiple de 7 et de 8 et congrue à 1 modulo 3, soit au minimum 112; a et c sont divisibles par 7, donc N par une puissance de 7 multiple de 3 et de 8 et congrue à 1 modulo 7, soit au minimum 120; enfin, a est divisible par 2 et b par 23, donc N par une puissance de 2 multiple de 21 et congrue à 3
modulo 8, soit au minimum 147. la valeur minimum est donc N=2147*3112*7120.
