A530. Affaires de grandes puissances
1. Multiple de 3, 7 et 8, cherchons un tel entier sous la forme 2d3t7s. Les 3 propriétés se traduisent par d ≡ t−1 ≡ s ≡ 0 (mod 3), d ≡ t ≡ s−1≡0 (mod 7) etd−3≡t≡s≡0 (mod 8). D’où d≡147, t≡112 et s ≡ 120 (mod 3×7×8 = 168). Ainsi n = 214731127120 est le plus petit entier à posséder les 3 propriétés et vérifie bien n3 = 2493377403
,
n
7 = 2213167177
et n8 = 2183147158
. 2. Soient a = 20087, b = 20097, c = d√3
ae, d=j√3 bk
, I = [a, b] et 861 =
2009×3
7 < d−c+ 1 entiersx1< . . . < x861 deJ = [c, d].Par construction, le produit de 3 nombres deJ appartient àI. Partant de x31, x21x2, x1x22, x1x2x3, x22x3, x2x23, x33, puis en répétant 287 fois ce motif en décalant les indices de 3 en 3 jusqu’à atteindrex3861,nous avons écrits 287×7 = 2009 entiers distincts (relation d’ordre) deIdont le produit est
861
Y
i=1
x7i.
1
