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MÉTROPOLE 2021
Bac 2021, candidats libres voie générale, spécialité mathématiques
Corrigé du sujet de l’épreuve du 7 juin 2021 Exercice 1 :
1.
2.
3.
4.
Exercice 2 : Partie I
1.
3.
Partie II
1.
2.
3.
Exercice 3 :
I – Première modèle
II – Deuxième modèle
1.
4.
Exercice A :
5.
Exercice B :
Corrigé du sujet de l’épreuve du 8 juin 2021 Exercice 1 :
1. Réponse b : les coordonnées correspondent au paramètre . 2. Réponse c : ce sont les coefficients devant le paramètre t dans le système.
3. Réponse d : Le vecteur a pour coordonnées donc . Donc et sont colinéaires et car les coordonnées du point correspondent au paramètre .
4. Réponse c : Un vecteur normal à a pour coordonnées , donc .
Donc est parallèle à si .
Exercice 2 :
1. a.
b. .
c. Par la formule des probabilités totales, .
d. .
2. a. suit la loi binomiale de paramètres 20 et 0,45 car représente le nombre de succès lorsqu’on répète 20 fois, de manière identique et indépendante, l’expérience de Bernoulli qui consiste à choisir un chat et dont le succès est d’obtenir un test positif, ce qui arrive avec la probabilité 0,45.
b.
c.
d.
Le nombre moyen de chats ayant un test positif sur un grand nombre d’échantillons est de 9 par échantillon de 20 chats.
3. a. car est la probabilité que
les chats aient un test négatif, ce qui a une probabilité de 0,55 pour chaque chat et donc P(X=0) = 0,55 n.
b. Ce programme détermine le plus petit entier positif tel que la probabilité d’avoir
au moins un chat présentant un test positif dans l’échantillon soit supérieure à 0,99.
c.
.
: donc la valeur renvoyée est 8.
On peut aussi afficher la table de valeurs de la suite sur calculatrice :
.
On voit que et .
Exercice 3 :
1. On peut conjecturer que pour tout entier naturel . 2. Initialisation : .
Hérédité : Soit tel que . Alors et donc par quotient, . Conclusion : La propriété est vraie pour et héréditaire donc vraie pour tout entier naturel.
3. La suite est positive donc on peut utiliser le critère pour montrer que la suite est décroissante.
Soit . . Or donc donc . Donc la suite
est décroissante.
4. La suite est décroissante et minorée par 0 donc elle converge (et sa limite est supérieure ou égale à 0).
5. Soit . , donc la suite est arithmétique, de
raison 1 et de premier terme . Donc pour tout entier naturel .
6. Pour tout , donc la limite de est 0.
Exercice A : Partie I
1. , , donc et .
Par croissance comparée, , donc .
2. d’où .
3. pour tout et donc
si, et seulement si, .
4.
• Sur , h est strictement supérieure à 1 car h est continue et strictement décroissante sur cet intervalle et . Donc h est strictement positive sur .
• h est continue et strictement croissante sur , et
. Donc le théorème des valeurs intermédiaires permet
d’affirmer l’existence d’un unique réel tel que .
• L’équation admet donc une unique solution sur . De plus,
et donc .
5.
Partie II
1.
2. est située au-dessus de sur les intervalles où est positive, soit sur . L’abscisse de leur point d’intersection est donc . On calcule
: car
Donc les coordonnées du point d’intersection sont bien .
Exercice B : Partie I
1. On peut conjecturer que est croissante sur car est positive sur cet intervalle et que est décroissante sur car est négative sur cet intervalle.
2. On peut conjecturer que est concave sur car est décroissante sur cet intervalle et que est convexe sur car est croissante sur cet intervalle.
Partie II
1. .
Or par croissance comparée et donc .
On en déduit que la droite d’équation est une asymptote horizontale à la courbe en .
2. a.
b. Pour tout réel , et
c. est continue et strictement croissante sur , et
donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation
admet une unique solution sur . À l’aide de la calculatrice, on
détermine .
3.
car pour tout réel donc est convexe sur et concave sur . Le point de d’abscisse 0 est donc un point d’inflexion.
