Calcul vectoriel dans l'espace : corrigé des exercices

(1)

2G Vecteurs (résultats finaux des exercices) 1

E XERCICE 03 u 4

2

  

 

 1

v 3

 

 

 

 3

w 2

  

 

 2

p 0

  

 

 1

q 1

 

 

 

 0

r 3

 

 

 

 1

s 4

 

 

 

 3

t 1

  

 



E XERCICE 04

E XERCICE 05 4

2 AB

1

 

 

 

 



2 1 AC

3

 

 

 

 

 



2 3 BC

2

 

 

 

 

 



5 5 BD

2

 

 

 

 



3 2 CD

4

 

 

 

 



1 3 DA

1

 

 

 

 



5 5 DB

2

 

 

 

 



2 3 CB

2

  

  

 



E XERCICE 06 a) u 2AB 4CD  

4 3 0 7 7 7 14 28 42

1 2 1 0 1 1 2 4 6

2 4 2 4

0 5 1 3 5 2 10 8 2

       

           

                

           

                

           

vAC BD

  

7 3 0 4 4 4 0

0 2 1 1 2 2 0

3 5 1 0 8 1 7

 

         

              

         

           

         

w 3BC 2AD 

7 4 0 3 11 3 33 6 39

0 1 1 2 1 3 3 6 3

3 2 3 2

3 0 1 5 3 6 9 12 3

     

           

               

             

              

           

b)

E E E

x 4

y 1 BE

z 0

  

  

 

  

 

 et

0 3 3

1 2 3

AD AD

1 5 6

 

   

    

   

    

   

 

E E

x 4 3 x 7

y 1 3 y 2

BE AD

z 0 6 z 6

    

 

      

  

      

 

 

donc E(−7 ; −2 ; −6)

7 3 4

0 2 2

AC AC

3 5 8

    

    

   

    

   

  ^F

F F

x 0 y 1 DF

z 1

  

  

 

  

 



F F F F F

4 x 0 0 4 2x 0 4 2x 0 2x 4 x 2

2 y 1 2 2(y 1) 0 2 2y 2 0 2y 0 y 0

AC 2DF 0 2 0

8 z 1 0 8 2(z 1) 0 8 2z 2 0 2z 6 z 3

          

       

   

                

         

                  

         

  

donc F(-2 ; 0 ; 3)

(2)

2G Vecteurs (résultats finaux des exercices) 2

E XERCICE 07 a) u

et_v^sont colinéaires  ( k  ) _{u kv} 

3 6

1 k 2

2 4

   

    

   

   



3 6k 1 2k 2 4k

  

  

 





1 2 1 2 1 2

k k k

  

 

  

 donc u

et_v^ne sont pas colinéaires.

b) _u^et_w^sont colinéaires  ( k  ) _{u kw}^_ ^

3 2

1 k x

2 y

   

   

   

   

 3 2k

1 xk 2 yk

 

 

 



3 2 1 x 2 y

k (1)

k (2) k (3)

 

  

  (1) dans (2) : 1 3

x 2

   3x = −2  2 x 3 (1) dans (3) : 2 3

y  3y = 4  2 4 y3

donc ²3 4 3

2 w

 

 

 

 



c) _AB^etCDsont colinéaires  ( k  ) _{AB kCD} 

4 5 2 1

4 1 k 1

4 2 3 1

  

   

     

   

     

   



9 3k 3 1k 6 2k

 

  

  





k 3

  

  

  

 donc _AB^et_CD^ne sont pas colinéaires.

d) BC

et_ED^sont colinéaires  ( k  ) _{BC kED} 

1 4 2 a

0 4 k 1 b

1 4 3 6

  

   

     

   

     

   



3 k(2 a) 4 k( 1 b) 5 9k

 

   

  





3 2 a

4 1 b 5 9

k (1)

k (2) k (3)



 



 

 

 (3) dans (1) : 3 5

2 a9

  5(2 − a) = 27  10 − 5a = 27  5a = −17  17 a  5 (3) dans (2) : 4 5

1 b 9

 

   5(−1 –b) = −36  −5 – 5b = −36  5b = 31  31 b 5 donc E(¹⁷5 ;³¹5 ; 6)

E XERCICE 08 a) AB =



2 1

 

²  1 3

 

² 0 2



²  1² ( 4)²2²  1 16 4   21

AC =



^{6 1}^

 

²^{  }^{3 3}

 

²^{  }^{1 2}



² ^ ⁵²^{ }^{( 6)}²^¹² ^ ^{25 36 1}^ ^{ } ⁶²

BC =



6 2

 

²  3 1

 

²  1 0



²  4²  2² ( 1)²  16 4 1   21

donc AB = BC et le triangle est isocèle de sommet principal B. Il n’est pas équilatéral.

b) DE =



3 1

 

² 6 3

 

²  2 1



²  2²  3² ( 1)²  4 9 1   14 EF =



^{0 3}^

 

²^ ^{4 6}^

 

²^{ }^{0 2}



² ^{ }^{( 3)}²^{ }^{( 2)}²^²² ^ ^{9 4 4}^{  } ¹⁷

DF =



0 1

 

² 4 3

 

² 0 1



²  ( 1)² 1² 1²  1 1 1   3

on remarque que EF² = DE² + DF², donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle DEF est rectangle en D.

(3)

3 1 (3) dans (1):

x 2 4

x 2 12 x 14

2 1

(3) dans (2):

2 y 4

2 y 8

y 6

donc F( 2; 6;1) et G( 14;2; 3).

  

   

  

  



  

  

   

2G Vecteurs (résultats finaux des exercices) 3

E XERCICE 09 a) A, B et C sont alignés b) A, D et E sont alignés c) (CD) et (EB) sont parallèles

1 2 1 2 1 2

AB et AC sont colinéaires ( k ) AB kAC

1 4 2 4

1 1 k 3 1

3 2 4 2

3 6k 2 4k 1 2k k k k



   

  

   

   

      

     

   

 

   

 

 

 

 

 



1 8

1 2

AD et AE sont colinéaires ( k ) AD kAE

5 4 4 4

6 1 k 0 1

1 2 4 2

1 8k

5 k

1 2k k

k 5

k



   

  

   

   

     

     

   

 

  

 

  

  

  



 



7 5

1 3

CD et EB sont colinéaires ( k ) CD kEB

5 2 1 4

6 3 k 1 0

1 4 3 4

7 5k

9 k

3 k

k

k 9

k



   

   

   

   

     

     

   

  



  

  







  

 

 



Donc A, B et C sont alignés. Donc A, D et F ne sont pas alignés. Donc (CD) et (EB) pas parallèles.

d) (AB) et (DE) sont parallèles e) (AB) et (FG) sont parallèles

1 3 1 3 1 3

AB et DE sont colinéaires ( k ) AB kDE

1 4 4 5

1 1 k 0 6

3 2 4 1

3 9k 2 6k 1 3k k k k



   

  

   

   

      

     

   

 

   

 

 

 

 

 



3 x 2

2 2 y 1 4

AB et DE sont colinéaires ( k ) AB kFG

1 4 x 2

1 1 k 2 y

3 2 3 1

3 k(x 2) 2 k(2 y) 1 4k

k (1)

k (2) k (3)







   

  

   

   

      

     

   

 



   

  



 

 

  



 



Donc (AB) et (DE) sont parallèles.

E XERCICE 10 1° ABCD est un parallélogramme 

D D

D

D D

D

D D

D

7 2 x x 9

4 3 2 x

1 1 y y 0

AB DC 1 2 1 y

4 2 z z 2

3 1 2 z

   

  

     

 

        

        

 

           

   

 

donc D(9 ; 0 ; −2).

2° EFGH est un parallélogramme 

5 3

3 2 0 3 non!

EF HG 4 1 4 3 5 1 non!

3 6

6 3 8 2 non!

 

  

    

     

        

       

   

 

donc EFGH n’est pas un parallélogramme.

3° a) 2 3 1 4 3 6 1 3 9

I ; ; I ; ;

2 2 2 2 2 2

  

    

   

   , 3 0 4 4 6 8 3

J ; ; J ;0;7

2 2 2 2

    

   

   

   

0 3 4 3 8 2 3 7

K ; ; K ; ;5

2 2 2 2 2

  

   

   

    et 3 2 3 1 2 3 1 5

L ; ; L ;2;

2 2 2 2 2

   

   

   

   

(4)

2G Vecteurs (résultats finaux des exercices) 4

b) IJKL est un parallélogramme 

3 1 3 1

1 1 oui!

2 2 2 2

3 3

3 7 oui!

IJ LK 0 2 2 2 2 2

5 5

9 5 oui!

7 2 5 2 2 2

        

   

    

     

            

 

donc IJKL est un parallélogramme.

c) (IJ) et (EG) sont parallèles

1 2

3 3 1

2 2 2

5 5 1

2

2 2

IJ et EG sont colinéaires ( k ) IJ kEG

k

1 0 2 1 2k

k 4 1 3k k

8 3 5k k



   



   

      

     

       

 

 

       

  

 



donc (IJ) et (EG) sont parallèles.

E XERCICE 299 N.B. : Changer l’énoncé en « Démontre que ABDC est un parallélogramme. »

ABDC est un parallélogramme 

2 2

1 3 2 4 oui!

5 5

AB CD 3 2 4 1 oui!

2 2

2 4 4 2 oui!

  

 

    

     

       



       

   

 

E XERCICE 301 1) AB CD 

:

4 3 3 3 7 6 13

0 2 4 1 2 5 7

2 4 1 2 6 1 7

      

       

          

       

          

       

2) _{AC 2AD} 

:

3 3 3 3 0 12 12

1 2 2 4 2 1 12 11

2 4 1 4 2 6 4

    

       

       

            

           

       

3) 1 2AB CD

3

 

:

14 2 16

4 3 3 3

1 5 17

2 0 2 1 4 4

3 3 3

2 4 2 1 1 37

12 3 3

   

    

  

       

          

       

         

   

    

   

   

4) 1 3 1 1

(BC DB) (2DC) BC DB 3DC 2   2  22 

:

7 1 18 14

2 2

3 4 4 3 3 3

1 1 1 33

1 0 0 4 3 1 4 2 15

2 2 2 2

2 2 2 1 2 1 3 1

2 3

2 2

     

   

   

         

               

         

            

     

     

   

 

E XERCICE 302 1) M, N et P sont alignés

1 6 1 3 1 3

MN et MP sont colinéaires

1 3 9 3 2 12k k

( k ) MN kMP 3 2 k 13 2 5 15k k

2 4 2 4 2 6k k



 

     

    

 

   

            

 

       

     

 



donc M, N et P ne sont pas alignés.

(5)

2G Vecteurs (résultats finaux des exercices) 5

2) M, N et P sont alignés

3 8 1 3 3 8

MN et MP sont colinéaires

1 5 11 5 6 16k k

( k ) MN kMP 0 2 k 4 2 2 6k k

2 4 12 4 6 16k k





       

    

 

   

              

 

       

     

 



donc M, N et P ne sont pas alignés.

E XERCICE 303

1 2 a 1 4

1 2

AB et CD sont colinéaires

3 6 3 6k k (1)

( k ) AB kCD a 1 k 4 a 1 4k k (2)

6 12 6 12k k (3)



  

  

    

 

   

            

 

       

     

 



(1) dans (2) : 1 a 1

4 2(a 1) 4 2a 2 a 1

2 4

             

E XERCICE 304

2 0 1 1 3 2 1

M ; ; M 1;1;

2 2 2 2

   

   

   

   , 3 4 0 4 2 5 1 7

P ; ; P ; 2;

2 2 2 2 2

   

    

   

   

longueur du segment [MP] = MP = ¹ 1 ²



2 1



² ^{7 1} ² ⁹ 9 9 ^{9 36 36} ⁸¹ ⁹

2 2 2 4 4 4 2

 

              

   

   

E XERCICE 310

6 b 1 b 5

2 4 b 1

1 a 2 a 1

AB CD 1 a 3 1

c 5 8 c 3

c 5 10 2

    

  

     

 

       

       

 

            

   

 

E XERCICE 316

M M

M

M M M

M M M M

M M M

M

MK 2LM 3KL

3 x x 1 1 3

2 y 2 y 3 3 3 2

1 z z 2 2 1

x 1

3 x 2x 2 6 3x 1 3

2 y 2y 6 15 3y 19 y 19

1 z 2z 4 9 3z 12 z 34

 

  

     

     

         

        

     

  

      

  

  

         

        

    



  

Donc 1 19 M( ; ; 4)

3 3 