HAL Id: jpa-00234131
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Sur la possibilité de mettre en évidence le moment
magnétique propre des particules de spin 1/2
Louis de Broglie
To cite this version:
LE
JOURNAL
DE
PHYSIQUE
ET
LE
RADIUM
SUR LA
POSSIBILITÉ
DE METTRE ENÉVIDENCE
LE MOMENT
MAGNÉTIQUE
PROPRE DES PARTICULES DE SPIN1/2
Par M. LOUIS DE BROGLIE.
Sommaire. - Le présent mémoire est consacré à l’examen des raisonnements qui ont conduit à nier la possibilité de mettre en évidence le moment magnétique propre d’une particule de
spin I/2
(électron) par des expériences où les conceptions de la Mécanique ponctuelle sont valables.Le raisonnement de M. Bohr qui s’appuie sur les relations d’incertitude est entièrement valable pour les particules de vitesse faible, mais il paraît échouer pour des particules de vitesse comparable à celle de la lumière dans le vide.
Le raisonnement dû à M. Pauli, qui effectue le passage des équations d’onde de Dirac à la Mécanique
ponctuelle par l’approximation de l’optique géométrique, parvient à la conclusion que la Mécanique ponctuelle des particules à spin serait identique à celle des particules sans spin. De là découlerait l’impos-sibilité de mettre en évidence, dans le domaine de la Mécanique ponctuelle, l’action du gradient d’un
champ magnétique sur le moment magnétique propre de la particule.
En réexaminant ce passage à l’approximation de l’optique géométrique, on arrive ici à des conclusions différentes. En accord avec des travaux récents de M. Jan Weyssenhoff, la Mécanique ponctuelle de la
particule de
spin I/2
est une mécanique à masse propre variable qui dépend du moment magnétique propre. Il n’y aurait donc pas d’impossibilité théorique a priori de mettre ce moment en évidence dansdes expériences où la Mécanique ponctuelle est valable. Néanmoins il paraît difficile de trouver pour la masse, la charge et la vitesse de la particule des valeurs permettant d’effectuer une telle expérience, mais la difficulté serait d’ordre expérimental et ne dériverait pas d’une raison théorique a priori.
SÉRIE TOME IX. No 11. NOVEMBRE 19~8.
1. Introduction. -- Les récentes recherches de M. Jean Thibaud
[I]
sur les « électrinos » ont ramenél’attention sur la
question
de savoir s’il estpossible
de mettre en évidence le momentmagnétique
propre d’une
particule
despin -
par l’observation de l’action d’unchamp
magnétique
nonhomogène
sur ce moment
magnétique.
Sans nous prononcersur l’existence réelle des
électrinos,
nous allonssoumettre à un nouvel examen la
question
de lamise en évidence du moment
magnétique
propre desparticules
despin §
par desexpériences
où2
l’on
peut
attribuer destrajectoires
à cesparticules.
Deux modes de
raisonnement,
l’un dû àM. Bohr
[2]
et faisant intervenir les incertitudesde
Heisenberg,
l’autre dû à M. Pauli[3]
et utilisantle passage des
équations
de Dirac àl’approximation
de
l’optique géométrique,
semblaientindiquer
l’im-possibilité
de cette mise enévidence,
mais ilparaît
bien que cette conclusion soit en défaut dans le cas
des
particules
de très faible masse animées devitesses voisines de celle de la
lumière,
cequi
seraitprécisément
le cas desélectrinos
de M. Thibaud. C’est ce que nous voulons chercher à montreren
reprenant
successivement les deux genres deraisonnement.
2. Premier mode de raisonnement. - Pour exposer le
premier
genre deraisonnements,
consi-dérons un faisceau
monocinétique
parallèle
desparticules
considérées,
la vitesse desparticules
étantdirigée
suivant l’axe ox et les dimensionstransversales du faisceau étant
1y
et Onpeut
supposer par
exemple
que le faisceau a été limitélatéralement par son passage à travers une fente
LE JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM SÉRIE VIII. -
T. IX. 2013 ? 11. - NOVEMBRE 1948.
19.
266
rectangulaire
de côtés1y
et ~z. Nous supposerons que lesparticules
decharge 2
et de masse propre m.sont soumises à l’action d’un
champ magnétique
non
homogène qui
estpartout
parallèle
auplan
yOz
de sorte que nous auronsSi nous attachons notre attention aux actions
qui
s’exercent sur lesparticules
suivant oz(un
raisonnement
analogue
s’appliquant
aux actionssuivant
Oy),
nous voyons que l’actionlaplacienne
du
champ magnétique
sur laparticule
se traduitpar l’existence suivant Oz d’une force
égale
à ~ vH, ,
tandis que l’action dugradient
dechamp
sur lemoment
magnétique
propre Jll de laparticule
donne 1.. t 0 ’ 1 f ...f .
t lieu suivant Oz à la force J1L.:
20132013 ?
forcequi,
compte
tenu de la relation
(1),
a pour valeur absolue maximaf A
l ’
1 t ’ .
20132013
dans le cas où le momentmagnétique
4Rm0 e dy & by
propre est
dirigé
suivant Oz(1).
Mais le faisceau
ayant
unelargeur
AU
dans le sensOy,
la forcelaplacienne
est affectée d’uneincertitude
égale
et,
pourqu’on puisse
mettre en évidence l’existence du moment
magné-tique
propre, il faut que cette incertitude soitbeau-coup
plus
petite
que la force due augradient
duchamp,
cequi
conduit àl’inégalité
Pour des
particules
de vitesse faible devant cellede la lumière dans le
vide,
’ lefacteur h
estégal
mav V "
à la
longueur
d’onde 1B de l’onde associée à lapar-ticule et l’on a
La condition
(3)
entraîne l’existence d’une diffrac-tion trèsprononcée qui
nepermet
plus
d’attribuerà la
particule
unetrajectoire
bien définie et il enrésulte
l’impossibilité
de mettre en évidencel’exis-tence du moment propre dans une
expérience
oùla notion de
trajectoire
peut
être conservée.(1) Il est utile de remarquer que le moment magnétique étant ici normal à la vitesse possède la valeur
8
quelle,
C "
que soit cette vitesse. En effet, si l’on désigne par les
composantes du tenseur antisymétrique « densité de moment
magnétique et de moment électrique propres », on a
les quantités portant l’indice supérieur (o) étant évaluées dans le système propre de la particule.
Il convient toutefois de remarquer que dans le
raisonnement
précédent,
nous avonssu.pposé
quela
particule
de masse propre mo et decharge 2
por-tait le momentmagnétique E h
qui
luicorres--J 1.. mo C "
pond
d’après
la théorie de Dirac. Il en est autrementdans le cas de
l’expérience
de Stern et Gerlach où un atomed’argent
degrande
masse propreM~
transporte
un momentmagnétique
propreégal
aumagnéton
de où ici rrco est la masseC "
propre de l’électron. En
reprenant
le raisonnementprécédent
enremarquant
que 1. - = on trouveo
alors à la
place
de(3)
et,
comme ino
0 est trèspetit,
rien nes’oppose
plus
-110 o
à ce que nous
puissions
mettre en évidence le momentmagnétique
propre à l’électron dans uneexpérience
où l’on
peut
attribuer unetrajectoire
aux atomesd’argent.
Arrivons maintenant au
point
essentiel. Pourpasser de la relation
(2)
à la relation(3),
nous avonsnégligé
les corrections derelativité,
cequi
revient à supposer la vitesse v très
petite
devant la vitesse c de la lumière dans le vide. Eneffet,
l’expres-sion
rigoureuse
de lalongueur
d’onde de l’onde associée à laparticule
estet elle ne se réduit à Il, que si
p2
estnégligeable
nzo vdevant 1.
Or,
si nous substituonsl’expression
rigoureuse
(4)
dansl’inégalité (2),
nous obtenonset, si
%/1 - p2
est trèspetit,
cecin’exige
pas queIly
soit très
petit
parrapport
à~,
de sorte quel’impos-sibilité démontrée
plus
haut pour le cas v c nesubsiste
plus
ici.On
peut
préciser
encore cerésultat,
comme l’afait M. Thibaud
[4]
enremarquant
que, pour unparticule
de vitesse voisine de c,l’inégalité
(2)
impose
à la fente que limite le faisceau unelar-geur
ày
très inférieure à20132013 :
. Or ceci estpratique-lno e
ment irréalisable pour des
électrons,
car on trouve alors.ly
Io-10cm. Par contre, pour desparticules
trèslégères
comme le seraient les électrinos de1B1.
Thibaud,
on trouverait pour une masse deIo-31 g, ce
qui
est aisément réalisable.Les conclusions
auxquelles
nous parvenons parce
premier
mode de raisonnement sont donc les267 de mettre en évidence par des
expériences
faisantappel
à la notion detrajectoire
le momentmagné-tique
propre. Pour des électrons extrêmementrapides,
iln’y
aplus
d’impossibilité
théorique,
mais il y a encore
impossibilité
pratique.
Par contre,l’impossibilité
n’existeplus
pour desparticules
de
masse très faible(par
rapport
à celle del’élec-tron)
animées de vitesses voisines de celle de lalumière.
On aboutirait aux mêmes conclusions en
appli-quant
des raisonnementsanalogues
à la mesure dumoment
magnétique
propre d’uneparticule
enmouvement
pat
son action sur unmagnétomètre.
3. Deuxième mode de raisonnement. -
Repre-nons maintenant la même
question
en utilisant lesecond mode de raisonnement
qui
étudie le passage deséquations
d’onde de Dirac à laMécanique
ponc-tuelle,
en considérant celle-ci comme réalisantpar
rapport
à laMécanique
ondulatoirel’approxi-mation de
l’optique géométrique.
Pour
celà,
nouspartirons
deséquations
du secondordre de la théorie de Dirac
[5]
supposée
applicable
à la
particule
que nous considérons. Nousdésignons
par V et A le
potentiel
scalaire et lepotentiel
vec-+
teur dont dérivent le
champ
électrique h
et le+
champ magnétique
Hauxquels
laparticule
estsoumise. Nous poserons
et ces
équations
du second ordre s’écriventavec k = 1, 2,
3, 4
et où les ex sont les matricesà
quatre
lignes
etquatre
colonnes de la théorie deDirac.
Pour passer des
équations
d’ondesrigoureuses
(7)
à
l’approximation
del’optique géométrique,
nousposerons confarmément à la méthode
générale qui
permet ce passage
--i ’2 -;: i
en
supposant
que S est une fonction dephase
rapi-dement variable à l’échelle des
longueurs
d’onde,
tandis que les ai, sont des
amplitudes
complexes
dont le module etl’argument
sont sensiblement constants à l’échelle deslongueurs
d’onde,
cequi
nous autorisera ànégliger
les dérivées des ak parrapport
à celles de S. Deplus,
il nousfaudra,
tou-jours
en suivant la méthodegénérale,
obtenir parséparation
des termes réels et des termesimaginaires
d’une
part
uneéquation
del’optique géométrique
correspondant
àl’équation
deJacobi,
d’autrepart
uneéquation exprimant
la conservation dela
probabilité
totale deprésence
desparticules.
Pour
pouvoir
effectuer avec sécurité laséparation
des termes réels et des termes
imaginaires
après
substitution des
expressions (8)
dans leséqua-tions
(7),
nousappliquerons
à(7) l’opérateur
nousmultiplierons
para*,
quantité complexe
conju-guée
de ak, et nous sommerons sur k. Ainsis’intro-duiront des
quantités
de laforme Ea*kAak
qui
i
seront sûrement réelles si
l’opérateur
A esther-mitique.
Posons
Nous obtenons alors en
négligeant
les termesprovenant
de la variation des ak les deuxéqua-tions
(2)
Interprétons
d’abordl’équation (11). Lorsque
l’approximation
del’optique
géométrique
(léca-
’
niqu.e
ponctuelle)
estvalable,
on a268
où fi = §
etoù ?
est la densité deprobabilité
deprésence. Après suppression
du facteur mo,l’équa-tion
(11)
s’écritr); d" = o.
(13)
+ + 1 y:. (-’ == o.
t ’
C’est
l’équation
de continuité bien connuequi
exprime
la conservation de laprobabilité
depré-sence
(3).
Pour
interpréter
l’équation (10),
nousconsidé-rerons, comme nous pouvons le faire à
l’approxi-mation de
l’optique géométrique,
unpaquet
d’ondesde dimensions
grandes
parrapport
à lalongueur
d’onde,
mais trèspetites
à notre échelle à l’intérieur+
duquel
R4, T., h et H sont sensiblement constants et nous obtiendrons enintégrant
dansl’espace
et en admettant la troisième relation(12)
-» ,
Jl1 et it étant
respectivement
le momentmagnétique
propre et le moment
électrique
propre de laparticule
en mouvement.
Nous poserons encore
et nous écrirons
L’équation (16)
peut
être considérée commel’équation
de Jacobi de laparticule
à momentmagnétique
propre en mouvement dans lechamp
électromagnétique.
Mais pour que cetteéquation
de Jacobi conduise à uneMécanique ponctuelle
acceptable,
il fautqu’elle
permette
de trouverdes a~ vérifiant les
équations
dupremier
ordre deDirac,
approximativement
constants à l’échelledes
longueurs
d’onde etjustifiait l’emploi
de latroisième formule
(12).
Nous allons examiner le cas où la
quantité
est très
petite
parrapport
à l’unité. Ce cas est le seuloù l’on
puisse espérer
obtenir pour laparticule
une’
(~) Cette démonstration de 1 équation de continuité à partir de l’équation (11) n’est pas rigoureuse parce qu’en réalité l’on devait prendre pour 7:4 non l’expression (12), mais
l’ex-pression (24) qui contient en plus le terme ’fi Ua. Pour démontrer
rigoureusement l’équation de continuité, il faudrait tenir compte de termes que nous avons négligés en écrivant l’équa-tion (11). Nous n’insisterons pas sur ce point car nous
retrou-verons une autre démonstration de l’équation de continuité
aux paragraphes 4 et 5.
Mécanique ponctuelle
voisine de laDyiamique
électronique
habituelle.Supposant
donc ~2négli-geable
devant i, nous pourrons poseret il sera alors naturel de chercher à
développer
laMécanique
ponctuelle
de laparticule
enpartant
de la fonction de
Lagrange
(¢),
qui
s’obtient enremplaçant
m, parm’o
dansl’expres-sion usuelle de la fonction de
Lagrange
endynamique
relativiste de l’électron. En vertu de
(18),
on a doncEn attribuant à U la variance relativiste d’une
énergie
(composante
detemps
d’unquadrivecteur),
laprésence
du terme U dansl’expression
précé-dente
paraît
anormalepuisque l’intégrale
d’Action hamiltonienne doit être un invariant. Mais enréalité
U,
bienqu’ayant
les dimensions et lasignifi-cation
physique
d’u.neénergie,
n’en a pas la variancerelativiste. En
effet,
si Fin et uik- sontrespecti-vement les
composantes
du tenseur «champ
électro-magnétique
» et du tenseur « densité de momentmagnétique
et de momentélectrique
propres », on atIo
étant la valeur de t~ dans lesystème
propre.Le
produit n
~I =Uo
est donc un invariant etl’est aussi.
bL
Les formules
classiques
p =»
nous donnentdél i
Quant
àl’énergie,
elle est donnée par la formule(4) X ous parvenons ainsi à une Mécanique ponctuelle à
masse propre variable qui paraît identique à celle qui a été
dont on déduit
vement
l’énergie
et laquantité
de mouvement d’uneparticule
libre. de masse propremo
et de vitesse v.Il est alors facile de
vérifier,
en raison del’hypo-thèse admise sur K et du fait que n est
supérieur
ouégal
à ~, quel’équation (16)
de Jacobi est vérifiée àl’approximation
admise.Si nou.s écrivons les
équations
deLagrange
( 1
=de)
correspondant
à la fonction(20),
nous obtenons
après quelques
calculs bien connusoù
f est
la force de Lorentz etoù - gradU
exprime
la force exercée par lechamp
électromagnétique
sur le momentmagnétique
propre et le momentélectrique
propre de laparticule
en mouvementEn
comparant
la valeur de cette dernière forceavec l’incertitude sur la force
Laplacienne
dans le casenvisagé
au début de cetexposé,
on retrouveraitaisément la formule
(2)
et les conclusions que nousen avions tirées.
4. Le calcul de M. Pauli. - Nous avons rai-sonné
plus
haut enpartant
deséquations
du secondordre de la théorie de Dirac. Nous voulons
mainte-nant
reprendre
laquestion
enpartant
deséqua-tions du
premier
ordre de cette théorie(dont
leséquations
du second ordre sont desconséquences).
Nous
reprendrons
d’abord les calculs effectuéspar M. Pauli dans son mémoire
déjà
cité desHelve-tica .Acta. Les
équations
dupremier
ordre de Diracsont les suivantes
avec k = r, 2, 3,
4.
A
quelques
légers changements
de notationprès,
1B1. Pauli pose
où,
au secondmembre, bk
estdéveloppée
suivant lespuissances
croissantes de la trèspetite
quantité2h
iet où
S 0
désigne
la fonction de Jacobi pour uneparticule
sansspin
soumise auchamp
électro-magnétique
considéré,
c’est-à-dire la fonctionl’intégrale
étantprise
lelong
d’un rayon-trajectoire.
On notera que dans(28),
c’est 7:’ ~)
et non7., et T:l
qui
figurent
au second membre. On doitnoter aussi que les
grandeurs
sont des fonctions bien déterminées
de x,
y,z, t,
lentement variables à
grande
échelle dans lechamp
électromagnétique
quand
l’approximation
del’op-tique géométrique
est valable. Ainsi selon lepoint
de vue de M. Pauli dans un
champ
permanent
oùl’énergie
W estconstante,
on aurait parexemple
En substituant dans les
équations (26)
la forme(27)
des
1Ji"k,
on obtient en faisant un calculd’approxi-mations successives par
rapport
auxpuissances
de h
leséquations
2Ri
La
première équation (31) qui
esthomogène
n’admet de solution non nulles que si le
déter-mirant est nul et cette condition est
équivalente
à la relationqui
est bien vérifiée. Il résulte alors de la théorie bien connue de l’ondeplane monochromatique
enthéorie de Dirac que les
bl"
sont lesamplitudes
des wk dans le mouvementrectiligne
et uniformede la
particule
correspondant
àl’énergie
et à laquantité
de mouvement n(0;.Mais,
comme il estbien connu, à
chaque
état de mouvementrectiligne
etuniforme,
correspondent
deux étatspossibles
270
lentement variables à
grande
échelle, relatives auxdeux états de
spin
(leurs
expressions
sont bienconnues),
nous aurons :Ci
etC2
étant desquantités
indépendantes
den 1’>
1
et de
#"’,
, maisqui peuvent
varier lentement àgrande
échelle.Les deuxièmes
équations
(31)
qui
ont undéter-minant nul ne
peuvent
admettre de solutionsen
bl 1)
que si les conditionssont réalisées.
On a ainsi deux
équations
aux dérivéespartielles
du
premier
ordrequi
déterminent les fonctionsCl
(x,
y, z,t)
etC2 (x,
y, z,t) quand
on connaît leursvaleurs initiales. La variation à
grande
échelledes Ak et B IL par l’intermédiaire de
7:(~)
B et de 7:( 0) etcelle des fonctions
CI
etC2
expriment
lafaçon
dont laportion
d’ondeplane monochromatique,
qui
représente
lepaquet
d’ondes àpetite
échelle,
setransforme sous l’action du
champ électromagnétique
quand
lepaquet
d’ondes progresse.En combinant les
équations
(34)
avec leséquations
complexes
conjuguées
et en tenantcompte
del’hermiticité des oci, on trouve aisément
et comme l’on a
on retrouve
l’équation
de continuitéOn
peut
faire d’une manièreanalogue
l’étude de ladétermination des
b(2)k, b(3)k,
etc.Comme les A/, et Bi, ne
dépendent
aucunementde l’action du
champ
électromagnétique
sur lesmoments propres de la
particule
et par suite varient àgrande
échelleuniquement
par suite des actions coulombiennes etlaplaciennes
de cechamp
sur lacharge
en mouvement(force
deLorentz),
il en estde même des b
t.
L’approximation
d’ordre zérone
paraît
donc aucunement faireintervenir
l’actiondu
champ
sur les moments propres et celle-ci semblene
pouvoir
apparaître
quequand
on tientcompte,
à
l’approximation
d’ordre un, desb l.
. Mais il estbien connu que dès
qu’on
estobligé
de tenircompte
des
b’k)
lesphénomènes
de diffraction deviennent notables et laMécanique ponctuelle
cesse d’êtrevalable. IVI. Pauli en a conclu
qu’il
estimpossible
de mettre en évidence l’existence du moment
magné-tique
propre d’uneparticule
par desexpériences
où les
conceptions
de laMécanique .ponctuelle
sontapplicables.
5.
Étude
critique
du raisonnementprécé-dent. - Le
point
faible du raisonnement dupara-graphe
précédent
nousparaît
être le suivant : enréalité,
dans la théorie deDirac,
dèsqu’on
introduit .les actions coulombiennes et
laplaciennes
en insérant
-les termes en V et A dans les
équations
du
premier
ordre,
on introduit par là même l’action duchamp
électromagnétique
sur les moments propres,puisque
cette action se manifeste dans leséquations
du second ordrequi
dérivent deséquations
dupremier
ordre.Pour
préciser
laquestion,
introduisons,
à côté dudéveloppement (27),
ledéveloppement
suivantdes 4’/,
suggéré
par la formule(18)
avec
Nous voyons que les
b(P
sont reliésaux alil
parles relations
---.
Remarquons
tout de suitequ’en
substituant(39)
dans
(36),
on vérifie que lesgrandeurs
satisfont à
l’équation
de continuité et que l’on aIl est évident que tout le calcul du
paragraphe
for-mules
(39).
Mais il est essentiel de faire une remarque :si nous admettons avec la formule
(37)
que c’est S et nonSo
qui
est la véritable fonction de Jacobidéfi-nissant la
« phase »
desWà,
les fonctions A ~( r 1’
?: ~B)
et Bk
7I~I),
bienqu’ayant
la même forme quecelles du calcul
précédent,
ne varient pas de mêmeen x,
y, z, t,
car, parexemple
dans le cas d’unchamp
permanent
oùl’énergie
W de laparticule
resteconstante, la
quantité
est donnée non par larelation
~30),
mais par(41)
~;.~,~~~~ c~~}
ce
qui
montredéjà
quel’influence
des momentspropres se
fait
sentir dèsl’approximaüon
d’ordre zéro.La
question
de la relation entre lesa(%) et
lesb~ ’
apparaît
très clairement dans un cas.simple
commecelui d’un
champ magnétique
uniforme dans ladirection du mouvement où l’on
peut
fairecomplè-tement le calcul. Nous donnerons le résultat du
calcul des fonctions
CI
etC2
par leséquations (34)
sans en
indiquer
le détail. Suivant que le momentmagnétique
propre estparallèle
ouantiparallèle
, +
à la direction du
champ
H on obtient soitsoit
Dl
etD2
étant sensiblement constants àpetite
échelle. Les
b( 1)
correspondants
ont pour valeursNos a )i
sont donc iciégaux
d’après
(39)
soit àD]
~~,
soit àD?
BI.,
et sont lentement variables àgrande
échelle,
cequi justifie
la méthode duparagraphe
3.Les 4’k sont donnés à
l’approximation
d’ordre zéropar les
expressions
ce
qui
montre que leurphase
estproportionnelle
à S et non à
So.
On en conclut que la vitesse v,vitesse de groupe des ondes de est bien donnée dans le cas
envisagé
par la relation(41),
et non par la relation
(30).
Les résultats ainsi obtenus dans le cas
particulier
simple
nous semblentindiquer
nettementpourquoi
la méthode
employée
auparagraphe
3 est correcteet
pourquoi
la conclusion tirée du calcul dupara-graphe fi
est par contre inexacte.6. ,Autre vérification du
point
de vueadopté
au
paragraphe
3. - Nous allonsreprendre
lerai-sonnement
qui
auparagraphe
3 nous a conduità
l’équation (14)
de Jacobi. En substituant ledéve-loppement
(18)-(37)
dansl’équation
du second ordre(7)
deDirac,
nous trouvonsoù les
points remplacent
des termes de l’ordre de h2qui
sont certainementnégligeables
àl’approxi-mation de
l’optique
géométrique
et où l’on aposé
°
Pour obtenir
l’équation
(16)
deJacobi,
nous avonssupposé
négligeable
le terme .~(~~),
cequi
paraissait justifié
par le caractère degrandeurs
lentement
variables àgrande
échelle des a~. Nousdevons examiner de
plus près
la validité de cettehypothèse.
Supposons
qu’au
lieud’employer
nosexpressions
(18)-(37),
nous ayons substitué dansl’équation
du second ordre(7)
de Dirac ledéveloppement
(27)
de M. Pauli : nous aurions obtenu
où les
points représentent
des termes en h2négli-geables
àl’approximation
del’optique géométrique
et où F
(b~;~’)
est la fonction que l’on obtient ensubstituant dans
(46~
lesb(Z)
auxa(Z).
Si dans(47),
onsupposait
F(b(Z)) négligeable,
on auraitrelation
qui
estinexacte,
même si l’on suppose K2petit
devant l’unité. Pour obtenir un résultat exact,il faut poser
car alors on obtient la relation
qui
est bien vérifiée.Or la
première
relation(39)
nous donne aisémentet
l’hypothèse
(49)
entraîne la nullité de ~’(a’~~)
etjustifie
ainsil’hypothèse
qui
nous avait conduit àl’équation (14)
de Jacobi.L’hypothèse
exprimée
par(49)
entraine donc l’exactitude des calculsque nous avons effectués dans les
paragraphes
3 et 5272
dans le passage à
l’approximation
del’optique
géométrique.
Reste à savoir si
l’hypothèse (49)
est exacte. Oren utilisant les valeurs bien connues des
coeffi-cients Ak et Bk de la théorie de Dirac et en
s’appuyant
sur les relations
(34),
onpeut
démontrer, par descalculs un peu
longs
que nous nereproduisons
pas,l’exactitude de la relation
(49)
dans un certainnombre de cas
simple.
Dar s le cas duchamp
magné-tique
uniforme considéré auprécédent paragraphe,
cette relation résulte d’ailleurs très
simplement
des formules(43).
L’on voitparticulièrement
biendans ce cas
simple
pourquoi
c’est F(a~~’)
et nonF
(b~~’) qui
peut
être considéré comme nul dansl’équation
de Jacobi.7. Conclusions. -- Les calculs
développés
dans lesparagraphes
3 et5,
confirmés par lesconsidéra-tions du
paragraphe
6 nous montrent que le passageà
l’approximation
del’optique géométrique
en théoriede Dirac ne semble pas
permettre
d’exclure lapossi-bilité d’une mise en évidence du moment
magné-tique (ou électrique)
propre d’uneparticule
àl’approximation.
de laMécanique
ponctuelle.
Parcontre, le raisonnement de Bohr
rappelé
au.para-graphe
2 montre bien cetteimpossibilité,
maisseulement pour les vitesses
petites
devant celle dela lumière. Pour des
particules
animées d’une vitesse voisine de c une telleimpossibilité
deprin-cipe
neparaît
pas exister.Toutefois,
nous devons remarquer que laMéca-nique ponctuelle
usuelle neparaît applicable
aumouvement d’une
particule
de Dirac dans unchamp
électromagnétique
que si lagrandeur
K définiepar
(17)
estpetite
devant l’unité. Les valeursindiquées
par M. Jean Thibaud pour les constantess et mo de l’ électrin o et pour le coefficient n
(savoir
10-38 g, s. T) ~ 107)
ne satisfont pas à cette condition
(5).
Si l’on écrit les trois conditions
qui expriment :
1° que
laquantité
K estpetite
devantl’unité;
20 quela
longueur
d’onde de l’onde ’If est trèspetite
ànotre
échelle;
30 que l’action dugrandient
duchamp
sur le moment propre de la
particule
donne lieu àune déviation
mesurable,
on voitqu’il paraît
diffi-cile de trouver des valeurs des
grandeurs
£, mo et r~telles qu.e les trois conditions soient simultanément réalisées. Tout au
moins,
ces valeurs doivent-ellesêtre étroitement limitées de sorte que des
expériences
du. genre de celles de M. Thibaud ne
pourraient
réussir que
grâce
à des valeursnumériques
de 8, m, et -nexceptionnellement
favorables. Mais pour desvaleurs suffisamment
grandes
de -4(v N c),
ladiffi-culté
qui
seprésente
ici pour la mise en évidencedu moment
magnétique
propre est une difficultépratique
liée à laprécision
des mesures et nonplus
uneimpossibilité théorique a priori.
(5) Les valeurs de mo, E et ’’1 données par M. Thibaud pour
les électrinos donnent K de l’ordre de 1011 à il semble
impossible d’admettre la validité de la Mécanique ponctuelle
avec d’aussi grandes valeurs de K.
Manuscrit reçu le I er octobre 1948.
BIBLIOGRAPHIE. .
[1] C. R. Acad. Sc., 1946, 223, p. 984; 1947, 224, p. 739 et 914;
1947, 225, p. 934 et 999.
[2] Voir par exemple l’exposé de M. PAULI dans Rapports du Conseil Solvay de 1930, p. 220 (Gauthier-Villars):
[3] Helvetica Physica Acta, 1932, 5, p. 179.
[4] C. R. Acad. Sc., 1948, 226, p. 482.
[5] Voir par exemple LOUIS DE BROGLIE, Électron magnétique,
Hermann, Paris, 1934, p. 141 formule (3). Notons que
la matrice 03B14 employée dans ce livre est de signe
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