Sur la possibilité d'une structure complexe des particules de spin différent de 1/2

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Sur la possibilité d’une structure complexe des

particules de spin différent de 1/2

Louis de Broglie

To cite this version:

LE

JOURNAL

DE

_PHYSIQUE

1 ET

LE

_RADIUM

SUR LA

POSSIBILITÉ

D’UNE STRUCTURE COMPLEXE DES PARTICULES

DE SPIN

DIFFÉRENT

DE I/2

Par LOUIS DE BROGLIE.

TOME 12.

SOMMAIRE. - L’idée

que les _particules de _spin différent

de I/2

_((en

unité

h/203C0)

sont _complexes a été émise par l’auteur dès I933-I934 lorsqu’il a commencé à _développer sa _Mécanique ondulatoire du _photon. Elle a été _reprise récemment, notamment dans un travail de M. Frenkel et dans un article de MM. Fermi et _Yang. Nous avons étudié à nouveau cette _{question depuis quelque temps} avec la collaboration de Mme Tonnelat et nous donnons ici un _exposé de nos dernières idées à ce _sujet.

Après avoir _rappelé une tentative assez _{imparfaite que} nous avions faite dans ce sens en I936, nous la reprenons d’une manière qui paraît plus satisfaisante. Raisonnant sur le cas d’une _particule de spin I

considérée comme formée de deux constituants de _spin

_{I/2, nous}

montrons comment on _{peut séparer} le mouvement du centre de gravité de la _particule du mouvement « interne » et nous _explicitons les solu-tions relatives au mouvement interne, qui sont étudiées d’autre part avec _plus de _{détails par Mme} Ton-nelat. Nous montrons ensuite comment il est possible de transporter sur le centre de _gravité les _propriétés de _spin de l’ensemble des deux constituants et de retrouver ainsi les _équations bien connues _qui

repré-sentent le mouvement des _particules de spin I considérées comme des unités. On obtient _également ainsi une _{interprétation} de la forme non définie positive de la densité de _probabilité de _présence dans la

théorie de la _particule de _spin I. Ces considérations, qui sont vraisemblablement _susceptibles de

géné-ralisations pour les particules de _{spin supérieur} à I, semblent justifier les idées qui ont servi de _points de _départ à la _Mécanique ondulatoire du _photon et _qui nous ont _permis d’écrire les _équations de la parti-cule de _spin I, puis de les _{généraliser par} la même méthode aux cas des _particules de _{spin supérieur} à I.

1.

_Exposé

de la

_question.

- Dans l’état actuel

de nos

connaissances,

il est tentant de supposer

que les

particules

de

_{spin 2}

_{telles que}

l’électron,

le

proton,

le neutron, le

neutrino,

etc. sont des

parti-cules ou

_corpuscules

« élémentaires ».

Malgré

la difficulté

_qu’il

_y a à

_préciser

exactement l’idée

de

_corpuscule

élémentaire,

il nous semble

donc _{naturel d’admettre que} les

_corpuscules

élé-mentaires sont

_toujours

de

_spin

_{2 , en}

ce sens _que

toute

_particule

de

_spin

différent

_{de 2}

doit

_pouvoir

se

représenter

comme formée par l’union de

cor-puscules

de

_{spin 1/2.}

Cette idée se trouve renforcée

2

par le fait bien connu _{que les}

particules

de

_spin

entier en unité

h

suivent la

statistique

de

Bose-203C0

Einstein tandis _que les

_particules

de

_spin

demi-entier suivent la

_statistique

de Fermi-Dirac.

Or,

il résulte d’un théorème

_important

démontré,

il y

a

plus

de 20 _ans, avec

rigueur

_{par MM.}

Ehrenfest

et

_{Oppenheimer, qu’un}

_système

formé d’un nombre

pair

de constituants de

_{spin 2}

doit suivre la

statis-tique

de

_{Bose-Einstein,}

tandis

_{qu’un système}

formé

d’un nombre

_impair

de constituants de

_{spin 2}

doit obéir à la

_statistique

de

_Fermi-Dirac;

ce théorème a

_joué

un rôle

_capital

dans l’étude de la consti-tution des noyaux

atomiques.

Il vient fortement à

l’appui

de

_{l’hypothèse}

faite

_plus

haut sur la

com-plexité

des

_particules

de

_spin

différent de

_2.

C’est cette

_hypothèse

sur la constitution des

par-ticules de

_spin

différent

_{de 2}

_qui

m’a amené

2

dès

_1933-1934

à tenter de construire sur cette base

une théorie des

_photons.

Les

_photons

doivent,

en

effet,

être des

_particules

de

_spin

1 comme le prouve

la

_symétrie

de l’onde

_qui

leur est

associée,

c’est-à-dire

de l’onde

_{électromagnétique,}

car les

_propriétés

de

_polarisation

de l’onde lumineuse

_peuvent

être

considérées comme _{traduisant le fait que le}

_spin

du

_photon

a la valseur 1. J’ai donc

_essayé

dès cette

LE JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM. - T. 12. - No 4. - AVRIL 1951.

510

date de construire une théorie du

_photon

en le considérant comme une

_{particule complexe}

formée

de deux constituants de

_{spin -}

_{Naturellement,}

une

telle théorie doit conduire à définir un état de la

particule complexe (état pseudo-scalaire)

où le

_spin

résultant est _{nul par suite de la}

_compensation

du

spin

des deux constituants et un autre état

_(état

vectoriel)

où _{il y} a addition du

_spin

des deux

cons-tituants et où le

_spin

résultant est _{par suite}

_égal

à i :

le

_premier

état

_{correspondrait}

à un

_photon

pseudo-scalaire

de

_spin

o

qui

n’est pas actuellement connu,

tandis que l’état vectoriel décrit le

photon

usuel,

le

_photon

de la lumière. Ceci conduit à

_préciser

_que

le

système

formé de deux constituants de

_spins

forme une

particule

de «

spin

maximum » i

suscep-tible de deux

états,

l’un de

_spin

1, l’autre de

spin

o.

Cette remarque se

généralise

_pour les

_particules

de

( 3 5 )

in maximum n(n ( =

3 5

j

spin

maximum

_{n n}

=

-,

2, -,....

2 2

En

_développant

cette théorie à

_{laquelle j’ai}

donné le nom de «

_Mécanique

ondulatoire du

_photon

_»,

j’ai

admis que la masse _propre du

_photon

n’était

pas

rigoureusement

nulle,

mais seulement

extra-ordinairement

_petite

_(par

_rapport

à celle de

l’élec-tron).

Je _{sais bien que} cette

_{hypothèse, qui}

amène

, à

ne

_plus

considérer l’invariance

_de

_jauge

comme

rigoureuse,

est

_rejetée

_{par la}

_plupart

des théoriciens. Bien que,

personnellement l’hypothèse

d’une masse

propre non nulle du

_photon

ne me

_paraisse

_pas

inadmissible, je

ne veux _{pas chercher ici à la défendre.}

Je _{ferai seulement remarquer}

_qu’elle

a

_l’avantage

de

_permettre,

en

_développant

la théorie du

_photon,

d’être conduit aux

_{équations générales}

de la

parti-cule de

_spin

i

_(avec

_{termes de}

_masse)

_et, si l’on veut

ensuite attribuer au

_photon

une masse _propre

nulle,

on n’a

_{plus qu’à}

_poser

égale

à

_zéro,

la masse

propre

qui figure

dans les

_équations

obtenues.

C’est _{parce que}

_j’ai

suivi cette voie _que

_j’ai

_pu

obtenir dès

_{1934 (Une}

nouvelle théorie de la

lumière,

Hermann,

1934),

à la fois sous forme

_spinorielle

et sous forme

_tensorielle,

les

_équations

de la

parti-cule de

_spin

I

_et,

du même coup, celles de la

parti-cule de

_spin

o, avec les termes de masse. Ces

équa-tions ont été retrouvées deux ans

plus

tard

(avec

adjonction

de termes de

_charge)

_{par M. Alexandre}

. Proca

et elles sont

_{aujourd’hui}

couramment

appli-’

quées

aux mésons considérés comme des

_particules

de

_spin

i

liées

aux

_champs

nucléaires.

On trouvera des

_exposés

de la théorie du

_photon

ainsi obtenue dans

_plusieurs

_{ouvrages que}

_{j’ai publiés}

à ce

_sujet

_depuis

_{1934 [1].}

J’ai montré en

_particulier

comment, en introduisant dans cette théorie la seconde

_{quantification,}

l’on

_pouvait

retrouver la

théorie

_quantique

du

_{champ électromagnétique}

qui

doit son

_origine

aux travaux de mu.

Jordan,

Pauli et

_Heisenberg.

_{Il y} a

_{cependant quelques}

différences entre les résultats _{que l’on obtient ainsi}

et ceux de la théorie

_quantique

des

_champs

électro-magnétiques

sous sa forme usuelle :

j’ai

insisté sur ces

_points

dans un récent

Ouvrage [2].

On retrouve

d’ailleurs dans ma

_{présentation}

comme en théorie

quantique

des

_champs,

les

difficultés

relatives à

l’énergie

d’interaction des

_particules

électrisées avec

le

_{champ, énergie qui}

est trouvée infinie.

_Reprenant

récemment une idée que

j’avais

_émise,

sous une

forme

_imparfaite,

dans une Note aux

_Comptes

rendus de l’Académie des Sciences de

₁₉₃₅

_{[3], j’ai}

essayé

de trouver des valeurs finies pour

l’énergie

propre des

corpuscules

électrisés;

je

ne

_{puis parler}

ici de cette

_tentative,

car cela sortirait du cadre

de mon

exposé [4].

Généralisant l’idée

_qui

m’avait

_guidé

dans l’édi-fication de la théorie de la

_particule

de

_spin

maximum I,

j’ai

montré ensuite dans un

_Ouvrage

intitulé

Théorie

_générale

des

_-particules

de

_spin.

quelconque [5]

que l’on

peut

aisément obtenir les

équations

de la

_particule

de

_spin

maximum n en

la considérant comme une

particule complexe

formée de 2n constituants de

spin ?

et en suivant la

même voie que pour le

photon.

Les

_équations

sont

irréductiblement du

_type

_spinoriel

_{pour les}

parti-1 d .

d. t . 1 3 5 t d . ,

cules de

_spin

demi-entiers

1/2, 3/2,

5,

tandis

_qu’on

_peut

les ramener au

_type

tensoriel pour les

_particules

de

_{spin’entier (i,}

2, 3,

... ).

On retrouve ainsi dans

l’ensemble les résultats

_qui

avaient été

_déjà

don-nés dans les beaux travaux de MM.

_Dirac,

Pauli

et Fierz sur ce

_{suj et.}

Dans toute cette théorie des

_particules

de

_spin

différent de i on attribue à la

particule

trois

coor-données que

je

nommerai

X, Y,

Z.

_Que

repré-sentent ces coordonnées si l’on admet que la

parti-cule est

_complexe?

Je dois à M. Jean-Louis

Des-couches de m’avoir

_suggéré,

_{presque dès le début}

de mes recherches à ce

_sujet,

_{que les}

coor-données

X,

Y,

Z doivent être les coordonnées du centre de

_gravité

de la

_{particule complexe,}

ce

_qui

dans le cas d’une

_particule

de

_spin

maximum i

formée de deux constituants

_supposés

de même

masse _m, conduit à _poser

où _{xi, Yi, zi} et _{x2, y/2’ Z2} sont

_{respectivement}

les

coor-données des deux constituants. Partant de

là,

j’ai

généralement

établi dans mes

Ouvrages

les

équations

de la

_particule

de

_spin

maximum i en écrivant les

équations

auxquelles

obéiraient

_séparément

les deux constituants de

_{spin 2}

s’ils étaient sans

inter-action,

puis

en

_opérant

une «fusion» des deux

consti-tuants,

opération

qui s’exprime

mathématiquement

par une fusion

(verschmelzung)

des matrices a de

Dirac relatives aux constituants. Cette manière

maximum i _{par fusion} des deux

constituants,

qui

peut

se

_{généraliser}

_{pour la}

particule

de

_spin

maximum n, n’est

qu’un

_procédé

_heuristique

et n’est

pas

logiquement

satisfaisante. Elle

implique

notam-ment _{que l’on introduise la} masse _propre

_Mode

la

particule complexe

comme

_égale

à la somme 2 _mo

des masses des constituants : or la formation de la

particule

stable à

_partir

de ses constituants devant être

_{exoénergétique,}

la masse _propre

de

_cette

par-ticule doit être inférieure à la somme des masses

propres de ses constituants.

Conscient de l’insuffisance de mes

_{raisonnements,}

j’ai essayé

en

_ig36

dans une Note

_publiée

dans les

Comptes

rendus de l’Académie des Sciences

_[6]

d’établir une théorie détaillée de la structure

complexe

des

_particules

de

_spin

maximum i. Les

idées

_qui

m’ont

_guidé

en écrivant cette Note et

que je

crois

_toujours

exactes,

sont les suivantes : -.

io Il doit être

_possible

de

_séparer

le mouvement du centre de

_gravité

de la

_{particule complexe}

du mouvement relatif des constituants autour du centre de

_gravité,

de telle

_façon

que le mouvement du centre de

_gravité

soit décrit _{par les}

_équations

de la

_particule

de

_spin

i

(du

type

des

équations

de

la

_Mécanique

ondulatoire du

_photon)

et de

_façon

que soit ainsi réalisé un

_{trans f ert}

sur le mouvement

du centre de

_gravité

des

_propriétés

de

_spin

des

consli-tuants.

2° Dans le

_système

_{propre de la}

_particule,

c’est-à-dire dans un

_système

de référence où son centre de

gravité

est au _{repos, il doit être}

_possible

de trouver

une fonction d’onde

_qui

décrive l’état interne de

la

_particule.

30 La

_complexité

interne de la

_particule

_doit pou-voir

_expliquer

_pourquoi

la densité de

_probabilité

de

présence

qui,

pour un corpuscule

de

_{spin 2}

a la forme

2

définie

_positives

1 W

)2,

n’a

_plus

cette forme _pour une

particule

de

_spin

différent

_{de 2 ,}

mais

_peut,

dans le cas

2

d’une

_particule

de

_spin

maximum I animé d’un

mou-vement d’ensemble

_rectiligne

et uniforme de vitesse

_gc,

s’écrire 1 (D 12

avec

_apparition

du facteur de

contraction de Lorentz

_{V i - P2, (D}

étant ici la fonc-tion d’ondes.

Si les idées

_{précédentes}

_qui

m’ont

_guidé

dans ma

Note de

₁₉₃₆

me

_{paraissent toujours}

exactes,

je

dois dire que la

façon

dont

_j’ai

alors

_essayé

de les

développer

ne m’a

_jamais

donné satisfaction. En

écrivant

_{l’équation}

du

_système

des deux

consti-tuants,

je

n’avais _{pas introduit de} terme

d’inter-action,

ce

_qui

revenait à admettre

implicitement

, j j+ -+ 1),

entre ces constituants une interaction en

6 ( 1- 21 l,

hypothèse

arbitraire

_qui

conduisait à des difficultés

de

_plus,

la masse _propre

_{JB;1 0}

de la

_particule

_complexe

était

_{toujours posée}

_égale

à la somme 2 _{mo des}

masses _{propres des}

_{constituants,}

ce

_qui,

comme

_je

l’ai dit

_déjà,

n’est

_guère

admissible.

Après

être resté

_longtemps

sans

_reprendre

ce

problème, j’ai

eu

_{connaissance,}

il _y a deux ou trois

ans, d’un Mémoire de M. Frenkel où il a

_développé,

sans avoir eu connaissance de mes

_travaux,

des

idées très

_analogues

aux miennes

_[7].

Il a écrit en

effet,

en

_parlant

des

_équations

d’ondes des

parti-cules de

_spin

différent

_{de 2 :}

_{« I believe that} equa-tions of this

_type

will

_give

an

_adequate

_description

of

_complex

_particles

treated as material

_points

with

certain inner

_degrees

of freedom ». Mon attention

ayant

été ramenée sur ce

_sujet

_{par la lecture de} ce

Mémoire,

j’ai entrepris

alors avec Mme Tonnelat

quelques

nouveaux calculs

_qui

ne nous ont _{pas donné}

entière satisfaction et _que nous _{n’avons pas}

_publiés.

Mais tout récemment une tentative

_analogue

a

été faite par MM. E. Fermi et C. N.

_{Yang [8]}

_qui

ont calculé la fonction d’onde

_{représentant}

l’état interne

_{pseudo-scalaire}

d’un méson considéré comme une

_{particule complexe}

formée de deux -constituants

de

_spin

_2.

Nous avons

alors,

Mme Tonnelat et

moi,

repris

de nouveau l’étude de la

_question

et nous

sommes _{parvenus à des résultats}

_{qui sont, je}

crois,

beaucoup plus

satisfaisants que les résultats anté-rieurs : on trouvera dans un

_article

_{complémentaire}

de Mme Tonnelat

_{quelques précisions}

sur le

détail

des calculs.

2. ’Vérification des trois idées directrices.

-Nous

_désignerons

_{par x1, y,, Zl} et _{x2, 92, Z2 les}

coor-données des deux constituants de

_{spin 2}

_que nous

2

supposerons pour

simplifier

avoir la même masse mo. Ces deux constituants ont _pour

_équation

d’ondes des

équations

de Dirac où nous

choisirons,

suivant notre

habitude,

pour les matrices oc de Dirac les valeurs

suivantes :

Nous introduirons ensuite les matrices à 16

_lignes

et 16 colonnes

_qui

sont

_classiques

en

_Mécanique

ondulatoire du

_{photon :}

(a?) )ik,lm ==

(OE j)il

Õkm, >

(a;2))¡k,lm == (- I)j (rJ.j)km

ou; J

(2)

où les d sont des

_symboles

de Kronecker et où tous les indices varient de i à

_4.

Nous

_prendrons

alors comme

_équations

d’ondes ’

512

la

_{particule complexe (comme}

dans ma Note de

_{193 6,}

mais avec en

_plus

un terme

_{d’interaction) :}

les

Tin

_(X,,

yi, zl, x2, Y2, -21

t)

étant les 16 compo-santes de la fonction d’onde du

_système

des deux

constituants. Nous avons introduit un terme

d’inter-action de la forme

_proposée

_{par M. Fermi dans} son

récent Mémoire. On

_peut

choisir,

à titre

d’essai,

pour

( j+ + j )

la fonction

V (1 il - -;:2 i)

une forme

simple

telle que

celle du « trou de

_potentiel

».

Nous définirons alors les coordonnées

X, Y,

Z du centre de

_gravité

de la

_particule

_complexe

et les coordonnées relatives

_,ç,

n, i par les formules

Si nous

_employons

ces nouvelles

variables,

l’équation

d’onde

₍₃₎

s’écrit :

où

Tin

est maintenant

_exprimée

à l’aide des

variables

_{X, Y, Z,}

_ç,

A, i.

’

Plaçons-nous

maintenant dans le

_système

_propre de la

_particule,

c’est-à-dire dans un

_système

de référence où le centre de

_gravité

est au _repos et où

la fonction

_d’onde,

que nous

_désignerons

_par

’VBO)

_{(4 0,}

_{Yjo, ,}

_to)

en affectant de l’indice o tout

ce

_qui

se

_rapporte

au

_système

_propre, ne

_dépend

plus

que des variables relatives. Dans le

système

propre, nous obtenons les

_équations

suivantes,

pour déterminer les états internes

_quantifiés

_{de la} par-ticule

_{complexe :}

A l’état interne

_{d’énergie quantifiée Wo}

_correspond

une masse _propre de la

_{particule complexe}

_égale

d’après

le

_principe

de l’inertie de

_l’énergie

à

_Mo

=

W° .

c2

On trouve ainsi d’abord une série d’états

quan-tifiés internes

_{pseudo-scalaires; puis}

on trouve une

autre série d’états

_quantifiés

vectoriels. Chacune

de ces

_séries

_peut

être

_{représentée}

_{par les} solutions

trouvées

_par

M. Fermi et _{aussi par des} solutions

indépendantes qui, d’après

leur

forme,

correspondent

à des doublets dont l’axe est

_dirigé

suivant

_Oo’

Ono

ou

_Oio.

Nous fixerons

notre

attention exclusivement sur

les états « normaux o, c’est-à-dire sur ceux

_qui,

dans le cas vectoriel comme dans le cas

pseudo-scalaire,

correspondent

à la

_{plus petite}

_{valeur propre,} Soit alors

l’un de ces états normaux

(la

valeur de

_Mo

_peut

varier suivant que l’état considéré est l’état normal vectoriel ou l’état normal

_{pseudo-scalaire}

et la forme des

_cpi2)

_{varie suivant que l’état considéré} est l’état

normal

_{pseudo-scalaire,}

ou l’un ou l’autre des états

triplets

vectoriels

_normaux).

Il

_s’agit

maintenant de retrouver _pour le

mouve-ment du centre de

_gravité

de la

_{particule complexes,}

les

_équations

de la

_particule

de

_spin

maximum i

de telle

_façon

_{que le}

_spin

des constituants se trouve

reporté

sur le centre de

_gravité.

Pour cela nous _{remarquerons que,}

_d’après

les

résultats connus de la

_Mécanique

ondulatoire du

photon,

pour une onde

_plane

_{monochromatique}

décrivant un mouvement d’ensemble

_rectiligne

et

uniforme de la

_particule,

_{il y} a

_quatre

indices

pri-vilégiés,

que

je désignerai

par

i k,

tels que les

compo-santes

_wir

_(to)

de cette onde dans le

_système

_propre

soient les seules

_composantes

non nulles

_(quand

on

prend

dans le

_système

_{propre l’axe des z dans la} direction de la

_propagation

initiale de

_l’onde).

Avec la

_{représentation}

_{(7) adoptée}

_{ici pour les} oc,

l’indice i ne

_peut

_prendre

_{que les} valeurs 3 et

4

et

l’indice k que les valeurs i et 2. D’autre

_part,

nous

venons de voir

qu’il

existe

_quatre

états

quantifiés

normaux de la

particule,

l’un à

symétrie

sphérique,

les trois autres

_{correspondant}

à un doublet.

Il est alors _{aisé de voir que l’on}

_peut

faire

corres-pondre

chacune de ces

_quatre

solutions à un

_couple

d’indices

_{privilégiés}

₍₁₎

et _{par suite la}

_représenter

par

_cplZi.

La fonction d’onde du

système pouvant

(1)

En _réalité, ceci n’est pas tout à fait _{exact, parce que,} tandis _que les deux états vectoriels de _composantes de _spin le _long de Oz égales à ₊ I correspondent respectivement aux

couples d’indices i = 3, k = I et i = 4, k = _2, l’état

pseudo-scalaire et le troisième état vectoriel intéressent à la fois les

couples d’indices i = 3, k = 2 et i = 4, k = _{I ,} ce _{qui oblige}

à _compliquer un _{peu la} démonstration _qui suit sans _{rien y}

correspondre

à une

_{superposition}

d’états

_quantifiés

normaux, nous _poserons

où (r )l’S

est la

_composante

rs de la fonction

_?))>.

°Les fonctions

_{indépendantes}

_p)%;>

_{représentant}

les différents états de

_spin

sont

_orthogonales

entre

elles : nous les normerons de

_façon

à avoir

où

_d!’o

=

dod-ri,d,

et oii à est le

déterminant jacobien

(égal

à

_{- 8)}

des variables xi, y1, Z1’ X2, y,, Z2 par

rapport

aux variables

_X,

Y,

_Z,

-ri, i. Nous défi-nirons les seules

_composantes

non nulles de la

fonction

_{(D)II(I,) qui}

décrit le mouvement du centre de

_gravité

dans le

_système

_{propre par} la formule

c’est-à-dire que

03A6(0)ik

est la

_projection

de U"1 " sur

_~(0)ik.

On trouve

alors,

d’après (8),

On a ainsi défini dans le

_système

_{propre la fonction}

d’onde du centre de

_gravité,

c’est-à-dire la fonction d’onde de la

_{particule complexe}

considérée comme une unité. Si l’on passe alors du

_système

_propre à un autre

_{système galiléen}

par une transformation

de Lorentz avec vitesse relative le

_long

de l’axe oz

(qui

a servi à classer les états normaux _{dans le}

sys-tème

_propre),

la fonction (D

_(X,

Y,

Z,

t)

obtenue par

cette transformation à

_partir

de

_(D",(10)

satisfait

aux

_équations

de la

_particule

de

_spin

i ou de

_spin

o et _{admet par suite les} solutions vectorielles et

pseudo-scalaires

bien

connues en

_Mécanique

ondulatoire du

photon.

"

Finalement nous _{sommes donc parvenus} à décrire les états

_quantifiés

internes de la

_particule

et à

reporter,

d’une

_façon

_qui

me

_paraît

_{satisfaisante,}

le

_spin

des constituants sur le centre de

_gravité.

Les deux

_{premiers points}

du _programme tracé dans

notre Note de

₁₉₃₆

se trouvent ainsi

_remplis;

il

reste à examiner le troisième

_point

en

_reprenant,

avec nos nouvelles

définitions,

le raisonnement

esquissé

en

_{1 g36.}

Reprenons

la

_question.

Si 6b

_désigne

la fonction d’onde d’une

_particule

de

_spin

i, la

quantité

1 (D 12 =1 1 (Dik 12

représente

la densité

_d’énergie

et ik

non _pas la densité de

_probabilité

de

_présence.

Pour obtenir une

_quantité

_qui

_puisse,

dans

une

certaine mesure,

_jouer

le rôle de

probabilité

de

présence,

il faut considérer la

_grandeur

Or si l’onde C est une onde

plane monochromatique

décrivant un mouvement

rectiligne

et uniforme de

vitesse

_[3c

de la

_particule,

on trouve _{que p} a la

valeurs

’’k 12 B/ 1 - [32,

où l’on voit

_apparaître

le

ik

-facteur V

1 -

p2

de la contraction de Lorentz. D’où cela

_{provient-il ?}

Pour essayer de le

_comprendre,

_remarquons

d’abord que si

_T(x,,

_{Yll zl, x2, y2, Z2’}

_t)

est la fonction d’onde du

_système

formé par les deux

constituants,

la

_quantité

sera la

probabilité

de

_présence

du

point figuratif

dans l’élément

_dX1

_dg,

_{dZ1 d;r2 dY2 dz2}

de

_l’espace

de

configuration

à l’instant t. Nous devons donc normer 117 en

_posant

4 étant le déterminant fonctionnel

_déjà

rencontré

plus

haut. Dans le

_système

_propre, on doit aussi

avoir de

même

Or la contraction de Lorentz nous donne

et le fait

_que

_{1 T’i2 et 1 Ti,) 2 ne dépendent}

_pas

de

X,

Y,

Z et de

_Xo,

_{Yo, Zo}

_permet

de _{voir que}

D’autre

_part,

_d’après

la

_façon

dont nous avons

défini les

_amplitudes

de la fonction d’onde 6b du

centre de

_gravité

de manière à

_reporter

sur lui le

spin

des

constituants,

on voit que,

lorsqu’on

_passe’

du

_système

_{propre à} un autre

_système

galiléen,

la

transformation des

a2)

en aik est la même _{que la}

transformation des

T21

en

_Wik.

On

_peut

donc écrire

514

les a, ce

_{qui, d’après}

la seconde relation

_(15),

donne,

puisquelles a

sont des

_constante,

car,

_parmi

les

a,’.’S),

seuls les

_a(’)

sont différents de zéro.

Maintenant il est _{évident que l’on doit obtenir la}

probabilité

de

_présence

du centre de

_gravité

de _la

par-ticule

_complexe

dans l’élément de volume dXdYdZ

en

_intégrant

_{sur ’,}

_-n,

_{l’expression}

de la

_probabilité

de

_présence

dans

_l’espace

de

confi-guration.

La

_probabilité

de

_présence

de la

_particule

complexe

considérée comme une unité est donc

Or,

avec les définitions

_adoptées

et la

normali-sation

₍₉₎

des

_~(0)ik,

nous avons

D’où

ce

_qui

est bien la formule _{que l’on} voulait retrouver. Nous avons donc

_{maintenant justifié}

les trois idées

essentielles de la Note

_{de 1936.}

Nous l’avons fait

en nous bornant à considérer une

particule

de

spin

maximum i dont _{les deux constituants} de

_{spin (}

auraient la même masse _propre. On

_pourrait

généraliser

en considérant une

_particule

de

_spin

maximum

n en

unité h

formée de 2 n

cons-203C0

tituants de

_{spin I/2}

_{toujours supposés}

avoir la même

masse _{propre. On} retrouverait alors _{pour le}

mouve-ment du centre de

_gravité

les

_équations

d’onde

de

la

_particule

de

_spin

maximum n et l’on

_parviendrait

à

_justifier

_{l’expression}

_{correspondante}

de la

proba-bilité de

_{présence qui}

_pour une onde

_plane

mono-chromatique

est

et contient

_{(2 n - 1)}

fois le facteur de contraction de _{Lorentz par suite} des

_{( 2 n -1 ) intégrations}

sur

les

_{(2 n - I)}

variables relatives i. Il

_serait

probable-ment assez aisé de

_{généraliser}

ce

_{qui précède}

en

attribuant des masses _{propres différentes} aux divers constituants de la

_{particule complexe.}

3. Conclusions. - Avant de

conclure,

nous

voulons

_présenter

_{deux remarques}

_qui

nous

_paraissent

intéressantes.

D’abord,

nous

noterons _que nous _{n’avons pas,}

à

_proprement

_parler,

donné une déduction des

équations

de la

_particule

de

_spin

i à

_partir

des

équations (5)

du

_système

des deux constituants.

Nous avons seulement montré

_qu’il

est

_possible

d’opérer,

par un

_{procédé qui paraît}

_naturel,

le

trans-port

des

_propriétés

de

_spin

des constituants sur le

mouvement du centre de

_{gravité :}

ce

faisant,

nous

avons

obtenu,

_{pour le} mouvement d’ensemble de

la

_{particule complexe}

considérée comme une

_unité,

des

_équations

d’onde

_qui

« reflètent » _{pour ainsi dire}

les

_propriétés

de

_{symétrie de}

son état

_interne,

et

ces

_équations

d’ondes sont

précisément

les

équations

d’ondes de la

_particule

de

_spin

i. Ainsi bien délimité le résultat obtenu nous

_apparaît

comme constituant

néanmoins un

_{progrès important.}

Pour

_développer

notre _{seconde remarque,} nous

partirons

de l’observation suivante. Dans la

Méca-nique

ondulatoire sans

_spin

et dans la

_Mécanique

ondulatoire de la

_particule

de

_{spin 1/2}

(théorie

de

Dirac),

on

_{peut toujours envisager}

sur un

_pied

de

parfaite égalité

« la

représentation q

» liée aux

localisations dans

_l’espace

et la «

_{représentation}

_{p )}

liée aux états de mouvement

_(ondes

_planes

mono-chromatiques quand

il

_n’y

a _pas de

_champ).

Ces deux

représentations

décrivent les deux «

_aspects

complé-mentaires » sous

_lesquels

on

_{peut toujours}

_d’après

Bohr

envisager

une

_particule.

_Or,

en

_Mécanique

ondulatoire du

_photon

ou en théorie

_quantique

des

champs (théories

qui

sont _presque

_{équivalentes),}

on

introduit

_toujours

dans toutes les

formules,

_qu’elles

soient ou non

_{superquantifiées,}

le

_{développement}

des fonctions d’onde ou des

_grandeurs

électro-magnétiques

en ondes

_planes

_{monochromatiques,}

comme si la

représentation

_p

présentait

ici une

véritable

_{supériorité}

sur la

_{représentation}

q.

Rap-pelons

qu’en

Mécanique

ondulatoire du

_photon,

nous avons été amenés à

adopter

une densité de

a’ -4- a’2)

probabilité

de

_présence

_p

==.p* a! (1) -:- a (2) 4

_4»,

_qui

est

définie

_{positive (et}

_égale

à 1 (f) i2 yi 1 - 2)

dans le

cas d’une onde

_plane

monochromatique,

mais

qui

ne l’est pas dans le cas

_général;

ceci

souligne

bien

les difficultés de la

_{représentation}

q dans ces théories.

Les idées

_exposées

dans le

_présent

article semblent

permettre

d’entrevoir

_l’origine

de la

_{supériorité}

_que

prend

ici la

_{représentation}

p sur la

_{représentation}

_q.

spin

1 considérée comme une

unité,

nous sommes

partis

de la

_description

de l’état interne dans le

système

de _{référence propre} du centre de

_{gravité :}

é

or ce

_système

n’est défini que si la

_{particule complexe}

a un mouvement d’ensemble

_rectiligne

et

uniforme,

donc

_représenté

par une onde

_plane

monochro-matique.

En considérant une «

_{superposition»}

de

tels mouvements, on arrive à une définition de la

fonction

_qui

est essentiellement liée à sa

décompo-sition en ondes

planes

_{monochromatiques,}

c’est-à-dire à sa

_{représentation}

_p

_et,

en _y

réfléchissant,

on

_comprend

d’où vient la difficulté de la

repré-sentation _q.

En

résumé,

les considérations

_exposées

ci-dessus

paraissent

apporter

une confirmation de la

concep-tion suivant

_laquelle

les

_particules

de

_spin

diff èrent

de -

seraient des

_{particules complexes}

formées de

2

constituants

de

_{spin --}

Elles

_semblent

_justifier

les idées

_qui

ont servi de

_points

de

_départ

_pour la

Mécanique

ondulatoire du

_photon

et de ses

généra-lisations pour les

particules

de

_spin

total maximum

supérieur

à I et elles doivent

permettre

d’établir

sur une base

_plus

solide que dans mes

_exposés

antérieurs la déduction des

_équations

d’ondes du

photon

et de toutes celles

_qu’on

en déduit par

généralisation,

APPENDICE.

Dans cet

_Appendice,

nous voulons

_{reprendre plus}

rigoureusement

les démonstrations

_esquissées

dans

le texte. Nous

_{représenterons}

_par

_{v§°§, q)?], p)f), qj%i}

les fonctions d’onde

_qui,

dans le

_système

_propre,

représentent respectivement

l’état à

_symétrie

sphé-rique

et les trois états

_{correspondant}

à un doublet.

A

_partir

de ces

_quatre

fonctions d’onde

_orthogonales

et

_supposées

normées

(en m)’

, nous _pouvons

définir les

_quatre

fonctions orthonormales suivantes :

Supposons

d’abord _{que la} masse _propre de l’état

pseudo-scalaire

ait la même valeur

_Moque

la masse

propre des états vectoriels. On pourra alors

désigner

zx,, ,

par P le facteur de

phase

e IL

qui

sera le même pour les deux sortes d’états et _{l’on posera}

simplement

La définition

donne

et le

_transport

du

_spin

sur le centre de

_gravité

se

trouve ainsi effectué tout à fait correctement.

D’autre

_part,

la démonstration du « théorème de la contraction de Lorentz » donnée dans le texte

repose

uniquement

sur la relation

qui

est ici tout à fait évidente

_puisque

les

_{Q} 1)}

et

les

_{’c k)}

coïncident.

Le raisonnement est un _peu

_plus

délicat dans le

cas où la masse _propre

M(jf>

de l’état

pseudo-scalaire

n’est pas

égale

à la masse _propre

_M

des états

vectoriels. Il faut alors

_distinguer

le facteur de

1t i l1(S) .>

phase

Ps

= ehÍ M 0 ° de l’état

_{pseudo-scalaire}

du _>illllc2t facteur de

_phase

PV =

e 2 1t Il i i11 ( 0 V)c2 ° 0

des états

vecto-riels. Les formules de la

_Mécanique

ondulatoire du

photon

conduisent à _poser à la

_place

de

_(2).

La définition

₍₃₎

_que nous conservons nous donne

avec

Si,

dans les formules

_(6),

₍₇₎

et

_(8),

on fait

PS = PV = P,

on

_retombe,

comme cela doit

_être,

sur les formules

₍₂₎

et

_(4).

Les formules

₍₇₎

et

₍₈₎

réalisent correctement le

_transport

du

_spin

sur le

centre de

_gravité.

Pour que le (( théorème de la contraction de

Lorentz »

puisse

ici encore être

démontré,

il faut

toujours

que la formule

(5)

soit vérifiée. Or on

516

et les relations

_{(8), qui}

montrent la nullité du der-nier

_crochet,

_permettent

de vérifier aisément la

relation

_(5).

Manuscrit reçu lue 7 novembre _1950.

BIBLIOGRAPHIE.

[1] BROGLIE L. DE - Une nouvelle théorie de la lumière. Actualités _{scientifiques,} n° _{181, Hermann, Paris, I934.}

Nouvelles recherches sur la théorie de la lumière.

Actualités _{scientifiques, n° 411,} Hermann, Paris, I936. Une

nouvelle théorie de la lumière : _{la Mécanique} ondulatoire du photon, Hermann, Paris, 2 _volumes, I940-I942.

[2] BROGLIE L. DE. - La Mécanique ondulatoire du photon et la théorie _quantique des _champs

électromagné-tiques, Gauthiers-Villars, Paris, I949.

[3] BROGLIE L. DE. - C. R. Acad.

Sc., I935, 200, 36I.

]4] BROGLIE L. DE. - C. R. Acad.

Sc., I949, 229, I57; I949,

229, 269; I949, 229, 40I; I949, 229, 640; Portugaliae Mathematica, I949, 8, 37.

[5] BROGLIE L. DE. - Théorie générale _des

particules de

spin quelconque, Gauthier-Villars, Paris, I943. [6] BROGLIE L. DE. - C. R. Acad.

Sc., I936, 203, 473.

[7] FPENKEL J. - J. Phys. U. R. S.

S., I945, 9, I943. [8] FERMI E. et YANG C. N. - Phys. Rev., I949,

76, I739.

ÉTUDE

DU

SYSTÈME

FORMÉ

PAR LA

RÉUNION

DE DEUX CORPUSCULES DE

_{DIRAC. (1)}

Par MARIE-ANTOINETTE TONNELAT.

SOMMAIRE. -

Après avoir formé _{l’équation que vérifie le système} constitué par deux particules de

. Dirac, nous déterminons les solutions possibles dans le système

propre. L’une des solutions décrit un

état « _{singulet »,} l’autre un état _«triplet». On _peut rattachèr leur ensemble au cas de spin total o et I.

LE _JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM. TOME

_12,

ARVIL

_1951,

Considérons à l’instant 1 deux

_particules

de Dirac de même masse _{mo localisées} en _{xi, yi, z,} et

en _{x2, y2, zz. La fonction d’ondes}

_’fik(XI’

_{yi, zi, x2,}

y2, z2,

t)

du

_système

_{formé par l’ensemble de} ces

deux

_particules

obéit à

_{l’équation}

suivante :

Les Cy sont des constantes

_qui

introduisent les

différents

_types

d’interaction : scalaire

_(co),

vec-torielle

_(c1),

tensorielle

_(c,),

_{pseudovectorielle (C3)}

et

_{pseudoscalaire (c4).}

_{On pose} en effet :

avec

Les a[L

modifient les indices des fonctions d’ondes

_rfik

suivant le schéma bien connu.

°

les am de Dirac

ayant

la forme habituelle. On

retrouve naturellement

_{l’hypothèse}

de Fermi

₍₂₎

(interaction vectorielle)

en annulant tous les ci

à

_{l’exception}

de CI.

Le

_changement

de variables :

avec

(1) Depuis

la rédaction de ce _travail, nous avons eu

connaissance de l’article de H. M. Moseley and N. Rosen

« _{The Mesons} as a _{composite particle} » _{Phys. Rev., 195 o, 80,}

p. 177. Avec des notations et des préoccupations différentes des nôtres les auteurs _partent de _{conceptions analogues} à

l’idée de base de ce travail. Le développement en est toute-fois assez différent. L’article de MM. Moseley et Rosen

possède bien entendu une large antériorité sur celui-ci.