USTV L1BIO2010/2011Contrôlescontinusetexamen.

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M 1

13

V UST

L1BIO

2010/2011

Contrôles continus et examen.

G. F ^ACC

ANO NI

Gloria F

IMATH Bâtiment U-318 T 0033 (0)4 94 14 23 81

Université du Sud Toulon-Var

Avenue de l’université B [email protected]

83957 LA GARDE - FRANCE i http://faccanoni.univ-tln.fr

Table des matières

Contrôle continu 1 - thème A 5

Contrôle continu 1 - thème B 6

Contrôle continu 1 - thème C 7

Contrôle continu 1 - thème D 8

Contrôle continu 1 - thème E 9

Contrôle continu 2 - thème A 10

Contrôle continu 2 - thème B 12

Contrôle continu 2 - thème C 14

Contrôle continu 2 - thème D 16

Contrôle continu 2 - thème E 18

Examen 20

Rattrapage 23

Contrôle continu 1 - thème A

Exercice 1.1. Déterminer le domaine de définition de la fonction

f : R → R x 7→ ln

µ 1 p x − 1

2

¶

SOLUTION. Étant donné que ln(?) n’est défini que pour ? > 0 ;_?¹ n’est défini que pour? 6= 0 etp

? n’est défini que pour ? ≥ 0, il faut résoudre le système

suivant 







 p1

x−¹₂> 0, px 6= 0, x ≥ 0,

⇐⇒

( ₁ px>¹₂, x > 0, ⇐⇒

(p x < 2, x > 0, ⇐⇒

(x < 4, x > 0.

DoncDf=]0; 4[.

Exercice 1.2. En se rappelant que

x→+∞

lim µ

1 + 1 x

¶

= e, calculer

x→+∞

lim µ

1 + 3 x

¶

.

SOLUTION. On pose t =^x₃, alors

x→+∞lim µ

1 +3 x

¶4x

= lim t →+∞

µµ 1 +1

t

¶t¶4×3

= e¹².

Exercice 1.3. Établir si la fonction

f : R → R x 7→

( x sin

, si x > 0,

sin(x)

x

, si x < 0, est prolongeable par continuité en 0.

SOLUTION. Étant donné que lim_x→0+f (x) 6= lim_x→0−f (x) car x→0lim⁺f (x) = lim

x→0⁺x sin1

x= 0, (on a utilisé le théorème d’encadrement)

x→0lim⁻f (x) = lim x→0⁻

sin(x)

x = 1, (on a utilisé une limite connue)

la fonction n’est pas prolongeable par continuité en x = 0.

x y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−1 1

Exercice 1.4. Calculer la limite suivante (on pourra par exemple utiliser la règle de L’Hôpital)

x→1

lim sin( πx)

ln(x) .

SOLUTION. Soient f (x) = sin(πx) et g (x) = ln(x) ; alors f⁰(x) = πcos(πx), g⁰(x) = 1/x et x→1lim

sin(πx) ln(x) =0

0, lim x→1

f⁰(x) g⁰(x)= lim

x→1πx cos(πx) = −π donc

x→1lim sin(πx)

ln(x) = −π.

Contrôle continu 1 - thème B

Exercice 1.1. Déterminer le domaine de définition de la fonction

f : R → R x 7→ ln

µ 1 + 1

x − 1

x − x

¶

SOLUTION.Étant donné que ln(?) n’est défini que pour ? > 0 et que_?¹n’est défini que pour? 6= 0, il faut résoudre le système suivant







1 +_x¹−_x−x¹2> 0, x 6= 0,

x − x²6= 0,

⇐⇒





 x² x(1−x)> 0, x 6= 0, x 6= 1, doncDf =] − ∞, 0[∪]1, +∞[.

Exercice 1.2. En se rappelant que

x→+∞

lim x sin 1

x = 1, lim

x→+∞

x

µ

1 − cos 1 x

¶

= 1 2 , calculer

x→+∞

lim x

µ

tan 3 x − sin 3

x

¶ .

SOLUTION. On pose t =^x₃, alors

x→+∞lim x³ µ

tan3 x− sin3

x

¶

= lim

t →+∞(3t )³Ã sin¹_t cos¹_t − sin1

t

!

= 27 lim t →+∞

µ t sin1

t

¶ t²

µ 1 − cos1

t

¶ 1

cos¹_t = 27 · 1 ·1 2· 1 =27

2.

Exercice 1.3. Établir si la fonction

f : R → R x 7→

(

x

, si x > 0, x sin

, si x < 0, est prolongeable par continuité en 0.

SOLUTION. Étant donné que lim_x→0+f (x) 6= limx→0⁻f (x) car lim

x→0⁺f (x) = lim x→0⁺

sin(x)

x = 1, (on a utilisé une limite connue)

x→0lim⁻f (x) = lim x→0⁻x sin1

x= 0, (on a utilisé le théorème d’encadrement)

la fonction n’est pas prolongeable par continuité en x = 0.

x y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−1 1

Exercice 1.4. Calculer la limite suivante (on pourra par exemple utiliser la règle de L’Hôpital) lim

2 ln x x − 1 .

SOLUTION. Soient f (x) = 2ln x et g (x) = x − 1 ; alors f⁰(x) =²_x, g⁰(x) = 1 et x→1lim

2 ln x x − 1=0

0, lim x→1

f⁰(x) g⁰(x)= lim

x→1 2 x= 2 donc

x→1lim 2 ln x x − 1= 2.

Contrôle continu 1 - thème C

Exercice 1.1. Déterminer le domaine de définition de la fonction

f : R → R

x 7→ 1

¯

¯

¯|x | − 6

¯

¯

¯ − |x |

SOLUTION. Étant donné que_?¹n’est défini que pour? 6= 0 et que |?| =(?, si? ≥ 0,

−?, si ? < 0,, il faut résoudre l’inégalité suivante

¯

¯

¯|x | − 6

¯

¯

¯ − |x | 6= 0 ⇐⇒

¯

¯

¯|x | − 6

¯

¯

¯ 6= |x | ⇐⇒







¯

¯

¯x − 6

¯

¯

¯ 6= x si x ≥ 0,

¯

¯

¯ − x − 6

¯

¯

¯ 6= −x si x < 0, ⇐⇒















(x − 6) 6= x si x ≥ 6,

−(x − 6) 6= x si 0 ≤ x < 6,

−(−x − 6) 6= −x si − 6 ≤ x < 0, (−x − 6) 6= −x si x < −6,

⇐⇒















∀x si x ≥ 6, x 6= 3 si 0 ≤ x < 6, x 6= −3 si − 6 ≤ x < 0,

∀x si x < −6, doncD_f = R \ {±3}.

Exercice 1.2. Calculer, en fonction de α ∈ R,

x→+∞

lim

x

− 2 p x ( p

x − 3)(2 − 3 p x) .

SOLUTION.

x→+∞lim

x^α− 2p x (p

x − 3)(2 − 3p x)= lim

x→+∞

x^α− 2p x

−3x + 11p x − 6=







−∞ si α > 1,

−¹₃ siα = 1, 0 siα < 1.

Exercice 1.3. Établir si la fonction

f : R → R x 7→

(

x²

, si x > 0, x sin

, si x < 0, est prolongeable par continuité en 0.

SOLUTION. Étant donné que lim_x→0+f (x) 6= limx→0⁻f (x) car x→0lim⁺f (x) = lim

x→0⁺

1 − cos(x) x² =1

2, (on a utilisé une limite connue)

x→0lim⁻f (x) = lim x→0⁻x sin1

x= 0, (on a utilisé le théorème d’encadrement)

la fonction n’est pas prolongeable par continuité en x = 0.

x y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−1

−0.5 0.5 1

Exercice 1.4. Calculer la limite suivante (on pourra par exemple utiliser la règle de L’Hôpital) lim

e

− 1 x .

SOLUTION. Soient f (x) = e^x− 1 et g (x) = x ; alors f⁰(x) = e^x, g⁰(x) = 1 et x→0lim

e^x− 1

x =0

0, lim x→0

f⁰(x) g⁰(x)= lim

x→0e^x= 1 donc

x→0lim e^x− 1

x = 1.

Contrôle continu 1 - thème D

Exercice 1.1. Déterminer le domaine de définition de la fonction f : R → R

x 7→

s ln

µ 1 + 1

x

¶

SOLUTION. Étant donné quep

? n’est définie que pour ? ≥ 0, ln(?) n’est défini que pour ? > 0 et_?¹ n’est défini que pour? 6= 0, il faut résoudre le système suivant









 ln³

1 +¹_x´

≥ 0, 1 +¹_x> 0, x 6= 0,

⇐⇒





 1 +¹_x≥ 1, 1 +¹_x> 0, x 6= 0,

⇐⇒

(₁ x> 0, x 6= 0,

doncD_f =]0; +∞[.

Exercice 1.2. En se rappelant que

x→+∞

lim µ

1 + 1 x

¶

= e, calculer

x→+∞

lim

¡3 +

¢

9

.

SOLUTION.

x→+∞lim

³3 +¹_x´2x 9^x = lim

x→+∞

3^2x µ³

1 +_3x¹´3x¶^2x/3x

3^2x = e^2/3.

Exercice 1.3. Établir si la fonction

f : R → R x 7→

( x sin

, si x > 0,

1−cos(x)

x²

, si x < 0, est prolongeable par continuité en 0.

SOLUTION. Étant donné que lim_x→0+f (x) 6= limx→0⁻f (x) car x→0lim⁺f (x) = lim

x→0⁺x sin1

x= 0, (on a utilisé le théorème d’encadrement)

x→0lim⁻f (x) = lim x→0⁻

1 − cos(x) x² =1

2, (on a utilisé une limite connue)

la fonction n’est pas prolongeable par continuité en x = 0.

x y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−1

−0.5 0.5 1

Exercice 1.4. Calculer la limite suivante (on pourra par exemple utiliser la règle de L’Hôpital)

x→0

lim x ln(x).

SOLUTION. Soient f (x) = ln(x) et g (x) = 1/x ; alors f⁰(x) = 1/x, g⁰(x) = −1/x²et x→0lim

ln(x) 1/x =∞

∞, lim

x→0 f⁰(x) g⁰(x)= lim

x→0−x = 0 donc

x→0lim ln(x)

1/x = 0.

Contrôle continu 1 - thème E

Exercice 1.1. Déterminer le domaine de définition de la fonction f : R → R

x 7→

s ln

µ 1 − 1

x

¶

SOLUTION.Étant donné quep

? n’est définie que pour ? ≥ 0, ln(?) n’est défini que pour ? > 0 et_?¹ n’est défini que pour? 6= 0, il faut résoudre le système suivant









 ln³

1 −¹_x´

≥ 0, 1 −¹_x> 0, x 6= 0,

⇐⇒





 1 −¹_x≥ 1, 1 −¹_x> 0, x 6= 0,

⇐⇒

(₁ x< 0, x 6= 0,

doncDf =] − ∞; 0[.

Exercice 1.2. En se rappelant que

lim

sin(x)

x = 1, lim

x→0

1 − cos(x) x

= 1

2 , calculer

x→0

lim

x

tan(x) − sin(x) .

SOLUTION.

x→0lim x³

tan(x) − sin(x)= lim x→0

x³ sin(x)

cos(x)− sin(x)= lim x→0

x³

sin(x)^1−cos(x)_cos(x) = lim x→0

x sin(x)

x²

1 − cos(x)cos(x) = 2.

Exercice 1.3. Établir si la fonction

f : R → R x 7→

( x cos

, si x > 0,

1−cos(x)

x²

, si x < 0, est prolongeable par continuité en 0.

SOLUTION. Étant donné que lim_x→0+f (x) 6= lim_x→0−f (x) car x→0lim⁺f (x) = lim

x→0⁺x cos1

x= 0, (on a utilisé le théorème d’encadrement)

x→0lim⁻f (x) = lim x→0⁻

1 − cos(x) x² =1

2, (on a utilisé une limite connue)

la fonction n’est pas prolongeable par continuité en x = 0.

x y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−1

−0.5 0.5 1

Exercice 1.4. Calculer la limite suivante (on pourra par exemple utiliser la règle de L’Hôpital)

x→2

lim sin( πx)

x − 2 .

SOLUTION. Soient f (x) = sin(πx) et g (x) = x − 2 ; alors f⁰(x) = πcos(πx), g⁰(x) = 1 et x→2lim

sin(πx) x − 2 =0

0, lim x→2

f⁰(x) g⁰(x)= lim

x→2πcos(πx) = π donc

x→2lim sin(πx)

x − 2 = π.

Contrôle continu 2 - thème A

Exercice 2.1.

1. Calculer le développement limité en x = 0 à l’ordre 3 de f (x) = ln(1 + sin

x). En déduire la limite lim

2x²

. 2. Calculer le développement limité en x = 1 à l’ordre 4 de f (x) = x

.

3. Calculer le développement limité asymptotique en +∞ à l’ordre 3 de f (x) = e

.

SOLUTION.

1. Étant donné que

sin(x) = x −x³ 6 + o

³ x⁴´ alors

sin²(x) = x²+ o³ x⁴´

. Comme x²+ o¡x⁴¢ −−−→

x→0 0 et comme le développement limité de ln(1 + u) en u = 0 est

ln(1 + u) = u −u² 2 +u³

3 −u⁴

4 + · · · + (−1)ⁿ⁺¹uⁿ n + o¡uⁿ¢

on conclut que

ln(1 + sin²x) = x²+ o³ x⁴´

. Donc

x→0lim

ln(1 + sin²x) 2x² = lim

x→0 x² 2x²=1

2.

2. Soit f une fonction deR dans R et x0∈ R. Si f et toutes ses dérivées jusqu’à l’ordre n sont définies et continues en tout point d’un intervalle ouvert contenant x0alors f admet un développement limité à l’ordre n en x0donné par la formule

f (x) = n X k=0

f^(k)(x0)

k! (x − x0)^k+ (x − x0)ⁿε(x − x0).

Dans notre cas n = 4, f (x) = x³et x0= 1 donc

f (x) = f (1)(x − 1)⁰

0! + f⁰(1)(x − 1)¹

1! + f⁰⁰(1)(x − 1)²

2! + f⁽³⁾(1)(x − 1)³

3! + f⁽⁴⁾(1)(x − 1)⁴

4! = 1 + 3(x − 1) + 3(x − 1)²+ (x − 1)³.

3. Soit f définie sur un intervalle ]A, +∞[ (ou ] − ∞, A[). On dit que f admet un développement limité généralisé à l’ordre n en a = +∞ (ou en a = −∞) s’il existe un polynôme P tel que f (x) = P(1/x) + o(1/xⁿ) au voisinage de ce point. L’expression P (1/x) n’est pas un polynôme, mais a des propriétés similaires.

Dans la pratique, on peut obtenir un développement limité de f (x) en a = +∞ (ou en a = −∞) en posant x = 1/t (de sorte que t tend vers 0, avec un signe fixe) et en tentant de développer f (1/t ) au voisinage de 0.

Dans notre cas f (x) = e^2/x, n = 3 et a = +∞ donc

e^2/x= e^2t= e^y= 1 + y +y² 2 +y³

6 + o³ y³´

= 1 + 2t +4t² 2 +8t³

6 + o³ t³´

= 1 +2 x+ 2

x²+ 4 3x³+ o

µ1 x³

¶ .

Exercice 2.2. Soit f : R → R la fonction définie par

f (x) =



 

 

2 −

si x ≤ −4, 1 − (x + 2)

si − 4 < x ≤ 0, x + p

|x

− 3x| si x > 0,

dont le graphe est représenté dans la figure ci-dessous.

x

y y = 2x −

3

3

−7 9

−4

1

−2

2

Répondre aux questions suivantes (pour la plupart des questions il n’est pas nécessaire de faire des calculs mais il faut justifier la réponse) :

1. Quel est le domaine de définition de f ?

2. Étudier la continuité et la dérivabilité de f en x = −4, en x = −2, en x = 0 et en x = 3. Donner, lorsqu’il est possible, la valeur de f

en chacun de ces point.

3. Quel est l’équation de la droite tangente au graphe de f en x = −2 ? Et en x = 4 ? 4. Quel est le signe de f

(x) pour x ∈ D

?

5. Quel est le signe de f

(x) pour x ∈ D

? 6. Calculer lim

f (x).

7. Calculer lim

f (x).

8. Qui est le développement limité asymptotique en +∞ de f (x) au premier ordre ? Et en −∞ ?

SOLUTION. 1. Df= R.

2. Considérons chaque point séparément :

B f est continue en −4 et f (−4) = 9 ; elle n’est pas dérivable en x = −4 car lim h→0⁻

f (−4+h)−f (−4)

h = lim

h→0⁻

2−_{7(h−4)−27}⁷ −9

h =₍₅₅₎⁴⁹2tandis que lim h→0⁺

f (−4+h)−f (−4)

h =

h→0lim⁺

1−(−4+h+2)³−9

h = −12 ;

B f est continue en −2 et f (−2) = 1 ; f est dérivable en −2 et f⁰(−2) = 0 ; B f n’est pas continue en x = 0 car f (0) = 1 − (−4 + 2)³= −7 mais lim

h→0⁺f (x) = lim h→0⁺x +p

|x²− 3x| = 0 ; B f est continue en x = 3 et f (3) = 3 ; elle n’est pas dérivable en x = 3 car lim

h→0⁻

f (3+h)−f (3)

h = lim

h→0⁻ h+3+p

3(h+3)−(h+3)²

h = lim

h→0⁻ h+3+p

−h(h+3)

h = ∞ et

de même lim h→0⁺

f (3+h)−f (3)

h = lim

h→0⁺ h+3+p

(h+3)²−3(h+3)

h = lim

h→0⁺ h+3+p

h(h+3)

h = ∞.

3. L’équation de la droite tangente en x0au graphe d’une fonction f dérivable en x0est y = f⁰(x0)(x − x0) + f (x0). Par conséquente l’équation de la droite tangente au graphe de f en x = −2 est y = 1 et en x = 4 est y = f⁰(4)(x − 4) + f (4) =⁹₄x − 3.

4. f⁰(x) = 0 pour x = −2 et x =³₂³ 1 +p¹

2

´

, f⁰(x) n’existe pas pour x ∈ {−4,0,3}, f⁰(x) > 0 pour x ∈i

− ∞; −4 h

∪ i

0;³₂³ 1 +p¹

2

´ h

∪ i

3; +∞h

et f⁰(x) < 0 pour x ∈i

− 4; −2h

∪i

− 2; 0h

∪i₃ 2

³ 1 +^p1₂´

; 3h .

5. f⁰⁰(x) = 0 pour x = −2, f⁰⁰(x) n’existe pas pour x ∈ {−4,0,3}, f⁰⁰(x) > 0 pour x ∈] − ∞;−4[∪] − 4;−2[ et f⁰⁰(x) < 0 pour x ∈] − 2;0[∪]0;3[∪]3;+∞[.

6. lim_x→−∞f (x) = 1 donc y = 1 est asymptote en −∞.

7. lim_x→+∞f (x) = +∞.

8. Le développement limité asymptotique en +∞ de f (x) au premier ordre coïncide avec l’équation de l’asymptote oblique, donc c’est 2x −³₂+ o(x⁻¹).

9. Le développement limité asymptotique en −∞ de f (x) au premier ordre coïncide avec l’équation de l’asymptote, donc c’est 1 + o(x⁻¹).

Contrôle continu 2 - thème B

Exercice 2.1.

1. Calculer le développement limité en x = 0 à l’ordre 3 de f (x) = ln(1 + x cos

x). En déduire la limite lim

. 2. Calculer le développement limité en x = −1 à l’ordre 4 de f (x) = x

.

3. Calculer le développement limité asymptotique en +∞ à l’ordre 3 de f (x) = e

.

SOLUTION.

1. Étant donné que

cos(x) = 1 −x² 2 + o³

x⁴´ alors

cos²(x) = 1 − x²+ o³ x⁴´

. Comme x cos²(x) = x − x³+ o¡x⁴¢ −−−→

x→0 0 et comme le développement limité de ln(1 + u) en u = 0 est

ln(1 + u) = u −u² 2 +u³

3 −u⁴

4 + · · · + (−1)ⁿ⁺¹uⁿ n + o¡uⁿ¢

on conclut que

ln(1 + x cos²x) = x −x² 2 +2

3x³+ o³ x⁴´

. Donc

x→0lim

ln(1 + x cos²x)

4x = lim

x→0 x 4x=1

4.

2. Soit f une fonction deR dans R et x0∈ R. Si f et toutes ses dérivées jusqu’à l’ordre n sont définies et continues en tout point d’un intervalle ouvert contenant x₀alors f admet un développement limité à l’ordre n en x₀donné par la formule

f (x) = n X k=0

f^(k)(x0)

k! (x − x0)^k+ (x − x0)ⁿε(x − x0).

Dans notre cas n = 4, f (x) = x³et x0= −1 donc

f (x) = f (−1)(x + 1)⁰

0! + f⁰(−1)(x + 1)¹

1! + f⁰⁰(−1)(x + 1)²

2! + f⁽³⁾(−1)(x + 1)³

3! + f⁽⁴⁾(−1)(x + 1)⁴

4! = −1 + 3(x + 1) − 3(x + 1)²+ (x + 1)³.

3. Soit f définie sur un intervalle ]A, +∞[ (ou ] − ∞, A[). On dit que f admet un développement limité généralisé à l’ordre n en a = +∞ (ou en a = −∞) s’il existe un polynôme P tel que f (x) = P(1/x) + o(1/xⁿ) au voisinage de ce point. L’expression P (1/x) n’est pas un polynôme, mais a des propriétés similaires.

Dans la pratique, on peut obtenir un développement limité de f (x) en a = +∞ (ou en a = −∞) en posant x = 1/t (de sorte que t tend vers 0, avec un signe fixe) et en tentant de développer f (1/t ) au voisinage de 0.

Dans notre cas f (x) = e^3/x, n = 3 et a = +∞ donc

e^3/x= e^3t= e^y= 1 + y +y² 2 +y³

6 + o³ y³´

= 1 + 3t +9t² 2 +27t³

6 + o³ t³´

= 1 +3 x+ 9

2x²+ 9 2x³+ o

µ1 x³

¶ .

Exercice 2.2. Soit f : R → R la fonction définie par

f (x) =



 

 

p |3x + x

| − x si x < 0,

1 − (2 − x)

si 0 ≤ x < 4,

2 +

si x ≥ 4,

dont le graphe est représenté dans la figure ci-dessous.

x y = −2x −

y

3

−3

−7 9

4 1

2 2

Répondre aux questions suivantes (pour la plupart des questions il n’est pas nécessaire de faire des calculs mais il faut justifier la réponse) :

1. Quel est le domaine de définition de f ?

2. Étudier la continuité et la dérivabilité de f en x = −3, en x = 0, en x = 2 et en x = 4. Donner, lorsqu’il est possible, la valeur de f

en chacun de ces point.

3. Quel est l’équation de la droite tangente au graphe de f en x = −4 ? Et en x = 2 ? 4. Quel est le signe de f

(x) pour x ∈ D

?

5. Quel est le signe de f

(x) pour x ∈ D

? 6. Calculer lim

f (x).

7. Calculer lim

f (x).

8. Qui est le développement limité asymptotique en +∞ de f (x) au premier ordre ? Et en −∞ ?

SOLUTION. 1. Df= R.

2. Considérons chaque point séparément :

B f est continue en x = −3 et f (−3) = 3 ; elle n’est pas dérivable en x = −3 car lim h→0⁻

f (−3+h)−f (−3)

h = lim

h→0⁻ h−3+p

(h−3)²−3(h−3)

h = lim

h→0⁻ h−3+p

h(h−3)

h = ∞

et de même lim h→0⁺

f (−3+h)−f (−3)

h = lim

h→0⁺ h−3+p

3(h−3)−(h−3)²

h = lim

h→0⁺ h−3+p

−h(h−3)

h = ∞ ;

B f n’est pas continue en x = 0 car f (0) = 1 − (−4 + 2)³= −7 mais lim

h→0⁻f (x) = lim h→0⁻x +p

|x²− 3x| = 0 ; B f est continue en 2 et f (2) = 1 ; f est dérivable en 2 et f⁰(2) = 0 ;

B f est continue en 4 et f (4) = 9 ; elle n’est pas dérivable en x = 4 car lim h→0⁻

f (4+h)−f (4)

h = lim

h→0⁻

1−(2−(4+h))³−9

h = 12 tandis que lim h→0⁺

f (4+h)−f (4)

h =

h→0lim⁺

2+_7(h+4)−27⁷ −9

h = −49.

3. L’équation de la droite tangente en x₀au graphe d’une fonction f dérivable en x₀est y = f⁰(x₀)(x − x0) + f (x0). Par conséquente l’équation de la droite tangente au graphe de f en x = 2 est y = 1 et en x = −4 est y = f⁰(−4)(x + 4) + f (−4) = −⁹₄x − 3.

4. f⁰(x) = 0 pour x = 2 et x = −³₂³ 1 +p¹

2

´

, f⁰(x) n’existe pas pour x ∈ {−3,0,4}, f⁰(x) < 0 pour x ∈i

− ∞; −3h

∪i

−³₂³ 1 +p¹

2

´

; 0h

∪i 4, +∞h

et f⁰(x) > 0 pour x ∈i

− 3; −³₂³ 1 +p¹

2

´ h

∪i 0; 2h

∪i 2; 4h

.

5. f⁰⁰(x) = 0 pour x = 2, f⁰⁰(x) n’existe pas pour x ∈ {−3,0,4}, f⁰⁰(x) < 0 pour x ∈] − ∞;−3[∪] − 3;0[∪]0;2[ et f⁰⁰(x) > 0 pour x ∈]2;4[∪]4;+∞[.

6. lim_x→−∞f (x) = +∞.

7. lim_x→+∞f (x) = 1 donc y = 1 est asymptote en +∞.

8. Le développement limité asymptotique en −∞ de f (x) au premier ordre coïncide avec l’équation de l’asymptote, donc c’est 2x −³₂+ o(x⁻¹).

9. Le développement limité asymptotique en +∞ de f (x) au premier ordre coïncide avec l’équation de l’asymptote oblique, donc c’est 1 + o(x⁻¹).

Contrôle continu 2 - thème C

Exercice 2.1.

1. Calculer le développement limité en x = 0 à l’ordre 3 de f (x) = ln(1 − x cos

x). En déduire la limite lim

. 2. Calculer le développement limité en x = 2 à l’ordre 4 de f (x) = x

.

3. Calculer le développement limité asymptotique en −∞ à l’ordre 3 de f (x) = e

.

SOLUTION.

1. Étant donné que

cos(x) = 1 −x² 2 + o³

x⁴´ alors

cos²(x) = 1 − x²+ o³ x⁴´

. Comme x cos²(x) = x − x³+ o¡x⁴¢ −−−→

x→0 0 et comme le développement limité de ln(1 − u) en u = 0 est

ln(1 − u) = −u −u² 2 −u³

3 −u⁴

4 + · · · −uⁿ n + o¡uⁿ¢ on conclut que

ln(1 − x cos²x) = −x −x² 2 +2

3x³+ o³ x⁴´

. Donc

x→0lim

ln(1 − x cos²x)

4x = lim

x→0

−x 4x= −1

4.

2. Soit f une fonction deR dans R et x0∈ R. Si f et toutes ses dérivées jusqu’à l’ordre n sont définies et continues en tout point d’un intervalle ouvert contenant x0alors f admet un développement limité à l’ordre n en x0donné par la formule

f (x) = Xn k=0

f^(k)(x0)

k! (x − x0)^k+ (x − x0)ⁿε(x − x0).

Dans notre cas n = 4, f (x) = x³et x₀= 2 donc

f (x) = f (2)(x − 2)⁰

0! + f⁰(2)(x − 2)¹

1! + f⁰⁰(2)(x − 2)²

2! + f⁽³⁾(2)(x − 2)³

3! + f⁽⁴⁾(2)(x − 2)⁴

4! = 8 + 12(x − 2) + 6(x − 2)²+ (x − 2)³.

3. Soit f définie sur un intervalle ]A, +∞[ (ou ] − ∞, A[). On dit que f admet un développement limité généralisé à l’ordre n en a = +∞ (ou en a = −∞) s’il existe un polynôme P tel que f (x) = P(1/x) + o(1/xⁿ) au voisinage de ce point. L’expression P (1/x) n’est pas un polynôme, mais a des propriétés similaires.

Dans la pratique, on peut obtenir un développement limité de f (x) en a = +∞ (ou en a = −∞) en posant x = 1/t (de sorte que t tend vers 0, avec un signe fixe) et en tentant de développer f (1/t ) au voisinage de 0.

Dans notre cas f (x) = e^−1/x, n = 3 et a = −∞ donc

e^−1/x= e^−t= e^y= 1 + y +y² 2 +y³

6 + o³ y³´

= 1 − t +t² 2−t³

6 + o³ t³´

= 1 −1 x+ 1

2x²− 1 6x³+ o

µ1 x³

¶ .

Exercice 2.2. Soit f : R → R la fonction définie par

f (x) =



 

 

7

7x−27

− 2 si x ≤ −4,

(x + 2)

− 1 si − 4 < x ≤ 0,

−x − p

|x

− 3x| si x > 0,

dont le graphe est représenté dans la figure ci-dessous.

x y

y = −2x +

−3

3 7

−9

−4

−1

−2

−2

Répondre aux questions suivantes (pour la plupart des questions il n’est pas nécessaire de faire des calculs mais il faut justifier la réponse) :

1. Quel est le domaine de définition de f ?

2. Étudier la continuité et la dérivabilité de f en x = −4, en x = −2, en x = 0 et en x = 3. Donner, lorsqu’il est possible, la valeur de f

en chacun de ces point.

3. Quel est l’équation de la droite tangente au graphe de f en x = −2 ? Et en x = 4 ? 4. Quel est le signe de f

(x) pour x ∈ D

?

5. Quel est le signe de f

(x) pour x ∈ D

? 6. Calculer lim

f (x).

7. Calculer lim

f (x).

8. Qui est le développement limité asymptotique en +∞ de f (x) au premier ordre ? Et en −∞ ?

SOLUTION. 1. Df= R.

2. Considérons chaque point séparément :

B f est continue en −4 et f (−4) = −9 ; elle n’est pas dérivable en x = −4 car lim h→0⁻

f (−4+h)−f (−4)

h = lim

h→0⁻

2−_{7(h−4)−27}⁷ +9

h = −₍₅₅₎⁴⁹2tandis que lim h→0⁺

f (−4+h)−f (−4)

h =

lim h→0⁺

1−(−4+h+2)³+9

h = 12 ;

B f est continue en −2 et f (−2) = −1 ; f est dérivable en −2 et f⁰(−2) = 0 ; B f n’est pas continue en x = 0 car f (0) = (2)³− 1 = 7 mais lim

h→0⁺f (x) = lim h→0⁺x +p

|x²− 3x| = 0 ;

B f est continue en x = 3 et f (3) = −3 ; elle n’est pas dérivable en x = 3 car lim h→0⁻

f (3+h)−f (3)

h = lim

h→0⁻ h+3+p

3(h+3)−(h+3)²+3

h = lim

h→0⁻ h+3+p

−h(h+3)+3

h =

∞ et de même lim h→0⁺

f (3+h)−f (3)

h = lim

h→0⁺ h+3+p

(h+3)²−3(h+3)+3

h = lim

h→0⁺ h+3+p

h(h+3)+3

h = ∞.

3. L’équation de la droite tangente en x0au graphe d’une fonction f dérivable en x0est y = f⁰(x0)(x − x0) + f (x0). Par conséquente l’équation de la droite tangente au graphe de f en x = −2 est y = −1 et en x = 4 est y = f⁰(4)(x − 4) + f (4) = −⁹₄x + 3.

4. f⁰(x) = 0 pour x = −2 et x =³₂³ 1 +p¹

2

´

, f⁰(x) n’existe pas pour x ∈ {−4,0,3}, f⁰(x) < 0 pour x ∈i

− ∞; −4 h

∪ i

0;³₂³ 1 +p¹

2

´ h

∪ i

3; +∞h

et f⁰(x) > 0 pour x ∈i

− 4; −2h

∪i

− 2; 0h

∪i₃ 2

³ 1 +^p1₂´

; 3h .

5. f⁰⁰(x) = 0 pour x = −2, f⁰⁰(x) n’existe pas pour x ∈ {−4,0,3}, f⁰⁰(x) < 0 pour x ∈] − ∞;−4[∪] − 4;−2[ et f⁰⁰(x) > 0 pour x ∈] − 2;0[∪]0;3[∪]3;+∞[.

6. lim_x→−∞f (x) = −1 donc y = −1 est asymptote en −∞.

7. lim_x→+∞f (x) = +∞.

8. Le développement limité asymptotique en +∞ de f (x) au premier ordre coïncide avec l’équation de l’asymptote oblique, donc c’est −2x +³₂+ o(x⁻¹).

9. Le développement limité asymptotique en −∞ de f (x) au premier ordre coïncide avec l’équation de l’asymptote, donc c’est −1 + o(x⁻¹).

Contrôle continu 2 - thème D

Exercice 2.1.

1. Calculer le développement limité en x = 0 à l’ordre 3 de f (x) = ln(1 − sin

x). En déduire la limite lim

2x²

. 2. Calculer le développement limité en x = −2 à l’ordre 4 de f (x) = x

.

3. Calculer le développement limité asymptotique en −∞ à l’ordre 3 de f (x) = e

.

SOLUTION.

1. Étant donné que

sin(x) = x −x³ 6 + o

³ x⁴´ alors

sin²(x) = x²+ o³ x⁴´

. Comme sin²(x) = x²+ o¡x⁴¢ −−−→

x→0 0 et comme le développement limité de ln(1 − u) en u = 0 est

ln(1 − u) = −u −u² 2 −u³

3 −u⁴

4 + · · · −uⁿ n + o¡uⁿ¢ on conclut que

ln(1 − sin²x) = −x²+ o³ x⁴´

. Donc

x→0lim

ln(1 − sin²x) 2x² = lim

x→0

−x² 2x²= −1

2.

2. Soit f une fonction deR dans R et x0∈ R. Si f et toutes ses dérivées jusqu’à l’ordre n sont définies et continues en tout point d’un intervalle ouvert contenant x0alors f admet un développement limité à l’ordre n en x0donné par la formule

f (x) = Xn k=0

f^(k)(x0)

k! (x − x0)^k+ (x − x0)ⁿε(x − x0).

Dans notre cas n = 4, f (x) = x³et x0= −2 donc

f (x) = f (−2)(x + 2)⁰

0! + f⁰(−2)(x + 2)¹

1! + f⁰⁰(−2)(x + 2)²

2! + f⁽³⁾(−2)(x + 2)³

3! + f⁽⁴⁾(−2)(x + 2)⁴

4! = −8 + 12(x + 2) − 6(x + 2)²+ (x + 2)³.

3. Soit f définie sur un intervalle ]A, +∞[ (ou ] − ∞, A[). On dit que f admet un développement limité généralisé à l’ordre n en a = +∞ (ou en a = −∞) s’il existe un polynôme P tel que f (x) = P(1/x) + o(1/xⁿ) au voisinage de ce point. L’expression P (1/x) n’est pas un polynôme, mais a des propriétés similaires.

Dans la pratique, on peut obtenir un développement limité de f (x) en a = +∞ (ou en a = −∞) en posant x = 1/t (de sorte que t tend vers 0, avec un signe fixe) et en tentant de développer f (1/t ) au voisinage de 0.

Dans notre cas f (x) = e^−2/x, n = 3 et a = −∞ donc

e^−2/x= e^−t= e^y= 1 + y +y² 2 +y³

6 + o

³ y³´

= 1 − t +t² 2−t³

6 + o

³ t³´

= 1 −2 x+ 2

2x²− 4 3x³+ o

µ1 x³

¶ .

Exercice 2.2. Soit f : R → R la fonction définie par

f (x) =



 

  x − p

|3x + x

| si x < 0, (2 − x)

− 1 si 0 ≤ x < 4,

7

27−7x

− 2 si x ≥ 4,

dont le graphe est représenté dans la figure ci-dessous.

x y

y = 2x +

−3

−3

7

−9

4

−1 2

−2

Répondre aux questions suivantes (pour la plupart des questions il n’est pas nécessaire de faire des calculs mais il faut justifier la réponse) :

1. Quel est le domaine de définition de f ?

2. Étudier la continuité et la dérivabilité de f en x = −3, en x = 0, en x = 2 et en x = 4. Donner, lorsqu’il est possible, la valeur de f

en chacun de ces point.

3. Quel est l’équation de la droite tangente au graphe de f en x = −4 ? Et en x = 2 ? 4. Quel est le signe de f

(x) pour x ∈ D

?

5. Quel est le signe de f

(x) pour x ∈ D

? 6. Calculer lim

f (x).

7. Calculer lim

f (x).

8. Qui est le développement limité asymptotique en +∞ de f (x) au premier ordre ? Et en −∞ ?

SOLUTION. 1. D_f= R.

2. Considérons chaque point séparément :

B f est continue en x = −3 et f (−3) = −3 ; elle n’est pas dérivable en x = −3 car lim h→0⁻

f (−3+h)−f (−3)

h = lim

h→0⁻ h−3+p

(h−3)²−3(h−3)+3

h = lim

h→0⁻ h−3+p

h(h−3)+3

h =

∞ et de même lim h→0⁺

f (−3+h)−f (−3)

h = lim

h→0⁺ h−3+p

3(h−3)−(h−3)²+3

h = lim

h→0⁺ h−3+p

−h(h−3)+3

h = ∞ ;

B f n’est pas continue en x = 0 car f (0) = (2)³− 1 = 7 mais lim

h→0⁻f (x) = lim h→0⁻x +p

|x²− 3x| = 0 ; B f est continue en 2 et f (2) = −1 ; f est dérivable en 2 et f⁰(2) = 0 ;

B f est continue en 4 et f (4) = −9 ; elle n’est pas dérivable en x = 4 car lim h→0⁻

f (4+h)−f (4)

h = lim

h→0⁻

1−(2−(4+h))³+9

h = −12 tandis que lim h→0⁺

f (4+h)−f (4)

h =

lim h→0⁺

2+_7(h+4)−27⁷ +9

h = 49.

3. L’équation de la droite tangente en x0au graphe d’une fonction f dérivable en x0est y = f⁰(x0)(x − x0) + f (x0). Par conséquente l’équation de la droite tangente au graphe de f en x = 2 est y = −1 et en x = −4 est y = f⁰(−4)(x + 4) + f (−4) =⁹₄x + 3.

4. f⁰(x) = 0 pour x = −³₂³ 1 +p¹

2

´

et x = 2, f⁰(x) n’existe pas pour x ∈ {−3,0,4}, f⁰(x) > 0 pour x ∈i

− ∞; −3 h

∪ i

−³₂

³ 1 +p¹

2

´

; 0h

∪ i

4, +∞h

et f⁰(x) < 0 pour x ∈i

− 3; −³₂³ 1 +^p1₂´ h

∪i 0; 2h

∪i 2; 4h

.

5. f⁰⁰(x) = 0 pour x = 2, f⁰⁰(x) n’existe pas pour x ∈ {−3,0,4}, f⁰⁰(x) > 0 pour x ∈] − ∞;−3[∪] − 3;0[∪]0;2[ et f⁰⁰(x) < 0 pour x ∈]2;4[∪]4;+∞[.

6. lim_x→−∞f (x) = −∞.

7. lim_x→+∞f (x) = −1 donc y = −1 est asymptote en +∞.

8. Le développement limité asymptotique en −∞ de f (x) au premier ordre coïncide avec l’équation de l’asymptote, donc c’est −2x +³₂+ o(x⁻¹).

9. Le développement limité asymptotique en +∞ de f (x) au premier ordre coïncide avec l’équation de l’asymptote oblique, donc c’est −1 + o(x⁻¹).

Contrôle continu 2 - thème E

Exercice 2.1.

1. Calculer le développement limité en x = 0 à l’ordre 3 de f (x) = ln(1 − sin

x). En déduire la limite lim

7x²

. 2. Calculer le développement limité en x = −3 à l’ordre 4 de f (x) = x

.

3. Calculer le développement limité asymptotique en +∞ à l’ordre 3 de f (x) = e

.

SOLUTION.

1. Étant donné que

sin(x) = x −x³ 6 + o

³ x⁴´ alors

sin²(x) = x²+ o³ x⁴´

. Comme sin²(x) = x²+ o¡x⁴¢ −−−→

x→0 0 et comme le développement limité de ln(1 − u) en u = 0 est

ln(1 − u) = −u −u² 2 −u³

3 −u⁴

4 + · · · −uⁿ n + o¡uⁿ¢ on conclut que

ln(1 − sin²x) = −x²+ o³ x⁴´

. Donc

x→0lim

ln(1 − sin²x) 7x² = lim

x→0

−x² 7x²= −1

7.

2. Soit f une fonction deR dans R et x0∈ R. Si f et toutes ses dérivées jusqu’à l’ordre n sont définies et continues en tout point d’un intervalle ouvert contenant x0alors f admet un développement limité à l’ordre n en x0donné par la formule

f (x) = Xn k=0

f^(k)(x0)

k! (x − x0)^k+ (x − x0)ⁿε(x − x0).

Dans notre cas n = 4, f (x) = x³et x0= −3 donc

f (x) = f (−3)(x + 3)⁰

0! + f⁰(−3)(x + 3)¹

1! + f⁰⁰(−3)(x + 3)²

2! + f⁽³⁾(−3)(x + 3)³

3! + f⁽⁴⁾(−3)(x + 3)⁴

4! = −27 + 27(x + 3) − 9(x + 3)²+ (x + 3)³.

3. Soit f définie sur un intervalle ]A, +∞[ (ou ] − ∞, A[). On dit que f admet un développement limité généralisé à l’ordre n en a = +∞ (ou en a = −∞) s’il existe un polynôme P tel que f (x) = P(1/x) + o(1/xⁿ) au voisinage de ce point. L’expression P (1/x) n’est pas un polynôme, mais a des propriétés similaires.

Dans la pratique, on peut obtenir un développement limité de f (x) en a = +∞ (ou en a = −∞) en posant x = 1/t (de sorte que t tend vers 0, avec un signe fixe) et en tentant de développer f (1/t ) au voisinage de 0.

Dans notre cas f (x) = e^4/x, n = 3 et a = ∞ donc

e^4/x= e^t= e^y= 1 + y +y² 2 +y³

6 + o

³ y³´

= 1 + t +t² 2 +t³

6 + o

³ t³´

= 1 +4 x+ 8

x²+ 32 3x³+ o

µ1 x³

¶ .

Exercice 2.2. Soit f : R → R la fonction définie par

f (x) =



 

 

1 + x − p

|3x + x

| si x < 0, (2 − x)

si 0 ≤ x < 4,

7

27−7x

− 1 si x ≥ 4,

dont le graphe est représenté dans la figure ci-dessous.

x y

y = 2x +

−2

−3

8

−8

4 2

−1

Répondre aux questions suivantes (pour la plupart des questions il n’est pas nécessaire de faire des calculs mais il faut justifier la réponse) :

1. Quel est le domaine de définition de f ?

2. Étudier la continuité et la dérivabilité de f en x = −3, en x = 0, en x = 2 et en x = 4. Donner, lorsqu’il est possible, la valeur de f

en chacun de ces point.

3. Quel est l’équation de la droite tangente au graphe de f en x = −4 ? Et en x = 2 ? 4. Quel est le signe de f

(x) pour x ∈ D

?

5. Quel est le signe de f

(x) pour x ∈ D

? 6. Calculer lim

f (x).

7. Calculer lim

f (x).

8. Qui est le développement limité asymptotique en +∞ de f (x) au premier ordre ? Et en −∞ ?

SOLUTION. 1. D_f= R.

2. Considérons chaque point séparément :

B f est continue en x = −3 et f (−3) = −2 ; elle n’est pas dérivable en x = −3 car lim h→0⁻

f (−3+h)−f (−3)

h = lim

h→0⁻ h−3+p

(h−3)²−3(h−3)+2

h = lim

h→0⁻ h−3+p

h(h−3)+3

h =

∞ et de même lim h→0⁺

f (−3+h)−f (−3)

h = lim

h→0⁺ h−3+p

3(h−3)−(h−3)²+2

h = lim

h→0⁺ h−3+p

−h(h−3)+3

h = ∞ ;

B f n’est pas continue en x = 0 car f (0) = (2)³= 8 mais lim

h→0⁻f (x) = lim

h→0⁻1 + x +p

|x²− 3x| = 1 ; B f est continue en 2 et f (2) = 0 ; f est dérivable en 2 et f⁰(2) = 0 ;

B f est continue en 4 et f (4) = −8 ; elle n’est pas dérivable en x = 4 car lim h→0⁻

f (4+h)−f (4)

h = lim

h→0⁻

(2−(4+h))³+8

h = −12 tandis que lim h→0⁺

f (4+h)−f (4)

h =

lim h→0⁺

7 27−7(h+4)−1+8

h = 49.

3. L’équation de la droite tangente en x0au graphe d’une fonction dérivable en x0est y = f⁰(x0)(x − x0) + f (x0). Par conséquente l’équation de la droite tangente au graphe de f en x = 2 est y = 0 et en x = −4 est y = f⁰(−4)(x + 4) + f (−4) =⁹₄x + 5.

4. f⁰(x) = 0 pour x = −³₂³ 1 +p¹

2

´

et x = 2, f⁰(x) n’existe pas pour x ∈ {−3,0,4}, f⁰(x) > 0 pour x ∈i

− ∞; −3 h

∪ i

−³₂

³ 1 +p¹

2

´

; 0h

∪ i

4, +∞h

et f⁰(x) < 0 pour x ∈i

− 3; −³₂³ 1 +^p1₂´ h

∪i 0; 2h

∪i 2; 4h

.

5. f⁰⁰(x) = 0 pour x = 2, f⁰⁰(x) n’existe pas pour x ∈ {−3,0,4}, f⁰⁰(x) > 0 pour x ∈] − ∞;−3[∪] − 3;0[∪]0;2[ et f⁰⁰(x) < 0 pour x ∈]2;4[∪]4;+∞[.

6. lim_x→−∞f (x) = −∞.

7. lim_x→+∞f (x) = 0 donc y = 0 est asymptote en +∞.

8. Le développement limité asymptotique en −∞ de f (x) au premier ordre coïncide avec l’équation de l’asymptote, donc c’est 2x +³₂+ o(x⁻¹).

9. Le développement limité asymptotique en +∞ de f (x) au premier ordre coïncide avec l’équation de l’asymptote oblique, donc c’est 0 + o(x⁻¹).

Examen

Exercice 1. Considérons la fonction f : A ⊂ R → R définie par

f (x) = e

x

− 2x . 1. Trouver l’ensemble de définition A.

2. Trouver le signe de f .

3. Trouver les limites où f n’est pas définie et pour x → ±∞.

4. Trouver la dérivée de f et où f est croissante ou décroissante.

5. Dessiner le graphe de f .

SOLUTION.

1. Pour que_?¹soit définie il faut que? 6= 0 donc

A = {x ∈ R | x²− 2x 6= 0} = ]−∞; 0[ ∪ ]0; 2[ ∪ ]2; +∞[ = R \ {0; 2}.

2. Comme e^?> 0 pour tout ? ∈ R, le signe de f coïncide avec le signe du dénominateur et on a

f (x) = 0 ⇐⇒ x²− 2x = 0 ⇐⇒ x(x − 2) = 0 ⇐⇒ 6 ∃ x ∈ A,

f (x) > 0 ⇐⇒ x²− 2x > 0 ⇐⇒ x(x − 2) > 0 ⇐⇒ x ∈] − ∞;0[∪]2;+∞[, f (x) < 0 ⇐⇒ x²− 2x < 0 ⇐⇒ x(x − 2) > 0 ⇐⇒ x ∈]0;2[.

3. Trouver les limites où f n’est pas définie et pour x → ±∞.

x→−∞lim f (x) = 0⁺ lim

x→0^∓f (x) = ±∞

lim

x→2^∓f (x) = ∓∞ lim

x→+∞f (x) = +∞

donc y = 0 est asymptote horizontale à −∞, y = 0 et y = 2 sont asymptotes verticales et comme limx→+∞f (x)

x = +∞ il n’y a pas d’asymptotes à +∞.

4. f⁰(x) =(e^3x+1)⁰(x²− 2x) − (e^3x+1)(x²− 2x)⁰

(x²− 2x)² =3(e^3x+1)(x²− 2x) − (e^3x+1)(2x − 2)

(x²− 2x)² = e^3x+1

(x²− 2x)²(3x²− 8x + 2).

Comme_(x^e₂^3x+1

−2x)²> 0 pour tout x ∈ A, le signe de f⁰coïncide avec le signe de 3x²− 8x + 2 et on a

3x²− 8x + 2 = 0 ⇐⇒ x_1,2=8 ±p 40 6 =4 ±p

10

3 ,

3x²− 8x + 2 > 0 ⇐⇒ x ∈

#

−∞;4 −p 10 3

"

∪

#4 +p 10 3 ; +∞

"

,

3x²− 8x + 2 < 0 ⇐⇒ x ∈

#4 −p 10 3 ;4 +p

10 3

"

.

5. Le graphe de f (non à l’échelle) est le suivant :

x y

0

2 4−p

10 3

f³ 4−p

10 3

´ ⁴⁺

p10 3 f³

4+p 10 3

´

Exercice 2. Calculer les limites suivantes avec la méthode que l’on préfère : 1. lim

x→+∞

( p

x + 1 − p x)

2. lim

x→+∞

p x + sin x ln x 3. lim

x→0⁺

2

− cos x x

SOLUTION. 1. lim

x→+∞(p x + 1 −p

x) = lim x→+∞(p

x + 1 −p x)

px + 1 +p p x

x + 1 +p x= lim

x→+∞

p 1 x + 1 +p

x= 0⁺; 2. lim

x→+∞

px + sin x ln x = lim

x→+∞

µ px ln x+sin x

ln x

¶

= +∞ car_{ln x}⁻¹≤^{sin x}_{ln x} ≤_{ln x}¹ et lim x→+∞

±1 ln x= 0 ; 3. lim

x→0⁺

2^x− cos x

x = lim

x→0⁺

2^x− 1 + 1 − cos x

x = lim

x→0⁺ µ 2^x− 1

x + x1 − cos x x²

¶

= ln(2) + 0 ·¹₂= ln(2).

Exercice 3. Calculer les dérivées des fonctions suivantes 1. f (x) = arctan(x

)

2. f (x) = ln

(x

) 3. f (x) = e

SOLUTION.

1. On a f (x) = u(v(x)) avec u(y) = arctan(y) et v(x) = x². Comme f⁰(x) = u⁰(v(x))v⁰(x), u⁰(y) = ¹

1+y²et v⁰(x) = 2x, on obtient f⁰(x) = u⁰(v(x))v⁰(x) = 1

1 + (v(x))²v⁰(x) = 2x 1 + x⁴;

2. On a f (x) = w(u(v(x))) avec w(z) = z³, u(y) = ln(y) et v(x) = x². Comme f⁰(x) = w⁰(u(v(x)))u⁰(v(x))v⁰(x), w⁰(z) = 3z², u⁰(y) =_{ln y}¹ et v(x) = 2x, on obtient

f⁰(x) = 3[u(v(x))]²u⁰(v(x))v⁰(x) = 3[ln(v(x))]² 1

v(x)v⁰(x) = 3h

ln(x²)i2 1

x²2x =6x ln²(x²) x² . 3. On a f (x) = u(v(x)) avec u(y) = e^yet v(x) = 3cos x. Comme f⁰(x) = u⁰(v(x))v⁰(x), u⁰(y) = e^yet v⁰(x) = −3sin x, on obtient

f⁰(x) = u⁰(v(x))v⁰(x) = e^v(x)v⁰(x) = (−3sin x)e^{3 cos x}.

Exercice 4. Développer à l’ordre plus bas et dans le voisinage de zéro les fonctions suivantes 1. f (x) = (1 − cos x)ln(1 + x

)

2. f (x) = (sin(x

))(e

− 1)

SOLUTION. Comme

cos x = 1 −x² 2 +x⁴

24+ o(x⁵), sin x = x −x³

6 + o(x⁴), ln(1 + x) = x −x²

2 + o(x²), e^x= 1 + x +x²

2 + o(x²), alors

1. f (x) = (1 − cos x)ln(1 + x²) =³_x2

2 −^x₂₄⁴+ o(x⁵)´ ³

x²−^x₂⁴+ o(x⁴)´

=^x₂⁴+ o(x⁴) ; 2. f (x) = (sin(x²))(e^−x− 1) =³

x²−^x₆⁶+ o(x⁸)´ ³

−x +^x₂²+ o(x²)´

= −x³+ o(x³).