M ath
ématiqu es
pou r
la biolo
gie
M 1
13
V UST
L1BIO
2010/2011
Fiches de TD.
G. F ACC
ANO NI
A. M ANT
ILE
A. N OVO
TNY
Gloria FACCANONI
IMATH Bâtiment U-318 T0033 (0)4 94 14 23 81
Université du Sud Toulon-Var
Avenue de l’université B [email protected]
83957 LA GARDE - FRANCE i http://faccanoni.univ-tln.fr
2
Table des matières
Exercices 5
TD1 - semaine 39 7
TD2 - semaine 40 9
TD3 - semaine 41 11
TD4 - semaine 42 13
TD6 - semaine 45 15
TD7 - semaine 46 19
TD8 - semaine 47 21
TD9 - semaine 48 23
Résumé de cours 25
Équations et inégalités dans R 27
Logique, ensemble 35
Relation, fonction, application 39
Composition, réciprocité 41
Maximum, minimum 43
Nombres complexes 45
Fonctions polynomiales 47
Suites numériques et limites 49
Fonctions continues et limites 51
Fonctions dérivables et développements limités 53
Étude de fonctions 55
Exercices
TD1 - semaine 39
Exercice 1. Pour chaque élément deC ci-dessous, indiquer s’il appartient à N, à Z\N, à Q\Z, à R\Q ou à C \ R :
i) i ii) −5 iii) p
2 iv) p
4 v) −11011 vi) 2
vii) p
−1 viii) 0
ix) 3 + 2i x) π xi) 32 xii) i2
R C Z Q
N
Exercice 2. Démontrer que
x→0lim
p1 + x −p 1 − x
x = 1.
Exercice 3. Étudier, pour m, n ∈ N∗, la limite
x→0lim
p1 + xm−p 1 − xm
xn .
Exercice 4. Démontrer que
limx→0
p1 + x + x2− 1
x =1
2.
Exercice 5. Étudier les limites quand x tend vers +∞ des fonctions suivantes
f (x) :=
q x +p
x −p
x et g (x) :=
r x +
q x +p
x −p x.
Exercice 6. Calculer lorsqu’elle existent les limites suivantes : 1. lim
x→0
x2+ 2|x|
x ,
2. lim
x→−∞
x2+ 2|x|
x ,
3. lim
x→2
x2− 4 x2− 3x + 2, 4. lim
x→π
sin2(x) 1 + cos(x),
5. lim
x→0
p1 + x −p 1 + x2
x ,
6. lim
x→+∞
p5 + x −p x − 3,
7. lim
x→0
p3
1 + x2− 1
x2 ,
8. lim
x→1
x − 1 xn− 1,
9. lim
x→0x sin¡1
x¢, 10. lim
x→0|x| sin¡1
x¢, 11. lim
x→0e−xcos(x), 12. lim
x→0(x − 1)cos¡ 1
x−1¢, 13. lim
x→0esin(x)−x.
TD1 - semaine 39
Exercice 7 (Limites fondamentaux). En se rappelant que 1. lim
x→+∞x sin¡1
x¢ = 1, (x en radiant) 2. lim
x→+∞x2³
1 − cos¡1
x
¢´
=12, (x en radiant) 3. lim
x→+∞¡1 +αx¢x
= eα, (α ∈ R)
4. lim
x→+∞x³
ln¡1 +x1¢´
= 1, 5. lim
x→+∞x³ a1/x− 1
´
= ln a, (a > 0)
6. lim
x→+∞x
³¡1 +x1¢α
− 1
´
= α (α ∈ R)
7. lim
x→+∞
P (x) Q(x) =
0 si a < b,
pa
qb si a = b,
∞ si a > b, avec P (x) = p0+ p1x + ··· + paxa,
Q(x) = q0+ q1x + ··· + qbxb.
calculer, si elles existent, les limites suivantes : 1. lim
x→+∞x2¡1 − cos2x¢ , 2. lim
x→+∞x2
³
1 − cosp2x
´ , 3. lim
x→+∞x¡1 − cos2x¢, 4. lim
x→+∞¡x sin2x¢, 5. lim
x→+∞
³ x sinp2
x
´ , 6. lim
x→+∞
¡px sin2x¢, 7. lim
x→+∞¡1 +x2¢x
, 8. lim
x→+∞
³
1 +p2x´x
,
9. lim
x→+∞¡1 +x2¢
px
, 10. lim
x→0+
³p x sinp1
x
´
11. lim
x→0
³sin(2x) sin(3x)
´ , 12. lim
x→0
³ x sin(x) 1−cos(x)
´ , 13. lim
x→0
³sin(x)−sin(2x) x2
´ , 14. lim
x→0
³ x tan(x) cos2(x)−1
´ , 15. lim
x→0
³tan(x)−sin(x) sin3(x)
´ . Exercice 8. Calculer les limites suivantes
1. lim
x→0+
x + 2 x2ln(x) 2. lim
x→0+2x ln(x +p x) 3. lim
x→+∞
x3− 2x2+ 3 x ln(x) 4. lim
x→+∞
epx+1 x + 2 5. lim
x→0+
ln(3x + 1) 2x 6. lim
x→0+
xx− 1 ln(x + 1) 7. lim
x→−∞
2
x + 1lnx3+ 4 1 − x2
8. lim
x→(−1)+(x2− 1) ln(7x3+ 4x2+ 3) 9. lim
x→2+(x − 2)2ln(x3− 8) 10. lim
x→0+
x(xx− 1) ln(x + 1) 11. lim
x→+∞(x ln(x) − x ln(x + 2)) 12. lim
x→+∞
ex− ex2 x2− x 13. lim
x→0+(1 + x)ln(x) 14. lim
x→+∞
µx + 1 x − 3
¶x
8
TD2 - semaine 40
Exercice 9. Simplifier les expressions suivantes autant que possible : a) µ 1
3
¶x
9x2, b) ln(1 + cos(x)) + ln(1 − cos(x)) − 2ln(sin(x)).
Exercice 10 (définition des sinus et cosinus hyperboliques). Sinus et cosinus hyperbolique sont définis par
sinh(x) :=ex− e−x
2 , cosh(x) :=ex+ e−x
2 .
1. Simplifier cosh(ln(x)) autant que possible.
2. Vérifier que cosh2− sinh2= 1 puis que la dérivée de sinh est cosh et la dérivée de cosh est sinh.
3. Montrer que sinh est une bijection deR dans R et que sa fonction réciproque (notée argsinh) satisfait
∀y ∈ R argsinh(y) = ln¡ y +q 1 + y2¢
et argsinh0(y) = 1 p1 + y2.
4. Montrer que cosh est une bijection de [ 0, ∞[ dans [1,∞[ et que sa fonction réciproque (notée argcosh) satisfait
∀y ∈ [ 1, ∞[ argcosh(y) = ln¡ y +q y2− 1¢
et ∀y ∈]1,∞[ argcosh0(y) = 1 p y2− 1.
Exercice 11. Résoudre dansR les inégalités suivantes (pour chaque inégalité, la réponse est indiqué à droite) :
1. 1
x + 2− 1
x − 2< 1 + 1
4 − x2 . . . . . . . ]−∞,−2[∪]−1,1[∪]+2,+∞[
2. x|x| < 1 . . . ]−∞,1[
3. x2− 4|x| − 5 > 0 . . . ]−∞,−5[∪]5,+∞[
4. |4−x2|−|3−x| > x ¤−∞,−p
7£∪]−1,1[∪¤+p 7,+∞£
5. |x + 2| < 1 + |x − 1| . . . ]−∞,0[
6. p
2x + 1 > x . . . £−1/2,1+p 2£
7. p
x + 2 < x . . . ]2,+∞[
8. p
x2− 5x + 4 < x − 1 . . . [4,+∞[
9.
s
x2+ 8|x| − 9
x2− 1 ≥ x − 3 . . . ]−∞,5 +p17/2]\{−1,1}
10. p
4x2+ 3x − 1 ≥ 2x − 3 . . . ]−∞,−1]∪[1/4,+∞[
11.
p1 − 9x2+ 2x
3x − 2 > 0 . . . [−1/3,−1/p13[
12. p
x + 1 +p
x − 2 ≥ 3 . . . [3,+∞[
13.
p2x − 5
3 ≤ 3
p2x − 5 . . . ]5/2,7]
14. p
4 + |1 − x2| < x +p
5 . . . ]0,+∞[
15.
px + 1 3 − x −p
x < 0 . . . ]7 −p13/2,+∞[
16.
s x2− 1
x + 2 <p
x . . . [1,+∞[
17. sin x >
p3
2 . . . ]π/3+2kπ,2π/3+2kπ[ k∈Z
18. 1 − 2sin x
1 − 2cos x ≤ 0 . . . . . . . ]−π/3+2kπ,π/6+2kπ]∩]π/3+2kπ,5π/6+2kπ] k∈Z
19. sin x
p2 sin x − 1 ≥ 1 . . . ]π/6+2kπ,5π/6+2kπ[ k∈Z
TD2 - semaine 40
20. tan2x −p 3 tan x
tan2x − 1 < 1 . . . . . . . ]−π/4+kπ,π/6+kπ[∪]π/4+kπ,π/2+kπ[ k∈Z
21. e2x− ex
2e2x− 5ex+ 2> −1 . . . . . . . ]−∞,ln(1−p3/3)[∪]−ln2,ln(1+p3/3)[∪(ln2,+∞)
22. ln(x − 2)
p1 − ln(x − 2)< 2 . . . i2,e2(
p2−1)+2 h
23. (2/3)x−1− 1 p2 −p3
2x−1< 0 . . . ]1,5/2[
24. ex+ epx+ 2
e2x− e ≥ 0 . . . ]1/2,+∞[
25. (1/3[
px2−x−2< ]1/3)x+1 . . . ]−∞,−1[
26. µ 1 3
¶x2−1
> 9 . . . ;
27. 3x+2≤ 3
px2+x−2 . . . ]−∞,−2]
28. x − 1 <p
x + 4 . . . [−4,3 +p21/2[
29. log5(x − 7) > 2 . . . ]32;+∞[)
30. log2/3(x2− 1) > 2 . . . ]−p13/3,−1[∪]1,p13/3[
31. log1/2p
x < log1/2|x − 1| . . . ]3 −p5/2,3 +p5/2[\{1}
32. 32−x+ 2 · 3x< 19 . . . ]−ln 2/ln 3,2[
33. (2px− 2x)(ln2x − 4) ≤ 0 . . . ]0,e−2] ∪ [1,e2]
34. log2x +p x2+ 9
2x > 1 . . . ]0,3/2p2[
35. log1/4p
6 + x − x2< log1/4(x − 1) . . . ]1,5/2[
36. ln x − 2
ln x + 1 ≥ 0 . . . [1/e2,1[∪[e,+∞[
37. log1/2(72x− 7x+ 1) > 0 . . . ]−∞,0[
38. log2 |x| − 1
2 − |x + 3|≤ 2 . . . ]−21/5,−1[∪]−1,1[
39. 1
2ln x +1
2ln(1 − x) < ln2 +1
2ln 5 . . . ]1,5[
Exercice 12. Donner le domaine de définition des fonctions suivantes : 1. x 7→ x5− 3x2+ 2x − 7
2. x 7→x2−5x+61
3. x 7→p
x2− 3x − 4 4. x 7→1−px1−x 5. x 7→ ln(1 − x)
6. x 7→ ln(1 − x2) 7. x 7→ |ln(x)|
8. x 7→ex1−1
9. x 7→ tan(2x) 10. x 7→sin(2x)1
11. x 7→ x cos(x)1
12. x 7→ ln(x−1)(x+2)ex−1
13. x 7→i
x2−2x x2+4x+3
hα
, avecα ∈ R.
Exercice 13. Donner le domaine de définition de f et calculer l’inverse de f sur chaque intervalle où elle est monotone :
1) f (x) =x + 1
x − 1, 2) f (x) =2x + 3
3x + 2, 3) f (x) =x2+ 1 x + 1.
10
TD3 - semaine 41
Exercice 14 (discontinuité de première espèce). Soient f et g deux applicationq deR dans R satisfaisant
∀x ∈ R \ {0} f (x) := x
|x| et g (x) := x f (x).
Montrer que f n’est pas prolongeable par continuité en 0 et que g est prolongeable par continuité en 0.
Exercice 15 (discontinuité de seconde espèce). Soit f une application deR dans R satisfaisant
∀x ∈ R \ {0} f (x) := sin1 x. Montrer que f n’est pas prolongeable par continuité en 0.
Exercice 16 (fonction prolongeable par continuité). Soit f l’application deR \ {0} dans R définie par
∀x ∈ R \ {0} f (x) := x sin1 x. Montrer que f est prolongeable par continuité en 0.
Exercice 17. Étudier la continuité en 0 des fonctions f et g suivantes
f (x) :=
(sin(x)
x si x 6= 0,
1 si x = 0, g (x) :=
(x sin(x) si x 6= 0,
0 si x = 0.
Exercice 18. Soit f l’application définie par f : R → R
x 7→ f (x) =
x ln |x|
x−1 si x ∉ {0,1}, 1 si x = 1, 0 si x = 0.
Est-elle continue ? Exercice 19.
1. Soit f l’application définie par
f : R → R x 7→ f (x) =
(x2cos1x si x 6= 0,
0 si x = 0.
Établir si f est continue.
2. Soit f l’application définie par
f :R → R x 7→ f (x) =
(x2sinx1 si x 6= 0,
0 si x = 0.
Établir si f est continue.
TD3 - semaine 41
3. Soit f l’application définie par
f : R → R x 7→ f (x) =
(−x sin1x si x 6= 0,
0 si x = 0.
Établir si f est continue.
4. Soit f l’application définie par
f :R∗→ R
x 7→ f (x) = x 1 + e1/x. 4.1. Montrer que f est continue.
4.2. f est-elle prolongeable par continuité en 0 ? 4.3. Calculer limx→−∞f (x) et limx→+∞f (x).
5. Soit f l’application définie par
f : R∗→ R
x 7→ f (x) = x − 1 − ln|x|.
5.1. Établir si f est continue.
5.2. Calculer les limites de f en 0, en −∞ et en +∞.
Exercice 20 (application du théorème des valeurs intermédiaires).
B Montrer qu’il existe x ∈]0,1[ tel que x17+ x − 1 = 0.
B En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires, déduire le nombre de solutions de l’équation x2− 16 = 0 sur l’intervalle ] − ∞, 0[ sans résoudre l’équation.
B Combien de solutions a-t-elle l’équation x2− e = 0 dans ] − ∞, 0 ].
B Combien de solutions a-t-elle l’équation x3−pπ = 0 dans ]0,+∞,0[.
B Soit f une application de [ 0, 1 ] dans [ 0, 1 ]. Montrer que si f est continue en tout point de [ 0, 1 ] alors il existe x0∈ [ 0, 1 ] tel que f (x0) = x0, autrement dit f a un point fixe.
B Montrer qu’il existe x ∈]0,1[ tel que x7+ x3− 1 = 0, puis qu’il est unique. Déterminer x par dichotomie avec une précision de 1/8.
B Montrer qu’il existe un unique réelα appartenant à ] − 0,3,−0,2[ tel que g(α) = 0.
B En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires, déduire le nombre de solutions de l’équation x2−p
2 = 0 sur l’intervalle ] − ∞,0[ sans résoudre l’équation.
B En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires, déduire le nombre de solutions de l’équation x2− 16 = 0 sur l’intervalle ]0, +∞[ sans résoudre l’équation.
Exercice 21. Montrer que toute fonction polynomiale de degré impair possède au moins un zéro réel.
12
TD4 - semaine 42
Exercice 22. Calculer les dérivées des fonctions suivantes, en précisant leur domaine de définition 1. sin(x2)
2. log(x2+ x + 1) 3. log(|log x|) 4. log(|log(|x|)|)
5. 1
1 + tan x
6.
s
x2+ x + 1 x2− x + 1 7. log|x − 2|
|x + 1|
8. arcsin(sin3x)
Exercice 23. Utilisez la règle de l’Hôpital pour trouver les valeurs des limites suivantes : 1. lim
x→0
³ 1
sin(x)−tan(x)1
´ 2. lim
x→0 x 1−p
1−x
3. lim
x→0
³ 1 sin(x)−x1
´
4. lim
x→0
³1
x2−cos(ax)x2
´
5. lim
x→0
sin(x)−x+x36 x5
Exercice 24. Soit f (x) :=¡1−x
1+x
¢ln(x)
. Quel est son domaine de définition ? Est-elle prolongeable par conti- nuité en 0 ?
Exercice 25. Les fonctions suivantes admettent-elles des dérivées en 0 ? 1. |x|
2. |x|navec n ≥ 2 3. |x|1/2
4. x log |x|
5. f (x) = x2cos1x si x 6= 0 et f (0) = 0 6. f (x) = x2sin1x si x 6= 0 et f (0) = 1 Exercice 26. Étudier l’existence d’une dérivée à droite et à gauche au point considéré :
1. |x2− 1| en 1 2. min(2 − x, x2) en 1 3. q
(x − 1)(sinπx4 − cosπx4 ) en 1
4. exp[−1/x2] en 0 5. exp[−log2(|x|)] en 0.
Exercice 27. Étudier la continuité et la dérivabilité des fonctions deR dans R ci-dessous puis la continuité des fonctions dérivées.
1. f (x) := |x|, 2. g (x) := |x2− 1|, 3. h(x) :=1+|x|x ,
4. j (x) := x sin(x)sin(1x) si x 6= 0 et j (0) := 0,
5. k(x) := e−1/x2 si x 6= 0 et k(0) := 0,
6. `n(x) := xnsin1x si x 6= 0 et `n(0) := 0, (pour n = 1,2,3).
Exercice 28. Soit f l’application deR \ {0} dans R définie par f (x) :=
(x3sin1x si x < 0, x2|x − 1| si x > 0.
TD4 - semaine 42
1. Montrer que f peut-être prolongée par continuité en 0.
Dans la suite ce prolongement sera encore noté f .
2. Calculer f0(x) pour x < 0, puis limx→0−f0(x).
3. Calculer f0(x) pour x ∈]0,1[, puis limx→0+f0(x).
4. Étudier la dérivabilité de f dansR.
Exercice 29. Un automobiliste entre sur une autoroute où la vitesse est limitée à 130 Km/h. Quand il ressort, deux heures plus tard et à 305 Km de son point d’entrée, des gendarmes lui dressent un PV pour excès de vitesse, bien que sa vitesse n’ait été jamais matériellement contrôlée. Ont-ils raison ?
Exercice 30. Soit fα:R → R une application définie par
fα(x) =
(xαcos1x, si x 6= 0, 0, si x = 0.
Pourα = 0,1,2,3, répondre aux questions suivantes : B fαest-elle continue en x = 0 ?
B fαest-elle dérivable en x = 0 ? B fαest-elle de classeC1(R) ?
Exercice 31. Soit f :R → R une application définie par
f (x) =
x3cos1x, si x > 0, 0, si x = 0, x3sin1x, si x < 0.
1. Établir si f est continue en x = 0.
2. Calculer f0(x) pour x 6= 0. En déduire l’équation de la droite tangente à f en x =π1. 3. Établir si f est dérivable en x = 0.
4. Établir si f est f est de classeC1(R).
Exercice 32. Appliquer le Théorème des accroissements finis pour donner une majoration de l’erreur quand on remplacep
10001 par 100.
Exercice 33. Montrer que la dérivée n-ième de f (x) = sin x est donnée par f(n)(x) = sin(x + nπ/2). En déduire le développement de Taylor de f aux points x = 0 et x = π/2. Donner une majoration de l’erreur
| f (x) − P3(x)| au voisinage de 0 (Pndésigne la partie polynomiale d’ordre n.)
Exercice 34. À l’aide de la formule de Leibnitz, calculer la dérivée d’ordre k de la fonction f (x) = x3(1−x)3. Montrer qu’elle atteint son maximum sur l’intervalle [0, 1] au point x = 1/2.
14
TD6 - semaine 45
Exercice 35 (développements limités usuels). Montrer que
ln(1 + x) =
k=nX
k=1
(−1)k+1xk
k + o¡xn¢ = x −x2 2 +x3
3 −x4
4 + · · · + (−1)n+1xn
n + o¡xn¢ ln(1 − x) = −
k=nX
k=1
xk
k + o¡xn¢ = −x −x2 2 −x3
3 −x4
4 + · · · −xn
n + o¡xn¢ ex=
k=nX
k=0
xk
k! + o¡xn¢ = 1 + x +x2 2 +x3
6 +x4
24+ · · · +xn
n! + o¡xn¢
sin(x) =
k=nX
k=0
(−1)k x2k+1
(2k + 1)!+ o¡x2n+2¢ = x −x3 6 + x5
120+ · · · + (−1)n x2n+1
(2n + 1)!+ o¡x2n+2¢ cos(x) =
k=nX
k=0
(−1)k x2k
(2k)!+ o¡x2n+1¢ = 1 −x2 2 +x4
24+ · · · + (−1)n x2n
(2n)!+ o¡x2n+1¢ tan(x) = x +x3
3 +2x5
15 +17x7
315 + o¡x8¢
arcsin(x) = x +x3 6 +3x5
40 + · · · +
¯
¯
¯
¯
¯ Ã−12
n
!¯
¯
¯
¯
¯ x2n+1
2n + 1+ o¡x2n+2¢ arccos(x) =π
2− arcsin(x) arctan(x) =
k=nX
k=0
(−1)kx2k+1
2k + 1+ o¡x2n+1¢ = x −x3 3 +x5
5 −x7
7 + · · · + (−1)nx2n+1
2n + 1+ o¡x2n+2¢
sinh(x) =
k=nX
k=0
x2k+1
(2k + 1)!+ o¡x2n+2¢ = x +x3 6 + x5
120+ · · · + x2n+1
(2n + 1)!+ o¡x2n+2¢ cosh(x) =
k=nX
k=0
x2k
(2k)!+ o¡x2n+1¢ = 1 +x2 2 +x4
24+ · · · + x2n
(2n)!+ o¡x2n+1¢ tanh(x) = x −x3
3 +2x5
15 −17x7
315 + o¡x8¢
(1 + x)α=
k=nX
k=0
Ãα k
!
xk+ o¡xn¢ = 1 + αx +α(α − 1)
2 x2+α(α − 1)(α − 2)
6 x3+ · · · +Ãα n
!
xn+ o¡xn¢
avec les cas particuliers p1 + x = 1 +x
2−x2 8 +x3
16−5x4
128+ o¡x4¢
TD6 - semaine 45
p 1
1 + x == 1 −x 2+3x2
8 −5x3 16 +5x4
128+ o¡x4¢ p1 − x = 1 −x
2−x2 8 −x3
16−5x4
128+ o¡x4¢ 1
1 + x =
k=nX
k=0
(−1)kxk+ o¡xn¢ = 1 − x + x2− x3+ · · · + (−1)nxn+ o¡xn¢ 1
1 − x =
k=nX
k=0
xk+ o¡xn¢ = 1 + x + x2+ x3+ · · · + xn+ o¡xn¢
Exercice 36. Calculer les développements limités à l’ordre 2 au point 0 puis au point 1 des fonctions suivantes
1. f1(x) := x,
2. f2(x) := x4+ 5x3+ 2x2− 1,
3. f3(x) :=1+x1 , 4. f4(x) :=1+x(1+x)2+x44.
Exercice 37. Soit f l’application deR \ {0} dans R définie par f (x) := x3sin1x. Calculer le développement limité à l’ordre 2 en 0 de f puis montrer que f n’admet pas de développement limité à l’ordre 3 en 0.
Exercice 38. Calculer les développements limités à l’ordre 3 en 0 des fonctions ln(cos x), p
1 + x et p1 + sin x.
Exercice 39. Calculer le développement limité à l’ordre 3 en 0 de f (x) := arctanx+2x de trois façons : 1. par la formule de Taylor,
2. par composition de développements limités,
3. en commençant par calculer le développement limité de f0. Exercice 40. Soit f l’application deR∗dansR définie par
∀x ∈ R∗ f (x) =¡1 + x2¢1/x
. 1. Calculer le développement limité à l’ordre 3 en 0 de g (x) := ln f (x).
2. Montrer que f est prolongeable par continuité en 0. Dans la suite on notera ce prolongement f .
3. Montrer que f est dérivable en tout point deR.
4. Montrer que f0est continue en tout point deR.
Exercice 41. Calculer les limites suivantes (a) lim
x→0
¡1−cos x
sin x
¢ (b) lim
x→0
¡arctan x−sin x tan x−arcsin x
¢ (c) lim
x→+∞
³
coshx12
´x2
(d) lim
x→0
³ cos x−ex arcsin x−x2
´ (e) lim
x→0
¡ 1
x−sin x+x−sinh x1 ¢ (f ) lim
x→0¡x +p x¢ ln x (g) lim
x→0
³1
x2lnsin xx ´
(h) lim
x→+∞¡1 +7x¢x
(i) lim
x→0
(1+x)x1−e x
(j) lim
x→+∞
p3
x3+ x + 1 −p x2+ x (k) lim
x→0
x−sin x ex−1−x−x22
(l) lim
x→0
2(tan x−sin x)−x3 x5
(m) lim
x→a
sin x−sin a x−a
(n) lim
x→0
x−x cos x x−sin x
16
(o) lim
x→π2(cos x)π2−x (p) lim
x→0
ex−e−x−2x x−sin x
(q) lim
x→0
³1
x−ln(1+x)1
´ (r) lim
x→0
sin x(tanh x−x)
ln(1+x) (Rappel : tanh(x) =eexx−e+e−x−x.)
Exercice 42. Calculer la partie polynomiale des développements de Taylor au point x0à l’ordre 2 des fonctions
(a) f (x) = epcos xen x0= 0 (b) f (x) =¡1+x
1−x
¢3
en x0= 0
(c) f (x) = (1 +p
1 + x2)−1/2en x0= 1 (d) f (x) = log¡sin x
x ¢ en x0= 0
Exercice 43. Déduire de la formule de Taylor-Lagrange l’estimation x−x63 ≤ sin x ≤ x−x63+120x5 , 0 ≤ x ≤ π/2.
Exercice 44. Déduire de la formule de Taylor-Lagrange les estimations x −x22 ≤ log(1 + x) ≤ x, et x −x22≤ log(1 + x) ≤ x −x22+x33, x ≥ 0.
Exercice 45.
1. Déterminer le développement limité de la fonction f (x) = sin x enπ3 à l’ordre 3.
2. Déterminer le développement limité de la fonction f (x) = ex− 1 + sin x − 2x −x22 en 0 à l’ordre 4.
3. Déterminer le développement limité de la fonction g (x) = (1 + sin x)1x en 0 à l’ordre 2.
4. Déterminer le développement limité asymptotique en −∞ et en +∞ de la fonction `(x) = x x − 1
px2+ 1 à l’ordre 1.
5. Déterminer le développement limité de la fonction h(x) =(1+x)ln x2 en 1 à l’ordre 2.
Exercice 46.
a) Écrire
B le développement limité de sin x en 0 à l’ordre 3 ; B le développement limité de e2x en 0 à l’ordre 3.
Puis calculer
B le développement limité de f (x) = sin x × e2x en 0 à l’ordre 3.
B le développement limité de g (x) =sin xe2x en 0 à l’ordre 3.
b) Trouver le développement limité de cos x en π6 à l’ordre 3.
c) Calculer
x→0lim
1 − cos(2x) ex− 1 − x .
TD7 - semaine 46
Exercice 47 (développement limité au voisinage de l’infini). Déterminer les asymptotes de la courbe d’équation
y = 5x + 3p x2− 1.
Préciser la position de la courbe par rapport à ces asymptotes.
Exercice 48 (développement limité au voisinage de l’infini).
1. Calculer le développement limité à l’ordre 3 en 0 de ln¡1 + y + y2¢.
2. Calculer le développement limité à l’ordre 2 au voisinage de l’infini de la fonction
f (x) := (2x − 1)ln x2 1 + x + x2. 3. Calculer la limite de x2¡ f (x) + 2¢ quand x tend vers +∞.
Exercice 49. On considère la fonction f (x) = x +p x2+ x.
B Écrire le développement limité de r³
1 +1x
´
en ±∞ à l’ordre 3.
B En déduire le développement asymptotique de f à l’ordre 2 en −∞ et en +∞.
B Écrire les équations des asymptotes pour f en −∞ et en +∞.
Exercice 50 (définition des arcsinus et arccosinus).
1. Montrer que l’application f de [ −π2, +π2] dans [ −1,+1] définie par
∀x ∈ [ −π 2, +π
2] f (x) := sin x,
est bijective. La fonction réciproque f−1est notée “arcsin”. Montrer que
∀y ∈] − 1, +1 [ arcsin0(y) = 1 p1 − y2. 2. Montrer que l’application g de [ 0,π] dans [−1,+1] définie par
∀x ∈ [ 0, +π ] g (x) := cos x,
est bijective. La fonction réciproque g−1est notée “arccos”. Montrer que
∀y ∈] − 1, +1 [ arccos0(y) = − 1 p1 − y2.
TD7 - semaine 46
Exercice 51.
1. Étudier les fonctions
f (x) = arcsin(2x), g (x) = arccos(x/2), h(x) = arccos(x + 2).
Puis calculer leur inverse sur des intervalles convenables.
2. Calculer l’inverse de f (x) = sin(x2) sur chacun des intervalles h
−q
π 2, 0
i et
h 0,q
π 2
i .
Exercice 52 (définition de l’arctangente). Montrer que la fonction f de ] −π2, +π2[ dansR définie par
∀x ∈] −π 2, +π
2[ f (x) := sin x cos x est bijective. La fonction réciproque f−1est notée “arctan”. Montrer que
∀y ∈ R arctan0(y) := 1 1 + y2.
Exercice 53. Étudier la fonction f (x) = x log x sur R+. Déterminer ses limites aux bornes du domaine de définition. Montrer (sans chercher à le calculer) que f admet une inverse f−1 sur les intervalles I1= [0, 1/e] et I2= [1/e, +∞[. Calculer les limites de f−1aux bornes de son domaine de définition.
Exercice 54(application du théorème des accroissements finis). Soit I un intervalle ouvert non vide et f une application de I dansR. On suppose que f est dérivable en tout point de I.
1. Montrer que
∀x ∈ I f0(x) = 0 ⇐⇒ ∃c ∈ R ∀x ∈ I f (x) = c.
2. Montrer que pour tout x ∈ R \ {0} on a
arctan(x) + arctan1 x =
( π
2 si x > 0,
−π2 si x < 0.
3. Montrer que pour tout x ∈ R \ {1} on a
arctan1 + x
1 − x− arctan(x) = ( π
4 si x > 1,
−3π4 si x < 1.
4. Montrer que pour tout x ∈ [−1,+1] on a
arcsin(x) + arccos(x) =π 2.
20
TD8 - semaine 47
Exercice 55. Donner le développement limité en 0 des fonctions : 1. x 7→ log(cos(x)) à l’ordre 4,
2. x 7→ tan(x) à l’ordre 3, 3. x 7→ sin(tan(x)) à l’ordre 3,
4. x 7→ (log(1 + x))2à l’ordre 2, 5. x 7→ exp(sin(x)) à l’ordre 3, 6. x 7→ sin6(x) à l’ordre 9.
Exercice 56. Calculer lim
x→0
arctan x − sin x
tan x − arcsin x. On pourra tout développer à l’ordre 3.
Exercice 57. Faire un développement limité ou asymptotique en a à l’ordre n de :
1. log(cos(x)), n = 6, a = 0.
2. arctan(x) − x
sin(x) − x , n = 2, a = 0.
3. log¡tan¡x2+π4¢¢, n = 3, a = 0.
4. log(sin x), n = 3, a =π4.
5. p3
x3+ x −p3
x3− x, n = 4, a = +∞.
6. (1 + x)x1, n = 3, a = 0.
7. x(p x2+p
x4+ 1 − xp
2), n = 2, a = +∞.
Exercice 58.
1. Soit f :R → R la fonction définie par f (x) = 0 si x ≤ 0 et f (x) = e−1x sinon. Calculer, pour tout n ∈ N, le développement limité de f en 0. Quelles conclusions en tirer ?
2. Soit g :R → R la fonction définie par g(0) = 0 et, si x 6= 0, g(x) = x3sinx1. Montrer que g a un développement limité d’ordre 2 en 0 mais n’a pas de dérivée seconde (en 0).
Exercice 59. Étudier les variations et donner une représentation graphique de la fonction f : R → R
x 7→ f (x) = x + ln(x2− 1) en répondant aux questions suivantes :
1. domaine de définition
2. comportement aux extrémités du domaine de définition 3. extrema locaux, sens de variation et tableaux des variations 4. convexité, concavité
5. comportement en ±∞ (recherche d’asymptotes) 6. graphe
Exercice 60. Étudier les variations et donner une représentation graphique de la fonction f : R → R
x 7→ f (x) = 2x +p x2− 1 en répondant aux questions suivantes :
TD8 - semaine 47
1. domaine de définition et régularité
2. comportement aux extrémités du domaine de définition 3. extrema locaux, sens de variation et tableaux des variations 4. convexité, concavité
5. comportement en ±∞ (recherche d’asymptotes) 6. graphe
Exercice 61. Étudier les variations et donner une représentation graphique de la fonction f : R → R
x 7→ f (x) =ln2x x2 en répondant aux questions suivantes :
1. domaine de définition et régularité
2. comportement aux extrémités du domaine de définition 3. extrema locaux, sens de variation et tableaux des variations 4. convexité, concavité
5. comportement en +∞ (recherche d’asymptotes) 6. graphe
Exercice 62. Soit f :R∗→ R définie par f (x) = xe−xsi x > 0 et f (x) = xexsi x < 0.
1. Montrer que f admet un prolongement par continuité en 0. On continuera de noter f ce prolonge- ment.
2. Montrer que f est dérivable en 0.
3. Montrer que f est continument dérivable surR, ce que l’on note par f ∈C1(R).
4. Montrer que f admet une dérivée seconde en 0 et que f ∈C2(R).
5. Tracer le graphe de f .
Exercice 63. Soit f :R∗→ R définie par f (x) =
p1+x−1 x
1. DéterminerDf. f est elle dérivable surDf ? Admet-elle une demi-tangente en −1 ?
2. Montrer que f admet un prolongement par continuité en 0 et étudier l’existence d’une dérivée de ce prolongement en ce point, noté ef .
3. Dresser le tableau de variation de ef , montrer que ef est bijective surDfeet déterminer explicitement fe−1
22
TD9 - semaine 48
Exercice 64. Étudier les variations et donner une représentation graphique de la fonction f : R → R
x 7→ f (x) = ln(x − x5) en répondant aux questions suivantes :
1. domaine de définition
2. comportement aux extrémités du domaine de définition 3. extrema locaux, sens de variation et tableaux des variations 4. comportement en −∞ (recherche d’asymptotes)
5. graphe
Exercice 65. Étudier les variations et donner une représentation graphique de la fonction f :R → R
x 7→ f (x) = x2 ln(x2) − 1 en répondant aux questions suivantes :
1. domaine de définition
2. comportement aux extrémités du domaine de définition 3. extrema locaux, sens de variation et tableaux des variations 4. comportement en ±∞ (recherche d’asymptotes)
5. graphe
Exercice 66. Soit f :R → R une application définie par
f (x) =
(x2ln |x|, si x 6= 0, 0, si x = 0.
1. Montrer que f est continue en 0.
2. Calculer f0(x) pour x 6= 0, puis f0(0).
3. Étudier la continuité de f0en 0.
4. Établir si f ∈ C1(R).
5. Calculer les limites de f aux extrémités du domaine de définition.
6. Trouver les extrema locaux, sens de variation et tableau des variations.
7. Étudier le comportement de f en ±∞ (recherche d’asymptotes).
8. Dresser le graphe de f .
TD9 - semaine 48
Exercice 67. Soit g la fonction définie par g (x) =1+xx+12+ arctan x.
1. Quel est le domaine de définition de g ? 2. Étudier ses variations.
3. Montrer que g s’annule une et une seule fois surR en un point α compris entre −1 et 0 (on ne demande pas de préciser la valeur deα).
4. Dessiner le graphe de g .
Exercice 68. Soit f la fonction définie surR par f (x) = (x + 1)arctanx.
1. Calculer la dérivée de f et établir son tableau de variation.
2. Le graphe de f a-t-il des points d’inflexion ? Si oui, donner les coordonnées de ce (ou ces) point(s).
3. Donner l’équation de la tangente au point d’abscisse x = 0 au graphe de f et la position de ce graphe par rapport à cette tangente (au voisinage de ce point).
24
Résumé de cours
Équations et inégalités dans R
Équations et inégalités rationnelles
Propriétés des puissances
À ab· ac= ab+c Á ab: ac = ab−c  ¡ab¢c= ab·c à (a · b)c= ac· bc Ä (a : b)c= ac: bc Å (a)c=µ 1
a
¶−c
Æ pc a = a1/c
Produits à apprendre par cœur
À (A ± B)2= A2± 2AB + B2
Á (A ± B)3= A3± 3A2B + 3AB2± B3
 (A ± B +C )2= A2+ B2+C2± 2AB + 2AC ± 2BC à (A − B −C )2= A2+ B2+C2− 2AB − 2AC + 2BC Ä (A2− B2) = (A − B) · (A + B)
Å (A3− B3) = (A − B) · (A2+ AB + B2) Æ (A3+ B3) = (A + B) · (A2− AB + B2) En générale on a que
B le binôme xn+ an
B avec n impaire n’est divisible que par x + a et on a
xn+ an = (x + a) · (xn−1 − axn−2 + · · · − an−2x + an−1),
B avec n paire il n’est pas factorisable dansR ; B xn− an
B avec n impaire n’est divisible que par x − a et on a
xn− an = (x − a) · (xn−1 + axn−2 + · · · + an−2x + an−1),
Équations et inégalités dansR
B avec n paire il est divisible par x − a et par x + a. Pour le factoriser, il convient de considérer le binôme comme la différence de deux carrées :
xn− an = ¡xn/2+ an/2¢ · ¡xn/2− an/2¢ .
On vérifie ensuite si les deux binômes ainsi obtenus sont encore factorisables surR.
Équations et inégalités de degré
1Solutions Solutions de Solutions de de l’équation l’inégalité l’inégalité
ax = b ax > b ax < b Si a > 0 x =b/a x >b/a x <b/a
Si a < 0 x =b/a x <b/a x >b/a
Équations et inégalités de degré
2 On ne considère ici que le cas a > 0 auquel on peut toujours se reconduire.Soit Solutions Solutions de Solutions de
∆ := b2− 4ac de l’équation l’inégalité l’inégalité (a > 0) ax2+ bx + c = 0 ax2+ bx + c > 0 ax2+ bx + c < 0 Si∆ > 0 x1,2=−b ±p
b2− 4ac
2a x < x1 ∨ x > x2 x1< x < x2
(x1< x2) Si∆ = 0 x1= x2= − b
2a x 6= − b
2a 6 ∃ solution Si∆ < 0 6 ∃ solution réelle ∀x ∈ R 6 ∃ solution
Rappelons que
B ax2 + bx + c = a (x − x1) (x − x2) B
(x1 + x2 = −b/a x1 · x2 =c/a
Le tableau ci-dessus a une interprétation géométrique : si on associe au trinôme ax2+ bx + c la parabole d’équation y = ax2+ bx + c, on peut interpréter les solutions de l’équation ax2+ bx + c = 0 comme les intersections de la courbe représentative de la parabole avec l’axe des x. Ci-dessous, les figures de gauche représentent les trois possibles positions de la parabole lorsque a > 0 : du haut vers le bas on a aucune intersection, une intersection et deux intersections (respectivement,∆ > 0, ∆ = 0, ∆ < 0). À droite les trois cas lorsque a < 0 : du haut vers le bas on a deux intersections, une intersection et aucune intersection (respectivement,∆ < 0, ∆ = 0, ∆ > 0). Pour résoudre les inégalités ax2+ bx + c > 0 ou ax2+ bx + c < 0 il suffit d’étudier la position de la parabole y = ax2+ bx + c par rapport à l’axe des x :
B les cercles représentent les solutions de l’équation ax2 + bx + c = 0 ; B enbleuon a les solutions de l’inégalité ax2 + bx + c > 0 ;
B envert pointilléles solutions de l’inégalité ax2 + bx + c < 0.
28
x f (x)
a > 0, ∆ > 0
x f (x)
a < 0, ∆ > 0
x f (x)
a > 0, ∆ = 0
x f (x)
a < 0, ∆ = 0
x f (x)
a > 0, ∆ < 0
x f (x)
a < 0, ∆ < 0
