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Academic year: 2022

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(1)

TS (spécialité) DS 5 2012-2013

EXERCICE 1 :

Enseignement de spécialité : Pondichéry 2013

On étudie l’évolution dans le temps du nombre de jeunes et d’adultes dans une population d’animaux.

Pour tout entier naturel n , on note j

n

le nombre d’animaux jeunes après n années d’observation et a

n

le nombre d’animaux adultes après n années d’observation.

Il y a au début de la première année de l’étude, 200 animaux jeunes et 500 animaux adultes.

Ainsi j

0

= 200 et a

0

= 500.

On admet que pour tout entier naturel n on a :

( j

n+1

= 0, 125j

n

+ 0, 525a

n

a

n+1

= 0, 625j

n

+ 0, 625a

n

On introduit les matrices suivantes : A = 0, 125 0, 525

0, 625 0, 625

!

et, pour tout entier naturel n, U

n

= j

n

a

n

! . 1. (a) Montrer que pour tout entier naturel n, U

n+1

= A × U

n

.

(b) Calculer le nombre d’animaux jeunes et d’animaux adultes après un an d’observation puis après deux ans d’observation (résultats arrondis à l’unité près par défaut).

(c) Pour tout entier naturel n non nul, exprimer U

n

en fonction de A

n

et de U

0

. 2. On introduit les matrices suivantes Q = 7 3

− 5 5

!

et D = − 0, 25 0

0 1

! .

(a) On admet que la matrice Q est inversible et que Q

−1

= 0, 1 −0, 06 0, 1 0, 14

! . Montrer que Q × D × Q

−1

= A.

(b) Montrer par récurrence sur n que pour tout entier naturel n non nul : A

n

= Q × D

n

× Q

−1

. (c) Pour tout entier naturel n non nul, déterminer D

n

en fonction de n.

3. On admet que pour tout entier naturel n non nul,

A

n

= 0, 3 + 0, 7 × ( − 0, 25)

n

0, 42 − 0, 42 × ( − 0, 25)

n

0, 5 − 0, 5 × ( − 0, 25)

n

0, 7 + 0, 3 × ( − 0, 25)

n

!

(a) En déduire les expressions de j

n

et a

n

en fonction de n et déterminer les limites de ces deux suites.

(b) Que peut-on en conclure pour la population d’animaux étudiée ?

EXERCICE 2 :

Pour tout entier naturel n non nul, on considère les nombres :

a

n

= 4 × 10

n

− 1, b

n

= 2 × 10

n

− 1 et c

n

= 2 × 10

n

+ 1 1. (a) Calculez a

1

, b

1

, c

1

, a

2

, b

2

, c

2

, a

3

, b

3

et c

3

.

(b) Combien les écritures décimales des nombres a

n

, b

n

et c

n

ont-elles de chiffres ? Démontrez que a

n

et c

n

sont divisibles par 3. (congruences)

(c) Démontrez, en utilisant la liste des nombres premiers inférieurs à 100, que b

3

est premier.

(d) Démontrez que, pour tout entier naturel non nul n : b

n

× c

n

= a

2n

Déduisez-en la décomposition en produit de facteurs premiers de a

6

. (e) Démontrez que :

PGCD(b

n

; c

n

)=PGCD(c

n

; 2) Déduisez-en que b

n

et c

n

sont premiers entre eux.

2. On considère l’équation :

b

3

x + c

3

y = 1 [1]

d’inconnues les entiers relatifs x et y.

(a) Justifiez le fait que [1] possède au moins une solution.

(b) Appliquez l’algorithme d’Euclide aux nombres c

3

et b

3

; déduisez-en une solution particulière de [1].

(c) Résolvez [1].

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