; Corrigé DS 5 <

(1)

; Corrigé DS 5 <

Exercice 2

Rappel de cours :

On rappelle que : SoientAun point de l’espace,dune droite de l’espace,→−u un vecteur directeur de la droitedetBun point ded. SiHest le projeté orthogonal deAsurdalors :

−−→AH=−→AB−

−→AB· −→u

||−→u||²

−

→u

On considère un cube ABCDEFGH.

Le point M est le milieu de [BF], I est le milieu de [BC], le point N est défini par la relation

−−→CN =1 2

−−→GC et le point P est le centre de la face ADHE.

+

A

B C

D E

F G

H

I M

P

N Partie A :

1. Justifier que la droite (MN) coupe le segment [BC] en son milieu I.

Solution :On a−−→B M=1 2

−→B F=1 2

CG−−→=−−→NCdonc le quadrilatère BMCN est un parallélogramme donc droite (MN) coupe le segment [BC] en son milieu I (les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu.

2. Construire, sur la figure la section du cube par le plan (MNP).

Partie B :

On munit l’espace du repère orthonormé³

A ;−−→AB ,−−→AD , −→AE´ .

(2)

Corrigé du baccalauréat S A. P. M. E. P.

1. Justifier que le vecteur−→n



 1 2 2



est un vecteur normal au plan (MNP).

Solution :Les coordonnées des vecteurs−−→M N



 0 1

−1



et−−→M P





−1 1/2 0



. Or

−

→n·−−→

M N=1×0+2×1−2×1=0 et −→n·−−→

M P= −1+1+0=0 2. Déterminer la distance de G au plan (MNP).

Solution :La distance deGau plan (M N P) : d(G,(M N P))=|−→n ·G M−−→|

||−→n|| =|1×0+2×(−1)+2×(−1/2)| p1²+2²+2² =3

3=1 3. Étude du quadrilatère (E D I M).

a. Déterminer le projeté orthogonalH deP sur la droite (M I). Vous commencerez par déterminer un vecteur directeur de la droite (M I).

Solution :−−→M I



 0 1/2

−1/2



est une vecteur directeur de la droite (M I). Donc :

−−→P H=−→P I−

−→P I·−−→M I

||−−→M I||²

−−→M I=−→P I−1×0+0×1/2−1/2×(−1/2) 1/2

−−→M I=−→P I−1 2

−−→M I

−−→P H:



 1 0

−1/2



−1 2



 0 1/2

−1/2



=



 1

−1/4



 donc H(1,1/4,1/4)

b. Déterminer la distance dePà la droite (M I).

Solution :

P H=p

1²+1/4²+1/4²=3p 2 4

4. a. Justifier que les droites (E D) et (M I) sont parallèles et en déduire que les quatre points M, E, D et I sont coplanaires.

Solution :Par le théorème des milieux, on a−→F C =2−−→M I or −→F C=−−→E D. Donc−−→E D=2−−→M I . Les droites (E D) et (M I) sont donc parallèles et donc coplanaires. Donc M, E, D et I sont coplanaires.

b. En déduire que l’aire du quadrilatère (MEDI) est9

8unités d’aire.

Solution :

Ai r e=

p2 2 +p

2 2 ×3p

2 4 =9

8 c. Calculer le volume de la pyramide GMEDI.

Liban Page 2 31 mai 2019

(3)

Solution :

V_(GMEDI):1

3A(AEDI)×GK=1 3×9

8×1=3

8unité de volume.

Exercice 3

Le plan est muni d’un repère orthogonal (O, I, J).

1. On considère la fonctionf définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par f(x)=x(1−lnx)².

a. Déterminer une expression de la fonction dérivée de f et vérifier que pour toutx∈]0 ; 1], f^′(x)= (lnx+1)(lnx−1).

Solution :

f est dérivable sur ]0 ; 1] comme produit de fonctions dérivables sur ]0 ; 1].

f =uv² =⇒ f^′=u^′v²+2uv^′vavec

(u(x)=x

v(x)=1−ln(x) =⇒







u^′(x)=1 v^′(x)= −1

x

∀x∈]0 ; 1] , f^′(x)=

³1−ln(x)´2

−2³

1−ln(x)´

=

³1−ln(x)´ ³

1−ln(x)−2´ On a donc bien∀x∈]0 ; 1] , f^′(x)=³

ln(x)+1´ ³

ln(x)−1´ .

b. Étudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de variations sur l’intervalle ]0; 1] (on admettra que la limite de la fonctionf en 0 est nulle).

Solution :

•³

ln(x)−1´

<0⇔ln(x)<1⇔x<e

•

³ln(x)+1´

<0⇔ln(x)< −1⇔x<e⁻¹ x

lnx+1 lnx−1 f^′(x)

f(x)

0 e⁻¹ e +∞

− 0 + 0 +

− 0 − 0 +

+ 0 − 0 +

0

4e⁻¹ 4e⁻¹

00

+∞

1

2. Étude de la convexité.

a. Vérifier que pour toutx∈]0 ;+∞[, f^′′(x)=2lnx x . Solution :

f^′′(x)=1

x(lnx−1)+1

x(lnx+1)=2lnx x

b. En déduire la convexité de la fonctionf.

Solution :Comme sur [0,+∞[xest positif, le signe def^′′(x) est celui de lnx:

(4)

x f^′′(x) conv exi téd e f

0 1 +∞

− 0 +

conc av e 0 conv exe c. Point d’inflexion :

Solution :D’après la question précédente il y a un point d’inflexion pourx=1 dont les coordonnées sont (1,1).

3. On noteΓla courbe représentative de la fonctiongdéfinie sur l’intervalle ]0; 1] parg(x)=lnx.

Soita un réel de l’intervalle ]0; 1]. On noteM_a le point de la courbeΓd’abscissea etd_a la tangente à la courbeΓau pointMa. Cette droitedacoupe l’axe des abscisses au pointNaet l’axe des ordonnées au point Pa.

On s’intéresse à l’aire du triangle ON_aP_aquand le réelavarie dans l’intervalle ]0; 1].

a. Dans cette question, on étudie le cas particulier oùa=0,2.

i. Déterminer graphiquement une estimation de l’aire du triangle ON_0,2P_0,2en unités d’aire.

Solution :ON_0,2≈0,5 et OP_0,2≈2,6

On en déduit que l’aire du triangle ON_0,2P0,2est d’environ 0,5×2,6

2 =0,65 unités d’aire.

ii. Déterminer une équation de la tangented_0,2. Solution :∀x∈]0 ; 1]g^′(x)=1

x.

d_0,2est de coefficient directeurg^′(0,2)= 1

0,2=5. On a doncd_0,2 : y=5x+b Ord0,2passe parM0,2

³0,2 ; ln(0,2)´

, on en déduitb=ln(0,2)−1= −1−ln(5) Finalementd_0,2 : y=5x−ln(5)−1

iii. Calculer la valeur exacte de l’aire du triangle ON_0,2P_0,2. Solution :OP_0,2= |ln(0,2)−1| =1+ln(5)

5x+ln(0,2)−1=0⇐⇒x=1+ln(5)

5 donc ON_0,2=1+ln(5) 5 L’aire du triangle ON_0,2P_0,2est donc(1+ln(5))²

10 ≈0,681 unités d’aire.

Dans ce qui suit, on admet que, pour tout réelade l’intervalle ]0; 1], l’aire du triangle ON_aP_a en unités d’aire est donnée parA(a)=1

2a(1−lna)².

b. À l’aide des questions précédentes, déterminer pour quelle valeur deal’aireA(a) est maximale. Dé- terminer cette aire maximale.

Solution :

On remarque queA(a)=1

2f(a) donc l’aire sera maximale si f(a) est maximale On en déduit que l’aire est maximale sia=e⁻¹et on aA¡

e⁻¹¢

=1 2f¡

e⁻¹¢

=2e⁻¹=2

e≈0,74 unités d’aire.