Corrigé du DS 2

Corrigé du DS 2

U.E.: M1CP4025 Année universitaire

Date: 28 avril 2017 2016 - 2017

Durée: 40 min Epreuve de: M. Bruneau

Documents: Non autorisés

Exercice 1 : Montrer que la suite(I_n)n∈N définie par

I_n= Z +∞

0

xⁿ

xⁿ⁺²+ (cosx)²dx, est convergente et déterminer sa limite.

Corrigé: Soit

fn(x) = xⁿ xⁿ⁺²+ (cosx)²

Pour x > 0, xⁿ⁺²+ (cosx)² > 0 et cette quantité est non nulle en 0. Donc les fonctions f_n sont continues sur [0,+∞[. De plus, on a

n→+∞lim fn(x) =







0 0≤x <1

1

1+(cos 1)² x= 1

1

x² x >1

Enfin, en utilisant que la fonction cosest décroissante sur [0,1], on a|f_n(x)| ≤ϕ(x)avec

ϕ(x) =

( ₁

(cos 1)² 0≤x <1

1

x² x≥1

qui est continue par morceaux et intégrable sur [0,+∞[(car bornée sur[0,1]et d’après les critères sur les intégrales de Riemann sur [1,+∞[).

Du théorème de convergence dominée, on déduit:

n→+∞lim In= Z +∞

1

1 x²dx=

−1 x

+∞

1

= 1.

Exercice 2 : On considère la transformée de Laplace d’une fonctionf:

F(x) = Z +∞

0

e^−txf(t)dt.

1. Montrer que si f est continue et bornée sur [0,+∞[, alors F est continue sur ]0,+∞[.

2. On suppose que f est de classe C¹ sur [0,+∞[et est bornée ainsi que sa dérivée. Montrer alors que

n→+∞lim nF(n) =f(0) (1)

Indication: on pourra effectuer une intégration par parties.

3. Soita >0. Calculer la transformée de Laplace de la fonctionfa définie par fa(t) = cos(at).

4. Vérifier la formule (1) pour la fonction fa:t7→cos(at).

5. Donner un exemple de fonctionf, continue et bornée, pour laquelle la transformée de Laplace est prolongeable par continuité en 0 et un exemple de fonction f, continue et bornée, pour laquelle la transformée de Laplace n’est pas prolongeable par continuité en0.

Corrigé:

1. Il suffit de montrer queF est continue sur tout intervalle[a,+∞[,a >0. Soitg(t, x) =e^−txf(t).

g est continue par rapport chacune de ses variables. Pourx ≥ a, |g(t, x)| ≤ e^−ta|f(t)| ≤M e^−ta. Comme t7→ e^−ta est intégrable (et indépendante dex), on déduit la continuité de F sur[a,+∞[, a >0, du théorème de continuité d’une intégrale généralisée à paramètre.

2. Par intégration par parties, on obtient:

nF(n) = Z +∞

0

ne^−tnf(t)dt=

−e^−tnf(t)+∞

0 +

Z +∞

0

e^−tnf⁰(t)dt=f(0) +J_n,

où

Jn= Z +∞

0

e^−tnf⁰(t)dt.

Or, pour t > 0, limn→+∞e^−tnf⁰(t) = 0. Comme de plus, t 7→ e^−tnf⁰(t) est continue et vérifie la domination:

|e^−tnf⁰(t)| ≤Ce^−t, n≥1

(on utilise que f⁰ est bornée), alors le théorème de convergence dominée donne: limn→+∞Jn = 0.

D’où limn→+∞nF(n) =f(0).

3. La transformée de Laplace de la fonctionfa est:

Z +∞

0

e^−txcos(at)dt= Z +∞

0

e^−txe^iat+e^−iat 2 dt=

"

−e^−t(x−ia)

2(x−ia) + e^−t(x+ia) 2(x+ia)

#+∞

0

= 1 2( 1

x−ia− 1

x+ia) = x x²+a². 4. On a bien la propriété: lim

n→+∞n n

n²+a² = 1 =fa(0).

5. Pour a > 0, la Transformée de Laplace de f_a est bien prolongeable par continuité en 0 car

x→0lim x

x²+a² = 0. Par contre la Transformée de Laplace de f₀ (fonction constante égale à 1) est x7→ ¹_x qui n’est pas prolongeable par continuité en0.