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Corrigé du DS n°5 (19/01/21) Exercice 1
1. Voici l’arbre pondéré demandé :
2. Par la formule des probabilités totales on a : 𝑝2= 𝑃(𝐵1∩ 𝐵2) + 𝑃(𝐵̅̅̅ ∩ 𝐵2 2)1
3×1
2+2
3×1
3=1
6+
2 9= 7
18≈ 0,4.
3. Voici l’arbre pondéré demandé :
Soit 𝑛 ≥ 1. Par la formule des probabilités totales on a : 𝑝𝑛+1= 𝑝𝑛×1
2+ (1 − 𝑝𝑛) ×1
3=1
2𝑝𝑛+1
3−1
3𝑝𝑛 =1
6𝑝𝑛+1
3. 4. a) 𝑢𝑛+1= 𝑝𝑛+1−2
5=1
6𝑝𝑛+1
3−2
5=1
6𝑝𝑛− 1
15=1
6(𝑝𝑛−2
5) =1
6𝑢𝑛. Donc la suite (𝑢𝑛) est géométrique de raison 1
6 et de 1er terme 𝑢1= 𝑝1−2
5=1
3−2
5= − 1
15. D’où 𝑢𝑛= − 1
15× (1
6)𝑛−1. b) 𝑢𝑛= 𝑝𝑛−2
5⟺ 𝑝𝑛 = 𝑢𝑛+2
5. Soit 𝑝𝑛= − 1
15× (1
6)𝑛−1+2
5. c) Comme 1
6< 1, − 1
15× (1
6)𝑛−1→ 0 d’où lim
𝑛→+∞𝑝𝑛=2
5. Exercice 2
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3. a) L’expérience consiste à répéter 20 épreuves de Bernoulli indépendantes et identiques où le succès est d’obtenir un test positif de probabilité 0,22. Donc 𝑋~ℬ(20 ; 0,22).
b) 𝐸(𝑥) = 𝑛𝑝 = 20 × 0,22 = 4,4.
𝑉(𝑋) = 𝑛𝑝(1 − 𝑝) = 20 × 0,22 × 0,78 = 3,432.
c) 𝑃(𝑋 ≤ 5) ≈ 0,73. La probabilité qu’au plus 5 malades aient un test positif est de 0,73.
d) 𝑃(𝑋 ≥ 8) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 7) ≈ 0,05. La probabilité qu’au moins 8 malades aient un test positif est de 0,05.
4. a) Déterminons 𝑎 et 𝑏 tels que 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) ≥ 0,95 = 1 − 𝛼 soit 𝛼 = 0,05.
On a 𝑃(𝑋 ≤ 𝑎) > 0,025 soit 𝑎 = 1 et (𝑋 ≤ 𝑏) ≥ 0,975 soit 𝑏 = 8.
Un intervalle de fluctuation centré au seuil de 95 % associé à X est [1 ; 8].
b) Comme 9 n’appartient pas à l’intervalle de fluctuation cela remet en cause le test.
Exercice 3
Soit le cube ABDCEFGH de côté 1 et I est le milieu de [BC].
1. On a par le théorème de Pythagore appliqué successivement aux triangles GIC, DCI et DCG rectangles en C : 𝐺𝐼 =√52 , 𝐷𝐼 =√52 et 𝐷𝐺 = √2. Comme GI=DI, DGI est isocèle en I.
2. 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐷𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0.
𝐹𝐼⃗⃗⃗⃗ . 𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐹𝐵 × 𝐹𝐵 = 1.
𝐼𝐵⃗⃗⃗⃗ . 𝐼𝐶⃗⃗⃗⃗ = −𝐼𝐵 × 𝐼𝐶 = −1
4.
3. 𝐺𝐼⃗⃗⃗⃗ . 𝐺𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐼⃗⃗⃗⃗ ). (𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐼⃗⃗⃗⃗ . 𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐼⃗⃗⃗⃗ . 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐺𝐶2= 1.
On a 𝐺𝐼⃗⃗⃗⃗ . 𝐺𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐺𝐼. 𝐺𝐷. cos(𝐷𝐺𝐼̂ ) ⟺ cos(𝐷𝐺𝐼̂ ) =𝐺𝐼⃗⃗⃗⃗ .𝐺𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐼.𝐺𝐷=√51
2.√2=√10
5 . 𝐷𝐺𝐼̂ = cos−1(√10
5 ) ≈ 51 °.
