LMSC Corrigé du DS n°5 405
Exercice 1
1. * Comme la courbe C passe par les points (1 ;-2) et (-2 ;-8) nous avons : ( ) puis ( ) .
Puis, en 1, C admet une tangente parallèle à la droite d’équations c’est-à-dire que son coefficient directeur est égal à celui de la droite (-1) soit ( ) . Or, ( ) . Donc, .
On est en présence du système suivant : {
{
{
{
{
D’où : a=1 ; b=-5 et c=2.
2. On a donc d’après la question 1. que : ( ) et
( ) .
Le signe de la dérivée dépend du numérateur(dont les racines sont √ et √ ) car sur .
On a donc le tableau complet suivant :
√ 0 √ ( ) 0 0
√ √
√ √ Exercice 2
On va étudier les variations de cette fonction sur . ( ) √ ( ) √
( )
( )
√ ( )
√ ( ) Sur , le signe de ( ) dépend du signe de car √ ( ) sur
1 ( ) 0
2
Le maximum de la fonction est 2 donc on peut dire ( ) pour . De plus, pour et √ soit ( ) .
Donc, pour tout ( ) . Exercice 3
1. On a ( ) puis ( ) .
Soit ( ) ( ) ( ) ( ). La formule de Mac-Laurin est bien vérifiée.
2. On a ( ) puis ( ) .
Soit ( ) ( ) ( ) ( ). La formule de Mac-Laurin est bien vérifiée.
Exercice 4
1. Tout d’abord, par Pythagore dans le triangle rectangle ACH, on a √ . On a :
De plus, par Thalès, on a : soit √ donc √ ( ).
2. On a ( ) √ ( )
3. On a : ( ) √ ( ) √ ( ) √ ( ) 1/4
( ) 0
A(1/4)
4. L’aire est maximale pour et l’aire vaut ( ) √ ( ) √
