RELATIVITE RESTREINTE

RELATIVITE RESTREINTE

La th ´eorie de la relativit ´e restreinte repr ´esente le point culminant de la phy- sique classique (non quantique). Elle est n ´ee d’une analyse profonde des notions d’espace et de temps et de la nature m ˆeme de l’interaction.

Ses conclusions sont nombreuses et m ˆeme choquantes :

– le temps est relatif et s’ ´ecoule diff ´eremment dans des syst `emes en mouve- ment l’un par rapport `a l’autre

– la longueur d’un objet n’est pas absolue mais d ´epend de sa vitesse par rapport `a l’observateur

– la vitesse de la lumi `ere est absolue (ind ´ependante du r ´ef ´erentiel) et c’est une vitesse limite des corps dans l’Univers

– les interactions gravitationnelles et ´electromagn ´etiques ne sont pas de vi- tesse infinie, mais se propagent `a la vitesse c

– La plupart des ´equations de la dynamique classique ne sont que des ap-

proximations : la masse et l’ ´energie sont ´equivalentes.

Relativit ´e restreinte- syst `emes inertiels

La th ´eorie de la relativit ´e restreinte d’Einstein traite de la fac¸on dont nous observons diff ´erents ´ev ´enements et corps, en particulier de la fac¸on dont nous d ´ecrivons les ´ev ´enements et le mouvement des corps dans diff ´erents syst `emes de r ´ef ´erence inertiels.

Un syst `eme de r ´ef ´erence est dit inertiel si la premi `ere loi de Newton y est v ´erifi ´ee, c’est- `a-dire si un corps quelconque sur lequel d’autres corps n’exercent aucune force nette y demeure au repos ou dans le m ˆeme ´etat de mouvement rectiligne `a vitesse constante.

La relativit ´e restreinte ne traite que les cas o `u les r ´ef ´erentiels n’acc ´el `erent pas, o `u ils se d ´eplacent `a des vitesses constantes les uns par rapport aux autres.

On dit relativit ´e “restreinte” par rapport `a th ´eorie de la relativit ´e “g ´en ´erale” la-

quelle traite des syst `emes de r ´ef ´erence non inertiels (en acc ´el ´eration, notam-

ment en rotation).

Avant la relativit ´e restreinte

Nous avons vu que les ondes se propagent dans des milieux mat ´eriels (p.e le son). On pensait donc au XIX `eme que la lumi `ere, dont la nature ondu- latoire avait ´et ´e d ´emontr ´ee par Maxwell, se d ´eplac¸ait aussi dans un milieu particulier : l’ ´ether, milieu transparent dans lequel les ondes lumineuses trans- versales peuvent s’ ´etablir, et en m ˆeme temps fluide parfait dans lequel les plan `etes peuvent errer sans effort.

On pensait que l’ ´ether ´etait au repos relativement au soleil. Si tel ´etait le cas, la vitesse de la Terre sur son orbite autour du Soleil (∼ 3 × 10

m/s) aurait d ˆu produire un changement d’une partie dans 10

dans la vitesse de la lumi `ere.

En effet on imaginait que la vitesse de la lumi `ere devait varier selon la vitesse de l’ ´ether relativement `a la Terre, tout comme la vitesse d’un bateau varie relativement `a la c ˆote selon que le bateau navigue dans le sens du courant,

`a contre-courant ou ⊥ au courant. Une mesure directe aussi pr ´ecise de la

vitesse de la lumi `ere n’ ´etait pas possible `a cette ´epoque. C’est Michelson et

Morley qui ont conc¸u l’exp ´erience la plus d ´ecisive pour effectuer cette mesure

gr ˆace `a l’interf ´erom `etre.

Composition des vitesses non-relativistes

Un bateau, se d ´eplac¸ant `a 5km/h, traverse un large fleuve qui coule vers le Nord `a 3 km/h. Comparons les temps de parcours pour 2 voyages aller-retour : – vers une ville situ ´ee `a 4 km en aval.

A l’aller, dans le sens du courant, sa vitesse v =5km/h + 3 km/h=8km/h, la dur ´ee sera de 1/2hr. Au retour, contre le courant, v = 5km/h - 3 km/h=2km/h, et la dur ´ee sera de 2hrs. Au total : 2,5 hrs.

– une travers ´ee du fleuve de 4km de large.

Pour compenser le courant, le bateau doit naviguer selon un angle dans le sens contraire du courant de telle sorte que la composante de v vers le sud compense la vitesse du courant. La composante ⊥ au courant vaudra donc : √

5

− 3

= 4 km/h, soit un total de 2hrs pour faire l’aller-retour.

La diff ´erence de temps entre les 2 trajets est

due au mouvement de l’eau. Si l’eau ´etait im-

mobile, la diff ´erence de temps serait nulle.

Exp ´erience de Michelson et Morley

Pouvons-nous faire le m ˆeme raisonnement pour mesurer la vitesse, v, du vent d’ ´ether relativement `a la Terre `a l’aide de l’interf ´erom `etre de Michelson ?

• Consid ´erons le faisceau-1, lequel voyage k au vent d’ ´ether. Sur le trajet M

M

la vitesse relative de la lumi `ere devrait ˆetre c + v et le temps de par- cours t = L/(c + v). Dans le sens inverse, entre M

M

, la lumi `ere voyage contre le vent d’ ´ether, ainsi le temps de parcours devrait ˆetre :L/(c − v). Le temps total pour faire l’aller-retour serait donc : t

= 2L/c(1 − v

/c

)

• Consid ´erons le faisceau-2, lequel voyage ⊥ au vent d’ ´ether. Comme pour le cas du bateau, nous devons trouver que le faisceau fait l’aller-retour `a une vitesse √

c

− v

et le temps de parcours est de : t

=

c

√

1−v²/c²

Au total, le retard du faisceau 1 sur le 2 sera :

∆t = t

− t

= 2L

c ( 1

1 − v

/c

− 1

r

1 − v

/c

)

Si v = 0 → ∆t = 0, les 2 faisceaux re-

tournent `a leur point de d ´epart en phase puis-

qu’ils ´etaient initialement en phase.

Exp ´erience de Michelson et Morley

Si v 6= 0 → ∆t 6= 0, les 2 faisceaux retournent `a leur point de d ´epart d ´ephas ´es. Les franges s’ ´ecartent alors l ´eg `erement des positions qu’elles au- raient si la Terre ´etait immobile. Mais on ne peut pas arr ˆeter la Terre, on ne peut donc pas mesurer directement cet ´ecart.

Michelson et Morley surmont `erent cette difficult ´e en plac¸ant l’interf ´erom `etre sur une plate-forme et en la faisant tourner de 90

tout en observant les franges. Cette rotation a pour effet d’interchanger les bras : le faisceau-1 de- vient ⊥ au vent et le faisceau-2 k au vent. Ainsi le faisceau-1 sera en avance sur le 2 de ∆t

= t

−t

. Apr `es rotation, la figure d’interf ´erence est d ´ecal ´ee d’une quantit ´e d ´etermin ´ee par la diff ´erence entre ∆t et ∆t

. En prenant la distance L diff ´erente pour les 2 faisceaux, soit l

et l

, on obtient

∆t − ∆t

= 2(l

+ l

)

c ( 1

1 − v

/c

− 1

r

1 − v

/c

) ∼ (l

+ l

) v

c

∼ 2L c β

approximation que l’on peut faire avec 1/(1 − v

/c

) ∼ 1 + v

/(2c

) et si β ≡

< 1. En effet, ici β =

m/s

3×10⁸

m/s = 10

. Ce changement de temps

´equivaut `a un chemin optique suppl ´ementaire.

Exp ´erience de Michelson et Morley

On a vu que toute variation du chemin optique d’une longueur d’onde produit un d ´eplacement d’une frange brillante `a la suivante. Calculons de combien de franges, N , la figure d’interf ´erence est d ´ecal ´ee par cette variation de temps

∆t − ∆t

∼ 2L c β

Pour une vitesse orbitale de la Terre v = 3, 0 × 10

m/s, et des longueurs de bras ∼ 11 m, on obtient une diff ´erence de temps de 7, 0 × 10

s.

Cette variation du temps ´equivaut `a un chemin optique, X = 2Lβ

qui, pour la lumi `ere visible de λ = 5, 5 × 10

m, produit un d ´eplacement ´egal `a un certain nombre d’interfranges donn ´e par (voir page 25a-25) :

N = 2Lβ

λ = 0, 4franges

Ce que Michelson et Morlay auraient pu d ´etecter facilement puisque leur

appareil permettait de d ´etecter un d ´ecalage aussi petit que 0,01 frange.

Contraction de Lorentz-FitzGerald

Ce r ´esultat nul constituait l’une des ´enigmes de la physique `a la fin du XIXeme.

Diff ´erentes explications furent donn ´ees :

– L’ ´ether n’est pas au repos par rapport au Soleil, mais seulement par rapport

`a la Terre

– L’ ´ether est entrain ´e par la Terre de sorte que sa vitesse `a la surface de la Terre est nulle

– En 1892, G. FitzGerald proposa une hypoth `ese pleine d’imagination pour contourner le r ´esultat exp ´erimental de Michelson et Morley. Cette hy- poth `ese alors postul ´ee ad hoc, ´emergera apr `es une d ´ecennie comme une cons ´equence naturelle de la th ´eorie de la relativit ´e restreinte.

Toute longueur (y compris celle du bras de l’interf ´erom `etre) se contracte par un facteur √

1 − β

dans la direction du mouvement dans l’ ´ether. Ainsi le bras M

M

se contracte de telle sorte que L devient L √

1 − β

et ainsi

∆t = 0.

En fait il n’y a pas de contraction due `a l’ ´ether, mais comme on va le voir il y a

bien contraction des longueurs.

Facteur de Lorentz

On a vu que souvent le rapport sans dimension (

) est remplac ´e par β . On remplace aussi le rapport sans dimension de l’inverse de la racine carr ´ee de (1 − β

) par γ , appel ´e le facteur de Lorentz, soit :

β = v c γ = 1

s

1 −

= 1

√ 1 − β

β est toujours inf ´erieur `a 1, et γ est lui toujours sup ´erieur `a 1 (pour autant que v ne soit pas nulle). La diff ´erence entre γ et 1 est tr `es faible tant que v < 0.9c.

Mais γ augmente rapidement quand β s’approche de 1.

Facteur de Lorentz : exemple

(a) Un objet se d ´eplace avec une vitesse 0,2000c. D ´eterminer la valeur du facteur γ = 1/ √

1 − β

. (b) Refaites le calcul pour une vitesse de 0,0020c.

SOLUTION : (a)

β = 0, 2

1 − β

= √

1 − 0, 0400 = 0, 9798 γ = 1

0, 9798 = 1, 021 (b) Pour β = 0, 002

β = 0, 002 1 − β

= 1 − 0, 00000400 = 0, 9999960

r

1 − β

= 0, 999980 γ = 1

0, 999980 = 1, 000002

Il aurait ´et ´e ici plus malin d’utiliser le d ´eveloppement du bin ˆome avec x = −β

et n = 1/2. Soit :

(1 + x)

= 1 + nx + n(n − 1)x

2 + · · ·

Si β est petit, alors x

et toutes les puissances sup ´erieures seront n ´egligeables. Alors

γ = 1/

1 − β

∼ 1 + nx ∼ 1 + 1

2 β

= 1 + 0, 0000040/2 = 1, 000002

Tableau des vitesses, de β et de γ

Objet Vitesse β(= v/c) γ =

1/ √

1 − β

Marche humaine 8 km/h 0,000000007 1,000000000

Course 10,0 m/s 0,000000033 1,000000000

son 333 m/s 0,00000111 1,000000000

Avion 980 m/s 0,00000327 1,000000000

Lune autour de la Terre 1000m/s 0,00000333 1,000000000 Vitesse de lib ´eration 11,2 km/s 0,000037 1,000000001

Terre autour du 29,6 km/s 0,000099 1,000000005

`a l’int. de la galaxie 2, 1 × 10

m/s 0,00070 1,000000245

e

dans un tube TV 9 × 10

m/s 0,3 1,05

Muons au CERN 2, 996 × 10

m/s 0,999 4 28,87

Electrons au LEP 2, 99792458 × 10

m/s 0,999999999997 400000

Relativit ´e : les deux postulats d’Einstein (1905)

1er Postulat : Principe de relativit ´e

Toutes les lois fondamentales de la phy- sique sont les m ˆemes dans tous les syst `emes de r ´ef ´erence inertiels quelque soit leur vitesse.

Les corps bougent dans un train roulant uniform ´ement ( `a vitesse constante), ou dans un avion de la m ˆeme mani `ere que sur la terre ferme, qu’on marche , qu’on boive une tasse de caf ´e, qu’on joue au ping-pong ou qu’on laisse tomber un stylo sur le plan- cher.

La Terre n’est pas tout `a fait un syst `eme inertiel (puisqu’elle tourne). Elle peut ce- pendant la consid ´erer comme tel pour un cours interval de temps.

2eme Postulat

La vitesse de la lumi `ere

dans le vide est totale-

ment ind ´ependante du

mouvement de la source

qui l’ ´emet. Elle a la m ˆeme

valeur dans toutes les

directions et dans tous les

r ´ef ´erentiels inertiels.

Simultan ´eit ´e et temps

L’une des cons ´equences importantes de la th ´eorie de la relativit ´e est que nous ne pouvons plus consid ´erer le temps comme une quantit ´e absolue.

Deux ´ev ´enements simultan ´es pour un observateur(qui se produisent exac- tement en m ˆeme temps) ne le sont pas n ´ecessairement pour un second observateur se d ´eplac¸ant par rapport au premier.

– Si 2 ´ev ´enements se produisent au m ˆeme point dans l’espace, cela ne pose pas de probl `eme.

– S’ils se produisent en des lieux tr ´es ´eloign ´es, il faut tenir compte du temps mis par la lumi `ere pour atteindre l’observateur.

Un observateur au point O, exacte-

ment `a mi-chemin entre A et B , voit

les impulsions lumineuses quand la

lumi `ere l’atteint. Lorsque les 2 impul-

sions atteignent O en m ˆeme temps, les

2 ´ev ´enements sont simultan ´es.

Dilatation du temps

Soit l’exp ´erience suivante : une impulsion de lumi `ere quitte la source ( ´ev ´enement 1), voyage verticalement, se r ´efl ´echit sur le miroir et est d ´etect ´ee

`a son retour `a la source ( ´ev ´enement 2). On mesure le temps mis par la lumi `ere pour faire l’aller-retour. La figure (a) repr ´esente le point de vue d’un observa- teur voyageant dans un vaisseau spatial `a une grande vitesse constante, v, et (b) celui d’un observateur sur la Terre.

– (a) Les 2 ´ev ´enements ont lieu au m ˆeme point pour le cosmonaute : ∆t

=

– (b) L’observateur au sol voit le signal lu- mineux parcourir un chemin triangulaire car le vaisseau bouge. Pour lui, les 2

´ev ´enements n’ont pas lieu au m ˆeme en- droit dans son syst `eme de r ´ef ´erence.

Pour mesurer l’intervalle de temps, il a be- soin de 2 chronom `etres synchronis ´es C

et C

, un par ´ev ´enement.

La lumi `ere a parcouru toujours `a la vitesse c la distance 2L, ainsi :

∆t = 2L

c = 2 c

v u u u u

t

D

+ ( 1

2 v∆t)

= 2 c

v u u u u t

( 1

2 c∆t

)

+ ( 1

2 v∆t)

)

Dilatation du temps

Apr `es simplification, on trouve :

c ∆t =

(c∆t

)

+ (v∆t)

et finalement :

∆t = ∆t

r

1 − (v/c)

= γ ∆t

On a toujours γ ≥ 1, ainsi ∆t ≥ ∆t

. Les horloges en mouvement avancent plus lentement que les horloges au repos : le temps s’ ´ecoule plus lentement dans un syst `eme de r ´ef ´erence en mouvement relativement au n ˆotre. Ce ralen- tissement du temps, appel ´e dilatation temporelle, est un tr `es petit effet dans le cas des vitesses ordinaires. Une horloge `a bord d’un avion commercial vo- lant `a sa vitesse de croisi `ere pendant ∼ 700000ans ne perd qu’une seconde par rapport `a la m ˆeme horloge au sol.

Quand deux ´ev ´enements se produisent au m ˆeme endroit dans un r ´ef ´erentiel

inertiel, l’intervalle de temps, ∆t, qui les s ´epare, mesur ´e dans ce r ´ef ´erentiel,

est appel ´e intervalle de temps propre. Une mesure du m ˆeme intervalle de

Confirmations exp ´erimentales de la dilatation du temps

Echelles microscopiques

Les muons µ sont des sortes d’ ´electrons lourds. Ils sont instables et se d ´esint `egrent en ´electrons et neutrinos : leur dur ´ee de vie moyenne au repos est ∆t

= 2, 2 × 10

s. C’est seulement dans le syst `eme de r ´ef ´erence du muon au repos que les deux ´ev ´enements (naissance et d ´esint ´egration) se produisent au m ˆeme point dans l’espace. Des exp ´eriences pr ´ecises ont montr ´ees que quand le µ voyage `a grande vitesse, sa dur ´ee de vie augmente conform ´ement aux pr ´edictions de la formule de dilatation du temps.

Si un µ voyage `a la vitesse de v = 0, 9c = 2, 7 × 10

m/s relativement au laboratoire, il aura une dur ´ee de vie moyenne de :

∆t = γ ∆t

= 2, 2 × 10

s

1 −

= 2, 2 × 10

√ 0, 19 = 5, 05 × 10

s et il peut parcourir une distance :

d = v∆t = β c γ ∆t

= (2, 7 × 10

m/s)(5, 05 × 10

s) = 1363m

Ceci explique pourquoi les muons cr ´e ´es dans la haute atmosph `ere arrivent quand m ˆeme `a traverser les 15 km d’atmosph `ere : si β = v/c = 0.999, γ =

= 49µs et 8km.

Confirmations exp ´erimentales de la dilatation du temps

Echelles macroscopiques

En 1971 quatres horloges atomiques extr `emement pr ´ecises ont ´et ´e em- barqu ´ees pour deux tours du Monde `a bord d’avions commerciaux et com- par ´ees aux horloges de l’Observatoire de la Marine am ´ericaine avant et apr `es le voyage. A cause de la rotation de la Terre, on les a fait voyager une fois vers l’Est et une fois vers l’Ouest. Comme la vitesse des avions (10

km/h) est beaucoup plus petite que c, la pr ´ecision des horloges devait ˆetre ∼ 10

s pour d ´etecter l’effet de dilatation du temps.

Les choses ´etaient encore compliqu ´ees par la gravit ´e terrestre qui affecte le d ´ecalage d’apr `es la loi de la relativit ´e g ´en ´erale : les horloges doivent l ´eg `erement avancer `a cause de la d ´ecroissance du potentiel gravitationnel avec l’altitude. Cet effet se superpose au retard des horloges d ˆu `a la vitesse comme le dit la relativit ´e restreinte.

Th ´eoriquement l’horloge se d ´eplac¸ant vers l’Est devrait retarder de 40 ± 23ns

tandis que celle se d ´eplac¸ant vers l’Ouest devrait avancer de 275 ± 21 ns. On

a trouv ´e effectivement que le retard des horloges vers l’Est ´etait de 59 ± 10ns

et l’avance vers l’Ouest ´etait de 273 ± 7ns en accord remarquable avec la

Contraction des longueurs

Si vous voulez mesurer la longueur d’une r `egle qui est au repos par rapport

`a vous, vous pouvez noter les positions des 2 extr ´emit ´es et effectuer la sous- traction. Si la r `egle bouge, vous devez noter les positions des 2 extr ´emit ´es simultan ´ement, sinon votre mesure ne peut ˆetre appel ´ee longueur.

Consid ´erons 2 observateurs, Sally assise dans un train passant dans une gare et Sam sur le quai de cette gare. Ils veulent mesurer la longueur du quai.

• Sam mesure la longueur du quai avec un m ˆetre L, et note que Sally met un temps ∆t = L/v pour parcourir le quai. Or ∆t n’est pas un temps propre, car les 2 ´ev ´enements qui le d ´efinissent ont lieu `a 2 endroits diff ´erents.

• Pour Sally, c’est le quai qui bouge. Pour elle, les 2 ´ev ´enements mesur ´es par Sam ont lieu au m ˆeme endroit dans son r ´ef ´erentiel. Elle peut les mesurer avec un seul chronom `etre et L

= v∆t

. En consid ´erant ces 2 mesures, on trouve

L

L

= v∆t

v∆t

= 1

γ et L = L

/γ

Il y a donc contraction des longueurs. La longueur L

d’un objet mesur ´e

dans son r ´ef ´erentiel propre est sa longueur propre. Une mesure de la lon-

gueur dans tout autre r ´ef ´erentiel en mouvement parall `ele `a cette longueur est

toujours inf ´erieure `a la longueur propre. Ceci ne s’applique que dans la direc-

Contraction des longueurs : Exemple

La galaxie la plus proche `a la n ˆotre est une galaxie de forme diffuse appel ´ee Nuage de Magellan `a environ 1, 7 × 10

a-l. En supposant qu’on puisse atteindre une vitesse de 0,99999c en un temps tr `es court, combien de temps prendrait le voyage ? Jusqu’ `a pr ´esent, la plus grande vitesse atteinte par un humain est seulement d’environ 0, 000037c (sonde Appolo).

SOLUTION : le voyageur voit une distance Terre- ´etoile contract ´ee L

1 − v

/c

qu’il doit parcourir `a une vitesse v = 0, 99999c. Le temps propre est donc :

∆t

= L

1 − v

/c

v = (1, 7 × 10

a-l)(4, 47212 × 10

)

0, 99999c = 760 ans

Il semble donc impossible d’atteindre une autre galaxie avec notre pr ´esente

technologie.

Le “paradoxe” des jumeaux

Soit des jumeaux dont l’un reste sur Terre et l’autre part faire un long tra- jet aller-retour dans l’espace `a une vitesse de croisi `ere v = 0, 9998c(γ = 50, 00) jusqu’ `a une ´etoile distante de L

= 50 ann ´ees-lumi `ere.

Pour celui rest ´e sur la Terre, le temps mesur ´e est : ∆t = 2L

/v = 100ans.

Pour celui dans la fus ´ee, la distance Terre- ´etoile est de L

1 − v

/c

et son temps total de voyage sera : ∆t

=

√

1 − β

= ∆t √

1 − β

= ∆t/γ = 2ans. Ainsi celui rest ´e `a Terre voit son jumeau voyager pendant 100 ans, mais celui dans la fus ´ee n’a vieilli que de 2 ans : tel est le point de vue de celui rest ´e sur la Terre.

Mais quel est le point de vue du jumeau astronaute ? Il peut aussi faire le rai- sonnement que la Terre s’ ´eloigne `a grande vitesse, le temps s’y ´ecoule plus lentement et le jumeau rest ´e `a Terre vieillit plus lentement. Ils ne peuvent avoir tous deux raison ! ! ! Ceci est le “paradoxe”.

La relativit ´e restreinte ne s’applique qu’aux syst `emes inertiels. Or l’astronaute

subit des acc ´el ´erations/d ´ec ´el ´erations durant son voyage. Dans ce cas, les

lois de la relativit ´e restreinte ne s’applique pas et la sym ´etrie entre l’astro-

naute et celui qui est rest ´e `a Terre ne s’applique pas. Il faut utiliser la relati-

vit ´e g ´en ´erale, avec pour r ´esultat que le temps ralentit dans les syst `emes de

Composition relativiste des vitesses

En m ´ecanique classique, les vitesses s’ajoutent vectoriellement. Prenons le cas simple de 2 r ´ef ´erentiels d’inertie S et S

tels que S

se d ´eplace par rapport `a S dans un mouvement de translation le long des x posi- tifs avec une vitesse ~ v

. La vitesse d’un point P par rapport `a O est :

~ v

= ~ v

+ v

Ceci ne peut ˆetre valable en relativit ´e res- treinte car, si P est un photon, on doit avoir en vertu du 2eme postulat, v

= v

= c.

La formule relativiste correcte est : v

= v

+ v

1 +

Les 2 formules ne diff `erent que par le terme

(v

· v

/c

). Si, soit v

c ou v

c, on retrouve la loi de la m ´ecanique classique.

Composition relativiste des vitesses

• Trouvons la vitesse de la lumi `ere ´emise par une source en mouvement. L’ob- servateur O

se d ´eplace `a une vitesse v

par rapport `a O dans la direction des x positifs. Il envoie un faisceau de photons dans la direction des x positifs

`a la vitesse v

= c. Calculons v

relativement `a O : v

= v

+ v

1 +

= c + v

1 +

= c(c + v

)

c + v

= c

Quelque soit v

, chaque observateur trouve que la vitesse de la lumi `ere vaut c. • Le vaisseau spatial (S

) ´emet un signal lumi-

neux en s’ ´eloignant de la Terre (S ) `a la vitesse v

= 0, 5c. Un voyageur `a bord trouve que le signal a une vitesse −c. La vitesse du si- gnal par rapport `a la Terre (S ) est :

v

= −c + 0, 5c

1 +

= −c

La lumi `ere nous arrive donc `a la vitesse c,

bien qu’elle soit ´emise par une source qui

Addition des vitesses : exemple

Deux galaxies, align ´ees avec la Terre, s’ ´eloignent de celle-ci dans des di- rections oppos ´ees, chacune avec une vitesse de 0,75 c. A quelle vitesse se d ´eplacent-elles l’une par rapport `a l’autre ?

SOLUTION : Nous avons 3 corps en mouvement. S est le r ´ef ´erentiel d’une des galaxies et S

est celui de la Terre.

Soit P l’autre galaxie. S

se d ´eplace vers la droite par rapport `a S avec une vitesse v

= 0, 75c et P se d ´eplace vers la droite par rapport `a S

avec une vitesse v

= 0, 75c. La vitesse de P par rapport `a S est donn ´ee par :

v

= v

+ v

1 +

= 0, 75c + 0, 75c 1 +

c²

= 0, 96c

La quantit ´e de mouvement relativiste

La dynamique classique s’est d ´evelopp ´ee avec comme principes fondamen- taux la conservation de la quantit ´e de mouvement et de l’ ´energie. Einstein fut guid ´e par les m ˆemes principes. Nous avons vu que la vitesse d’un objet relativement `a diff ´erents r ´ef ´erentiels d’inertie doit ˆetre trait ´ee de fac¸on relati- viste, il n’est donc pas ´etonnant que les notions de quantit ´e de mouvement et d’ ´energie doivent ˆetre reformul ´ees. La quantit ´e de mouvement relativiste d’une particule devient :

~

p = γ m ~ v = 1

r

1 − v

/c

m~ v

p

mc = v/c

r

1 − v

/c

= β γ

Pour de petite vitesse, on retrouve bien la

d ´efinition classique p ~ = m~ v. La quantit ´e de

mouvement relativiste tend vers ∞ quand

v → c. La loi de conservation de la

quantit ´e de mouvement demeure valide

dans la th ´eorie relativiste.

La vitesse limite

Une cons ´equence fondamentale de la th ´eorie de la relativit ´e est l’impossi- bilit ´e pour un corps massif d’acqu ´erir ou de d ´epasser la vitesse de la lumi `ere. Regardons ce que nous dit l’ ´equation de la quantit ´e de mouvement :

~

p = γm ~ v = m ~ v

r

1 − v

/c

Plus un corps acc ´el `ere et plus sa vitesse est grande, plus sa quantit ´e de mouvement augmente. En fait, si v ´etait ´egale `a c, le d ´enominateur serait nul et la quantit ´e de mouvement infinie → pour acc ´el ´erer un corps jusqu’ `a une vitesse v = c, il faudrait une ´energie infinie.

Si v > c, au d ´enominateur il faudrait prendre la racine carr ´ee d’un nombre

n ´egatif, soit un nombre imaginaire : les longueurs, les masses et les intervalles

de temps ne seraient pas r ´eels. Les corps ordinaires ne peuvent donc pas

d ´epasser la vitesse de la lumi `ere.

Energie relativiste

Calculons le travail effectu ´e par une force pour changer la vitesse du corps.

Dans un mouvement parall `ele `a l’axe des x, le travail n ´ecessaire pour aug- menter la vitesse d’une particule de 0 `a v est :

W =

F dx =

dp

dt dx =

dp

dt vdt =

v dp

avec i et f ´etats initial (v = 0) et final (v = v). Comme d(pv) = p dv + v dp, nous obtenons :

W =

d(pv) −

pdv = pv |

−

γ mv dv = γ m v

|

−

mv

r

1 − v

/c

dv L’int ´egration du 2eme terme est facile puisque

d

dv

(

1 − v

/c

) = −(v/c

)/

1 − v

/c

. On obtient finalement W = γm c

− mc

En vertu du th ´eor `eme de l’ ´energie cin ´etique, le travail r ´ealis ´e doit ˆetre ´egal `a l’ ´energie cin ´etique finale puisque la particule s’est mise `a acc ´el ´erer `a partir de l’ ´etat de repos. Ainsi

E

= γ m c

− m c

= (γ − 1) m c

E _o = mc ² : la masse et l’ ´energie

Nous pouvons r ´e ´ecrire l’eq.pr ´ec ´edente sous la forme : γmc

= E

+ m c

Le terme de gauche est l’ ´energie totale (E = γ m c

) et le 2 `eme terme `a droite est l’ ´energie au repos E

= mc

. Ce qu’on ´ecrit :

E = E

+ E

Si le corps est au repos (γ = 1), l’ ´energie cin ´etique est nulle et l’ ´energie totale est ´egale `a l’ ´energie au repos : E

= m c

. La masse peut ˆetre transform ´ee en ´energie, et vice-versa ; on a un concept unifi ´e :masse- ´energie

1kg ⇐⇒ 8, 987 × 10

J 1kg ⇐⇒ 5, 609 × 10

MeV

En physique moderne, la masse est souvent ex- prim ´ee en MeV/c

(i.e million electron volts divis ´e par c

) ;

1 MeV/c

= 1, 782663 × 10

kg

Energie cin ´etique relativiste : Exemple

L’ ´electron a une ´energie au repos de 0,511 MeV. D ´eterminez l’ ´energie totale et l’ ´energie cin ´etique d’un ´electron qui se d ´eplace `a la vitesse de 0,900c ? Donnez les r ´eponses en MeV.

SOLUTION : Comme l’ ´energie totale E = γmc

, on calcule d’abord γ :

γ = 1

r

1 − v

/c

= 1

r

1 − (0, 900)

= 2, 29 Comme E

= mc

= 0, 511MeV, l’ ´energie totale

vaut :

E = γ m c

= 2, 29(0, 511MeV) = 1, 17MeV L’ ´energie cin ´etique vaut alors :

E

= E − E

= 1, 172MeV − 0, 511MeV

= 0, 661MeV

E

augmente jusqu’ `a de tr `es grandes valeurs alors que la vitesse n’aug-

mente pas de mani `ere appr ´eciable.

Energie relativiste

Masses et ´energies au repos de quelques particules et atomes. Un deuton, aussi appel ´e deut ´eron, est le noyau du deut ´erium (idem pour triton-tritium).

Objet Masse Energie au repos

(kg) (MeV)

Photon 0 0

Neutrino (ν ) tr `es faible tr `es faible Electron (ou positron) 9, 1093897 × 10

0,510 999

Proton 1, 6726231 × 10

938,272

Neutron 1, 674929 × 10

939,566

Muon (µ) 1, 88354 × 10

105,659

Pion charg ´e (π

) 2, 4165 × 10

125,56

Deut ´eron (D) 3, 343584 × 10

1875,612

Triton (

H) 5, 0073657 × 10

2808,920

Alpha (α) (Noyau

He) 6, 64472 × 10

3727,41

Atome d’hydrog `ene (

H) 1, 673534 × 10

938,783

Atome de deut ´erium (

H) 3, 344497 × 10

1876,12

Atome de tritium (

H) 5, 008270 × 10

2809,43

Atome d’h ´elium-3 (

He) 5, 008237 × 10

2809,41

Energie relativiste

Au chapitre 6, nous avons parl ´e de la conservation de l’ ´energie m ´ecanique et dans le chapitre 14, nous avons g ´en ´eralis ´e cela pour inclure l’ ´energie ther- mique. Le r ´esultat est la premi `ere loi de la Thermodynamique. Nous arrivons maintenant `a la g ´en ´eralisation de ce principe de la conservation de l’ ´energie : L’ ´energie totale d’un syst `eme isol ´e reste toujours constante, bien qu’elle puisse se transformer partiellement ou totalement d’une forme en une autre.

Une masse d’un seul gramme de mati `ere est

´equivalente `a 9 × 10

J, ce qui repr ´esente as- sez d’ ´energie pour chauffer 200 000 000 kg d’eau de 0

`a 100

C, soit l’ ´equivalent de la puissance maxi- mum d’un gros barrage hydro ´electrique d ´ebitant pendant 24hrs (25 millions de KWh).

Processus fournissant

l’ ´energie ∆E = ∆(mc

) ∆m/m

Chimique ∼ 1, 5 × 10

% Fission nucl ´eaire ∼ 0, 1 %

Fusion Nucl ´eaire ∼ 0, 6 % Annihilation e

-e

100 % D ´esint ´egration du π

100 %

en 2 photons

Variation relative de la masse pour

diff ´erents processus. Il n’est pas toujours

possible de convertir compl `etement la

masse en ´energie.

Energie relativiste

L’ ´energie totale peut ˆetre ´ecrite en fonction de la quantit ´e de mouvement p sans r ´ef ´erence explicite `a la vitesse v, ce qui permet d’expliquer certaines propri ´et ´es du photon. En ´elevant au carr ´e les 2 membres de la relation E = γmc

, on obtient :

E

= γ

m

c

(c

+ v

− v

) = γ

m

c

(c

− v

) + γ

m

c

v

En substituant l’expression de γ dans le 1er

terme, nous trouvons

E

= m

c

(c

− v

)

(1 − v

/c

) + γ

m

c

v

= m

c

+ γ

m

c

v

Utilisant maintenant la relation p = γmv, E

= m

c

+ p

c

Si m = 0, alors E = pc. D’apr `es la relation E = γmc

, E/γ = mc

= 0.

Comme E n’est pas nulle, c’est 1/γ =

1 − v

/c

qui est nul, ce qui implique

que v = c.

Energie relativiste : exemple

Un proton de masse 938,3 MeV/c

est acc ´el ´er ´e sous une diff ´erence de po- tentiel de 202,0 MV ; il acquiert alors une ´energie cin ´etique de 202,0 MeV.

D ´eterminez son ´energie totale (en MeV) et sa quantit ´e de mouvement (en MeV/c). Quelle est alors sa vitesse ?

SOLUTION :

E = E

+ E

= E

+ mc

= 202, 0MeV + (938, 3MeV/c

)c

= 1140MeV La quantit ´e de mouvement p est donn ´ee par :

p =

r

E

− E

c = 647, 5MeV/c

Pour trouver la vitesse, nous utilisons le fait que E = γmc

= γE

= E

/

1 − (v/c)

. Alors

v = c

v u u u u u

t

1 − E

E

= c

v u u u u

t

1 − ( 938, 3

1140 )

= 0, 5683 c

Energie relativiste : Exemple

Un pion neutre π

de masse m = 2, 4 × 10

kg ou 135 MeV, voyage `a la vitesse v = 0, 80c = 2, 4 × 10

m/s. (a) Quelle est son ´energie cin ´etique ? Comparer votre r ´esultat `a celui obtenu au moyen d’un calcul classique. (b) Le pion neutre est instable et se d ´esint `egre en 2 photons. S’il est au repos les 2 photons ont des directions oppos ´ees, d ´eterminez alors l’ ´energie et la quantit ´e de mouvement de chaque photon.

SOLUTION : (a) L’ ´energie cin ´etique est donn ´ee par : E

= (γ − 1) mc

. Calculons γ :

γ = 1

r

(1 − β

) = 1

r

(1 − 0, 80

) = 1, 66666

E

= (γ − 1)mc

= (1, 6666 − 1)(2, 4 × 10

kg)(3 × 10

m/s)

= 1, 4 × 10

J

Un calcul classique aurait donn ´e : E

= 1

2 mv

= 1

2 (2, 4 × 10

kg)(2, 4 × 10

m/s)

= 6, 9 × 10

J

Energie relativiste :Exemple (suite)

(b) Comme le pion se d ´esint `egre au repos, sa quantit ´e de mouvement est nulle, p = 0. Les quantit ´es de mouvement des 2 photons sont donc oppos ´ees.

L’ ´energie totale des 2 photons (2E) doit ˆetre ´egale `a celle du pion, soit 135 MeV=2E .

L’ ´energie de chaque photon est donc moiti ´e, soit E = 67, 5MeV. Pour des particules sans masse comme les photons (donc v ≡ c), on d ´eduit la quantit ´e de mouvement, p :

p = E

c = 67, 5MeV/c

Energie relativiste :Exemple

Il y a plusieurs r ´eactions de fusion qui convertissent la masse en ´energie pour alimenter les ´etoiles et les bombes thermonucl ´eaires ( `a hydrog `ene). Dans l’un de ces processus, 2 noyaux d’hydrog `ene lourd (deut ´erium) fusionnent en- semble et produisent un noyau d’hydrog `ene encore plus lourd (tritium), un noyau ordinaire d’hydrog `ene (proton) et communique de l’ ´energie cin ´etique

`a ces noyaux. On ´ecrit habituellement une telle r ´eaction en consid ´erant les atomes neutres (ce qui revient `a n ´egliger la petite ´energie de liaison des

´electrons `a chaque atome, qui est de l’ordre de 10 eV. On ´ecrit donc :

2

1

H +

H →

H +

H + ´energie D ´eterminer l’ ´energie lib ´er ´ee dans chaque fusion.

SOLUTION : L’ ´energie est conserv ´ee : l’ ´energie totale initiale doit ˆetre ´egale

`a l’ ´energie totale finale. La diff ´erence de la somme des ´energies au repos ini- tiales et la somme des ´energies au repos finales est l’ ´energie cin ´etique lib ´er ´ee.

Du tableau de la page 26-29, on trouve :

E

= 1876, 12MeV + 1876, 12MeV − 2809, 43MeV − 938, 783MeV

= 4, 03MeV = 6, 45 × 10

J