III Détecteur de métaux

Concours blanc n^◦1: Correction

I Capture d’empreintes digitales par ré- flexion totale frustrée

I.1 Conception du système optique

Figure1

Q1. Figure 1nsini₁ = sini₂ soit dans les conditions de Gauss (ces angles sont petits) : ni₁≈i₂ .

Q2. Dans les triangle AIH etA₁IH, on peut écrire les relation : i₁≈tani₁ = IH

AH i2≈tani2 = IH A1H soit dans la relation de Descartes :

nIH

AH = IH A1H soit :

HA1= 1

nHA (1)

Q3. On a :

γ = p⁰ p D₁=−p+p⁰

Il vient :

p= D₁

γ−1 et p⁰ = γD₁

γ−1 (2)

De la relation de conjugaison _f¹0 = _p¹0 − ¹_p donc f⁰ = _p−p^pp00, il vient (on pourra remarquer que p−p⁰ =−D₁) :

f⁰ =−D₁ γ

(γ−1)² (3)

Q4. Ici p⁰ >0 (image réelle) et p < 0 (objet réel) donc γ <0. Le résultat précédent permet d’écrire :

D₁

f⁰ =−(γ−1)²

γ =

notation|{z}

g(γ)

On peut étudier la fonctiong. Sa dérivée vaut g⁰(γ) =−1 + _γ¹2

et elle s’annulle en γ =−1 en passant de valeurs négatives à des valeurs positives : c’est donc bien un minimum. On trouve :

D1

f⁰ _min= 4

soit D₁ ≥4f⁰ : on retrouve la condition de projection.

Q5. Des questions précédentes il vient : D1= 1

nAH+HA+AA⁰₁ = 1

n−1

L+D donc :

f⁰= γ (γ−1)²

1 n−1

L+D

= 2cm (4)

Q6. f⁰ = 2cm et p⁰ = 6cm

Q7. L’étude précédente montre que le rapport ^D_f0¹ doit augmenter lorsqu’on augmente|γ|(avec|γ| ≥1), il faut donc diminuer la distance focale. En pratique, on doit alors augmenter la courbure dela lentille ce qui va augmenter les aberrations.

I.2 Résolution de l’image

Q8. L’écart entre l’image de deux crêtes sur l’écran estγa. Il faut donc que |γ|a ≥ lc soit une une taille de pixel inférieure à 200µm. Il n’est pas nécessaire de prendre une taille trop petite.

On pourra prendre par exemple un taille de 50µm pour avoir un peu de marge.

Q9. En utilisation les relations de conjugaison, on a : 1

p⁰ −1

p = 1

p⁰−e⁰ − 1 p−e 1

p⁰ −1 p = 1

p⁰ 1 1− ^e_p⁰0

−1 p

1 1−^e_p 1

p⁰ −1 p = 1

p⁰

1 +e⁰ p⁰

−1 p

1 +e

p

0 = e⁰ p⁰² − e

p² e⁰=γ²e

Q10. On peut utiliser le théorème de Thalès dans les triangles s’ap- puyant sur la lentille et l’écran et sommet communM₂⁰ :

φ

d = e⁰

p⁰−e⁰ ≈ e⁰

p⁰ = γ²e γp

soit : φ=dγe p

Q11. On veut donc queφ > γa soit ^d_p > ^a_e = 3. On peut remarquer que l’angleθ sous lequel arrivent les rayons les plus inclinés est donné par tanθ= _2p^d > ³₂, ce qui est contraire à l’approximation des petits angles donc au respect des conditions de Gauss.

I.3 Réflexion totale

Q12. Figure2Les lois de Snell-Descartes décrivent les rayons issus d’un d’un rayon indicent provenant d’un milieu transparent d’indice n₁ lorsqu’il aborde le dioptre qui le sépare d’un autre milieu

Figure2 – Lois de Snell Descartes

transparent d’indicen₂. Un rayon incident, se propageant dans le plan d’incidence (défini par le rayon lui-même et la normale au dioptre au point d’incidence I) donne naissance éventuellement à un rayon réfléchi et un rayon transmis, tous deux se propageant dans le même plan d’incidence.

Dans ce plan, l’angle entre la normale et le rayon réfléchi est donnée selon i⁰₁ = −i₁ et l’angle entre la normale et le rayon réfracté (transmis) selonn1sini1=n2sini2 respectivement.

Q13. Lorsqu’un rayon arrive sur un dioptre séparant un milieu in- cident n1 d’indice supérieur au second milieu n2, il peut, si l’angle d’incidence est suffisamment grand ne pas y avoir de rayon réfracté mais uniquement un rayon réfléchi. On parle de réflexion totale. Il faut pour cela que l’angle d’incidence soit supérieure à arcsinⁿ_n²

1.

Q14. Ici l’angle limite pour qu’il y ait réfraction est de arcsin_n¹ = 41^◦. Or on éclaire ici avec un angle de 45^◦ donc il devrait y avoir réflexion totale et le doigt ne devrait pas être éclairé.

II Automobile : sécurité routière et limita- tions de vitesses.

Q15. La photographique permet de remonter à la distance de freinage.

On va chercher à la calculer théoriquement pour remonter à la vitesse initialev₀.

Modélisation : On peut assimiler ici la voiture à un point matériel M de masse m la masse de la voiture¹. On travaillera dans le réfé- rentiel de la route supposé galiléen. On associe à ce référentiel un repère cartésien d’axe Ox le long de la route et Oz vertical ascendant.

Bilan des actions : On va négliger l’action de l’air sur la voiture². Il reste :

— le poids de la voiture−→

P =−mg−→ez

— l’action de la route sur la voiture −→

R qui va se décomposer en une composante normale et une composante tangentielle :

−

→R = N−→e_z −T−→e_x. Si l’on considère que la voiture progresse suivant Ox et qu’il y a glissement (justifié par les traces de pneus)avec T >0 et T =f N.

Mise en équation et détermination de T : On applique le prin- cipe fondamental de la dynamique:

(m¨x =−T

0 =N−mg (5)

Il vient queN =mg=⇒ T =f mg doncm¨x=f mg

Détermination de la distance de freinage (1) : Par intégration, il vient :

x(t) =˙ v₀−f gt x(t) =v0t−f g

2 t²

1. On pourra aussi choisir d’appliquer un théorème de la résultante dynamique en traitant la voiture comme un solide.

2. C’est une approximation nécessaire car il est difficile de la modéliser mais elle est probablement criticable dans les premiers moments du mouvement où la vitesse est encore importante.

La voiture s’arrête à l’instantt= ^v_{f g}⁰ soit une distance de freinage d= v₀²

2f g

Détermination de la distance de freinage (autre méthode) : On applique le théorème de l’énergie cinétique entre l’instant initial et l’instant final. La seule force qui travaille est l’action de la route et son travail vaut :

W(−→ T) =

Z x=d x=0

−f mg−→e_x·dx→−e_x=−f mgd avec dla distance de freinage. Le TEC s’écrit donc :

0−1

2mv₀²=−f mgd=⇒ d= v₀² 2f g

Détermination de d sur la photographie : On compte sur la ligne du bas-côtés environ 5 bandes blanches soit d= 5×3 + 5×3.5≈

3×10¹m ³ Il vient :

v₀ =^p2f gd= 2×10¹m.s⁻¹ = 8∗10¹km/h (6) On est autour de la valeur limite sur une route de campagne mais la précision de la mesure rend délicate une décision claire.

III Détecteur de métaux

III.1 Étude d’un circuit RLC

Q16. En négligeant le courant entrant dans l’oscilloscope par les voies 1 et 2 (résistances d’entrée très grandes), on a donc le même courantiqui circule dans chaque dipôle. La loi des mailles s’écrit donc

e=R⁰i+Ldi

dt+v_c avec i=Cdv_c dt d’où

3. Cette mesure est très imprécise.

e=LCd²vc

dt² +R⁰Cdvc

dt +vc⇔ d²vc

dt² + ω0

Q dvc

dt +ω²₀vc=ω₀²e

avec ω0= 1

√

LC la pulsation propre et Q= 1 R⁰

s L C le facteur de qualité.

Q17. En régime libre l’équation différentielle est homogène et se limite à la solution générale du type

vc(t) =λ e^r+t+µ e^r−t avec (λ, µ)∈C et (r+, r−) les racines de l’équation caractéristique

r²+ω₀

Qr+ω₀²= 0

à condition que ces racines soient distinctes, donc que le discri- minant

∆ = 4ω₀² 1

4Q² −1

soit non nul. Ici Q > ¹₂ donc ∆ < 0 donc les racines sont complexes conjuguées :

r±=−ω₀

2Q±jω avec ω =ω₀ s

1− 1 4Q² .

La solution est donc pseudo-périodique de pseudo-pulsationω et de pseudo-période

T = 2π ω =T0

1− 1

4Q² −¹₂

avec T0 = 2π ω0

= 2π

√ LC .

Q18. On obtient 1 T² = 1

T₀²

1− 1 4Q²

= 1

4π²LC 1−R⁰²C 4L

! d’où 1

T² =a+ b

C avec a=− R⁰²

16π²L² et b= 1 4π²L .

Q19. D’après la relation ci-dessus, il existe une relation affine entre les grandeursX= _C¹ etY = _T¹₂ :Y =a+bX. On complète le tableau proposé en calculantX etY :

C (µF) 0,10 0,20 0,40 0,70 1,00 T (ms) 0,58 0,87 1,18 1,57 1,87 X = _C¹ (µF⁻¹) 10 5,0 2,5 1,4 1,0 Y = _T¹₂ (ms⁻²) 2,9 1,3 0,71 0,41 0,29

On trace (sur la calculatrice) les pointsY =f(X), ce qui donne :

La régression linéaire conduit à :

a≈ −0,0319 ms⁻²=−3,19×10⁴s⁻² et b≈0,293µF.ms⁻² = 0,293F.s⁻².

On en déduit L= 1

4π²b = 86 mH et R⁰ =

√−a

πb = 0,19 kΩ.

Q20. Lors de l’application d’un échelon de tension, le régime perma- nent vers lequel converge le circuit correspond au condensateur chargé et le courant nul. Les oscillogrammes rendent compte du retour du courant à vers 0 (car on visualiseu_R=Ri).

Lacourbe 1décroît vers 0 en restant positive : c’est unrégime apériodique.

Lacourbe 3décroît d’abord au dessous de 0 puis croît vers 0 :

c’est unrégime pseudo-périodique.

Lacourbe 2 s’apparente aussi à un régime apériodique, mais atteignant plus rapidement le régime permanent. Il se pourrait que ce soit lerégime critique (le plus rapide des régimes apé- riodiques).

Pour visualiser la tension aux bornes de la résistance en voie 2 et celle aux bornes du GBF en voie 1, il faut soit permuter masse et voie 1, et déplacer la voie 2 sur R, soit simplement permuter le condensateur avec la résistance comme ci-dessous.

Q21. Le régime critique est obtenu lorsque le discriminant de l’équa- tion caractéristique est nul, donc pour

Q= 1 2 ⇔ 1

R⁰ s

L C = 1

2 ⇔ R_c= 2 s

L

C −R_g−r . Q22. On en déduitα= 2√

L etβ=−R_g−r, d’où L= α²

4 = 84 mH et r=−R_g−β = 31 Ω.

La valeur deL est conforme à celle trouvée précédemment (2%

d’écart), et celle de r est raisonnable pour une bobine.

Q23. La courbe ressemble à une courbe derésonance en courant (donc enuR), c’est-à-dire à une courbe de gain de filtre passe-

bande en fonction de la fréquence. En régime sinusoïdal forcé de

pulsationω, pour force électromotrice du GBFe(t) =Ecos(ωt), on obtient un courant i(t) =Icos(ωt+ϕ) dont l’amplitudeI est obtenue en passant en notation complexe :

i= e

R⁰+jωL−_ωC^j ⇒ I = E r

R⁰²+ωL−_ωC^{1 2} .

Cette expression indique une résonance (un maximum) enω₀=

√1

LC. La lecture du graphe donne une fréquence de résonance f0 = ¹

2π√

LC = 0,51 kHz. Cette valeur correspondrait à une capacité C= 1

4π²f₀²L = 1,1µF si L = 86 mH est supposée connue.

La largeur de cette résonance permet d’évaluer le facteur de qualité et donc la résistance totale R⁰. Les 2 fréquences de coupure correspondent à la valeur ^150√

2 ≈106 ce qui conduit à 0,34 kHz et 0,73 kHz, et une largeur ∆f = 0,39 kHz. On en déduit Q= f0

∆f = 1,3 et donc R⁰ = _Q^1qL_C ≈0,21 kΩ. Pour en déduirer, on utilise la régression linéaire proposée pourRc

en fonction de ^√1

C. Elle conduit àR_c= 0,47 kΩ pourQ_c= ¹₂, ce qui permet d’écrire

Q

Q_c = Rc+Rg+r

R⁰ ⇔ r = 2QR⁰−Rg−Rc = 38 Ω. Il y a un écart notable avec la valeur précédemment obtenue (31 Ω), mais aux incertitudes près de détermination graphique,

cela reste raisonnable.

III.2 Oscillateur quasi-sinusoïdal

Q24. En convention croisée la loi d’Ohm s’écrit v_e−v_s=R₃i . Q25. Commei₊= 0, les résistancesR₁ etR₂ sont en série et forment

un pont diviseur de tension :v+= _R^R2

1+R2vs. Orv+=v−=ve

donc vs=

1 +R₁ R2

ve .

Q26. En combinant ces deux relation on obtient v_e=R_ni avec Rn=−R₂R₃

R1

. Le dipôle se comporte donc comme une résis- tance négative entre l’entrée−et la masse.

Q27. En remplaçant le montage à résistance négative par une simple résistance de valeurR_n, la loi des mailles s’écrit :

0 =Ldi

dt+ (R+r+Rn)i+vc ∀t .

Comme i=C^dv_dt^c, en multipliant cette équation par _L¹ et en la dérivant par rapport au temps, on obtient

d²i

dt²+2ξω₀ di

dt+ω²₀i= 0, avecω₀= 1

√

LC et ξ= R+r+R_n 2

s C L . Q28. Ce circuit peut osciller indéfiniment si le coefficient d’amortis-

sement ξ est nul, donc si Rn=−R−r . On annule ainsi la résistance présente dans le circuit RLC initial.

Les oscillations seront alors harmonique de pulsationω0, donc de période T₀ = 2π√

LC .

La source d’énergie permettant compenser les pertes par effet Joule dans R etr est l’alimentation de l’ALI.

III.3 Application au détecteur de métaux

Q29. Il est impossible en pratique de fabriquer des composants abso- lument identiques. À défaut, pour avoirfr =fdon peut ajuster la valeur du produit LC en utilisant une capacité variable sur l’un des oscillateurs, comme en première partie.

Q30. En l’absence du métal,f_d= ¹

2π√

CL, puis en présence du métal elle vaut

f_d⁰ = 1 2π√

CL⁰ =f_d 1− M² LL_m

!−¹

2

≈f_d 1 + M² 2LL_m

!

d’où la variation relative ∆f_d

f_d = f_d⁰ −f_d

f_d ≈ M² 2LL_m .

Q31. On linéarise le produitvX(t) =K.v0d.v0r.cos(2pifrt).cos(2πfdt) ce qui donne

vX(t) = Kv0dv0r

2 cos(2π(fd−fr)t) +Kv0dv0r

2 cos(2π(fd+fr)t) . Le spectre en amplitude a l’allure ci-dessous.

Q32. Il faut réaliser un filtre passe-bas qui préserve la première composante et élimine la seconde. Le montage le plus simple est un circuit R-C série, dont on prend la tension de sortie sur la capacité.

En effet en basse fréquence le condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert doncvf =vX, alors qu’à haute fréquence le condensateur équivaut à un fil doncv_f = 0.

Le document 3 indique des variations de fréquence ∆f_d=f_r−f_d de l’ordre de 1 kHz. La fréquence de fonctionnement est de l’ordre de 7,5 kHz, donc on auraf_d+fr≈15 kHz. Ainsi on peut requérir pour le filtre une fréquence de coupuref_c≈1,5 kHz.

La fonction de transfert de ce filtre estH= _1+jRCω¹ , donc son gain G = √ ¹

1+4π²R²C²f², et donc f_c = _2πRC¹ . Ceci implique RC = 1

2πf_c ≈1,1×10⁻⁴s. On choisi une grande résistance pour que l’impédance d’entrée du filtre soit grande tout en permettant une valeur raisonnable de capacité, par exemple : R= 100 kΩ etC = 1,1 nF, ou bienR = 10 kΩ etC= 11 nF...

Q33. La fréquence lente correspond à la différence des fré- quences des 2 oscillateurs, elle est obtenue graphiquement : f_d−f_r≈ _0,040⁶ ≈150 Hz. On lit aussi une amplitude crête à crête de 1,0 V (la même pour le signal lent et le rapide). En sortie du filtre, le gain pour la composante lente est proche de 1 et le déphasage proche de 0, donc le signal s’identifie à la première composante spectrale de v_X(t), la seconde étant éliminée :

vf(t)≈ Kv_0dv_0r

2 cos(2π(fd−fr)t) avec Kv_0dv_0r

2 ≈0,5 V.