I. Rayon de convergence

Séries entières

I. Rayon de convergence

Proposition 1 – On ne change pas le rayon de convergence...

En changeant l’indice de départ :

• Les séries entières X

nÊn₀

a_nzⁿet X

nÊn₁

a_nzⁿont le même rayon de convergence.

En prenant la valeur absolue des coefficients :

• Les séries entièresX

anzⁿetX

|an|zⁿont le même rayon de convergence.

En passant d’une variable réelle à une variable complexe :

• X

a_nxⁿ(var. réelle) etX

a_nzⁿ(var. complexe) ont le même rayon de convergence.

Lorsque les coefficients sont équivalents :

• Si a_n ∼

n→+∞b_n, alorsX

a_nzⁿetX

b_nzⁿont le même rayon de convergence.

En multipliant les coefficients par n :

• Les séries entièresX

a_nzⁿetX

na_nzⁿont le même rayon de convergence.

Plus généralement, en multipliant ou en divisant par une puissance de n :

• Si p∈Z^{, alorsXa}nzⁿetX

n^pa_nzⁿont le même rayon de convergence.

Proposition 2 – Inégalités sur le rayon de convergence SoitP

a_nzⁿune série entière de rayon de convergence R et soit z₀∈C. On a les résultats suivants :

(1) Si la suite(a_nz₀ⁿ)est bornée, alors RÊ |z₀|; (2) Si la suite(a_nz₀ⁿ)converge, alors RÊ |z₀|; (3) Si la sérieP

anz₀ⁿconverge, alors RÊ |z0|; (4) Si la suite(a_nz₀ⁿ)n’est pas bornée, alors RÉ |z₀|; (5) Si la suite(a_nz₀ⁿ)n’est pas convergente, alors RÉ |z₀|; (6) Si la sérieP

anz₀ⁿn’est pas convergente, alors RÉ |z0|.

Remarque. Les inégalités peuvent être strictes.

Proposition 3 – Inégalités obtenues par des comparaisons SoientP

a_nzⁿetP

b_nzⁿdes séries entières de rayons de convergence respectifs R_aet R_b. On a les résultats suivants :

(1) Si|an| É |bn|à partir d’un certain rang, alors RaÊR_b; (2) Si a_n= O

n→+∞(b_n), alors R_aÊR_b; (3) Si a_n= o

n→+∞(b_n), alors R_aÊR_b;

"Remarque. SianÉbn, on ne peut rien dire.

II. Opérations

Notation : SiP

nÊ0a_nzⁿetP

nÊ0b_nzⁿsont deux séries entières, alors :

• Leur somme est la série entièreP

nÊ0(a_n+b_n)zⁿ;

• Leur produit (de Cauchy) est la série entièreP

nÊ0c_nzⁿavec :∀n∈N^,cn=

n

X

k=0

a_kb_n−k.

Proposition 4 – Opérations SoientP

a_nzⁿetP

b_nzⁿdes séries entières de rayons de convergence respectifs R_aet R_b. On note :

• R_sle rayon de convergence de la série entière somme(P

a_nzⁿ)+(P b_nzⁿ);

• R_p le rayon de convergence de la série entière produit (de Cauchy) (P

a_nzⁿ)× (P

bnzⁿ).

On a les résultats suivants :

(1) R_sÊmin(R_a,R_b)et si de plus R_a6=R_balors R_s=min(R_a,R_b); (2) RpÊmin(Ra,R_b).

Remarque. Les inégalités peuvent être strictes.

III. Propriétés de la somme

Proposition 5 – CVN sur tout segment de l’intervalle ouvert de convergence SiP

a_nxⁿest une série entière de rayon de convergence R >0et si r est un réel tel que 0<r<R, alors la série de fonctionsP

anxⁿconverge normalement sur le segment[−r,r].

2

III. Propriétés de la somme

Proposition 6 – Cas réel : intégration et dérivation SoitP

a_nxⁿune série entière (variable réelle) de rayon de convergence R et soit f sa somme.

On a les résultats suivants :

(1) f est de classeC^∞sur]−R,R[;

(2) Le rayon de convergence de la sérieP

(n+1)a_n+1xⁿest égal à R et :

∀x∈]−R,R[, f⁰(x)=

+∞X

n=0

(n+1)an+1xⁿ=

+∞X

n=1

nanxⁿ⁻¹

(3) Plus généralement :∀k∈N^{, a}k= f^(k)(0) k! ; (4) Le rayon de convergence de la sériePa_nxⁿ⁺¹

n+1 est égal à R et :

∀a,b∈]−R,R[, Z b

a

f(t) dt=

+∞X

n=0

a_n

n+1(bⁿ⁺¹−aⁿ⁺¹) et en particulier :∀x∈]−R,R[,

Z _x

0

f(t) dt=

+∞X

n=0

an

n+1xⁿ⁺¹. Proposition 7 – Cas complexe : continuité

SiP

anzⁿ est une série entière (variable complexe) de rayon de convergence R, alors sa somme f est continue sur le disque ouvert de convergence.

Corollaire 8 – Unicité des coefficients / Unicité du DSE SoientP

a_nxⁿetP

b_nxⁿdeux séries entières de rayons de convergence respectifs R_aet R_b. S’il existe r tel que0<r<min(Ra,R_b)et :

∀x∈]−r,r[,

+∞X

n=0

anxⁿ=

+∞X

n=0

bnxⁿ alors :∀n∈N^{, a}n=b_n(et R_a=R_b).

Remarque. Si f est la somme de la série entièreP

a_nxⁿalors pour tout entiern: f(x)=a₀+a₁x+ · · · +a_nxⁿ+ o

x→0(xⁿ)

Remarque.Sif etgsont des sommes de séries entières, de rayons de convergence respectifs RetR⁰et si il exister∈]0, min(R,R⁰)] tel que :

∀x∈]0,r[, f(x)=g(x)

alorsR=R⁰et f(x)=g(x) pour toutx∈]−R,R[. On a même f(z)=g(z) pour toutz∈C

avec|z| <R.

IV. Fonctions développables en série entière

Définition 9 – Fonction DSE

On dit qu’une fonction f est développable en série entière au voisinage de0lorsqu’il existe un réel r >0et une série entièreP

a_nxⁿde rayon de convergence RÊr tels que :

∀x∈]−r,r[, f(x)=

+∞X

n=0

anxⁿ Proposition 10

Si une fonction f estDSEsur]−r,r[, alors f est de classeC^∞sur]−r,r[et :

∀x∈]−r,r[, f(x)=

+∞X

n=0

f⁽ⁿ⁾(0) n! xⁿ

"Remarque. La réciproque est fausse. Pour une fonction f de classe C^∞sur ]−R,R[, on

peut définir la série entière

X

nÊ0

f⁽ⁿ⁾(0) n! xⁿ

On l’appelle série de Taylor def. Si sa somme est égale à f, alors f est DSE au voisinage de 0 mais ce n’est pas toujours le cas. Si f est DSE au voisinage de 0, alors son DSE est

nécessairement sa série de Taylor.

Remarque. Si une fonction possède un DSE sur ]−r,r[, alors elle possède un DLn(0) pour tout entiern. En particulier, si :

∀x∈]−r,r[, f(x)=

+∞X

n=0

anxⁿ

alors pour tout entiern∈N^{: f(x)}=a₀+a₁x+ · · · +a_nxⁿ+ o

x→0(xⁿ).

Proposition 11 – Opérations sur les fonctionsDSE

Si f et g sont des fonctionsDSEau moins sur]−r,r[, alors : (1) Quels que soientλ,µ∈C^,λf +µg estDSEsur]−r,r[; (2) Le produit f g estDSEsur]−r,r[;

(3) La dérivée de f sur]−r,r[estDSEsur]−r,r[; (4) Toute primitive de f sur]−r,r[estDSEsur]−r,r[.

4

Proposition 12 – DSE des fonctionsexp, ch, sh, cos, sin

Les fonctionsexp,ch,sh,cosetsinsontDSEsurR^{et :}

∀x∈R^{, expx}=

+∞X

n=0

xⁿ

n!, chx=

+∞X

n=0

x²ⁿ

(2n)!, shx=

+∞X

n=0

x²ⁿ⁺¹ (2n+1)!

cosx=

+∞X

n=0

(−1)ⁿx²ⁿ

(2n)! sinx=

+∞X

n=0

(−1)ⁿx²ⁿ⁺¹ (2n+1)!

(ces séries entières sont de rayon de convergence infini).

Proposition 13 – Séries géométrique etDSE de la fonctionln

Les fonctions x7→(1−x)⁻¹et x7→(1+x)⁻¹sontDSEsur]−1, 1[et :

∀x∈]−1, 1[, 1 1−x =

+∞X

n=0

xⁿ et 1 1+x =

+∞X

n=0

(−1)ⁿxⁿ

La fonction x7→ln(1+x)estDSEsur]−1, 1[et :∀x∈]−1, 1[,ln(1+x)=

+∞X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹xⁿ

n .

Ces trois séries entières ont pour rayon de convergence1.

Proposition 14 – Fonctionarctan

La fonctionarctanestDSEsur]−1, 1[et :∀x∈]−1, 1[,arctanx=

+∞X

n=0

(−1)ⁿx²ⁿ⁺¹ 2n+1. Cette série entière a pour rayon de convergence1.

Proposition 15 – Fonctions puissances

Soitα∈R. La fonction x7→(1+x)^αestDSEsur]−1, 1[et :

∀x∈]−1, 1[, (1+x)^α=

+∞X

n=0

α(α−1)· · ·(α−n+1)xⁿ n!

La série obtenue a pour rayon de convergence1. En particulier :

∀x∈]−1, 1[, p 1+x=

+∞X

n=0 1

2(¹₂−1)· · ·(¹₂−n+1)xⁿ n!

Proposition 16 – Séries géométrique et exponentielle d’une variable complexe

(1) La série entière X

nÊ0

zⁿ

n! a pour rayon de convergence+∞et :∀z∈C^,

+∞X

n=0

zⁿ

n! =exp(z).

(2) La série entière X

nÊ0

zⁿa pour rayon de convergence1et si|z| <1:

+∞X

n=0

zⁿ= 1 1−z.

Les résultats à connaitre

• Lemme d’Abel.

• Rayon de convergence (définition, disque ouvert de convergence, caractérisation).

• Inégalités sur le rayon de convergence.

• Utilisation de relations de comparaisons.

• Rayon de convergence deP

n^pa_nzⁿ,p∈Z^.

• Rayon de convergence de la somme et du produit de deux séries entières (connaitre un contre exemple pour montrer que l’inégalité pour la somme peut être stricte).

• Séries entière d’une variable réelle : caractère C^∞, dérivation, intégration et expression des coefficients.

• Unicité des coefficients.

• Série entière d’une variable complexe : continuité sur le disque ouvert de convergence.

• Fonction DSE.

• Une fonction DSE est de classe C^∞, expression des coefficients.

• Opérations sur les fonctions DSE.

• Les DSE des fonctions usuelles.

Quelques objectifs du chapitre

• Savoir déterminer un rayon de convergence.

• Savoir établir des inégalités sur le rayon de convergence.

• Savoir calculer la somme d’une série entière.

• Savoir manipuler une fonction définie comme une somme de série entière.

• Savoir effectuer des DSE (penser aux opérations).

En pratique

Ï

Comment déterminer le rayon de convergence ?

SoitP

a_nzⁿune série entière. En utilisant la définition et le(s) lemme(s) d’Abel :

• Si pour|z| < R, la suite (a_nzⁿ) converge vers 0 et pour|z| > R, la suite (a_nzⁿ) ne converge pas vers 0, alors le rayon de convergence estR;

• Si pour|z| <R, la suite (a_nzⁿ) est bornée et pour|z| >R, la suite (a_nzⁿ) n’est pas bornée, alors le rayon de convergence estR;

• Si pour|z| <R, P

a_nzⁿ converge et pour|z| >R, P

a_nzⁿ diverge, alors le rayon de convergence estR.

Typiquement, la dernière propriété s’applique lorsque l’on utilise la méthode de d’Alembert (cf. exemples du cours). Plus généralement, on peut obtenir des inégalités (qui peuvent éventuellement être strictes) :

• SiP

a_nzⁿconverge, alorsRÊ |z|;

• Sia_nzⁿ−−−−−→

n→+∞ 0, alorsRÊ |z|;

• Si (anzⁿ) est bornée, alorsRÊ |z|;

• SiP

a_nzⁿdiverge, alorsRÉ |z|;

• Si (a_nzⁿ) ne converge pas vers 0, alorsRÉ |z|;

• Si (a_nzⁿ) n’est pas bornée, alorsRÉ |z|. SiP

a_nzⁿetP

b_nzⁿsont deux séries entières de rayons de convergence respectifsR_aetR_b, on peut utiliser des comparaisons :

• Si|an| É |bn|à partir d’un certain rang, alorsR_aÊR_b;

• Sia_n=O(b_n), alorsR_aÊR_b;

• Sia_n=o(b_n), alorsR_aÊR_b;

• Sia_n∼bn, alorsR_a=R_b.

Ï

Quelles sont les propriétés de la somme d’une série entière ?

• SiP

a_nxⁿest de rayon de convergenceRet de sommeS, alors la fonctionSest définie et de classe C^∞sur ]−R,R[.

• SiP

anzⁿest de rayon de convergenceRet de sommeS, alors la fonctionSest définie et continue sur {z∈C| |z| <R}.

Ï

Comment calculer la somme d’une série entière ?

• Revoir les méthodes de calcul de la somme d’une série numérique (série géométrique, série exponentielle, développements de Taylor et sommes télescopiques) ;

• Reconnaitre la dérivée ou une primitive d’une série entière connue ;

• Si la suite (an) vérifie une relation de récurrence, faire apparaitre cette relation dans le calcul de la somme et faire apparaitre une équation différentielle.

Ï

Comment développer une fonction f en série entière ?

Pour montrer quef est DSE et calculer les coefficientsandu développement, on peut :

• Utiliser les opérations (sommes et produits, dérivation et intégration) ;

• Sif est une fraction rationnelle, utiliser une décomposition en éléments simples de la fonction f ;

• Si f est définie par une intégrale à paramètres, écrire la fonction dans l’intégrale comme somme d’une série et faire une interversion série-intégrale :

f(x)= Z

I

F(x,t) dt= Z

I

µ_+∞

X

n=0

b_n(t)xⁿdt

¶

=

+∞X

n=0

µZ

I

b_n(t) dt

¶

=an

xⁿ

avec les justifications nécessaires ;

• Sif est de classe C^∞, utiliser un développement de Taylor et montrer la convergence sur un intervalle ]−r,r[ (rare en pratique).

Si on sait quef est DSE, alors on peut obtenir les coefficientsa_ndu développement :

• Avec la relationa_n= f⁽ⁿ⁾(0)

n! pourn∈N^{, si les f(n)}(0) sont faciles à expliciter ;

• En utilisant une équation différentielle dont f est solution pour obtenir une condition sur les coefficientsa_ndu développement (on verra dans le chapitre sur les équations différentielles que l’on peut également démontrer ainsi que f est DSE).

Ï

Quels sont les DSE usuels ?

Fonction=DSE Valable sur (Rayon) exp(x)=

+∞X

n=0

xⁿ

n! R (+∞)

ch(x)=

+∞X

n=0

x²ⁿ

(2n)! R ^(+∞)

sh(x)=

+∞X

n=0

x²ⁿ⁺¹

(2n+1)! R ⁽+∞)

cos(x)=

+∞X

n=0

(−1)ⁿx²ⁿ

(2n)! R (+∞)

sin(x)=

+∞X

n=0

(−1)ⁿx²ⁿ⁺¹

(2n+1)! R ^(+∞)

1 1−x =

+∞X

n=0

xⁿ ]−1, 1[ (1)

1 1+x =

+∞X

n=0

(−1)ⁿxⁿ ]−1, 1[ (1)

ln(1+x)=

+∞X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹xⁿ

n ]−1, 1[ (1)

arctanx=

+∞X

n=0

(−1)ⁿ x²ⁿ⁺¹

2n+1 ]−1, 1[ (1)

(1+x)^α=

+∞X

n=0

α(α−1)· · ·(α−n+1)xⁿ

n! ]−1, 1[ (1)

p1+x=

+∞X

n=0 1

2(¹₂−1)· · ·(¹₂−n+1)xⁿ

n! ]−1, 1[ (1)

Illustrations du cours

Exercice 1Rayon de convergence. Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes :

(a) X

nÊ1

lnn

2ⁿn²zⁿ(règle de d’Alembert) ; (b) X

nÊ1

lnn

n²+1zⁿ²(règle de d’Alembert) ; (c) X

nÊ1

µ ln

µ 1+1

n

¶

−1 n

¶

zⁿ(utilisation d’un équivalent) ; (d) X

nÊ0

sin(n)zⁿ(établir des inégalités sur le rayon de convergence) ; (e) X

nÊ0

n^((−1)n)zⁿ(établir des inégalités sur les coefficients de la série).

Exercice 2Rayon de convergence et calcul de la somme.

(a) Déterminer le rayon de convergence de la série entière X

nÊ0

nxⁿ 2ⁿ . (b) Déterminer la somme de la série numérique X

nÊ0

n 2ⁿ. Exercice 3Développement en série entière.

(a) Démontrer que f :x7→ln(3+x) admet un DSE que l’on déterminera.

(b) Faire de même avecg:x7→ln(3−x) eth:x7→ln(9−x²).

Exercice 4SolutionsDSEd’une équation différentielle. SoitF définie pourx∈R^{par :} F(x)=e^−x2

Z _x

0

e^t2dt (a) Montrer queF est développable en série entière en 0.

(b) À l’aide d’une équation différentielle, déterminer les coefficients du développement deF.

Exercice 5Utilisation d’unDSE. On considère l’application f définie par : f : R^∗ → R

x 7→ sin(x) x

(a) Démontrer que l’application f est prolongeable par continuité en 0. On note fece prolongement.

(b) Démontrer que feest développable en série entière surR^.

(c) En déduire quefeest de classe C^∞surRet déterminer ˜f⁽ⁿ⁾(0) pourn∈N^.

Exercice. À faire vous-même pour voir si vous avez compris. Déterminer le rayon de convergence de la série entière :

X

nÊ1

ch(n) n xⁿ

Déterminer la somme de cette série, sur l’intervalle ouvert de convergence.

Vrai/Faux

On considère une série entièreP

a_nxⁿde rayon de convergenceR.

(1) SiP

a_ndiverge, alorsR<1.

(2) SiP

anconverge, alorsRÊ1.

(3) Si la suite (a_n) ne tend pas vers 0, alorsRÉ1.

(4) Les séries entièresP

a_2nx²ⁿetP

a_2n+1x²ⁿ⁺¹ont le même rayon de convergence.

(5) La série entièreP

a2nx²ⁿa pour rayon de convergenceR.

(6) La série entièreP

n²a_nxⁿa pour rayon de convergenceR.

On considèrez₁,z₂∈C^. (7) Si|z1| É |z2|etP

anzⁿ₁ diverge, alorsP

anz₂ⁿdiverge.

(8) Si|z₁| É |z₂|etP

a_nzⁿ₂ converge, alorsP

a_nz₁ⁿconverge.

(9) Si|z₁| < |z₂|etP

a_nzⁿ₁ diverge, alorsP

a_nz₂ⁿdiverge.

(10) Si|z1| < |z2|etP

anzⁿ₂ converge, alorsP

anz₁ⁿconverge.

(11) Si|z₁| < |z₂|et (a_nz₂ⁿ) est bornée, alorsP

a_nz₁ⁿconverge absolument.

(12) SiP

a_nzⁿ₁ diverge, alors|z₁| >R.

(13) SiP

anzⁿ₁ converge absolument, alors|z1| <R.

On considère une deuxième série entièreP

b_nxⁿde rayon de convergenceR⁰. (14) Sia_nÉb_n, alorsRÉR⁰.

(15) SianÉbn, alorsRÊR⁰. (16) Sia_n ∼

n→+∞b_n, alorsR=R⁰. (17) Sia_n= o

n→+∞(b_n), alorsRÊR⁰. (18) Sian= O

n→+∞(bn) etbn= O

n→+∞(an), alorsR=R⁰. (19) Pour toutz∈C^{tel que}|z| <Ret|z| <R⁰, la sérieP

(an+bn)zⁿconverge.

(20) Siz∈C^etR< |z| <R⁰, alors la sérieP

(a_n+b_n)zⁿdiverge.

(21) Siz∈C^etR< |z|etR⁰< |z|, alors la sérieP

(a_n+b_n)zⁿdiverge.

On supposeR>0, on notef la somme de la série entièreP

anxⁿsur l’intervalleI=]−R,R[.

(22) La fonctionf est continue surI.

(23) La fonctionf est intégrable surI. (24) La fonctionf est dérivable surI. (25) La fonctionf est bornée surI.

(26) SiR6= +∞, alors f admet une limite finie enR⁻. (27) Si∀n∈N^,anÊ0, alors la fonction f est positive surI. (28) Si∀n∈N^,a2n+1=0, alors la fonction f est paire surI. (29) ∀x∈R^{∗, e1/x}=

+∞X

n=0

x⁻ⁿ n! . (30) ∀x∈R, cos(−x)+sin(−x)=

+∞X

n=0

xⁿ n!.

1f2v3v4 f5 f6 v7f8f9v10

v11v1 2f1 3f14f1 5f1 6v17 v18v1 9v20v 21f22v2 3f2 4v25 f26 f2 7f28v29 v30f

10