Exercices – Chapitre 1

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Grandes D´eviations 2009-2010

Exercices – Chapitre 1

Cram´er sur R

Exercice 1.1 Calculer et dessiner l’allure des log-Laplace et transform´ees de Cram´er des lois suivantes :

1. Poisson de param`etreµ >0 2. Exponentielle de param`etre µ >0 3. G´eom´etrique de param`etre p∈]0,1]

4. Bernoulli de param`etre p∈[0,1] sur {a, b}(i.e pδ_b+ (1−pδa) 5. Normale de moyennem∈Ret de variance σ² >0

Exercice 1.2 Soit (X,T) un espace topologique et f une fonction deX dansR. On dit quef est semi-continue inf´erieurement (s.c.i) si et seulement si, pour tout r´eel α, l’ensemble {f 6α} des r´eels x tels quef(x) 6α est ferm´e. On dit que f est semi-continue sup´erieurement (s.c.s) si et seulement si−f est s.c.i.

1. Soit (fi)i∈I une collection de fonctions s.c.i deX dansR. Montrer que la fonction sup_i∈Ifi

est s.c.i.

2. Montrer quef est s.c.i si et seulement si :

∀x∈ X, lim inf

y→x f(y)>f(x), c’est `a dire si et seulement si :

∀x∈ X, sup

V∈V(x)

y∈Vinf\{x}f(y)>f(x), o`u V(x) est l’ensemble des voisinages de x(pourT).

3. Montrer quef est continue sur X si et seulement si elle est s.c.i et s.c.s.

Exercice 1.3Soit µune mesure de probabilit´e bor´elienne surRet Λ sa log-Laplace.

1. Montrer que Λ est strictement convexe si et seulement siµ est non d´eg´en´er´ee.

2. Montrer que Λ estC^∞ sur l’int´erieur de son domaineDΛ, et que :

∀λ∈D^oΛ, Λ^′(λ) = E(Ze^λZ) E(e^λZ) , o`u on a not´eZ une variable al´eatoire de loiµ.

3. Montrer que Λ^∗ est strictement convexe et C^∞sur l’int´erieur de Λ^′(D^oΛ).

Exercice 1.4

1. Soitf :R→]−∞,+∞] une fonction convexe et s.c.i. Montrer quefest ´egale au supremum des fonctions affines qui sont inf´erieures `af.

2. Soit µ une mesure de probabilit´e bor´elienne sur R et Λ sa log-Laplace. Montrer que Λ^∗∗= Λ.

Exercice 1.5

1. Soit µ une mesure de probabilit´e bor´elienne sur R de support inclus dans [a, b] avec

−∞< a < b <∞. On note Λ la log-Laplace deµ etm son esp´erance.

(a) Montrer que pour toutλ∈R,

exp Λ(λ)6 b−m

b−ae^λa+m−a b−ae^λb. (b) En d´eduire que pour toutx∈[a, b],

Λ^∗(x)>H

x−a b−a

m−a b−a

, o`u

H(u|u₀) =ulog u

u₀ + (1−u) log 1−u 1−u₀ . (c) Discuter l’´egalit´e

2. Sur un espace de probabilit´e (Ω,F,P), muni d’une filtration (Fn)_n∈N telle que F0 soit triviale, on se donne une martingale centr´ee (M_n)_n>0 v´erifiant presque sˆurement :

∀n∈N, |M_n+1−M_n|61.

Montrer queE(e^λMn)6(cosh(λ))ⁿ, puis donner une majoration deP(M_n6nx).

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Exercices – Chapitre 2

Formalisme des grandes d´eviations

Exercice 2.1 Mettre le Th´eor`eme de Cram´er sous la forme d’un PGD. Quand la fonction de taux est-elle bonne ?

Exercice 2.2 Soit (µ_ε)_ε>0 satisfaisant un PGD de bonne fonction de tauxI surX localement compact (c’est `a dire tel que tout point poss`ede un voisinage compact). Montrer que (µ_ε)_ε>0 est exponentiellement tendue.

Exercice 2.3 Equivalence exponentielle. Soit (X, d) un espace m´etrique et ((Z_ε,Ze_ε))_ε>0 une v.a `a valeurs dansX × X. On suppose que :

1. (Z_ε)_ε>0 suit un PGD de bonne fonction de tauxI,

2. (Z_ε)_ε>0 et (Ze_ε)_ε>0 sontexponentiellement ´equivalentes, c’est `a dire que pour toutδ >0 : lim sup

ε→0 εlogP(d(Z_ε,Ze_ε)> δ) =−∞. Montrer que (Ze_ε)_ε>0 suit un PGD de bonne fonction de taux I.

Exercice 2.4Soit (Z_ε)_ε>0 une suite de v.a r´eelles satisfaisant un PGD de fonction de taux I. Soit (Xε)ε>0 une suite de v.a r´eelles telle queXεsoit ind´ependant deZε pour toutε >0, etXε

vaut 1 (resp. -1) avec probabilit´e ¹₂ (resp. ¹₂). On pose Y_ε=Z_ε+X_ε. Montrer que (Y_ε)_ε>0 suit un PGD dont on pr´ecisera le fonction de taux.

Exercice 2.5Montrer que la suite de lois (εδ¹

ε + (1−ε)δ0)ε>0 suit un PGD faible, mais pas de PGD fort.

Exercice 2.6Soit (µ_ε)_ε>0 une collection de probas bor´eliennes sur (X,T) satisfaisant un PGD de fonction de taux I. Soit O un ouvert de X tel que I soit continue sur O pour la topologie induite surO, et :

∀ε >0, µ_ε(O)>0.

Montrer que (µε(.|O))ε>0 suit un PGD et donner sa fonction de taux.

Exercice 2.7Soit (Z_n)_n∈^N une suite de v.a gaussiennes o`uZ_n∼ N(0,_n¹). Soitf une fonction continue deRdansR. On poseY_n=f(Z_n). Montrer que (Y_n)_n∈N suit un PGD de vitessen, et donner la fonction de taux lorsquef(x) =|cosx|^π.

Exercice 2.8 Curie-Weiss en champ moyen, avec champ magn´etique externe.

Soient β >0 eth∈R. On d´efinit des probabilit´esν_n,β,h sur {−1,1}ⁿ par :

∀x∈ {−1,1}ⁿ, ν_n,β,h(x) = eⁿ

“

β(^Snn )^2+hSnn

”

Zn,β,h

, o`u Zn,β,h est la constante de normalisation et S_n=P_n

i=1x_i. Enfin, on note µ_n,β,h la loi de la magn´etisation moyenneS_n/nsous ν_n,β,h

1. Montrer que (µ_n,β,h)_n∈N suit un PGD de vitesse n.

2. Commenter qualitativement les PGD obtenus en fonction de la position de (β, h) dans R^∗₊×R.

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Exercices – Chapitre 3

G¨artner-Ellis-Baldi

Exercice 3.1 Soient (Xn)n∈N et (εn)n∈N deux suites ind´ependantes de variables al´eatoires i.i.d sym´etriques de Bernoulli sur {−1,1}. Dans les deux cas suivants, on d´efinira une suite (Y_n)_n>1. On demande d’examiner la convergence deY_n/n, l’application ´eventuelle du th´eor`eme de G¨artner-Ellis et l’existence d’un principe de grandes d´eviations.

1. Soient :

S⁺_n = card{j∈ {1, . . . , n}:X_j = 1} et S_n⁻= card{j∈ {1, . . . , n}:X_j =−1}. On d´efinitYn par :

Y_n= 1 +ε_n

2 S_n⁺− 1−ε_n 2 S_n⁻. 2. Soient :

Σ⁺_n =

n si ∀j∈ {1, . . . , n}, X_j = 1 0 sinon

Σ⁻_n =

−n si ∀j∈ {1, . . . , n}, X_j =−1 0 sinon

On d´efinitY_n par :

Y_n= 1 +ε_n

2 Σ⁺_n + 1−ε_n 2 Σ⁻_n .

Exercice 3.2Soit (N(n))_n∈N une suite de variables al´eatoires dansN. On suppose que la limite suivante existe pour tout λ∈R :

Λ(λ) = lim

n→∞

1

nlogE(e^λN(n)),

et que Λ est diff´erentiable sur R. Soit (X_j)_j∈^N une suite de variables al´eatoires i.i.d dans R^d, ind´ependante de (N(n))_n∈N, de log-Laplace finie partout Λ_X. On note µ_n la loi de :

Σ_n= 1 n

N(n)X

j=1

X_j .

Montrer queµ_n suit un PGD de vitesse net donner sa fonction de taux.

Exercice 3.3Soit (X_t)_t∈Zun processus gaussien stationnaire r´eel centr´e de covariance γ(k) :=

E(X_tX_t+k). On suppose que ce processus a une puissance finie, d´efinie par : P := lim

n→∞

nX−1

k=−n+1

γ(k)

1−|k| n

.

Soit µ_n la loi de S_n = _n¹Pn

j=1X_j. Montrer que µ_n satisfait un PGD de vitesse n, dont on donnera la fonction de taux.

Exercice 3.4

Soit (Z_t)_t∈^Z une suite de variables al´eatoires i.i.d centr´ees. Soit Λ_Z la log-Laplace commune desZ_t. On suppose que Λ_Z(λ) est fini pour toutλ∈R. Soit (ψ_i)_i∈Z une suite de nombres r´eels

telle que : X

i∈Z

|ψ_i|<∞. On d´efinit un processus stationnaire X par :

Xt=X

i∈Z

ψiZt−i ∀t∈Z.

Soitµ_nla loi deS_n= _n¹ P_n

j=1X_j. Montrer queµ_nsatisfait un PGD dont on donnera la fonction de taux.

Exercice 3.5Soit µla loi surR de densit´e :

g(x) =C_γ,αe^−γxx^−α 1I_x>1 ,

o`u C est une constante de normalisation, et γ >0 et α >0 sont deux param`etres. On note Λ la log-Laplace de µ.

1. D´eterminer DΛ et Λ^′(D^oΛ).

2. Trouver DΛ^∗, le domaine de Λ^∗, et F, l’ensemble des points expos´es x de Λ^∗ tels qu’il existe un hyperplan d’appuiη ∈D^oΛ pourx.

3. Comparer l’application des th´eor`emes de G¨artner-Ellis et de Cram´er `a la suite des lois de Pn

i=1X_i/n, o`u lesX_i sont i.i.d de loi µ.

Exercice 3.6 Grandes d´eviations pour les fonctionnelles additives d’une chaˆıne de Markov

Soit Σ ={1, . . . , N}un ensemble d’´etats fini etP une matrice de transition irr´eductible sur Σ.

On fixe une fonction f de Σ dansR^d, et on s’int´eresse aux grandes d´eviations de : Z_n= 1

n Xn

i=1

f(X_i).

Pour toutλ∈R^d, on d´efinit une matrice de transition irr´eductible P_λ par : P_λ(i, j) =P(i, j)e^hλ,f(j)i ∀i, j ∈Σ.

On noteρ(P_λ) le rayon spectral de la matriceP_λ. Montrer que (Zn)n∈N satisfait un principe de grandes d´eviations de bonne fonction de tauxI d´efinie par :

∀z∈R^d, I(z) = sup

λ∈Rd{hλ, zi −logρ(P_λ)}.

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Exercices – Chapitre 4

Cram´er dans un e.v.t localement convexe

Exercice 4.1Soit µune mesure de probabilit´e bor´elienne surR^d. On note Λ la log-Laplace de µ. On note µ_n la loi de _n¹Pn

i=1X_i o`u les X_i sont i.i.d de loi µ. Montrer qu’il y a ´equivalence entre les quatre propri´et´es suivantes :

(i) Λ est finie dans un voisinage de l’origine.

(ii) La suite (µn)n∈N est exponentiellement tendue.

(iii) La suite (µn)n∈N satisfait un principe de grande d´eviation (fort) gouvern´e par une bonne fonction de taux.

(iv) La suite (µ_n)_n∈N satisfait un principe de grande d´eviation (fort) gouvern´e par Λ^∗ et Λ^∗ est une bonne fonction de taux.

Exercice 4.2 Soit X un e.v.t localement convexe etf une fonction s.c.i et convexe de X dans R∪ {+∞}. On veut montrer quef^∗∗=f, o`uf<sup>∗∗</sup> est la transform´ee de Fenchel-Legendre def<sup>∗</sup>. Le th´eor`eme suivant sera utile :

Th´eor`eme 1 (Hahn-Banach) SoitYun espace vectoriel topologique localement convexe. Soient A et B deux sous-ensembles convexes, disjoints et non vides de Y. Si A est compact et B est ferm´e, il existe λ∈ Y^∗, aet b dans R, tels que :

∀x∈A, ∀y∈B hλ, xi6a < b6hλ, yi.

1. Montrer quef^∗∗ est ´egal au supremum des fonctions continues affines inf´erieures `a f. Dans la suite, on suppose quef n’est pas identiquement ´egale `a +∞.

2. Soit x₀ ∈ X tel que f(x₀)<∞ etr₀< f(x₀). On noteF l’´epigraphe de f : F ={(x, r)∈ X ×R : f(x)6r}.

Montrer queF est un convexe ferm´e non vide.

3. Montrer qu’il existe un hyperplan ferm´e s´eparant (x₀, r₀) de F, et que cet hyperplan ne peut ˆetre de la formeP ×Ravec P un hyperplan ferm´e de X.

4. En d´eduire que si f(x₀) < ∞, f(x₀) = f^∗∗(x₀), et qu’il existe au moins une fonction continue affine qui est inf´erieure `af.

5. Soit x₁ ∈ X tel que f(x₁) = +∞, et r₁ ∈ R. Montrer qu’il existe un hyperplan ferm´e s´eparant (x₁, r₁) deF. Si cet hyperplan n’est pas de la formeP×Ravec P un hyperplan ferm´e deX, montrer que f^∗∗(x₁)>r₁.

6. Suppons que l’hyperplan ferm´e s´eparant (x₁, r₁) deF soit de la formeP ×R avec P un hyperplan ferm´e deX. Montrer qu’il existe une fonction affinepsurX telle quep(x₁)>0 etp(y) = 0 pour tout y∈P.

7. Soit q une fonction continue affine inf´erieure `a f. En consid´erant la fonction q+αppour α assez grand, montrer quef^∗∗(x₁)>r₁.

8. Conclure.

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Exercices – Chapitre 5

Sanov

Exercice 5.1 On noteM1(R) (resp.M1(R²) l’ensemble des probabilit´es sur R(resp. surR²).

On munit ces espaces de la topologie de la convergence ´etroite. Pourx∈R (resp. (x, y)∈R²), on noteδx (resp.δx,y) la masse de Dirac enx (resp. en (x, y)).

1. Montrer que l’application µ7→µ⊗µde M1(R) dansM1(R²) est continue.

2. Soit X₁, . . . , X_n une suite de v.a.i.i.d `a valeurs dansRet : L_n= 1

n Xn

i=1

δ_Xi .

(a) Montrer que U_n = L_n ⊗L_n satisfait un PGD dans M1(R²) dont on donnera la fonction de taux.

(b) En d´eduire que pour touth∈ Cb(R²,R), la suite de variables al´eatoires : 1

n² X

16k1,k26n

h(X_k1, X_k2) (n>1) satisfait un PGD surR dont on donnera la fonction de taux.

3. Montrer que :

U_n^′ = 1 n(n−1)

X

16k16=k26n

δ_Xk

1,Xk2 (n>2)

satisfait un PGD dansM1(R²) dont on donnera la fonction de taux. On pourra utiliser l’exercice 2.3 et utiliser la distance de L´evy-Prohorov, qui m´etrise la convergence ´etroite dansM1(R^d) :

d(µ, ν) = inf{ε >0 t.q. µ(F)6ν(F^ε) +ε}, o`u F^ε={x t.q. ∃y∈F :kx−yk6ε}.

4. En d´eduire que pour touth∈ Cb(R²,R), la suite de variables al´eatoires : 1

n(n−1)

X

16k16=k26n

h(X_k1, X_k2) (n>2) satisfait un PGD surR dont on donnera la fonction de taux.

Exercice 5.2On veut montrer que le th´eor`eme de Sanov peut ˆetre d´eduit de celui de G¨artner- Ellis-Baldi. SoientX₁, . . . , X_nde loiµsur un espace Polonais Σ. On noteµ_nla loi de ¹_nP_n

i=1δ_Xi. On note Λ la log-Laplace de la loi deδ_X1. On rappelle que la tension exponentielle de (µ_n) (de vitesse n) a ´et´e vue en cours, ainsi que l’identification de Λ^∗ `a K(., µ). On note F l’ensemble des points expos´es ν de Λ^∗ tels qu’il existe un hyperplan d’appui f ∈ Cb(Σ) tel que :

∃γ >1, Λ(γf)<∞.

1. Montrer que si ν∈ M1(Σ) est telle queν =gµ avec g∈ Cb(Σ) etg > α >0 pour un r´eel α >0, alors ν∈ F.

2. En d´eduire le th´eor`eme de Sanov par une application de celui de G¨artner-Ellis-Baldi.

Exercice 5.3Un espace estnormal si et seulement si pour tout couple de ferm´es (A, B) disjoints il existe une fonction continue born´ee qui vaut 0 sur A et 1 sur B (ce n’est pas la d´efinition standard, mais c’est ´equivalent par le lemme d’Urysohn). Soit Σ un espace normal. On veut d´emontrer que M(Σ) muni de la topologie faible* est m´etrisable si et seulement si Σ est de cardinal fini.

1. Soit E un espace vectoriel, F un espace vectoriel de formes lin´eaires de E dans R qui s´epareE, c’est `a dire :

∀x6=y∈E, ∃f ∈ F f(x)6=f(y).

On munitEde la topologie la moins fine rendant continues les fonctions deF. Montrer que E est m´etrisable si et seulement siF est de dimension (alg´ebrique) au plus d´enombrable.

On pourra utiliser le r´esultat suivant : un espace vectoriel topologique de Hausdorff est m´etrisable si et seulement si l’origine poss`ede une base d´enombrable de voisinages.

2. Soit Σ un espace normal de cardinal infini. Montrer que si x₁, . . . , x_n sontn points dis- tincts, il existe nfonctions f₁, . . . , f_n continues born´ees telles que :

∀i, fi(xi) = 1 et ∀i6=j fi(xj) = 0. En d´eduire queCb(Σ) n’est pas de dimension alg´ebrique finie.

3. Conclure en utilisant le fait qu’un espace de Banach est soit de dimension finie, soit de dimension non d´enombrable.

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Exercices – Chapitre 6

Schilder

Exercice 6.1SoitB un mouvement brownien sur [0,1] etgune fonction continue de [0,1] dans ]0,+∞[. Montrer que :

A→+∞lim 1

A² logP(∃t∈[0,1] t.q. B_t>Ag(t)) =− inf

u∈]0,1]

g(u)² 2u . On pourra consid´erer l’ensemble :

G={f ∈C([0,1]) t.q. f(0) = 0 et∃t∈[0,1], f(t)>g(t)},

et montrer que c’est un ferm´e deC([0,1]). Enfin, pour ´evaluer l’infimum de la fonction de taux du brownien surG, on pourra consid´erer les fonctions (f_u) d´efinies par :

∀u∈]0,1], f_u(t) = g(u)

u (t∧u).

Exercice 6.2 Soit T un espace m´etrique compact. On note C(T) l’ensemble des applications continues de T dans R, muni de la norme kfk∞ = sup_t∈T |f(t)|. C’est un espace de Banach s´eparable. On consid`ere (Zt)t∈T un processus gaussien centr´e sur T, d´efini sur un espace de probabilit´e Ω et dont les trajectoires appartiennent presque sˆurement `a C(T). On note Q la covariance associ´ee :

Q(t, t^′) =E(Z_tZ_t^′).

On admettra queQ est continue surT×T et on supposera dans la suite que pour toutα >0, E(e^αkZk∞)<∞.

1. Montrer que (µn)n>1, la suite des lois de ^√1_nZ satisfait un PGD sur C(T). Le reste de l’exercice est destin´e `a expliciter la fonction de taux.

2. Soit H la cloture dans L²(Ω) de l’espace vectoriel engendr´e par (Z_t)_t∈T. Montrer que H est ´egal `a la cloture dans L<sup>2</sup>(Ω) de {hν, Zi t.q. ν ∈ M(T)} o`u M(T) est l’ensemble des mesures sign´ees surT.

3. Montrer que la fonction Φ d´efinie par : Φ :

H → C(T)

Y 7→ (t7→E(Y Z_t)) est bien d´efinie et est une injection.

On note H_Q= Φ(H) et on le munit d’une structure hilbertienne par : hh1, h2iQ:=E(Φ⁻¹(h1)Φ⁻¹(h2)).

On va chercher `a montrer que : Λ^∗_Z(f) =

₁

2kfk²Q si f ∈H_Q

+∞ sinon (1)

4. Soit f ∈C(T) telle que Λ^∗_Z(f)<∞.

(a) Montrer que pour toute mesureν ∈ M(T),

|hν, fi|6 q

2Λ^∗_Z(f)E(hν, Zi²).

(b) Montrer qu’on peut d´efinir une forme lin´eaire F sur {hν, Zi t.q. ν ∈ M(T)} par la formule :

F(hν, Zi) =hν, fi.

(c) Montrer que la forme lin´eaireF est continue et peut ˆetre ´etendue de mani`ere unique surH.

(d) En d´eduire qu’il existe Y ∈Htel que pour toutν ∈ M(T), hν, fi=E(Yhν, Zi).

(e) Conclure que f ∈HQ et que pour tout f ∈HQ, on a : Λ^∗_Z(f)> 1

2kfk²Q . 5. Finir le calcul de Λ^∗_Z et ´enoncer le PGD pour (µ_n)_n>1.

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Solutions

Solution 1.1:

1. Λ(λ) =µ(e^λ−1) et Λ^∗(x) =µ

x

µlog^x_µ−^x_µ+ 1 . 2.

Λ(λ) =

log_µ−λ^µ si λ6µ

+∞ sinon et Λ^∗(x) =

xµ−1−log(xµ) si x >0

+∞ sinon

3.

Λ(λ) =

( log₁ ^peλ

−(1−p)e^λ si λ <log₁₋¹_p

+∞ sinon

et

Λ^∗(x) =

(x−1) log^x₁₋⁻_p¹−xlogx−logp si x>1

+∞ sinon

4.

Λ(λ) = log

(1−p)e^λa+pe^λb et

Λ^∗(x) =

( x−a

b−alog_p(b^x−₋^a_a)+^b_b⁻₋^x_alog₍₁₋^b_p)(b^−x_−a) si x∈[a, b]

+∞ sinon

5. Λ(λ) =λm+^σ2₂^λ2 et Λ^∗(x) = ^(x−_2σ^m)2 ².

Solution 1.2:

1. Soit α∈R, on a :

{sup

i∈I

f_i 6α}=\

i∈I

{f_i 6α}.

Une intersection de ferm´es ´etant ferm´ee, on en d´eduit que si toutes les f_i sont s.c.i, la fonction sup_i∈If_i l’est aussi.

2. Soitf une fonction s.c.i, etx∈ X tel quef(x)∈R. Soitε >0. L’ensemble{f > f(x)−ε} est un ouvert contenant x, donc il existe V ∈ V(x) tel que V ⊂ {f > f(x)−ε}, ce qui implique :

y∈infV\{x}f(y)>f(x)−ε . Donc :

sup

V∈V(x)

y∈Vinf\{x}f(y)>f(x)−ε , et comme ceci est valable pour toutε >0, on a :

sup

V∈V(x)

y∈Vinf\{x}f(y)>f(x).

Si x est tel que f(x) = −∞, la derni`ere in´egalit´e est triviale. Enfin, si x est tel que f(x) = +∞, on peut refaire le mˆeme argument que ci-dessus avec l’ensemble {f > A}, pour Ar´eel quelconque. R´eciproquement, supposons que pour tout x de X on ait :

sup

V∈V(x)

y∈Vinf\{x}f(y)>f(x).

Soit α ∈ R un r´eel fix´e, et x tel que f(x) > α. L’hypoth`ese implique qu’il existe un voisinage V dex tel que :

y∈Vinf\{x}f(y)> α ,

et donc que V ⊂ {f > α}. On a donc montr´e que {f > α} est un ouvert, pour tout α doncf est s.c.i.

3. Soit f une fonction continue et α ∈ R. Comme ]− ∞, α] et [α,+∞[ sont ferm´es, les ensembles{f >α} et{f 6α}sont ferm´es, doncf est s.c.i et s.c.s. R´eciproquement, soit f une fonction s.c.i et s.c.s. Soitx∈ X etε >0. Par la propri´et´e montr´ee pr´ec´edemment, il existe un voisinageV₁ de x tel que :

∀y∈V₁, f(y)>f(x)−ε .

De mˆeme, comme−f est s.c.i, il existe un voisinage V₂ dex tel que :

∀y∈V2, f(y)6f(x) +ε . Ainsi, surV₁∩V₂, on a :

∀y∈V₁∩V₂, f(x)−ε6f(y)6f(x) +ε , etf est donc continue en x.

Solution 1.5:

1. (a) Soit λ∈R. En utilisant la convexit´e de la fonction x7→e^λx, on a :

∀x∈[a, b], e^λx=e^λ(^ab−x_b−a^+bx−a_b−a) 6 b−x

b−ae^λa+x−a b−ae^λb,

ce qui donne le r´esultat en int´egrant contre la loi µ. Remarquons qu’il y a ´egalit´e (b) Soit ν la loi de Bernoulli ^b_b⁻₋^m_aδ_a+^m_b−⁻_a^aδ_b. On sait que (cf. Exercice 1.1) :

Λ^∗_ν(x) =H

x−a b−a

m−a b−a

, or on vient de montrer que Λ6Λν. Donc Λ^∗>Λν^∗.

(c) Si Λ^∗ = Λν^∗, alors Λ = Λν (cf. Exercice 1.4), et ainsi µ=ν.

2. Puisque |Mn+1−Mn| 6 1 presque sˆurement pour tout n > 1, on a, en utilisant le 1a), avec m= 0,a=−1 et b= 1 :

E

e^{λ(Mn−Mn−1)}|Fn−1

6cosh(λ) p.s.

E(e^λMn+1) = E

"_n+1 Y

i=1

e^{λ(Mi−Mi−1)}

# ,

= E

"

E

n+1Y

i=1

e^{λ(Mi−Mi−1)}|Fn

!#

,

= E

" _n Y

i=1

e^{λ(Mi−Mi−1)}E

e^{λ(Mn+1−Mn)}|Fn

# , 6 cosh(λ)E(e^λMn),

d’o`u, par r´ecurrence :

E(e^λMn)6(cosh(λ))ⁿ. Donc, en utilisant Chernoff :

P(M_n6nx)6e^{−nsupλ∈R−{λx−cosh(λ)}} . Pour x60, on obtient :

P(M_n6nx)6e^{−n(xlog(x+√x2+1)−√x2+1)} . Pour x>0, la borne est triviale, ´egale `a 1.

Solution 2.1: Commen¸cons par la borne sup. Soit F un ferm´e de R. On note m la moyenne de la loi µ(finie par hypoth`ese), µ_n la loi deS_n/net on pose :

m₁= sup{F∩]− ∞, m]} et m₂= inf{F∩[m,+∞[}.

CommeF est ferm´e, remarquons que siF∩]−∞, m]6=∅,m₁∈F, et de mˆeme, siF∩[m,+∞[6=∅, m₂ ∈ F. Faisons le raisonnement lorsque F∩]− ∞, m] 6=∅ et F ∩[m,+∞[6=∅, les autres cas

´etant similaires. Par le lemme sympa puis le th´eor`eme de Cram´er, lim sup

n∞

1

nlogµ_n(F) 6 max{lim sup

n∞

1

nlogµ_n(]− ∞, m₁]),lim sup

n∞

1

nlogµ_n([m,+∞[)}, 6 max{−Λ^∗_µ(m₁),−Λ^∗_µ(m₂)},

6 −inf

x∈FΛ^∗_µ(x).

Pour la borne inf, utiliser le lemme `a l’int´erieur du th´eor`eme de Cram´er, ou bien utiliser une hypoth`ese suppl´ementaire : supposer que Λ est finie dans un voisinage de 0. Plus pr´ecis´ement, en profiter pour voir que si Λ(λ) = +∞ pour tout λ >0, alors Λ^∗(x) = 0 pour toutx>m, et si Λ(λ) = +∞ pour toutλ <0, alors Λ^∗(x) = 0 pour toutx6m. Montrer aussi que Λ^∗(x)>0 pour toutx > msi Λ(λ)<∞ pour au moins unλ >0, et idem de l’autre cˆot´e.

Solution 2.2: Pour toutx, notonsK_x un voisinage compact dexetV_x un voisinage ouvert de x inclus dans K_x. Soit α∈R⁺. L’ensemble{I 6α} est compact, recouvert par l’union desV_x. On peut donc extraire un recouvrement fini :

{I 6α} ⊂ [N

i=1

V_xi ⊂ [N

i=1

K_xi ,

avec x₁, . . . , x_N dans{I < α}. Posons K_α =SN

i=1K_xi. On a : lim supεlogµ_ε(K_α^c)6−inf

K_α^c

I . Puisque SN

i=1V_xi est ouvert,

K_α^c ⊂ [N

i=1

V_xi

!c

⊂ {I > α}, donc :

lim supεlogµ_ε(K_α^c)6−α .

Solution 2.3: Borne inf.SoitO un ouvert,x∈O etδ >0 tel queB(x, δ)⊂O.

P(Zeε∈O)>P(Zeε∈ B(x, δ))>P(Zε ∈ B(x,δ

2))−P(d(Zeε, Zε)> δ 2), Comme lim sup_ε→0εlogP(d(Z_ε,Ze_ε)> δ/2) =−∞,

lim inf

ε→0 εlogP(Ze_ε∈O) = lim infεlog

P(Ze_ε∈O) +P(d(Ze_ε, Z_ε)> δ 2)

,

> lim infεlogP(Z_ε∈ B(x,δ 2)),

> − inf

B(x,^δ₂)

I ,

> −inf

O I .

Borne sup. Soit F un ferm´e. On noteF^δ={x t.q.d(x, F) 6δ}. En utilisant le lemme sympa, pour toutδ >0,

P(Ze_ε∈F) 6 P(Z_ε∈F^δ) +P(d(Ze_ε, Z_ε)> δ), lim sup

ε→0 εlogP(Ze_ε∈F) 6 lim sup

ε→0 εlogP(Z_ε∈F^δ), 6 −inf

F^δI . Ainsi,

lim sup

ε→0

εlogP(Ze_ε∈F)6−sup

δ>0

inf

F^δ I .

Il reste `a montrer que sup_δ>0inf_FδI > inf_F I. Posons γ = sup_δ>0inf_FδI. Si γ = +∞, le r´esultat est clair. Supposons que γ soit fini, fixons η >0 et posons α = γ+η. Les ensembles (F^δ∩ {I 6α})_δ>0 forment une suite de compact emboˆıt´es. Leur intersection F ∩ {I 6α} est donc non vide, ce qui implique que inf_F I 6α =γ +η. Ceci ´etant vrai pour tout η >0, cela prouve l’in´egalit´e d´esir´ee.

Solution 2.4: SoitA un ensemble mesurable.

P(Y_ε∈A) = 1

2P(X_ε ∈A−1) + 1

2P(X_ε∈A+ 1), (2)

donc, par le lemme sympa, lim sup

ε→0

εlogP(Y_ε ∈A)6−min{inf

A−1

I,inf

A+1

I}=−inf

x∈A

J(x),

o`u on a pos´eJ(x) = min{I(x+ 1), I(x−1)}. De plus, `a partir de 2, lim inf

ε→0 εlogP(Y_ε∈A) > max{lim inf

ε→0 εlogP(X_ε∈A−1),lim inf

ε→0 εlogP(X_ε∈A+ 1)},

> −min{inf

Ao−1

I, inf

A+1o

I},

> −inf

x∈A^o

J(x).

Solution 2.5: SoitK un compact deR. On a : lim sup

ε→ εlogµε(K) =

0 si 0∈K

−∞ sinon Soit O un ouvert deR tel que 0∈O. On a :

lim inf

ε→ εlogµ_ε(O)>0. Donc, en posant :

I(x) =

0 si x= 0 +∞ sinon

on obtient un PGD faible pourµ_ε, de fonction de tauxI (la borne inf est triviale pourO ouvert ne contenant pas 0. Supposons maintenant que µ_ε suive un PGD fort de fonction de taux J.

Soit F le ferm´e [1,+∞[. La borne sup du PGD fort donne : infF J 6−lim supεlogε= 0, mais la borne inf sur ]a, b[ avec 0< a < bdonne :

]a,b[inf J = +∞.

D’o`u inf_]0.5,+∞[J = +∞, ce qui contredit inf_[1,+∞[J 60.

Solution 2.6:

Remarquons tout d’abord que inf_OI = inf_OI, puisque I est continue sur tout O pour la topologie induite surO. Par cons´equent,

ε→0limεlogµ_ε(O) =−inf

O

I =−inf

O I .

Soit A un ensemble mesurable. En remarquant que A∩O ⊂ A∩O, et en utilisant la borne sup´erieure du PGD pour µ_ε,

lim sup

ε→0 εlogµ_ε(A|O) = lim sup

ε→0 εlogµ_ε(A∩O) + inf

O

I , 6 − inf

A∩O

I+ inf

O

I , 6 − inf

A∩O

I+ inf

O

I ,

= −inf

A J ,

en posant :

J(x) =

+∞ si x6∈O I(x)−inf_OI si x∈O

On v´erifie facilement queJ est positive et s.c.i. Pour la borne inf, en remarquant queA^o ∩O⊂

o

A∩O :

lim inf

ε→0 εlogµ_ε(A|O) = lim inf

ε→0 εlogµ_ε(A∩O) + inf

O

I ,

> − inf

A∩Oo

I+ inf

O

I ,

> − inf

Ao∩O

I+ inf

O I ,

= − inf

o

A∩O

I+ inf

O

I ,

= −inf

o

A

J ,

o`u l’avant-derni`ere ´egalit´e d´ecoule du fait que I soit continue sur tout O pour la topologie induite surO. On a donc montr´e queµ_ε(.|O) suit un PGD de fonction de taux J.

Solution 2.7:En loi,Z_n ∼ ¹_nPn

i=1X_iavecX_ii.i.d de loiN(0,1). Donc, en utilisant le th´eor`eme de Cram´er, (Z_n) suit un PGD de vitesse n et de fonction de taux I(x) = ^x₂². Donc, f ´etant continue, le principe de contraction nous donne que Yn = f(Zn) suit un PGD de vitessen et de fonction de taux J, avec :

J(x) = inf

f⁻¹({x})I . Dans le cas o`u f(x) =|cosx|^π, pour toutx∈[0,1], on a :

f(y) =x ⇔ |cosy|=x^π1 ,

⇔ y∈(arccosx^1π +πZ)∪(−arccosx^π1 +πZ), d’o`u :

J(x) = ₁

2(arccosx^1/π)² si x∈[0,1]

0 sinon

Solution 3.1:

1. Comme S_n⁺+S_n⁻=n,

1

nY_n= ε_n 2 + 1

n(S⁺_n −n 2).

Comme _n¹(S_n⁺−ⁿ₂) converge en loi (et presque sˆurement) vers 0, _n¹Y_nconverge en loi vers

1 2(δ₋1

2 +δ₊1

2). Examinons l’application de G¨artner-Ellis-Baldi. Notons Λ_n la log-Laplace de la loi deYn/n (qui a pour domaine R) :

Λ_n(nλ) = logE(e^{λ(nεn2 +Sn+−n2)}),

= logE(e^{λ(nεn2 )}) + logE(e^λSn+−n2)),

= log 1

2(e^nλ/2+e^−nλ/2)

+nlog 1

2(e^λ/2+e^−λ/2)

.

D’o`u :

Λ(λ) := lim

n∞

1

nΛ_n(nλ) = |λ|

2 + log(cosh(λ)).

Λ est d´erivable surR6= 0, mais n’est pas d´erivable en 0 (donc les hypoth`eses de G¨artner- Ellis ne sont pas v´erifi´ees). Par contre, les hypoth`eses de G¨artner-Ellis-Baldi sont v´erifi´ees, et en plus les lois sont exponentiellement tendues. On peut voir que Λ^∗ est nulle sur [−¹₂,¹₂] et strictement positive sur [−¹₂,¹₂]^c. Du coup, on ne peut pas d´eduire de PGD fort de G¨artner-Ellis-Baldi. En fait, un PGD fort est obtenu `a partir de l’exercice 2.4, de fonction de taux :

J(x) = min{I(x+1

2), I(x−1 2)},

o`u I est la fonction de taux du principe de grande d´eviation de (¹_nS_n⁺−¹₂) : I(x) =

(x+¹₂) log(2x+ 1) + (¹₂ −x) log(1−2x) si x∈[−¹₂,¹₂]

+∞ sinon

On peut montrer que Λ^∗ est la plus grande fonction convexe inf´erieure `a J.

2. On voit facilement que :

L(Y_n/n) = 1

2ⁿ⁺¹δ₁+ 1

2ⁿ⁺¹δ₋₁+

1− 1 2ⁿ

δ₀ . Puis :

Λ(λ) := lim

n∞

1

nE(e^λYn) =

0 si λ∈[−log 2,log 2]

λ−log 2 sinon Ce qui donne :

Λ^∗(x) =

|x|log 2 si x∈[−1,1]

+∞ sinon

G¨artner-Ellis ne s’applique pas (probl`eme de diff´erentiabilit´e) et l’ensemble des points expos´es est r´eduit `a{−1,0,1}, ce qui ne suffit pas pour obtenir un PGD. On peut obtenir un PGD directement, de fonction de tauxI :

I(x) =





log(2) si x∈ {−1,1}

0 si x= 0

+∞ sinon

On peut montrer que Λ^∗ est la plus grande fonction convexe inf´erieure `a I.

Solution 3.4: Remarquons que la s´erie P

|ψ_iZ_t−i|converge presque sˆurement. En effet, les Z_i sont ind´ependants, P

|ψi|E(|Zt−i|) <∞ et P

|ψi|²Var(|Zt−i|) < ∞. On pose S = P

i∈Zψi et S^′ =P

i∈Z|ψ_i|. On peut ´ecrire, presque sˆurement : Xn

i=1

X_i =

nX−1

i=0

X_n−i =

n−1

X

i=0

X

j∈Z

ψ_jZ_n−i−j =X

k∈Z

Z_n−k

n−1

X

i=0

ψ_k−i .

Donc, en notant Λ_n la log-Laplace de Pn

i=1X_i/n: 1

nΛ_n(nλ) = 1

nlogE Y

k∈Z

e^{λZn−kPn−1i=0 ψk−i}

! ,

= 1

nlogE Y

l∈Z

e^{λZlPl+nj=l+1ψj}

! ,

= 1

nlogY

l∈Z

E

e^{λZlPl+nj=l+1ψj} ,

= 1

n X

l∈Z

Λ_Z



λZ_l Xl+n

j=l+1

ψ_j



 ,

o`u l’interversion du produit infini et de l’esp´erance sera justifi´ee par convergence domin´ee en remarquant que pour tout L∈N,

YL

l=−L

e^{λZlPl+nj=l+1ψj}

6 e^{|λ|PLl=−L|Zl|Pl+nj=l+1|ψj|}, 6 e^{|λ|Pl∈Z|Zl|Pl+nj=l+1|ψj|}, dont la moyenne est ´egale, par convergence monotone, `a :

e^{Pl∈ZΛ|Z|(|λ|Pnj=l+1|ψj|)} =e^{E(|Z|)Pl∈Z|λ|Pnj=l+1|ψj|+Pl∈ZΛ|Z|−E(|Z|)(|λ|Pnj=l+1|ψj|)}.

Notons Λ₁ = Λ_|Z|−E|Z|. On sait que Λ¹ estC^∞ sur Ret que Λ₁(0) = 0. En utilisant l’in´egalit´e de Taylor-Lagrange, pour toutλ∈R,

Λ₁(|λ| Xl+n

j=l+1

|ψ_j|) 6 |λ| Xl+n

j=l+1

|ψ_j| sup

[0,|λ|S^′P_l+n

j=l+1|ψk−i|]

Λ^′₁ ,

6 |λ| Xn

j=l+1

|ψ_j| sup

[0,|λ|S^′]

Λ^′₁ , D’o`u :

X

l∈Z

Λ₁(|λ| Xl+n

j=l+1

|ψ_j|) 6 X

l∈Z

|λ| Xl+n

j=l+1

|ψ_j| sup

[0,|λ|S^′]

Λ^′₁,

= nS^′|λ| sup

[0,|λ|S^′]

Λ^′₁ ,

< +∞. Ce qui finit de justifier la formule :

1

nΛ_n(nλ) = 1 n

X

l∈Z

Λ_Z



λ Xl+n

j=l+1

ψ_j



 .

On fixe λ ∈ R et on note φ(x) = Λ_Z(λx). La fonction φ est C¹ sur R, et en r´eutilisant de mani`ere similaire l’in´egalit´e de Taylor-Lagrange, on obtient l’existencec d’une constante ctelle que, pour toutL :

1 n

X

l6−L

φ(

Xl+n

j=l+1

ψ_j)6c X

j6−L+n

|ψ_j|,

et :

1 n

X

l>L

φ(

Xl+n

j=l+1

ψ_j)6cX

j>L

|ψ_j|. Soit ε >0. Il existe doncL₀ tel que :

1 n

X

l>L0

φ(

Xl+n

j=l+1

ψ_j)

6ε ,

et

1 n

X

l6−L0−n

φ(

Xl+n

j=l+1

ψj)

6ε . Puis, pournassez grand,

1 n

L0

X

l=−√ n

φ(

Xl+n

j=l+1

ψ_j)

6ε ,

et

1 n

√Xn−n

l=−L0−n

φ(

Xl+n

j=l+1

ψ_j)

6ε . Notons alors que :

−√

Xn

l=√ n−n

φ(

Xl+n

j=l+1

ψ_j) =

n 2−√

Xn

k=√ n−ⁿ₂

φ(

k+ⁿ₂

X

j=k−ⁿ₂+1

ψ_j).

Soit η > 0 tel que |x−S| < η ⇒ |φ(x)−φ(S)| 6 ε. Il existe N tel que pour tous n₁ et n₂

sup´erieurs `aN,

n2

X

j=−n1

ψ_j−S

6η . Donc pour tout nassez grand, et toutk∈ {√

n−ⁿ₂, . . . ,ⁿ₂ −√

n}on aura :

k+ⁿ₂

X

j=k−ⁿ₂+1

ψ_j−S

6η ,

ce qui implique :

φ





k+ⁿ₂

X

j=k−ⁿ₂+1

ψ_j



−φ(S)

6ε , D’o`u, pournassez grand :

1 n

−√

Xn

l=√ n−n

φ(

Xl+n

j=l+1

ψ_j)−φ(S)

6ε .

En recollant les bouts, on a, pour nassez grand :

1

nΛ_n(nλ)−φ(S) 6ε , Donc _n¹Λ_n(nλ) converge vers Λ_Z(λS), pour tout λr´eel.

Comme Λ_Z est finie et diff´erentiable surR, on peut appliquer le th´eor`eme de G¨artner-Ellis pour en d´eduire quePn

i=1X_i/n suit un PGD de vitessen et de fonction de taux : I(x) = Λ^∗_Z(x/S),

siS 6= 0. Si S vaut 0, alorsI vaut +inf ty partout sauf en 0, o`u elle vaut 0.

Solution 3.5:

1. DΛ =]− ∞, γ[ siα61 etDΛ=]− ∞, γ] si α >1. Siα >1,

λlim→γΛ^′(λ) = R_∞

1 x^−α+1 dx R_∞

1 x^−α dx . Donc :

Λ^′(D^oΛ) =

]1,+∞[ si α62 ]1, C_α[ si α >2 o`u C_α =

R∞

1 x^−α+1dx R_∞

1 x^−αdx .

2. On sait (cf. Exercice 1.3) que Λ^∗ est finie, strictement convexe et C^∞ sur l’int´erieur de Λ^′(D^oΛ). Il est facile de voir (cf. la preuve du th´eor`eme de Cram´er) que Λ^∗(1) = +∞. Donc, siα 62, le domaine de Λ^∗ est ]1,+∞[, et c’est ´egalement l’ensemble F.

Soit α > 2 et x > C_α. La fonction λ 7→ λx−Λ(λ) est d´erivable sur [0, γ], de d´eriv´ee positive, et vaut−∞sur ]γ,+∞[, donc son maximum est atteint en γ :

∀x>C_α, Λ^∗(x) =γx−Λ(γ)<∞.

Donc, siα >2, le domaine de Λ^∗ est ]1,+∞[ ´egalement, mais l’ensemble F est r´eduit `a ]1, C_α[.

3. Lorsque α 6 2, le th´eor`eme de G¨artner-Ellis et celui de Cram´er donnent tous les deux le mˆeme PGD fort, de fonction de taux Λ<sup>∗</sup>. Par contre, lorsque α > 2, le th´eor`eme de G¨artner-Ellis n’implique pas le PGD fort, alors que le th´eor`eme de Cram´er le donne.

Solution 3.6: cf. cours

Solution 4.1: cf. [1], page 94.

Solution 5.1:

1. M1(R²) muni de la topologie de la convergence ´etroite (topologie faible*) est un es- pace m´etrique d’apr`es l’´enonc´e (cf. question 3). Donc, la continuit´e peut ˆetre v´erifi´ee s´equentiellement. Soit (µ_n) une suite de probabilit´es deM1(R) convergeant versµ. Soient (Y_n) et (Y_n^′) deux suites ind´ependantes de variables al´eatoires de lois (µ_n) etY etY^′ deux v.a ind´ependantes de loi µ. Donc Yn et Y_n^′ convergent en loi vers Y. On sait bien que dans ce cas, le couple (Y_n, Y_n^′) converge en loi vers (Y, Y^′) (v´erifier sur les fonctions ca- ract´eristiques par exemple). Doncµ_n⊗µ_nconverge ´etroitement versµ⊗µ, ce qui montre la continuit´e.

2. (a) Par le th´eor`eme de Sanov, L<sub>n</sub> satisfait un PGD de vitesse n, de bonne fonction de taux K(., µ) o`u :

K(ν, µ) =

R _dν

dµlog^dν_dµ dµ si ν ≪µ

+∞ sinon

Donc par le principe de contraction, U_n satisfait un PGD de vitesse n, et de bonne fonction de taux I :

∀λ∈ M1(R²), I(λ) =

K(ν, µ) si λ=ν⊗νetν ≪µ

+∞ sinon

(b) Soit h ∈ Cb(R²,R) fix´ee. L’application de M1(R²) dans R, qui `a λ associe R h dλ est continue (pour la topologie de la convergence ´etroite. Donc, par le principe de contraction,

1 n²

X

16k1,k26n

h(X_k1, X_k2) (n>1)

satisfait un PGD surR de vitessen, et de bonne fonction de tauxI_h : I_h(x) = inf

{ν∈M1(R),R

h dν⊗dν=xK(νµ). 3. On montre facilement que :

d(U_n, U_n^′)6 1 n .

Donc, en utilisant l’exercice 2.3, on voit queU_netU_n^′ sont exponentiellement ´equivalentes et doncU_n^′ satisfait un PGD de bonne fonction de tauxI_h.

4. Comme au 3. (b), mˆeme fonction de taux.

Solution 5.2:

1. Soit ν ∈ M1(Σ) telle que ν =gµ avec g ∈ Cb(Σ) et g > α > 0 pour un r´eel α > 0. On posef = logg. alors, si ν^′ ∈ M1(Σ),

Z

f dν^′−Λ^∗(ν^′) =−K(ν^′, ν)60 = Z

f dν−Λ^∗(ν),

avec ´egalit´e ssi ν^′ = ν. Donc ν est un point expos´e de Λ^∗, avec f comme hyperplan d’appui. De plus, commeg est born´ee, Λ(γf) est fini pour toutγ >0.

2. La tension exponentielle a ´et´e vue en cours. On peut appliquer G¨artner-Ellis-Baldi, la seule chose qui reste `a comprendre est comment d´eduire de la borne inf´erieure de G¨artner-Ellis- Baldi la borne inf´erieure du PGD. Soitν telle que Λ<sup>∗</sup>(ν)<∞. On sait queν ≪µ. Soit g la densit´e deν par rapport `aµ. On d´efinit, comme dans le cours, pourAetB strictement positifs :

g_A,B =A∨(g∧B),

et on poseν_A,B=g_A,Bµ. On peut montrer (comme dans le cours) que :

Alim→0⁺lim

B∞Λ^∗(ν_A,B)6Λ^∗(ν).

D’autre part, par convergence domin´ee, il est facile de voir queνA,Bconverge ´etroitement versν lorsqueB tend vers l’infini puisAtend vers 0. Comme ν_A,B ∈ F, on en d´eduit que pour tout ouvertGde M(Σ) :

G∩Finf Λ^∗ = inf

G Λ^∗ , ce qui donne la borne inf du PGD.