SEMAINE 8
FONCTIONS deIRVERSIR.FONCTIONS CONVEXES EXERCICE 1 :
SoitI un intervalle de IR. Une applicationf :I →IR est dite absolument continuesi, pour tout ε > 0, il existe α >0 tel que, pour toute liste (x1,· · ·, xn, y1,· · ·, yn) de points deI v´erifiantx1< y1≤x2< y2≤ · · · ≤xn < yn, on ait
n
X
i=1
(yi−xi)< α=⇒
n
X
i=1
|f(yi)−f(xi)|< ε . 1.Montrer que (a) =⇒(b) =⇒(c), avec
(a):f est lipschitzienne surI ; (b):f est absolument continue surI; (c):f est uniform´ement continue surI.
2.A-t-on (c) =⇒(b) ?
3. Soit f :I →IR, uniform´ement continue, monotone et convexe (ou concave). Montrer que f est absolument continue surI.
4.A-t-on (b) =⇒(a) ?
Source : Bertrand HAUCHECORNE, Les contre-exemples en math´ematiques, ´Editions Ellipses, ISBN 2-7298-8806-3
- - - - 1.L’implication (a) =⇒(b) est imm´ediate (choisirα= ε
ksif estk-lipschitzienne). L’implication (b) =⇒(c) est encore plus imm´ediate (la continuit´e uniforme correspond au casn= 1 dans la d´efinition de la continuit´e absolue).
2.Soitf : [0,2]→IR d´efinie par f(0) = 0 etf(x) =xsinπ
x six6= 0. La fonctionf est continue sur [0,2], donc uniform´ement continue.
Choisissons maintenantε= 1 et montrons que, pour toutα >0, il est possible de trouver des xi et desyi tels queX
(yi−xi)< αet X
|f(yi)−f(xi)| ≥1.
Pour cela, pour tout entierk≥1, posonsxk= 2
2k+ 1 etyk= 2
2k−1 =xk−1, on a alors, pour tout n ∈ IN∗, 0< xn < yn = xn−1 < yn−1 = xn−2 <· · · < y2 =x1 < y1 = 2 et f(xk) =xk sin(2k+ 1)π
2 = (−1)kxk=f(yk+1).
Donnons-nous un α >0 et soitn ∈IN∗ tel que yn = 2
2n−1 < α. On a alors, pour tout p∈IN∗,
p
X
k=0
(yn+k−xn+k) =yn−xn+p≤yn< α et
p
X
k=0
|f(yn+k)−f(xn+k)| =
p
X
k=0
(xn+k−1+xn+k) =
p
X
k=0
2
2n+ 2k−1+ 2 2n+ 2k+ 1
≥
p
X
k=0
1
n+k −→
p→∞ +∞
car la s´erie harmonique est divergente. En choisissant p assez grand, on aura donc
p
X
k=0
|f(yn+k)−f(xn+k)| ≥1 etf n’est pas absolument continue sur [0,2].
3.D´emontrons d’abord le lemme suivant, ditlemme des trois cordes(faire un dessin) : Si f : I → IR est convexe, alors, pour tout r´eel h > 0, la fonction ∆hf d´efinie par
∆hf(x) =f(x+h)−f(x) est croissante.
En effet, prenons x∈I,y ∈I avecx < y et y+h∈I. On sait que la pente des s´ecantes dont on fixe une extr´emit´e est fonction croissante de l’extr´emit´e variable, donc, en notant Tf(a, b) le taux d’accroissement def entre deux pointsaetb, on a
∆hf(x) =h·Tf(x, x+h)≤h·Tf(x, y+h)≤h·Tf(y, y+h) = ∆hf(y).
Soit alors f : I →IR, uniform´ement continue, croissante et convexe. Soit ε > 0, soit α > 0 tel que, pour tout (x, y) ∈ I2, on ait |x−y| < α =⇒ |f(x)−f(y)| < ε. Donnons-nous maintenant (x1,· · ·, xn, y1,· · ·, yn) avec x1 < y1 ≤ x2 < y2 ≤ · · · ≤ xn < yn tels que
n
X
i=1
(yi−xi)< α. Pour touti ∈ [[1, n]], posonsδi =yi−xi, ainsi
n
X
i=1
δi < α. La fonction
f ´etant croissante, on a
n
X
i=1
|f(yi)−f(xi)|=
n
X
i=1
f(yi)−f(xi)
. D´efinissons une nouvelle liste de points (ξ1,· · ·, ξn, ξn+1) en “compactant” les intervalles de longueursδi, de la fa¸con suivante :
on pose ξn+1=yn,ξn=xn =yn−δn, puisξn−1=ξn−δn−1=yn−(δn−1+δn), jusqu’`a ξ1=ξ2−δ1=yn−(δ1+· · ·+δn).
Pour toutk∈[[1, n+ 1]], on a donc ξk=yn−
n
X
i=k
δi.Il est vivement recommand´e de faire un sch´ema. Il est clair quexk ≤ξk pour toutk∈[[1, n]], donc, par le lemme des trois cordes, on a, pour toutk∈[[1, n]],
f(yk)−f(xk) = ∆δk(xk)≤∆δk(ξk) =f(ξk+1)−f(ξk), donc
n
X
k=1
f(yk)−f(xk)
≤
n
X
k=1
f(ξk+1)−f(ξk)
=f(ξn+1)−f(ξ1) ;
or, ξn+1−ξ1 =
n
X
i=1
δi < α, donc|f(ξn+1)−f(ξ1)|< ε et on a prouv´e l’absolue continuit´e def surI.
Le lecteur adaptera sans difficult´e la d´emonstration ci-dessus au cas d’une fonction d´ecroissante (ou concave).
4.L’applicationx7→√
xest uniform´ement continue, croissante et concave sur [0,1], donc abso- lument continue sur cet intervalle, mais elle n’est pas lipschitzienne.
EXERCICE 2 :
On noteSa,b l’ensemble des subdivisions du segment [a, b].
Pour toute fonctionf : [a, b]→IR et pourσ= (a=x0, x1,· · ·, xn=b)∈ Sa,b, on note v(f, σ) =
n−1
X
k=0
|f(xk+1)−f(xk)|.
On dit que f est `a variation born´eesur [a, b] si l’ensemble {v(f, σ) ; σ ∈ Sa,b} est major´e.
Dans ce cas, on pose
Va,b(f) = sup
σ∈Sa,b
v(f, σ)
(variation totaledef sur [a, b]). On note enfinV([a, b]) l’ensemble des fonctions `a variation born´ee sur [a, b]
1.Soitc∈]a, b[. Montrer quef ∈ V([a, b]) si et seulement si f
[a,c]∈ V([a, c]) etf
[c,b]∈ V([c, b]).
Quelle relation y a-t-il alors entre les nombresVa,b(f),Va,c(f) etVc,b(f) ?
2. Montrer qu’une fonctionf est `a variation born´ee sur [a, b] si et seulement si on peut l’´ecrire comme diff´erence de deux fonctions croissantes.
3. Montrer que toute fonction de classe C1 sur [a, b] est `a variation born´ee et d´eterminer sa variation totale.
- - - -
1.• Sif ∈ V([a, b]), alors, pour toute subdivisionσ= (a=x0, x1,· · ·, xn=c) de [a, c], on a v
f [a,c], σ
=
n−1
X
k=0
|f(xk+1)−f(xk)| ≤
n−1
X
k=0
|f(xk+1)−f(xk)|+|f(c)−f(b)|=v(f, τ)
o`u τ = (x0, x1,· · ·, xn, b) ∈ Sa,b, donc v f
[a,c], σ
≤ Va,b(f) et la restriction de f au segment [a, c] est `a variation born´ee. Il en est bien sˆur de mˆeme de sa restriction `a [c, b].
•Supposons les restrictions def `a [a, c] et `a [c, b] toutes deux `a variation born´ee, soitσ∈ Sa,b, soit τ la subdivision de [a, b] obtenue en intercalant le point c dans la subdivision σ (s’il n’y figure pas d´ej`a). Alorsτ est la “r´eunion” de deux subdivisionsτ1 etτ2 de [a, c] et [c, b]
respectivement et on a
v(f, σ)≤v(f, τ) =v f
[a,c], τ1
+v
f [c,b], τ2
≤Va,c(f) +Vc,b(f). Doncf est `a variation born´ee sur [a, b] et, de plus, en “passant au sup”,
Va,b(f)≤Va,c(f) +Vc,b(f).
•Si f ∈ V([a, b]), donnons-nousε >0, alors il existe des subdivisionsσ1etσ2de [a, c] et [c, b]
respectivement telles que v
f [a,c], σ1
≥Va,c(f)−ε
2 et v
f [c,b], σ2
≥Vc,b(f)−ε 2 .
Alorsσ=σ1∪σ2 (notation abusive) est une subdivision de [a, b] et v(f, σ) =v
f [a,c], σ1
+v
f [c,b], σ2
≥Va,c(f) +Vc,b(f)−ε . On en d´eduit que Va,b(f) =Va,c(f) +Vc,b(f).
2. • Soitf : [a, b]→IR, `a variation born´ee. D’apr`es la question1., la fonction g :x7→Va,x(f) est croissante puisque, sia≤x≤y≤b, alors
g(y)−g(x) =Va,y(f)−Va,x(f) =Vx,y(f)≥0.
Posonsh=g−f, alorsf =g−het il serait agr´eable quehsoit aussi croissante. Eh bien, figurez-vous que c’est le cas puisque, sia≤x≤y≤b, on a
h(y)−h(x) = g(y)−g(x)
− f(y)−f(x)
=Vx,y(f)− f(y)−f(x) et cette quantit´e est positive car Vx,y(f)≥ |f(y)−f(x)| ≥f(y)−f(x).
• Toute fonction g croissante sur [a, b] est ´evidemment `a variation born´ee avec Va,b(g) = g(b)−g(a). Par ailleurs, il est facile de v´erifier que V([a, b]) est un sous-espace vectoriel deF [a, b],IR
puisque, pour toute subdivisionσ, on a v(λf+µg, σ)≤ |λ|v(f, σ) +|µ|v(g, σ),
donc toute diff´erence de deux fonctions croissantes est `a variation born´ee.
3.Soitf : [a, b]→IR de classeC1, alors sa d´eriv´ee est born´ee (|f0| ≤M sur [a, b]) et on en d´eduit v(f, σ)≤M(b−a) pour toute subdivisionσ, doncf ∈ V([a, b]) et Va,b(f)≤M(b−a).
Si σ= (x0,· · ·, xn) est une subdivision de [a, b], alors v(f, σ) =
n−1
X
k=0
|f(xk+1)−f(xk)|=
n−1
X
k=0
|f0(ck)|(xk+1−xk)≤Va,b(f) (*) avec xk ≤ ck ≤ xk+1 d’apr`es le th´eor`eme des accroissements finis. Lorsque le pas de la subdivisionσtend vers z´ero, le premier membre de l’in´egalit´e(*)tend vers
Z
[a,b]
|f0|donc, par passage `a la limite, on a l’in´egalit´e
Z
[a,b]
|f0| ≤Va,b(f).
Ceux qui refusent de passer `a la limite suivant la base de filtre des subdivisions dont le pas tend vers z´ero pourront ´ecrire l’in´egalit´e (*)pour la subdivision r´eguli`ere σN du segment [a, b] enN segments et feront tendre N vers+∞.
Par ailleurs, si on se donne ε > 0, on peut trouver une subdivision σ telle que v(f, σ)≥Va,b(f)−ε
2. D’autre part, pour toute subdivisionτ, le r´eelv(f, τ) est une somme de Riemann pour la fonction |f0|, donc il existe α > 0 tel que, pour toute subdivision τ de pas inf´erieur `a α, on ait
v(f, τ)− Z
[a,b]
|f0|
≤ ε
2.Pour une telle subdivision τ, on a alors v(f, σ∪τ) ≥ v(f, σ) ≥ Va,b(f)− ε
2 et, comme σ∪τ a un pas inf´erieur `a α, on a
v(f, σ∪τ)− Z
[a,b]
|f0|
≤ ε 2, d’o`u
Z
[a,b]
|f0| ≥Va,b(f)−ε. Ceci ´etant vrai pour toutε >0, on a
Z
[a,b]
|f0| ≥Va,b(f).
Finalement,Va,b(f) = Z
[a,b]
|f0| pour toute fonctionf de classeC1 sur [a, b].
EXERCICE 3 :
SoitI un intervalle de IR.
Pourg:I→IR,x∈I,h∈IR∗ tel quex+h∈I, on pose
∆hg(x) =Tg(x, x+h) = g(x+h)−g(x)
h .
Soitf :I→IR une fonction de classe Cn. Montrer que
∀x∈I ∀n∈IN lim
h→0∆nhf(x) =f(n)(x) en notant ∆nh = ∆h◦ · · · ◦∆h(avecnfacteurs).
- - - -
Pour tout r´eel h, notons τh l’op´erateur de translation d´efini par τhf(x) = f(x+h), alors
∆h= 1
h(τh−id). Donc
∆nh = 1
hn(τh−id)n = 1 hn
n
X
k=0
Cnk(−1)n−kτhk, c’est-`a-dire
∆nhf(x) = 1 hn
n
X
k=0
Cnk(−1)n−kf(x+kh).
Le lecteur perspicace aura remarqu´e que la formalisation en termes d’op´erateursτh,∆h et idsouffre de quelques impr´ecisions puisque, `a part dans le cas o`uI= IR, on ne peut pas les consid´erer comme endomorphismes d’un espace de fonctions, les fonctionsf etτhf n’ayant pas le mˆeme intervalle de d´efinition. Une formalisation plus rigoureuse serait assez lourde et n’apporterait pas grand’chose `a la compr´ehension du probl`eme.
Pourk∈IN etx∈Ifix´es, la formule de Taylor-Young donne, six+kh∈I, f(x+kh) =
n
X
p=0
(kh)p
p! f(p)(x) +hnεk(h), avec lim
h→0εk(h) = 0, d’o`u
∆nhf(x) = 1 hn
n
X
k=0 n
X
p=0
Cnk(−1)n−k(kh)p
p! f(p)(x) +ε(h)
= 1
hn
n
X
p=0
Sn(p)hp
p! f(p)(x) +ε(h)
avec lim
h→0ε(h) = 0 et Sn(p) =
n
X
k=0
Cnk(−1)n−kkp : essayons d’´evaluer cette derni`ere expres- sion.
Parachutons pour cela la fonctionϕ:t7→(et−1)n =
n
X
k=0
Cnk(−1)n−kekt. On constate que, pour tout entier naturel p, on a Sn(p) = ϕ(p)(0). Mais et−1 ∼
t→0 t, donc ϕ(t) ∼
t→0 tn : le d´eveloppement limit´e `a l’ordren au voisinage de 0 de ϕ(t) est donc ϕ(t) =tn+o(tn).
Par comparaison avec la formule de Taylor-Young et unicit´e du d´eveloppement limit´e, on d´eduit que Sn(p) =ϕ(p)(0) = 0 si 0≤p≤n−1 et Sn(n) =ϕ(n)(0) =n!.
Il reste donc ∆nhf(x) =f(n)(x) +ε(h), avec lim
h→0ε(h) = 0, c’est ce que l’on voulait prouver.
EXERCICE 4 :
Soitf : [0,1]→IR une application de classeC3. Pour toutn∈IN∗, soit la somme de Riemann Sn(f) = 1
n
n
X
k=1
f k
n
.
a.Donner un d´eveloppement asymptotique deSn, `a la pr´ecisionO 1
n3
.
Indication. Pour x∈ k−1
n ,k n
, on ´ecrira une in´egalit´e de Taylor-Lagrange appliqu´ee `af sur
x,k n
, puis on int´egrera cette in´egalit´e sur le segment k−1
n ,k n
. On sera amen´e ensuite
`
a appliquer la mˆeme m´ethode aux fonctions f0 etf00.
b.En d´eduire un d´eveloppement asymptotique, avec trois termes non nuls, de un= n
r(2n)!
n! .
- - - - a. Soitx∈
k−1 n ,k
n
(1≤k≤n). L’in´egalit´e de Taylor-Lagrange, appliqu´ee `a f sur
x,k n
, s’´ecrit :
f(x)−f k
n
−
x−k n
f0
k n
−1 2
x−k
n 2
f00 k
n
≤ M3 6n3 avecM3= max
[0,1]
|f(3)|. Int´egrons cette in´egalit´e sur le segment k−1
n ,k n
en utilisant
• Z
g
≤ Z
|g|avec g:x7→f(x)−f k
n
−
x−k n
f0
k n
−1 2
x−k
n 2
f00 k
n
;
• Z kn
k−1 n
x−k
n
dx= Z 0
−n1
t dt=− 1 2n2 ;
• Z kn
k−1 n
x−k
n 2
dx= Z 0
−1n
t2dt= 1 3n3, cela donne
Z nk
k−1 n
f −1 n f
k n
+ 1
2n2 f0 k
n
− 1 6n3f00
k n
≤ M3 6n4 .
En ajoutant ces in´egalit´es pourk de 1 `an, en vertu de l’in´egalit´e triangulaire, on obtient
Z 1
0
f−Sn(f) + 1
2nSn(f0)− 1
6n2 Sn(f00)
≤ M3 6n3 , soit
Sn(f) = Z 1
0
f+ 1
2nSn(f0)− 1
6n2 Sn(f00) +O 1
n3
.
On d´eveloppe de mˆeme (`a des ordres moindres) les quantit´esSn(f0) etSn(f00) : Sn(f0) =
Z 1
0
f0+ 1
2n Sn(f00) +O 1
n2
et Sn(f00) = Z 1
0
f00+O 1
n
,
d’o`u, en r´einjectant, Sn(f) =
Z 1
0
f +f(1)−f(0)
2n +f0(1)−f0(0) 12n2 +O
1 n3
.
b.On a lnun = 1 n
n
X
k=1
ln(n+k) =Sn(f) + lnn, avecf :x7→ln(1 +x), d’o`u
lnun = lnn+ Z 1
0
f +f(1)−f(0)
2n +f0(1)−f0(0) 12n2 +O
1 n3
= lnn+ (2 ln 2−1) +ln 2 2n − 1
24n2 +O 1
n3
,
puis un =n×4 e×e
ln 22n− 1 24n2+O 1
n3
, donc
un = 4 en
1 + ln 2
2n +
(ln 2)2
8 − 1
24 1
n2 +O 1
n3
= 4
en+2
e ln 2 + 3(ln 2)2−1
6en +O
1 n2
.
EXERCICE 5 :
SoitI un intervalle de IR, soit une fonctionf :I→IR∗+.
Montrer quef estlogarithmiquement convexe(c’est-`a-dire la fonctiong= ln◦f est convexe) si et seulement si, pour toutα >0, la fonctionfα est convexe.
- - - -
• Supposonsg = ln◦f convexe, alors fα = exp◦(αg) est convexe car c’est la compos´ee d’une fonction convexe par une fonction convexe croissante. D´etaillons :
Si g : I → J est convexe et h: J → IR est convexe croissante, alors pour x∈ I, y ∈ I et λ∈[0,1], on a
g λx+ (1−λ)y
≤λg(x) + (1−λ)g(y), donc
(h◦g) λx+ (1−λ)y
≤ h λg(x) + (1−λ)g(y)
≤ λ(h◦g)(x) + (1−λ)(h◦g)(y)
en utilisant successivement la croissance et la convexit´e de h. On a ainsi prouv´e que la fonction compos´eeh◦g est convexe. En revenant aux notations de l’´enonc´e, on a ainsi fα convexe pour toutα >0.
• Supposonsfα convexe pour toutα >0.
Fixons x∈I,y∈I,λ∈[0,1]. On a
∀α∈IR∗+ fα λx+ (1−λ)y
≤λf(x)α+ (1−λ)f(y)α, donc
∀α∈IR∗+ lnh
f λx+ (1−λ)yi
≤ 1
α ln λf(x)α+ (1−λ)f(y)α
(*). Pour conclure, il suffit de passer `a la limite quand α tend vers z´ero : en effet, la fonction
ϕ: IR→IR,α7→ln λf(x)α+ (1−λ)f(y)α
est d´erivable sur IR avec
∀α∈IR ϕ0(α) =λ f(x)α·lnf(x) + (1−λ)f(y)α·lnf(y) λ f(x)α+ (1−λ)f(y)α .
En particulier,ϕ0(0) =λlnf(x) + (1−λ) lnf(y). Commeϕ(0) = 0, lim
α→0
ϕ(α)
α =ϕ0(0). En passant `a la limite dans(*), on obtient
lnh
f λx+ (1−λ)yi
≤λlnf(x) + (1−λ) lnf(y), c’est-`a-dire la convexit´e deg= ln◦f.
EXERCICE 6 :
Une fonctionf : IR→IR est ditefortement convexes’il existe un r´eelkstrictement positif tel que la fonctionx7→f(x)−kx2 soit convexe.
1.Traduire l’hypoth`ese de forte convexit´e :
a.par une condition sur la d´eriv´ee seconde, sif est suppos´ee deux fois d´erivable ; b.par une condition portant sur les rapports
Ra,b,λ(f) = λf(a) + (1−λ)f(b)−f λa+ (1−λ)b λ(1−λ)(b−a)2
aveca∈IR,b∈IR,a6=b,λ∈]0,1[, sans hypoth`ese de d´erivabilit´e.
2. Soit f : IR →IR une fonction convexe. Montrer l’existence d’une fonction affine d’appui en tout pointade IR, c’est-`a-dire d’une fonction affineϕatelle queϕa(a) =f(a) etϕa≤f sur IR.
Dans toute la suite de l’exercice, la fonctionf : IR→IR est suppos´e fortement convexe.
3.Montrer que l’on peut d´efinir une fonctionf∗ sur IR par
∀x∈IR f∗(x) = sup
t∈IR
xt−f(t) . 4.Montrer quef∗ est convexe.
5. Montrer que l’on peut d´efinir f∗∗ et que l’on a l’´egalit´ef∗∗ =f (on pourra commencer par calculer h∗∗ lorsque hest une fonction polynˆome du second degr´e x7→ ax2+bx+c, avec a >0).
- - - -
1.a.Une fonction deux fois d´erivable est fortement convexe si et seulement si sa d´eriv´ee seconde est minor´ee par un r´eel strictement positif (´evident) ; ainsi, les fonctionsx7→ax2+bx+c aveca >0 oux7→chxsont fortement convexes, mais la fonctionx7→ex ne l’est pas.
b.Soitk∈IR donn´e. On v´erifie que la fonctiong:x7→f(x)−kx2est convexe si et seulement si
∀(a, b)∈IR2 ∀λ∈[0,1] λf(a) + (1−λ)f(b)−f λa+ (1−λ)b
≥k λ(1−λ)(b−a)2. On en d´eduit que f est fortement convexe si et seulement si les rapports Ra,b,λ(f) sont minor´es par un r´eel strictement positif.
2.Si la fonctionf est d´erivable, on sait que la courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes, la fonction affine tangente au pointa, soitx7→f(a) +f0(a) (x−a), est une fonction affine d’appui au pointa.
En fait, une fonction convexe sur IR est toujours d´erivable `a gauche et `a droite en tout pointa avecfg0(a)≤fd0(a) : en effet, la fonctionτa :x7→ f(x)−f(a)
x−a est croissante sur IR\{a}; sur ]− ∞, a[, elle est major´ee (par exemple parτa(a+ 1)), donc elle admet une limite `a gauche au pointa(th´eor`eme de la limite monotone), d’o`u l’existence defg0(a). On montre de mˆeme l’existence defd0(a) et l’in´egalit´efg0(a)≤fd0(a). Si on prend un r´eelm∈[fg0(a), fd0(a)], alors, d’apr`es la croissance de la fonctionτa, pour tout r´eelxdiff´erent dea, f(x)−f(a)
x−a −mest du signe dex−a, ce qui signifie que ∀x∈IR f(x)≥f(a) +m(x−a). On a donc trouv´e (au moins) une fonction affine d’appui def ena.
3. Soitk un r´eel strictement positif tel que la fonctiong :x7→f(x)−kx2 soit convexe. Soitx un r´eel fix´e, soitϕ:t7→g(x) +m(t−x) une fonction affine d’appui de gau pointx, on a
∀t∈IR g(t) =f(t)−kt2≥g(x) +m(t−x), d’o`u l’on d´eduit
∀t∈IR xt−f(t)≤ −kt2+ (x−m)t+mx−g(x).
Le second membre est une fonction du second degr´e de la variablet ayant−∞pour limite en−∞et en +∞ donc est major´e lorsquetd´ecrit IR ; le premier membrext−f(t) est, a fortiori, major´e lorsquetd´ecrit IR, d’o`u l’existence de f∗(x) = sup
t∈IR
xt−f(t)
. La fonction f∗ est appel´ee fonction polaire de la fonction fortement convexe f. Par exemple, pour f :x7→chx, on obtientf∗(x) =xargshx−p
1 +x2.
4.Soient xet y deux r´eels, λ∈[0,1], posonsz=λx+ (1−λ)y, on a alors zt−f(t) = λ xt−f(t)
+ (1−λ) yt−f(t)
≤ λ f∗(x) + (1−λ)f∗(y)
En passant au sup, on obtientf∗(z)≤λ f∗(x) + (1−λ)f∗(y), c’est-`a-dire la convexit´e de la fonctionf∗.
5.• Soientxet tdeux r´eels, alors f∗(x) = sup
s∈IR
xs−f(s)
≥xt−f(t), soit tx−f∗(x)≤f(t).
Cela prouve que, pour tout r´eel t, la fonction x7→tx−f∗(x) est major´ee, ce qui permet de d´efinir f∗∗(t) = sup
x∈IR
tx−f∗(x)
. De plus, en passant au sup dans l’in´egalit´e obtenue ci-dessus, on obtient l’in´egalit´e f∗∗(t)≤f(t).
• Pour h : x 7→ ax2+bx+c avec a > 0, on v´erifie que h∗(x) = x2−2bx+b2−4ac
4a , puis
h∗∗=h.
• Sif etg sont deux fonctions fortement convexes telles quef ≤g, on a bien sˆurg∗≤f∗.
• Soit f fortement convexe, soit k >0 tel que la fonctiong : x7→f(x)−kx2 soit convexe, soitx∈IR, soit ϕx:t7→g(x) +m(t−x) une fonction affine d’appui degau pointx, on a alors (cf. question3.)f(t)≥hx(t) pour touttr´eel en posanthx(t) =kt2+m(t−x) +g(x).
Comme hx est une fonction polynˆome du second degr´e, on a h∗∗x = hx et, de l’in´egalit´e f ≥hx, on tiref∗ ≤h∗x, puisf∗∗ ≥hx donc, en particulier,f∗∗(x)≥hx(x) =f(x). On a ainsi prouv´ef∗∗ ≥f, doncf∗∗=f.