Formes de Jacobi et formule de Weber $p$-adique

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

A

BDELMEJID

B

AYAD

Formes de Jacobi et formule de Weber p-adique

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

11, n

o

_{2 (1999),}

p. 317-329

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1999__11_2_317_0>

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Formes de

_jacobi

et

formule

de Weber

_p-adique

par ABDELMEJID BAYAD

RÉSUMÉ. Dans ce _texte, on construit sur un _corps local de

carac-téristique

strictement positive, un

_analogue

_p-adique

aux formes de Jacobi

_{méromorphes complexes}

_{DL (z; ~),}

étudiées dans

_[3]

et

[4].

Le théorème

_principal

établit _que les formes de Jacobi

p-adiques

obtenues satisfont deux relations de distribution et

d’in-version additives.

_{L’analogue p-adique}

à une formule de Weber

généralisée

est _prouvé comme corollaire du théorème

principal.

ABSTRACT. Let L be a

_complex

lattice. Our

_object

of

_study

is the construction a

_{p-adic analogous}

of the

_complex

Jacobi

mero-morphic

form

_{DL(z, ~),}

studied in

_[3]

and

_[4].

Our main result is that the

_{p-adic analogous}

of DL also satisfies the

_simple

additive

distribution and inversion relations.

In consequence of the main

_result,

we _prove a

_{p-adic analogous}

of

_{generalized complex}

Weber’s formula.

INTRODUCTION

D’après

~4~,

on sait associer à un réseau

complexe

L une fonction

DL (Z; cp)

sur

C~,

_périodique

de

périodes

L en la seconde

variable, analytique

en la

première

variable et normalisée _par

Nous étudions dans ce

_texte,

un

analogue p-adique

aux fonctions

DL (z;

cp)

sur un _corps local de

caractéristique

_p &#x3E; 0. Avant toute

_chose,

on se fixe K

un _corps local de

caractéristique

_p &#x3E; 0 et K une clôture

algébrique

de

_K,

nous

désignons

_{par q} un élément de K* de valuation strictement

positive

et

vq la valuation discrète normalisée de K. On associe au _sous-groupe discret

qz

de

_K*,

la fonction

_p-adique

_cp)

est définie formellement _par

où

_z()

=

( - 1) Tî

(1 _ qnz)(1 _

qnz_1)

fonction thêta

fonda-où

_{0 z(z) =}

_{(z -1)}

₁

(j -

n

2

c’est la fonction thêta

fonda-q

n&#x3E;1

(j - qn)2

mentale associée au _{sous-groupe discret}

q7,

de K* et normalisée _par = 1. Dans le

paragraphe

2 nous

_précisons

le sens _que nous donnons au facteur

p-adique

Zlq(~1).

Nous _{prouvons que} est un

analogue

p-adique

à

_{DL (Z; V),}

_possédant

toutes les

_propriétés

_anologues

à celles satis-faites _par Dans la

_foulée,

nous _{prouvons aussi que} ces fonctions

satisfont deux relations de distribution et d’inversion additives

simples lorsqu’on change

de sous-groupe discret. Précisons la formule de Weber

_p-adique

obtenue comme

_conséquence

de cette dernière relation de distribution additive . Dans les cas

_{génériques simples}

_désigne

un

point

de d’ordre

_{premier 1}

vérifiant

_-il

_{= q} ou

_1,

on a

c’est la fonction thêta fondamentale normalisée associée au _sous-groupe

dis-cret de K*. Il est à noter que

lorsque

est un

point

de torsion de on retrouve des résultats

_p-adiques

connus

[1].

En

particulier, lorsque

est

un

_point

de torsion d’une courbe

elliptique

les

applications arithmétiques

de cette formule sont nombreuses. En

_effet,

_{pour p}

_point

de 2-torsion d’une courbe

_ellipique

définie sur un _corps de

nombres,

on construit et étudie dans

_[5]

un élément de

Stickelberger quadratique

_pour un certain _groupe de

classes. Dans

_[2]

et

_[3],

on construit des éléments de

Stickelberger

quadra-tiques

pour p

point

de

p-torsion premier

quelconque.

Dans

[15]

et

[16],

on

applique

la formule de Weber

_classique

_pour obtenir des résultats de struc-ture

_galoisienne

et

_{monogéneité.}

Pour d’autres

_{applications arithmétiques}

de nature différentes mais liées à nos formes de Jacobi se référer à

_(19~.

1. PROLOGUE COMPLEXE : FORMULE DE WEBER GÉNÉRALISÉE.

Soit 1£ le

_demi-plan

_supérieur.

Pour tout réseau

_{complexe L,}

si

_{(W¡, W2)}

désigne

une base de L telle _que

Im(wl /w2 )

&#x3E;

_0,

on _pose T = 11, _et on définit l’aire de L _par

c’est un nombre réel &#x3E; 0

indépendant

du choix de la base orientée

li

_ùv-vu’

(u,

v)

E cc x C . Notons _que ses valeurs sur L x L sont

_entières,

et elle vaut -1 sur toutes les bases

(Wl, W2)

de L telles _que

Im(wl/w2)

&#x3E; 0. Dans toute la

_suite,

on _pose

e( z)

= xec.

On

_rappelle

la définition des fonctions suivantes

.- 1 . 1

la fonction est décrite _par le

_produit

infini

-1 .

-où,

écrivant u = _{a12u1 + a2w2} avec _{al, a2 E}

_R,

on note

pour qi et q2 les

périodes

de "deuxième

espèce"

associées aux

_périodes

de

première

espèce"

wl et W2.

L’application

u t-t uu* et donc

_d’après

₍₂₎

la fonction u e

_{KL (u)}

ne

dépend

_pas du choix de la base

(Wl, w2 )

de

_L,

telle que &#x3E; 0.

Dans ce

_{qui suit,}

_par raison de

simplicité,

on

prend

_{wi =} T et W2 =1.

Soient z =

_{et p}

= où

(ZI,Z2)

et

(CPl,CP2)

avec

0 Z2 1 et 0 _cp2

_{1, représentants}

de

_points

du tore

_complexe

_C/L.

On a le lemme suivant

Lemme 1.3. On a

nm - _ _

thêta

_{f ondamentate}

normalisée associée au réseau L =

~T,1~.

Démonstration. Le

_(ü)

se déduit du

(i)

et du fait _que

Quant

au

(i)

c’est un calcul élémentaire utilisant la définition

(1.2).

Pour

plus

de détails se

_reporter

à

[10]

Chap

2.

On démontre dans

_[3],

un théorème

_qui

généralise

une formule de Weber aux

_{points cp}

non nécessairement de torsion du tore

complexe.

D’une

_façon

_précise,

on a

Théorème 1.4. Si A est un réseau

complexe tel

_que L C A et

_{[A : L]}

= l

on a

Cette relation est

_{particulièrement plus simple}

_exprimée

à l’aide de la

fonc-tion

_{DL (Z; cp).}

En on a

..

où t

_parcourt

un

_système

complet

de

représentants

dans C de

A/L.

Remarques

1.5.

_{Lorsque p}

est un

_point

de torsion du tore

_cC/L,

l’énoncé du théorème 1.4 est

_{plus simple,}

mais

_équivalent,

à la formule de Weber

classique

(3.19) §

3

_p.292

de

_[15].

2. PRÉLIMINAIRES p-ADIQUES. A. La fonction z -

_{zI, x}

E

_1~,

sur

_Cp.

On se fixe S un

_système

de

_{représentants}

des racines

_primitives

de l’unité

dans Dans ce

_qui

suit nous choisissons un

_système

S’ vérifiant la

_propriété

suivante :

Pour tout

_en

E

_S,

où n E N* : d diviseur de n.

d

On considère

1

On définit sur E la relation -, donnée par

où x = · On vérifie que N est

une relation

d’équivalence

sur e.

On définit sur e une autre relation _^~, donnée _par

où x = On vérifie _{que ~} est

une relation

d’équivalence

sur ~.

Lemme 2.1. Pour tout z E

_Cp

_vérifiant

_vp(z)

=

_0,

il existe tel _{que :}

Démonstration. On

_peut

faire une démonstration

analogue

à celle

_qu’on

fait

habituellement pour caractériser

polairement C,

vp(z)

serait

l’analogue

du

module d’un nombre

_complexe.

Ceci

permet

de donner une écriture

_unique

d’un

_complexe

_p-adique.

D’une

_façon

_précise,

on a

Lemme 2.2. Pour tout il existe un

unique

élérrcent x de tel

qne : ~ ~ ~

Mise en Garde. Dans toute la suite du

_présent

_texte,

on se fixe un

_système

de

_{représentants}

_pour

_E/~,

noté E vérifiant la

_propriété

suivante : Pour tout

_(yn)neN)

E

_E,

on a :

(zn,Yn)

=

_1,

De

_même,

on se fixe un

_système

de

_{représentants}

_pour noté R vérifiant

la

_propriété

suivante :

Pour tout

(yn)neN)

E

_R,

on a :

(xn,Yn)

=

_1,

et le

_système

S de

_{représentants}

des racines de l’unité dans

_Cp,

choisi au

début de cette section.

Définition 2.3. Pour tous z e

_(~

E R ils existent un

unique

élément

(Yn)nEN)

de E et un

_unique

élément de R tels que

-On définit alors zz _par

_{l’égalité :}

C’est le sens _que nous

adoptons,

dans toute la suite du

_texte,

_pour définir la fonction zz.

Remarques

2.4.

_(i)

Soient éléments de R et z E

_(CP,

les

_quantités

suivantes

sont,

à

_priori,

différentes.

(ii)

Exemple

de calcul :

_a)

Soient x e R et z

_{e Cp*,}

il existe un

unique

élément de R tels _que

et il existe un

unique

élément

(yn)neN)

de E tels _que

on a alors

Donc,

_{(zp) 2}

=

zxpx.

1

b)

D’après

la définition

_2.3,

on a : N*.

B. Fonctions

_méromorphes

sur un _corps local.

Nos références pour cette section sont

[11,

chap.

III et

[13], ~

2. Nous

fixons K un _corps local et K une clôture

_algébrique

de

_K,

et notons car

(K)

sa

_{caractéristique.}

Nous

_désignons

_{par q} un élément de K* de valuation

strictement

_positive.

Pour une série de Laurent

~

a,xn,

avec an E

K,

_qui

_converge pour

n

tout z de

_K*,

nous associons la fonction

Donc,

toute fonction associée à une série de Laurent du

_type

_précédent

est

dite

_holomorphe

sur

K*.

On confond souvent dans les notations la fonction

et la série

_qui

la définit.

L’ensemble des fonctions

_holomorphes

sur

~f *,

est un anneau

_intègre

_pour

les

_opération

naturelles. Notons

_MK

son _corps de fonctions.

D’après

le théorème de

_préparation

de

_Weierstrass,

_adapté

au cas

_rigide,

tout élément

_f

de

MK

s’écrit comme un

_quotient

g/h

de deux fonctions

holomorphes g

et h sur

K*,

sans zéros communs. Ce sont ces éléments de

MK

que nous nommons fonctions

_méromorphes

sur

K*.

Définition 2.5. Une fonction

_méromorphe

sur

K

est dite

_{q-périodique}

lorsqu’elle

satisfait :

pour tout élément z de

K*

où

f

est définie.

Pour une telle fonction

f

écrite sous forme réduite

g /h,

_{avec g} et h

holo-morphes

comme

ci-dessus,

et tout a E

K*,

on note l’entier relatif défini _par

Si de

_plus

la fonction

_{méromorphe f}

est

_{q-périodique,}

on définit son

diviseur comme la somme formelle

En

_fait,

soient _ma, et E

K*lqz,

une

famille

d’entiers

relatifs,

tous nuls

excepté

un nombre

fini

d’entre eux. Les deux

_propriétés

suivantes sont alors

équivalentes :

Il

_s’agit

là tout

_simplement

du théorème d’Abel-Jacobi et de sa

_réciproque

sur une courbe de Tate

i7

/qZ

.

Définition 2.8. Soit

_f

une fonction

_{méromorphe q-périodique}

sur

K ,

non

nulle,

on

_appelle

valence de

f

et on note

_{valqz ( f )}

l’entier

- - / i

n est clair _{que, pour} une fonction

f

méromorphe

sur K*

et dont le groupe

des

_périodes

contient où

_Q

est un

_point

d’ordre

1,

la valence de

f

relativement à est donnée _par la relation

On déduit de

_(2.6)

et

_(2.7)

_que, comme dans le cas des fonctions d’une

variable

_complexe

doublement

_{périodiques,}

toute fonction

_{q-périodique}

non

constante est de valence

_supérieure

ou

_égale

à 2.

Dans la suite nous avons besoin du résultat suivant

Proposition

2.9. Soit

_f

une

fonctions méromorphe

sur

K .

On _suppose

que

le groupe

des

périodes

de

f

contient où

0 définit

un

_poirtt

d’ordre s de

K* / qZ

et outre

f ,

comme

_fonction

de est de valence

inférieure

ou

égale

à 1.

_{Alors, f}

est constante.

La démonstration de cette

_proposition

se fait en deux

_{étapes :}

Étape

1 :

On se ramène au cas

_{où ,Q}

est racine de l’unité.

_{Puisque /3}

est

_{d’ordre s,}

il existe alors un entier k tel _{que :}

Soit d le

_p.g.c.d.

de k et s. On a donc

Soient _a, b éléments de Z tels _{que :} 1 =

akl

+

bs,

on _pose

q’

= On

vérifie facilement

_{l’égalité}

_{de groupes :}

Étape

2 :

Soit maintenant

_{3

=

~8’

est _une racine

primitive

s-ième de 1. On

désigne

par a le

K-automorphisme

du _corps des fonctions

q-périodiques

défini _{par :}

-

--Son ordre est s.

_

Soit 4&#x3E;

_{l’application}

de

K*

e

K

définie _par

E(z)

= z-1. Alors $ induit

par passage au

_quotient

un

_morphisme

_{d’espace analytique rigide}

On déduit

_{que $}

induit une

injection

du _corps des fonctions

q-périodique

dans le _corps des fonctions

_{q-périodiques}

défini _{par :}

l’image

de cette

_injection

est l’ensemble des fonctions

_{q-périodiques}

invari-antes _par Q.

Nous _pouvons maintenant conclure. Soit

_f

une fonction

méromorphe,

de

_périodes

de

valence

1

_{(i. e.}

de valence s relativement à

_qz).

Puisque

f

est _{invariante par a,} il existe

_{donc g}

fonction

_{q’-périodique}

telle

que :

...." - , , ..., Ir

Si de

_{plus f}

est de valence 1 relativement à il est immédiat _{que g}

est une fonction

_{q-’-périodique}

de valence 1. On en déduit _{que g,} et donc

f ,

sont des constantes.

3. FONCTIONS THÊTAS FONDAMENTALES NORMALISÉES ASSOCIÉES AUX SOUS-GROUPES DISCRETS.

Dans ce

paragraphe,

on se fixe un _corps local K de

caractéristique

_p &#x3E; 0

et K une clôture

_algébrique

de

_K,

nous

_désignons

_{par q} un élément de

K* de valuation strictement

_positive

et _{vq la valuation discrète normalisée}

de K.

_L’objectif

dans ce

paragraphe

est de

préciser

quelques

_propriétés

fondamentales satisfaites par les fonctions thêtas normalisées.

La fonction thêta fondamentale normalisée associée au _sous-groupe

On vérifie _que ou

_{plus simplement}

8 est une fonction

holomorphe

sur

K*

dont les zéros d’ordre 1 sont les éléments de

_q7.

Elle vérifie la

_propriété

suivante

de _{sorte que, pour tout} élément m de

Z,

on a

On définit la fonction thêta fondamentale normalisée associée au sous-groupe discret par le

produit

suivant

Proposition

3.4.

_{Si 1/J}

E K

_vérifiant

_{= q,} on a

_{l’égalité}

Démonstration. On _remarque

_qu’on

a

_{l’égalité}

de _{groupes :}

1/Jz.

D’autres

_part,

les deux fonctions suivantes

sont

_holomorphes

et admettant les même

zéros,

donnés _par avec la même

_{multiplicité}

_qui

est 1.

De

_plus,

elles vérifient

et

Par

_conséquent,

la fonction

0,,Z

est

_périodique

dont l’ensemble des

pério-z

des contient

_q7,e7,.

_Donc,

elles diffèrent d’une constante

_{multiplicative}

non

nulle et comme elles _{sont, par}

définition,

normalisées alors elles coincident.

D’où la démonstration de la

_proposition

3.4. Ceci nous

_permet

de _prouver le lemme suivant

Lemme 3.5. Pour tout

_{point -y}

e

K*Iqz

d’ordre 1

Alors la

_fonction

thêta

_fondamentale

normalisée associée au _sous-groupe

discret est donnée _par

Démonstration.

_D’après

la

_proposition

3.4 pour montrer

(i),

Il suffit de remarquer

l’égalité

de groupes suivante =

5z.

De _{même pour} montrer

_(ü),

il suffit de _remarquer

_qu’on

a

_{l’égalité}

de groupes suivante =

Pour montrer le

_(iii),

on considère la fonction

D’un

_part,

elle est

_{q-périodique}

de

_ériodes

.

D’autre

_art

modulo

~ ~ ~

elle admet au

plus

un

_{P ôle}

et

_{q ui}

est

_simple.

_Donc

~

d’a P rès

la

proposition 2.9,

cette fonction est une constante. Or

D’où le

_{(üi) .}

’ ’

4. FORMES _p-ADIQUES DE JACOBI ET RÉSULTAT PRINCIPAL

Dans ce

_paragraphe,

on

_garde

les mêmes notations et

_hypothèses

_que

dans le

_pragraphe

_précedent.

Soient 1 un nombre

premier &#x3E; 2,

/3

un

_point

d’ordre 1 de on définit la fonction _par

l’égalité

Tout

_d’abord,

_précisons

_quelques

_propriétés

de la fonction

_{Dqz (z;}

_v)

-Grâce au lemme 1.3 cette fonction est un

analogue p-adique

à la forme

de Jacobi

_méromorphe

associée au réseau

_complexe

L. Elle vérifie des

_propriétés

_analogues.

Celles satisfaites par

p)

sont

précisées

dans

[4].

D’après

(3.1), (3.2), (3.3)

et

_(2.4)

_(ii),

on

_peut

vérifier _que

Dqz(z;

~p)

(4.3)

analytique

par

rapport

à la

_première

variable et non

holomorphe

rel-ativement à la seconde variable.

(4.4)

ne

dépend

_que

de cp

modulo

qz.

(4.5)

les

_équations

fonctionnelles :

(4.6)

Symétrie :

Le but de ce travail est de démontrer

_qu’elle

vérifie deux relations de distribution et d’inversion additives

_{lorsqu’on change}

de _sous-groupe discret. D’une

_{façon plus}

_précise,

on a

Théorème

_principal.

et a deux

_points

d’ordre 1 de

K* /tf,

et que l’on a

Alors, on

a

(i)

Forrrtule de distribution : Pour tous

zl ft q’,

_cp

_¢

qZ,Z,

on a la relation suivante

ov, t

_parcourt

un

_système

complet

T de

_{représentants}

dans K* de

(ii)

Formule d’inversion : Pour tous

_{z e}

cp’

_ft

q~,

on ca la relation

suivante

où s

_parcourt

un

_système

complet

de

_{représentants}

dans K* de

Commençons

par prouver le résultat suivant

ne

dépend

_pas du choix de T. De

_plus,

on a

Démonstration.

_D’après

_{(4.4), (4.5), (4.6)}

et la remarque

(2.4)

(ii)

la fonc-tion de t

ne

_dépend

_que de la classe de t module

_q7.

Nous venons de _{prouver que} somme

d’expressions

du

_type

(4.9),

_{pour t} E

_T,

est

_{indépendante}

du choix du

_système

T de

_{représentants}

de modulo

_q7-.

De

_plus,

comme l’ensemble d’indice

Tmodqz

=

qz-fzlq7-

_est invariant par la

multiplication

de p E on a

d’où

_{l’égalité}

D’autre

_part,

vu le lemme 4.8 et l’identité

_(4.1),

on obtient :

Lemme 4.10

_(Lemme

des

_pôles).

Les dieux

_{fonctions z e}

_Sp)

et

z H

_Sp)

sont

_{méromorphes,}

et tous leurs

_pôles

sont

_simples.

On a

De

_plus,

seuls les

_points

de

_{qZ’Yz -}

_~p sont des zéros de z H

_{Dqz 7z (z;}

_{Sp) ;}

ceux-ci sont tous

_simples.

Démontrons l e théorème

_{principal :}

On considère la fonction

_quotient

définie

par z H

_D’après

le lemme 4.8 et la

_propriété

_(4.4),

cette fonction est

_périodique

pour le réseau de

périodes

En

outre,

le lemme des

_pôles

_(4.10)

assure _que le nombre de ses

_pôles

modulo

est inférieur ou

égal

à 1.

d’après

Proposition 2.9,

ceci n’est

possible

_que si elle est constante. En

_conclusion,

les deux fonctions z Ho

_{Dqz 7z (z;}

_Sp)

et z H

_{Sqz 7z (z,}

_cp)

diffèrent d’une constante

_{multiplicative}

non nulle

_près.

Comme lim

_8qz(u)/u

=

1,

_on conclut _que

u-m q

- .- -

.-Ce

_qui

_permet

de montrer le

_(i)

du théorème

_principal.

La formule

d’inver-sion

_(ii)

est une

_conséquence

immédiate du lemme

3.5)

(iii)

et de la

_partie

(i)

du théorème

_principal.

Donc le théorème

_principal

est démontré.

L’identité

_(4.1)

_suggère

de

_simplifier

_par dans les deux membres de

_{l’égalité}

de distribution

_(i)

fournit _par le théorème

_principal

et on obtient

le résultat suivant

Corollaire 4.11

_(Weber

_p-adique).

Pour tout

_{point -y}

de d’ordre

Nota 4.12. Les facteurs

_zx,

_pour

_Z,

sont absents dans la

formula-tion du corollaire 4.11. Pour démontrer directement ce corollaire on n’a _pas

besoin de donner un sens à la fonction a? 2013~

_zz,

_pour x

fi. Z, objet

du

para-graphe §

2. En

_effet,

Le

_principe

de la démonstration du théorème

_principal

s’applique

aussi pour démontrer directement ce corolaire ci-dessus.

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Abdelmejid BAYAD

Département de Mathématiques

Université

_{d’Évry-Val}

d’Essonne

Boulevard des Coquibus

F-91025 _Evry Cedex