Formule fondamentale de l’algèbre

Formule fondamentale de l’algèbre

1. Formule

Pour tout couple de réels



^{a b;}



et pour tout entier naturel n2, on a :

1 2 3 2

...

2 1

n n n n n n n

a b

^

a b a

^ ^

a b a b ab b

^

   

    

       

2. Autre écriture pour mieux comprendre comment s’écrit la formule

On écrit les termes d’exposants 0 et 1 (y compris les termes sous-entendus).

  

^{n 1 0 n 2 1 n 3 2 ... 1 2 0 1}



n n n n

a b  ab a ^b a ^ b a ^ b  ab ^ a b ^

On comprend ainsi mieux la logique d’écriture des termes placés dans la deuxième parenthèse.

L’expression a^{n1 0}b a^{n2 1}b a^n3b²...a b^{1 n2} a b^{0 n1} entre parenthèses est une somme dont chaque terme est un monôme en a et b c’est-à-dire le produit d’une puissance de a par une puissance de b. La somme des exposants de a et de b est égale à n–1.

Cette somme est écrite dans l’ordre décroissant des puissances de a et dans l’ordre croissant des exposants de b.

Les exposants de a décroissent de 1 à chaque fois et les exposants de b croissent de 1 à chaque fois.

3. Exemples

2

n ^{a2b2 }



^{a b}



^{a b}



(on retrouve l’identité remarquable bien connue) 3

n ^{a3b3 }



^{a b a}

 

^{2ab b 2}



4

n ^{a4b4 }



^{a b a}

 

^{3a b ab2  2b3}



5

n ^{a5b5 }



^{a b a}

 

^{4a b a b3  2 2ab3b4}



On peut vérifier toutes ces formules en développant et en simplifiant le second membre de chaque égalité.

4. Autre écriture de la formule (plus compliquée mais plus claire)

 

1 1

0 k n

n n k n k

k

a b a b a b

 

 



 

 

  

 







5. Démonstration dans le cas général

On va développer et simplifier le second membre de la formule (en travaillant en littéral).



^{a b a}

 

^{n1an2b a n3b2...abn2 bn1}



^{a a}



^{n1an2ban3b2...abn2bn1}

 

^{b an1an2ban3b2...abn2bn1}



a a



^n1a^n2ba^n3b²...a²b^n3ab^n2b^n1



aⁿa^n1ba^n2b²  ... a³b^n3a²b^n2a¹b^n1 (on ajoute 1 à chaque exposant de a)



^{n 1 n 2 n 3 2 ... 2 n 3 n 2 n 1}



^{n 1 n 2 2 n 3 3} ... ^{2 n 2 1 n 1 n}

b a ^ a ^ ba ^b  a b ^ ab ^ b ^  a ^ba ^ b a ^b  a b ^ ab ^ b

 (on ajoute 1 à chaque

exposant de b)

^{a a}



^{n1an2ban3b2...a2bn3abn2bn1}



^{an an1b  an2b2} ...  a³b^n3  a²b^n2  ab^n1



^{n 1 n 2 n 3 2 ... 2 n 3 n 2 n 1}



^{n 1}

b a ^ a ^ b a ^b a b ^ ab ^ b ^ a ^b

        a^n2b²  a^n3b³ ... a²b^n2  ab^n1 bⁿ



^{a b a}

 

^{n1an2b a n3b2...abn2bn1}



^anbn

Les termes s’annulent deux à deux sauf le premier et le dernier (« simplification en cascade », par « télescopage » ou « en dominos »).

Cette formule n’a pas de lien avec le triangle de Pascal.

Cas particulier :



^1q

 

^{1 q q2...qn}



^{ 1 qn1}

Remarque : Si n est un entier naturel pair, alors on peut écrire ^{an1bn1 an1 }

 

^{b n1}



^{a b a}

 

^{nan1b...abn1bn}



^.

6. Applications algébriques

Factoriser x³8, 27x³1, x³125.

3 3 3

8 2

x  x 

  

²



3 8 x 2 2x 4

x    x  

 

³

3 3

27x  1 3x 1

   

3 2

3

27x 1 x1 9x 3x1

3 3 3

125 5

x  x 

 

3

3 3

125 5

x  x  

  

²



3 125 x 5 x 5 25

x     x

On retiendra qu’il est possible de factoriser une expression de la forme aⁿbⁿ lorsque n est un entier naturel impair comme nous l’avons dit dans la remarque du paragraphe précédent.

8. Une application importante en arithmétique

 Exemple : Démontrer à l’aide de la relation fondamentale de l’algèbre que pour tout entier naturel n le nombre 3²ⁿ2ⁿ est divisible par 7.

Solution :

 

2 2

3ⁿ 2ⁿ  3 ⁿ 2ⁿ 32ⁿ 2ⁿ 9ⁿ 2ⁿ

  

^{1 2 3 2 2}



2 1

9 2 9 9 2 9 2 ... 9 2 2

3ⁿ 2ⁿ   ^n  ^n   ^n     ^n  ^n



^{1 2 3 2 2 1}



32ⁿ 2ⁿ  7 9^n 9^n  2 9^n 2 ... 9 2  ^n 2^n







Ainsi, 3²ⁿ 2ⁿ est divisible par 7.

 Résultat général :

Soit a et b sont deux entiers relatifs.

Soit n un entier naturel quelconque.

n n

a b est divisible par a b .

La démonstration est évidente grâce à la formule fondamentale de l’algèbre.

9. Application fondamentale à la factorisation des polynômes Définition :

On dit qu’un polynôme ^{A x}

 

est divisible par un polynôme ^{B x}

 

s’il existe un polynôme ^{Q x}

 

^{tel que A x}

 

^{B x}

 

^{Q x}

 

^.

Théorème :

Soit ^{P x}

 

un polynôme de degré n1.

 

P x est divisible par x a si et seulement si ^{P a}

 

^0.

 

⁰

P a  signifie que a est racine de ^{P x}

 

^.

Démonstration :

 Supposons que ^{P x}

 

soit divisible par xa.

On peut donc écrire ^{P x}

  

^{ xa}



^{Q x}

 

^{où Q x}

 

est un polynôme.

     

⁰

 

⁰

P a  aa Q a  Q a 

 Supposons que ^{P a}

 

^0.

Posons P x

 

b_nxⁿb_n1x^n1...b1 x b0 (b₀, b₁, …, b_n1, b_n étant des réels tels que b_n 0).

On a alors : P a

 

b_naⁿb_n1a^n1...b1 a b0.

On peut donc écrire :

     

P x P x P a

 

ⁿ



^{n n}



^{n 1}



^{n 1 n 1}



^{... 1}

^{ }

P x b  x a b_  x ^ a ^  b xa

D’après la formule fondamentale de l’algèbre, toute expression de la forme x^ka^k est factorisable par x a . On en déduit que ^{P x}

  

^{ xa}



^{Q x}

 

^{où Q x}

 

est un polynôme.

Application :

On pose ^{P x}

 

^{ x32x2 x 4.}

Démontrer que ^{P x}

 

est factorisable par x1 et déterminer une factorisation.

 

^{1 13 2 12 1 4}

P     

 

^{1 0}

P 

Donc ^{P x}

 

est factorisable par x1.

 

^{3 2 2 4}

P x x  x  x

 

^{1 13 2 12 1 4}

P     

     

¹

P x P x P car ^P

 

^{1 0}

  

^{x3 13}



²



^{2 12}



¹

P x    x   x

 

^x



^{x 1}

 

^{x2 x 1}



²

^

^{x 1}

^

¹

P         

  

^{x 1}

 

^{x2 3 4}



P x    x

Le dimanche 6 août 2017 (00 h 16) Dans l’expression a^n1

Dans la somme a^n1a^n2b... , chaque terme (chaque monôme) est constitué d’un produit d’une puissance de a et de b.