Formule fondamentale de l'électrodynamique

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Submitted on 1 Jan 1884

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Formule fondamentale de l’électrodynamique

H. Pellat

To cite this version:

H. Pellat. Formule fondamentale de l’électrodynamique. J. Phys. Theor. Appl., 1884, 3 (1), pp.117-

127. �10.1051/jphystap:018840030011701�. �jpa-00238184�

117

qui prennent

^{aux basses} hauteurs du Soleil une intensité considé-

rahle ;

^{elles ont un}

aspect particulier, qui

^les

distinguerait

^{à la ri-}

gueur des groupes

précédents,

^{mais leur caractère} propre ^est de s’effacer presque entièrement

lorsque l’atmosphère

^{est froide et}

sèche : c’est ce

que j’ai constaté

définitivement le

24 janvier ^dernier,

où le

poin t

^{de rosée s’est abaissé}

à 2013 3°, 2;

^{dans le}

voisinage

^des

raies

D,

^{les raies}

telluriques

avaient presque

disparu ;

^{il est donc}

naturel de les

attribuer,

^{comme les raies voisines de}

D,

^à

l’absorp-

tion causée par la vapeur d’eau. Les

principales

d’entre elles son

indiquées

^{sur la}

figure

par ^des

lignes qui

^{ne sont}

prolongées

ⁿⁱ

vers le

haut,

^{ni vers le bas}

(A = 628, i 3 ; 628,44; 631,ài).

Pour

terminer, je

ferai remarquer que ^la

comparaison

^{de ces}

diverses

espèces

^{de raies entre elles} pourra

conduire,

ainsi que

j’ai déjà

^eu l’occasion de

l’exposer (Journal

^de

^l’École Polyteclz- nique)

^{LI Ile}

Cahier,

p. ^{210, et} Journal de

Physique)

^2e

série, t. lI,

p.

63),

^{à des} résultats intéressant la

Météorologie

^{et l’Astro-}

nomie. Les raies du groupe ^oc

appartenant

^à

l’atmosphère

^sèche

auront

l’avantage

^de

présenter

^{une échelle}

régulière

d’intensité

qui

facilitera les mesures absolues.

En résumé, ^la

présente

^{étude du} groupe a ^a conduit d’abord à

une méthode

pratique

pour

distinguer

^{à la}

simple inspection

^les

raies

d’origine

terrestre et celles

d’origine ^solaire;

^{elle a}

permis

ensuite d’établir la relation intime de ce groupe ^avec les bandes A

et B de

Fraunhofer;

^{enfin elle a} pour

conséquence

d’attribuer ce

groupe ^à

l’absorption

par

l’oxygène

^{de l’air.}

FORMULE FONDAMENTALE DE

L’ÉLECTRODYNAMIQUE;

PAR M. H. PELLAT.

En admettant que deux éléments ^{de courants} s’attirent ou se

repoussent suivant la droite

qui

^les

joint

^{et en se fondant sur}

les

expériences

^{des courants}

parallèles,

^{des courants dans le} pro-

longement

^l’un de l’autre et des courants

sinueux,

^on

arrive,

_par des considérations très

simples

^{et bien} connues, à la formule

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:018840030011701

118

dans

laquelle f

^{est la force}

agissant

^entre deux éléments de lon- gueurs 1 ^et

1’,

^{où 0 et 0’ sont les}

angles

que forme la direction de

chaque

^{courant avec la droite}

qui

^les

joint,

^{ou w est}

l’angle

dièdre des deux

plans

passant par ^cette droite et par chacun des

éléments,

^{enfin où}

fer)

^et

F(r)

^{sont des fonctions}

toujours

po- sitives de la distance ¹ des éléments ^et aussi des intensités i et z’

des deux courants.

Ampère,

pour déterminer ces deux

fonctions,

^a

supposé

^une

expérience

presque

impossible

^{à réaliser} dans des conditions d’exactitude

suffisante,

celle des trois courants semblables. De-

puis,

^un

grand

^{nombre de}

physiciens

^{et de}

^géomètres

^{se sont}

appliqués

^{à lever cette} difficulté en fondant leur démonstration

sur des

expériences susceptibles

d’être effectuées avec

précision.

Dans

quelques-unes

^{de ces}

démonstrations,

^{celle de Lamé} par

exemple,

^on suppose

a priori

que

fer)

^et

F(r)

^{varient en raison}

inverse d’une même

puissance

^{de la}

^distance,

^ce

qui

^n’est pas évident.

D’autres,

^{comme celles de Blanchet ou} de M. Bertrand

(’ )

sont à l’abri de toute

critique;

^{mais les}

^calculs, quoique

^fort

élégants,

^sont trop

longs

^et trop

compliqués

^pour

l’enseignement

secondaire.

La démonstration suivante ne

s’appuie

que ^{sur des}

expériences susceptibles

^d’une

grande précision

^et

n’exige,

pour ^{être com-}

prise,

que les notions les

plus

élémentaires du calcul des déri- vées

(2).

DÉTERMINATION DE

F(1’).

^-

L’expérience

^sur

laquelle

repose la détermination de

F(r)

^{se fait à} l’aide d’une sorte

d’éleêtrodyna-

momètre,

dont la bobine mobile B

(fig. i)

^a des dimensions très

petites

^{et est}

placée

^{au centre de} deux cadres circulaires concen-

uriques

^{A et}

A’,

situés dans ^un même

plan.

Ces cadres doivent avoir des rayons ^{i- et} n’ assez

grands

pour que vis-à-vis d’eux ^les dimensions linéaires de la bobine mobile soient

négligeables.

^Sur

chacun d’eux est enroulé ^un fil à

spires

isolées faisant le même

(1) ^{Journ. de} Phys., ^t. III, p. 297 ^et 335.

(’) C’est pour mieux le ^montrer que ^nous employons ^{dans cet} article la nota- tion des dérivées, ^au lieu de la notation plus commode des différentielles.

119

nombre de tours. Les déviations de la bobine sont observées par la méthode de

Poggendorif.

Aucun courant ne passant, ^on

dispose

^{l’axe de} la bobine dans

!e

plan

^des

^cadres, puis

^{on lance un courant dans la bobine seu-}

lement ;

^{celle-ci est déviée si son axe n’était} _pas

primitivement

dans le

plan

du méridien

magnétiques.

A l’aide d’un

aimant,

^on

ramène l’axe dans le

plan

des cadres : l’aimant compense ainsi l’action directrice de la Terre.

On lance alors successivement un courant de même intensité dans chacun des deux

cadres,

^etl’on

obtientpourlabobine

^{des déviations}

x et

cx/quiy siellesrestentfaibles, sont inversement proportionnelles

Fig. ^1.

à 1 et à r’. On conclut de là que le ^{moment du}

couple électrody- na1nique produit

par l’action ^{d’un courant} circulaire sur un autre courant circulaire infiniment

petit placé

^{en son centre et} perpen- diculaire à son

plan

^est, pour ^{de mêmes}

intensités,

inversement

proportionnel

^au rayon ^{r du}

grand

^courant circulaire.

Or le moment de ce

couple

^se calcule aisément à l’aide de la formule

(i ).

^Un

^calcul,

^trop

simple

pour ^être

reprodui t ici,

Inontre que l’action ^{d’un courant} circulaire de rayon r ^{’sur un} élément de

longueur l, placé

^{dans son}

plan

^et ayant ^{son milieu au} centre, ^{est une} force

perpendiculaire

^à

l’élément, dirigée

^{du côté du}

cercle où le sens du courant est le même que celui ^de l’élément e’ et ayant pour valeur Ttlr

F(r).

^D’autre part, ^{l’action d’un courant}

120

circulaire sur un élément

passant

par ^{son centre et}

perpendicu-

laire à son

plan

^est évidemment nulle.

La considération de ces deux cas

particuliers

permet ^{de trouver}

tout de suite le moment du

couple produit

^{sur un courant cir-}

culaire infiniment

petit

^MAB

(fig. 2),

de rayon p, par ^{un courant} circulaire

perpendiculaire

^au

précédent,

^{ayant même centre 0}

(ce

^{courant se}

projette

^{en XOY sur la}

figure).

Considérons un

élément AB et

remplaçons-le

par le ^courant sinueux A b B.A b est

parallèle,

^bB

perpendiculaire

^{à XY.} Le rayon

p étant

^infiniment

petit

^{par rapport à r, la force}

produite

par le ^courant circulaire

sur Ah et b B est la

même

_{que si} ces éléments étaient en O. Or

Fig. ^2.

l’action sur bB est

nulle,

^{et sur A b est une}

force f perpendi-

culaire au

plan

du cercle MOA et dont le moment A C _par rapport

à XY est donné par

(2) ^AC = fAa = r r F (r) p A a

sin a.p sin a,

^d’où

Ca ==

7trF(r)p2sin2x,

en

désignant

par ^a

l’angle MOA,

par ^{A a son} accroissement

AOB,

et par

C)

^{la dérivée de} C par rapport ^{à a.}

On tire de

là,

pour la ^somne des moments par rapport ^{à X.Y} des forces

agissant

^{sur tous les éléments du}

petit

^{courant circu-}

laire,

121

Puisque l’expérience

prouve que C varie en raison inverse de _r-,

on a, ^en

désignant par h

^une

quantité indépendante

^de n,

p ^{est une}

quantité

^constante par rapport ^{à r}

qui

^ne

peut dépendre

que ^des intensités des deux courants. En

remplaçant,

^{la for-}

mule

(i)

^{devient alors}

DÉTERMINATION DE

f(r).

^{- On sait que}

Inexpérience

^{permet de}

constater avec une

grande précision

que l’action d’un courant

Fig. 3.

fermé sur un élément de courant est une force

perpendiculaire

^à

la direction de cet élément

(1 ).

^{Il en est}

ainsi,

^en

particulier,

pour

un courant

rectangulaire

^MLKN

qui

^{a un côté NM}

perpendicu-

laire au milieu d’un élément 0

(.fig. 3);

^{or on} peut supposer ^les côtés du

rectangle

^assez

longs

pour que l’action de LK et KN sur

l’élément soit

insensible ;

^d’autre part, l’action de MN est évidem-

ment

nulle;

par

conséquent,

^{un courant ML}

(fig. 4) parallèle,

à ztn élénient de courant

0, indéfiiii

^{d’un côté L et se terriii-}

e) Voir, Journal de Physique, ^{t. VIII,} p. ,o, la forme très précise que M. Et-

tingshausen ^{donne a cette} expérience.

122

liant de l’autre côté à

la perpendicullaire

^{OMélevée au milieu O}

de

l’élément, pradzcrt

^{sur celui-ci il ne}

force perpendiculaire

^à

la direction de l’élé1JlPnt.

Calculons ci l’aide de la formule

(5)

^{la valeur de la} composante suivant la direction de l’élément 0 de la force

produite

par

ML,

Fig- 4.

et écrivons que ^cette composante ^{est nulle}

d’après

^la loi que ^nous

venons d’énoncer.

Soient X la valeur de la composante, ^suivant la direction de l’élé- ment, ^{de la} force

produite

par ^une

portion

^{MA de}

longueur

^du

courant, ^{et AX} l’accroissement de X

quand

MA s’accroit de l’élé-

ment

AB ;

^{on a}

d’oû,

^en divisant par l’accroissement ^{J1r et}

passant

^{à la}

limite,

Or on a

en

appelant a

^{la distance}

^OM,

^d’oû

d" ai lleurs

et, ^en

remplaçant,

^{il vient}

Posons

123

Q (r) et U(r)

^étant deux fonctions de

1 ayant respectivement

^pour

dérivées

j( 1’)

^et

f(r) r2;

^{on a, en}

substituant,

en

prenant

la fonction

primitive

^{des deux membres et en déter-}

minant la constante

par la

^condition que pour ^{1 = cz on} ait X == _o, il vient

Pour avoir l’action du courant indéfini

ML,

^il faut faire i- infini dans cette formule. En

désignant

par ^{ni et} par n les ^valeurs

indépen-

dantes de a vers

lesquelles

^tendent

Cf (r) et § (r) quand

^{1 tend vers}

l’infini(1),

^{on a}

donc, d’aprés

^{la loi}

expérimentale

^{énoncée ci-}

dessus,

La valeur de cette

expression

^étant

nulle, quelle

que soit ^{la va"}

leur de _cc, sa dérivée _par rapport ^{â cc est nulle} aussi ; d’où

Mais,

^{en vertu des relations de} définition

(8),

^{on a}

(’) ^On peut démontrer, ^{en toute} ribueur, ^ainsi qu’il suit, que Q(r) et § (r) ^ten-

dent vers une valeur limite, quand ^{r croît} indéfiniment.

D’après (10), ^la composante X2 - XI de l’action sur l’élément 0 d’un tronçon ^du

courant dont le commencement et la fin sont à des distances ri ^et r2 de O,

est

Or il est évident que, si 1’t ^et r2 croissent indéfiniment, X22013X1 ^{tend vers zéro,} quelle que soit la valeur de a, ; ^or il faut, pour cela, que Q(r2) ^- Q(r1) ^et §(r2) ^- §(r1)

tendent séparément ^vers zéro, c’est-à-dire que Q(r2) et Q(r1) ^d’une part et §(r2 ) et §(r1) ^{d’une autre tendent vers une niême valeur} quand r1 ^et i-, croissent indéfiniment.

124

la

relation (12)

devient alors

d’où

^{l’on tire}

étant

égal

^à

§(a),

^{on tire de là}

d’où

ou encore, ^en

remplaçant

la variable ci par r,

En substituant cette valeur dans la formule fondamentale

(5),

elle devient

DÉTERMINATION DE p. 2013 En

lançant

^{dans un}

électrodynamomètre [qu’on

peut

prendre,

pour

répéter

^cette

expérience

^de

Weber,

sous la forme

représentée (ftg. i)]

^{des courants}

ayant

des inten- sités variant dans un

rapport

^{connu, on constate} que p ^est pro-

portionnel

^aux intensités des deux courants ; ^on peut ^donc poser

h étant un cofficient

numérique ; d’où,

pour la formule fondamen-

tale,

DÉTERMINATION DE Il EN VALEUR ABSOLUE. ²⁰¹³ On se borne

gé-

néralement à établir la formule

(20).

^{Dans cette}

^formule,

^{le coef-}

ficient h a une valeur

q ui

^ne

dépend

que d u choix des unités

adop-

tées pour ^{mesurer les}

grandeurs qui y fiburent. Proposons-nous

de trouver la valeur de lz en

employant

pour mesurer i et i’ ^les

125

unités

électromagnétiques.

^{Il faut} évidemment pour ^{cela con1-} parer l’action d’un courant à l’action d’un aimant ^{sur un} courant

mobiles.

A cet

effet,

reprenons

l’appareil

^{de la}

fig.

^{i et,}

après

^avoir

disposé

^{la bobine et l’aimant} compensateur ^{comme il a été}

indiqué ci-dessus, lançons

^{un courant} d’intensité i dans l’un des cadres. La

bobine,

parcourue par ^{un courant}

d’intensité i’,

^{sera déviée d’un}

certain

angle

^{a. Ouvrons le circuit du cadre et} soumettons la bobine à l’action d’un aimant de moment

magnétique

^M

placé perpendiculairement

^au

plan

^{du cadre à une distance} R de la bo- bine et ayant ^{son milieu sur le}

prolongement

^{de la}

position

que

prend

^{l’axe de celle-ci}

quand

^{il est dans le}

plan

^{du cadre}

(pre-

mière

position

^de

Gauss).

^{La bobine est déviée d’un}

angle

^a’.

En

disposant l’expérience

^de

^façon

que ^ces

angles

^{a et a’ soient}

assez

petits

pour que les ^cosinus

puissent

^être

remplacés

par l’u-

nité,

^leur rapport ^est

égal

^{à celui des moments des}

couples produits

par les forces

électrodynamiques

^et par les forces

électromagnéti-

ques

agissant

^{sur Fun des courants} circulaires de la bobine mo-

bile, quand

^les

spires

de celle-ci sont

perpendiculaires

^au

plan

du cadre.

Désignons

par C ^et C’ ces deux moments : on a

Or,

^{si n est} le nombre des tours du fil sur le

cadre,

^il résulte de la form ule

(3)

1)’ailleurs le

petit

^courant circulaire de surface

rp2

^{étant assi-}

milable vis-à-vis de l’aimant à un aimant infiniment court et de

moment

magnétique n22 ^i’,

^{on a}

d’après

^{la formule de}

Gauss ;

^d’où

126

On en tire

Or une

expérience

^bien

simple

^permet d’obtenir d’un seul coup la valeur du facteur

de 4

^, dans le second membre. Transformons

l’appareil en

^une boussole des tangentes ^{en mettant à la}

place

^{de la}

bobine une

aiguille

^{aimantée très} courte, portant ^une

longue aiguille

d’aluminium pour

indiquer

^{sur un cercle}

gradué

horizontal les dé- viations de

l’aiguille

aimantée. Laissons dans la même

position

^l’ai-

mant

qui compenserait

^{l’action de la terre sur la bobine} pour

qu’il produise

^{la mêlne}

compensation

^sur

l’aiguille. Plaçons

^maintenant

le barreau déviant à la mêrne distance R que

précédemment,

^mais

parallèlement

^au

^cadre,

^{son milieu étant sur une droite}

perpendi-

culaire au cadre et passant par

l’aiguille

^aimantée. Sous l’action combinée de cet aimant et du courant d’intensité

i,

que ^{nous lan-} çons dans le même

cadre, l’aiguille

^{fait un}

angle [3

^{avec le}

plan

^du

cadre.

Or il est aisé de voir que ^{l’on a}

d’oii,

^en substituant dans

(24),

Or

l’expérience

faite ainsi donne d’ où

En

remplaçant

^h par ^cette

valeur,

la formule fondamentale devient

elle donne la valeur de

f

^en

dynes

^{si les}

longueurs

^sont

expri-

127 mées en centimètres et les intensités de courants en unités électro-

magnétiqnes

^{G. G. S.}

(’ ).

RECHERCHES EXPÉRIMENTALES SUR LE PHÉNOMÈNE DE HALL, PARTICULIÈREMENT DANS LE BISMUTH (2);

PAR M. AUG. RIGHI.

1.

L’expérience

^{de M. Hall}

(3), qui

démontre l’existence d’une nouvelle force électromotrice

perpendiculaire

^{au courant}

qui

parcourt

^une lame mince de

métal,

actionnée par ^une force

magné- tique

^{normale à sa}

^surface,

peut

s’explitluer

^de deux manières.

Dans son

premier Mémoire,

^M. Hall admet une tendance du cou- rant à obéir ^aux forces

électrodynamiques;

^{alors le courant élec-}

trique

^{devrait être} constitué par ^un fluide

incompressible qui

^s’é-

coule du

pôle

^{- au}

pôle ^{+. On}

^verra que ^cette

explication

^ne pemt

se

soutenir,

^{mais elle}

peut

^{servir à} déterminer le sens du courant

transversal,

^{du moins} dans l’or et la

plupart

^{des métaux dia-}

ll1agnétiqncs.

(’ ) Sous la dernière forme employée l’appareil permet ^{de trouver la loi de l’action} d’un élément de courant sur un point magnétique. ^{On laisse} Faiguiilc ^aimantée

de la boussole s’orienter sous l’action de la terre seule, ^{et l’on} place ^{les deux}

cadres dans le plan ^{du Inéridien} magnétique. ^En lançant successivement dans cha-

cun d’eux des courants de même intensité, ^on observée des déviations a et x’ dont les tangentes ^{sont en raison} inverse des rayons ^{r et} r’ des cadres. On voit immé- diatement qu’en appelant F(r) la fonction de la distance qui ^entre dans l’action d’un élément de courant sur un point magnétique, ^{on a}

(Ton

et, par conséquent

Cette expérience ^est susceptible ^d’une précision plus grande que celle de Biot ^et Savart et le calcul est bien plus simple.

(2) ^{Le Mémoire} complet ^a paru dans les J1fénl0ires de l’Académie de Bo-

logne, 1883-1 88’Í . Voir Journal de Ph)/sique, ^2e série, ^t. II, p. 512.

(3) ^Phil. Mag., p. 225, ^{mars 1880.}