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En déduire les variations de la fonctiongn lorsque n>1

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Academic year: 2022

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(1)

ECE1 Année 2018-2019

TD-Suite de fonctions

Pour tout n∈N, on définit la fonctiongn: [0,+∞[→R par :

gn(x) = (ln(1 +x))n (1 +x)2 .

1. Étudier les variations de la fonction g0, définie sur [0,+∞[par : g0(x) = 1 (1 +x)2.

Préciser la limite de g0 en+∞, donner l’équation de la tangente en 0, et donner l’allure de la courbe représentative deg0.

2. Pour n>1, justifier quegn est dérivable sur [0,+∞[et montrer que :

∀x∈[0,+∞[, gn0(x)>0 ⇐⇒ n>2 ln(1 +x).

En déduire les variations de la fonctiongn lorsque n>1.

Calculer soigneusement lim

x→+∞gn(x).

3. Montrer que, pour n>1,gn admet un maximum sur[0,+∞[qui vaut :

Mn= Ån

2e ãn

et déterminer lim

n→+∞Mn.

4. Montrer enfin que pour tout n>1:

gn(x) = o

x→+∞

Å 1 x3/2

ã

1

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