2. T N S - TD °4 -

Traitement Numérique du Signal

T

RAITEMENT

N

UMERIQUE DU

S

IGNAL

- TD

N

°4 -

EXERCICE N°1 (en réel)

On considère le signal discret réel composé d'une fréquence :

(

_{1 e}

)

1

e 2 f nT

nT

x( )=α sin π où Teest la période d’échantillonnage.

1. Montrez qu'il s'agit d'un signal autorégressif d'ordre 2 dont la variance de l'erreur d'estimation est nulle.

2. Calculez la fonction r_xx

( )

τ pour

e e

e 2T pT

T

0, , ,...,

= τ

3. Quel est le rang de la matrice d'autocorrélation du signal x(nT_e)

On ajoute une deuxième sinusoïde :

( )

nTe 1

(

2 f1nTe

)

2

(

2 f2nTe

)

x =α sin π +α sin π avec

2

1 f

f ≠ et α_i ≠0 et réels.

4. Peut-on trouver un filtre RIF qui annule totalement ce signal ?

5. Quel est le plus petit ordre de ce filtre ? le signal peut il être considéré comme un processus AR et de quel ordre ?

On ajoute un terme de bruit :

( )

nT_{e 1}

(

2 f₁nT_e

)

₂

(

2 f₂nT_e

) ( )

bnT_e

x =α sin π +α sin π +

( )

nT_e

b représente un échantillon de bruit blanc de variance σ²

6. Formez la matrice d'autocorrélation d'ordre 3 7. Quelle sera l'énergie de l'erreur de prédiction dans

le cas d'une prédiction linéaire à l'ordre 4 (on répondra uniquement pour les deux cas extrêmes du rapport signal à bruit)

EXERCICE N°2 (en complexe)

Soit le signal discret complexe composé de deux fréquences :

( )

n e^{j fnTe} e^{j fnTe} x =α₁ ^2π1 +α₂ ^2π2 où Teest la période d’échantillonnage.

1. On se propose de soumettre ce signal à un filtre prédicteur complexe d’ordre 1. Donner le schéma commenté de ce prédicteur.

2. Calculer la valeur du filtre prédicteur au sens de l’EQM.

3. En considérant la composante à la fréquence f₁ comme utile et celle à la fréquence f₂ comme indésirable, calculer le rapport signal à bruit au niveau du signal initial x

( )

n puis celui au niveau de l’erreur de prédiction. Comparer et commenter.

4. Le prédicteur complexe est maintenant d’ordre 2.

Expliquer comment calculer ce prédicteur au sens de l’EQM.

5. Calculer les grandeurs statistiques nécessaires au calcul du filtre prédicteur.

6. Calculer le filtre prédicteur.

7. Exprimer l’erreur de prédiction et donner sa puissance. Conclure.

EXERCICE N°3

1. Deux variables aléatoires indépendantes uniformément réparties entre 0 et 1 sont sommées.

Quelle est la densité de probabilité de la variable aléatoire résultante.

2. Douze variables aléatoires indépendantes uniformément réparties entre

21

− et 21 + sont sommées. A quelle fonction peut être approximée la densité de probabilité de la variable aléatoire résultante. Quelle est la valeur moyenne et la puissance de cette variable aléatoire.

Traitement Numérique du Signal

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RAITEMENT

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ORRIGE DU

TD

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CORRIGE EXERCICE N°1 (1) Corrigé en réel (pur trigo)

Pour simplifier on écrit x(n)=sin(nω), On a alors

( )

sin( ) sin( )cos(( ) ) cos

) ) sin((

) sin(

ω

− ω

+ ω

− ω

=

ω +

−

= ω

1 n 1

n 1 1 n n

On s'intéresse au deuxième terme

( )

( )

ω

−

− ω

− ω

=

ω

−

−

ω

− ω + ω

− ω

ω

=

ω

− ω

−

− ω ω

− ω

=

ω ω

− ω

− ω ω

− ω

=

ω +

− ω

= ω

− ω

) sin(

) sin(

) cos(

) sin(

) sin(

) cos(

) cos(

) sin(

) cos(

) ( cos )

sin(

) cos(

) cos(

) sin(

) sin(

) sin(

) sin(

) cos(

) cos(

) sin(

) ) cos((

) sin(

) cos((

) sin(

2 n 1

n

2 n

2 n 2

n

1 2 n 2

n

2 n 2

n

1 2 n 1

n

2

Avec le premier terme Æ

) ( ) ( ) cos(

)

(n 2 x n 1 x n 2

x = ω − − −

ou (1) Corrigé en complexe

on introduit z

( )

n =e^jnω, il ne reste plus qu'à s'intéresser à x(n)=Im

( )

z

( )

n .

on a : z

( )

n =e^jωz

(

n−1

)

signal prédictible à l'ordre 1.

On utilise alors le "truc" suivant : (ⁿ−²)ω = −^jω ^j( )ⁿ−¹ω

j e e

e

et e^jnω =e^jωe^j( )ⁿ−¹ω

On somme les deux équations et on prend les parties imaginaires :

( )

( ) ( ) (

^{( )}

)

(

^ω−( )^{ω− ω}

)

ω

− ω

ω

−

+

= +

1 n j j

1 n j j jn

2 n j

e e

e e e

e

Im Im Im

Im d'où:

(

n−2

)

ω+sinnω=2cosωsin

(

n−1

)

ω sin

et :

) ( ) ( ) cos(

)

(n 2 x n 1 x n 2

x = ω − − −

Le signal x

( )

n est donc totalement prédictible linéairement avec erreur de prédiction nulle.

(2) r 0 2

21

xx α

)=

( , ( ) α cos(ω)

= 2 1 r

12

xx ,

) cos(

)

( α ω

= p

p 2 r

21 xx

(3) 













ω ω

ω ω

ω α ω

=

1 2

1

2 1

R 2

12 3

cos cos

cos cos

cos cos

on remarque que la colonne 3 est combinaison linéaire des colonnes 1 et 2 (Col3=2cos(ω)Col2-Col(1)), la matrice est de rang 2.

(4) Il suffit de prendre un filtre ayant des zéros sur f₀ ,f₁

( )( )(

1

)(

1 ¹

)

1 1 1 0

0Z 1 Z Z 1 Z Z 1 Z Z

Z 1 Z

A( )= − ⁻ − ^{* −} − ⁻ − ^{* −}

avec Z₀ =e^j2πf0Te et Z₁ =e^j2πf1Te

(5) Donc x n ⁴ a xn i 0

1

i i − =

−

∑

=

) ( )

( donc x(n) peut être

prédit parfaitement, c'est un AR d'ordre 4 avec une erreur de prédiction nulle.

(6) Avec le terme de bruit, on a un signal parfaitement prédictible (le mélange des deux sinusoïdes) et un signal non prédictible (le bruit). L'énergie de l'erreur de prédiction va dépendre du rapport signal sur bruit du signal d'origine.

Id 1

2 1

2 1

R 2 ²

12

3 +σ

















ω ω

ω ω

ω α ω

=

cos cos

cos cos

cos cos

(7) Si les sinusoïdes sont beaucoup plus puissantes que le bruit, le prédicteur va les supprimer avec les 4 coefficients de la question précédente . En sortie on aura donc :

∑

∑

= =

−

−

=

−

−

= ⁴

1

i i

4 1

i aix n i b n a b n i

n x n

e( ) ( ) ( ) ( ) ( )

La puissance de l'erreur de prédiction sera alors égale à











 +

σ

∑

= 4 1 i

i2

2 1 a . En intégrant le coeff a₀ =1Æ

∑

=

σ ⁴

0 i

i2

2 a , on peut utiliser Parseval, on obtient que la puissance de l'erreur de prédiction est égale à

1 2 N

0 k

e e

2

N kF T A

1

∑

⁻

= 

 



σ  . En signal analogique on

trouverait ^σ2

∫

^H(f)2df ce qui est normal, le bruit ayant traversé le filtre. Si la puissance de bruit est très supérieure à la puissance du signal, il faudra pour minimiser la puissance de l'erreur de prédiction choisir

i 0

a_i = ∀ , la puissance de l'erreur de prédiction sera alors égale à σ²

CORRIGE EXERCICE N°2 1. Schéma

Prédiction de x(n)à partir de x(n−1)

2.

[ ] [ ]

2 2²

1

)2

1 ( ) ( )

( = − =α +α

=EXnX n E xn

R ^T

[

^Xndn

] [

^{Exn xn}

]

^{e j fTe e j fTe}

E

S= ( ) ( )^*= ( −1) ( )^*=α₁^{2 −2π1} +α₂^{2 −2π2}

22 12

2 2 2 2

12

1 ^{1 2}

α α

α

α ^{π π}

+

= +

=R⁻S e^{j fTe} e^{j fTe} a

a

(

) (n x

) (n e +

(

^-

(

−1

Z

Traitement Numérique du Signal

3. ⁻¹





=

entrée sortie BS BS

4. ^X(n)=

[

^{x(n−1)* x(n−2)*}

]

^{T ; a}

[

^a* ^a2^*

]

^T

= 1

[

^{XnXn T}

]

E

R= ( ) ( ) ; ^S=E

[

^X(n)d(n)*

]

^→a=R−1S

5. _



 



=

* 0 1

1 0

r r

r

R r avec _{j fTe j fTe}

e e

r r

2

1 2 2

2 2 12 1

22 12

0 α π α π

α α

−

− +

= +

=



 



=

2 1

r

S r avec r₂=α₁²e^−j4πf1Te+α₂²e^−j4πf2Te

6. _



 



 +

−

= −



 







 





−

= −



 



 



 



=

=

−

−

1 0 2 1

2 1 1 1 0

* 0 1

1 1 0

1

* 0 1

1 0 1

2

2 r rr

r r r r r r r

r r r

r r

r S r

R a

r r

7. P_e=0

CORRIGE EXERCICE N°3 1. f(x)=f₁(x)*f₂(x)

2. La variable résultante présente une densité de probabilité qui peut être approximée par une fonction gaussienne. Sa moyenne est nulle. Sa puissance est unité.

1

0 2 ) (x f

1 x