L3B Alg`ebre
Contrˆ ole Continu 3 Exercice A
Soit Aun anneau commutatif.
A.1. On suppose que A n’admet que les id´eaux triviaux {0} et A. D´emontrer que A est un corps.
A.2. On suppose que A est int`egre et qu’il n’admet qu’un nombre fini d’id´eaux. D´emontrer que A est un corps. (Indication. Pour montrer que x ∈ A\ {0} est inversible, on pourra consid´erer, pour toutn≥0, l’id´ealIn engendr´e par xn pour n≥0.)
Exercice B
Soit n≥2 un entier et consid´erons len-cycle cn= (1 2 · · · n)∈Sn. L’objectif de cet exercice est de d´eterminer l’ensemble G={σ∈Sn |σcn=cnσ}.
B.1. Montrer queG est un sous-groupe deSn. B.2. Soit σ∈G.
(B.2.a) Justifier l’existence dei∈ {1, . . . , n} tel queσ(1) =ci−1n (1).
(B.2.b) Montrer que, pour tout j∈Z,σ(cn(j)) =ci−1n (cn(j)).
(B.2.c) En d´eduire que σ=ci−1n .
B.3. D´eduire de la question pr´ec´edente que G=hcni.
B.4. Quel est l’ordre du groupeG?
Exercice C
C.1. Soit G=Z/31Z. Soit f:G→G,x7→2x.
(C.1.a) V´erifier que f est est un ´el´ement du groupeS(G) des permutations de l’ensemble G.
(C.1.b) D´ecomposer f en produit de cycles.
C.2. On consid`ere `a pr´esent H = Z/255Z. Soit g:H → H, x 7→ 2x. Calculer l’ordre de g du groupeS(H) des permutations de l’ensemble H.
Exercice D
On consid`eref:Z→Z/4Z×Z/3Z×Z/5Z,x7→(x1, x2, x3), o`ux1,x2,x3 sont les classes de x modulo 4,3,5 respectivement. On rappelle quef est un morphisme d’anneaux.
D.1. Montrer qu’il existe un morphisme d’anneaux g:Z/60Z → Z/4Z×Z/3Z×Z/5Z tel que f =g◦π o`u π:Z→Z/60Zest l’application de passage au quotient.
D.2. Montrer queg est un isomorphisme d’anneaux.
D.3. On remarque que 4×4−1 = 15, 3×7 −1 = 20 et 5×5−1 = 2×12. En d´eduire x, y, z∈Z/60Z tels queg(x) = (−1,0,0),g(y) = (0,−1,0) etg(z) = (0,0,−1).
D.4. Calculer g(26) puis (g(26))10. En d´eduire 2610 dansZ/60Z.
D.5. Montrer que les ´el´ements du groupe multiplicatif (Z/60Z)× sont d’ordre 1, 2 ou 4.
