86 85 84 83 87 Exercices 82

(1)

Chapitre 7 Primitives, équations diférentieeees 177

821. z t( )=ln(f t( )) est solution de l’équation ( )E’ si et seule- ment si

z’( )t = 1

50z t( )− 2

25⇔ f’( )t

f t( ) ⁼ 50¹ln(f t( ))− 2

25 ⇔ f’( )t = 1

50f t( )ln(f t( ))− 2

25f t( )⇔ f’( )t = − 1

50 f t( )(4−ln(f t( ))) z’( )t = 1

50z t( )− 2

25⇔ f’( )t

f t( ) ⁼ ⁵⁰¹^ln(^{f t}( ))− 2

25⇔ f’( )t = 1

50 f t( )^ln(^{f t}( ))− 2

25f t( )⇔ f’( )t = − 1

50f t( )(⁴−ln(f t( ))) z’( )t = 1

50z t( )− 2

25⇔ f’( )t

f t( ) ⁼50¹ln(f t( ))− 2

25⇔ f’( )t = 1

50f t( )ln(f t( ))− 2

25f t( )⇔ f’( )t = − 1

50f t( )(4−ln(f t( ))).

2. Les solutions de l’équation différentielle ( )E’ sont de la forme z t( )=Ce⁵⁰¹^t +4, où C est une constante réelle.

Or z( )0 =ln(f( )0)=ln 1( )=0.

Ainsi, z( )0 =0⇔C= −4 et donc z t( )= −4e⁵⁰¹^t+4.

Pour tout t [ [0 ; +`[^{, z t}( )=ln(f t( ))⇔ f t( )=e^−4e⁵⁰¹^t⁺⁴. 3. La fonction f est définie et dérivable sur [0 ; +`[^et

f’( )t = − 2

25e⁵⁰¹^te^−4e

501t

+4 , 0. On en déduit que la fonction f est strictement décroissante sur [0 ; +`[^.

De plus, lim

t→+`

501t= +`, lim

T→+`e^T = +`, lim

T’→+`−4T’+4= −` et lim

X→−`e^X =0. Finalement, par composition lim

t→+`f t( )=0.

À terme, l’espèce animale étudiée est vouée à disparaître.

4. a.

b. L’algorithme permet de savoir, selon le modèle de Gompertz au bout de combien d’année le nombre d’indi- vidus d’une espèce animale sera inférieur à une certaine valeur seuil.

Exercices

VERS LE BAC

83_{1. G’}( )_x =12e⁻²^x+1≠g x( ). L’affirmation est fausse.

2. La fonction f est décroissante sur [ ]1 ; 3^doncf’ est négative sur le même intervalle. On en déduit que F est concave sur

1 ; 3

[ ]. L’affirmation est fausse.

3. F’( )x =ln( )x +x× 1

x =ln( )x +1= f x( ) et F( )1 =1ln 1( )=0.

La proposition est vraie.

841. Les solutions de l’équation différentielle y’=ay−20a sont les fonctions f définies sur R par f x( )=Ce^ax+20, où C est une constante réelle.

2. On remarque que θ’( )t =aθ( )t −20a. D’après la question précédente, les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions θ définies sur [0 ; +`[ par θ( )t =Ce^at+20.

Or θ( )0 =70⇔C=50, donc on a θ( )t =50e^at +20.

De plus, θ( )5 =60⇔50e^5a +20=60⇔a= 1 5ln 4

( )

5 ^. Finalement, θ( )t =50e¹^5ln

( )

⁴⁵^t₊₂₀_et

θ( )30 =50e^5ln¹

( )

⁴⁵ ^×30₊₂₀_≈_{33 °C.}

851. Réponse c. 2. Réponse b.

3. Réponse d. 4. Réponse d.

86_{1. y’}₊_2y₌₀_⇔_y’= −2y, les solutions de l’équation ( )E’ sont les fonctions f définies sur R par f x( )=Ce⁻²^x, où C est une constante réelle.

2. La fonction h est définie sur R et est telle que h x( )= Ce^−2x avec C= 9

2. D’après la question 1, la fonction h est une solution de ( )E’ ^.

3. La fonction g est définie et dérivable sur R et g’( )x =9e⁻³^x. 9e⁻³^x+2× −3e

(

^−3x

)

⁼^9e^−3x⁻^6e^−3x ⁼^3e^−3x^.

La fonction g x( )= −3e⁻³^x est une solution particulière de ( )E . 4. La fonction f est la somme d’une fonction h solution de l’équation ( )E sans second membre et d’une fonction g solution particulière de ( )E . On en déduit que la fonction f est une solution de ( )E .

871. En cellule C2, il faut entrer la formule =B2+0,2 . En cellule C3, il faut entrer la formule =-0,2*B3^2+B3+0,8 . 2.

La suite

( )

y_n semble croissante et converger vers une limite finie l=2.

3. a. La fonction p est définie et dérivable sur [0 ; 2]^et p’( )x = −0,4x+1.

Or −0,4x+1 . 0⇔x , 2,5.

La fonction p est donc croissante sur [0 ; 2]^.

Ainsi, 0<x<2⇔ p( )0 <p x( )<p( )2 ⇔0,8<p x( )<2⇔0<p x( )<2 0<x<2⇔p( )0 < p x( )< p( )2 ⇔0,8<p x( )<2⇔0<p x( )<2.

b. Soit P n( ) : « 0<y_n<2 pour tout entier naturel n ».

0<0<2 donc P( )0 est vraie.

On suppose P n( ) vraie pour un certain rang n.

On a 0<y_n<2⇔p( )0 <p y

( )

_n ^<^p^{( )}² ^⇔⁰^<^yn+1<2.

Donc P n( +1).

D’après le principe de récurrence, P n( ) est vraie pour tout entier n.

c. y_n+1−y_n = −0,2y_n² +0,8. Or 0<y_n<2⇔0<y_n²<4 et

−0,8<−0,2y_n²<0 ⇔0<−0,2y_n²+0,8<0,8.

Donc y_n+1−y_n>0, la suite

( )

y_n est croissante.

d. La suite

( )

y_n est croissante et majorée par 2, elle est donc convergente.

(2)

178

Chapitre 7 Primitives, équations diférentieeees

881. y’+1

2y=10⇔y’= −1

2y+10, les solutions de l’équa- tion différentielle sont les fonctions f définies sur [0 ; +`[^par

f t( )=Ce⁻¹²^t+20, où C est une constante réelle.

Or f( )0 =220⇔C+20=220⇔C=200.

Donc f t( )=200e⁻¹²^t+20.

2. a. La fonction f est dérivable sur [0 ; +`[ comme composée de fonctions dérivables sur [0 ; +`[^et^f^’( )^t = −100e⁻¹²^t. Or −100e⁻¹²^t , 0, la fonction f est donc strictement décrois- sante sur [0 ; +`[^.

b. lim

t→+`− 1

2t= −` et lim

X→−`e^X =0.

Par composition, lim

t→+`e⁻¹²^t =0.

On en déduit que lim

t→+`f t( )=20, ce qui signifie que la droite

$ d’équation y=20 est asymptote horizontale à la courbe

# en +`.

c.

3. a. Graphiquement, f t( )=50 pour t=3,8, soit 3 heures et 48 minutes environ.

b. f t( )=50⇔200e⁻¹²^t+20=50⇔e⁻²¹^t = 3 20 ⇔ −1

2t=ln 3

( )

20 ^⇔^t^{= −2ln 3}

( )

20 ^≈^3,79 f t( )=50⇔200e⁻²¹^t +20=50⇔e⁻¹²^t = 3

20⇔ −1

2t=ln 3

( )

20 ^⇔^t^{= −2ln 3}

( )

20 ^≈^3,79 f t( )=50⇔200e⁻²¹^t+20=50⇔e⁻¹²^t = 3

20⇔ −1

2t=ln 3

( )

20 ^⇔^t^{= −2ln 3}

( )

20 ^≈3,79 à 0,01 près.

89_1._10v’( )_t +v t( )=30⇔v’( )t = − 1

10v t( )+3, les solutions de l’équation différentielle sont les fonctions v définies sur

0 ; +`

[ [ par v t( )=Ce⁻¹⁰¹^t +30, où C est une constante réelle.

Or v( )0 =0⇔C+30=0⇔C= −30.

Donc v t( )= −30e⁻¹⁰¹^t +30=30 1−

(

e⁻¹⁰¹^t

)

.

2. La fonction v est dérivable sur [0 ; +`[ comme composée de fonctions dérivables sur [0 ; +`[^{et v’}( )^t =3e⁻¹⁰¹^t.

Or 3e⁻¹⁰¹^t . 0, la fonction v est donc strictement croissante sur [0 ; +`[^.

t→+`lim− 1

10t= −` et lim

X→−`e^X =0.

t→+`e⁻¹⁰¹^t =0.

On en déduit que lim

t→+`v t( )=30.

3. v’( )t^{, 0,1}⇔3e⁻¹⁰¹^t , 0,1⇔e⁻¹⁰¹^t , 1 30 ⇔ − 1

10t , ln 1

( )

30 ^⇔^{t .}^{10ln 30}^{( )} v’( )t^{, 0,1}⇔3e⁻¹⁰¹^t , 0,1⇔e⁻¹⁰¹^t , 1

30 ⇔ − 1

10t , ln 1

( )

30 ^⇔^{t .}^{10ln 30}^{( )}^.

Comme 10ln 30( )≈34,01, la vitesse est stabilisée à partir de la 35^e seconde.

90

Questions Va piano

1. a. y’= −0,12y, les solutions de l’équation différentielle sont les fonctions f définies sur [0 ; +`[^par^{f t}( )=Ce^−0,12t, où C est une constante réelle.

b. f( )0 =50⇔C=50. Donc f t( )=50e^−0,12t. 2. f t( )=10⇔50e^−0,12t =10⇔e^−0,12t = 1

5⇔ −0,12t= −ln 5( )⇔t=ln 5( ) 0,12 f t( )=10⇔50e^−0,12t =10⇔e^−0,12t = 1

5⇔ −0,12t= −ln 5( )⇔t= ln 5( ) 0,12. Comme ln 5( )

0,12 ≈13,41, la quantité d’antibiotique dans le sang sera de 10 mg · L^–1 au bout d’environ 13 heures et 25 minutes.

3. lim

t→+`−0,12t= −` et lim

X→−`e^X =0.

t→+`f t( )=0. À long terme, la quantité d’antibiotique dans le sang sera nulle.

Questions Moderato

1. y’= −ky, les solutions de l’équation différentielle sont les fonctions g définies sur [0 ; +`[^{par g t}( )=Ce^−kt, où C est une constante réelle. Or g( )0 =80⇔C=80. Donc g t( )=80e^−kt.

2. g( )λ =40⇔80e^−kλ=40⇔e^−kλ = 1

2⇔ −kλ = −ln 2( )⇔k=ln 2( ) λ g( )λ =40⇔80e^−kλ=40⇔e^−kλ = 1

2⇔ −kλ = −ln 2( )⇔k= ln 2( ) λ . 3.