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PROBABILITES (lois à densité) – FEUILLE D’EXERCICES
Ü Loi uniforme Exercice1 :
A partir de 7 heures le matin, les bus passent toutes les quinze minutes à un arrêt précis.
Un usager se présente à cet arrêt entre 7h et 7h30. On fait l'hypothèse que l'heure exacte de son arrivée à cet arrêt, représentée par le nombre de minutes après 7h, est la variable aléatoire uniformément répartie sur l'intervalle [0, 30].
1. Quelle est la probabilité que l'usager attende moins de cinq minutes le prochain bus ? 2. Quelle est la probabilité qu'il attende plus de dix minutes ?
Exercice A : Temps de trajet domicile-hôpital
Tout le personnel d’un hôpital a un temps de trajet domicile-hôpital au plus égal à une heure et on suppose que la durée exacte du trajet est une variable aléatoire uniformément répartie sur [0; 1].
On interroge au hasard un membre du personnel de cet hôpital.
Quelle est la probabilité pour que la personne interrogée ait une durée de trajet comprise entre 15 min et 20 min ?
Exercice 2 :
Olivier vient tous les matins entre 7h et 7h 45 chez Karine prendre un café.
1. Sachant qu'Olivier ne vient jamais en dehors de la plage horaire indiquée et qu'il peut arriver à tout instant avec les mêmes chances, quelle densité peut-on attribuer à la variable aléatoire « heure d'arrivée d'Olivier »
?
2. Calculer la probabilité qu'Olivier sonne chez Karine :
a) Après 7h30 b) Avant 7h10 c) Entre 7h20 et 7h22 d) A 7h30 exactement.
3. Calculer l’heure moyenne d’arrivée d’Olivier.
Ü Loi exponentielle Exercice 3 : Guyane 2015
Le temps d’attente en minutes à un péage est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre 𝜆 = 0,2 (exprimé en min–1).
En moyenne, une personne attend à ce péage :
a. 2 min b. 5 min c. 10 min d. 20 min
Exercice B : Temps d’attente au restaurant Un restaurant fonctionne sans réservation mais le temps d’attente pour obtenir une table est souvent un problème pour les clients.
On modélise ce temps d’attente en minutes
par une variable aléatoire 𝑋 qui suit une loi exponentielle de paramètre 𝜆 où 𝜆 est un réel strictement positif.
On rappelle que l’espérance mathématique de 𝑋 est égale à ,-.
Une étude statistique a permis d’observer que le temps moyen d’attente pour obtenir une table est de 10 minutes.
1) Déterminer 𝜆.
2) Quelle est la probabilité qu’un client attende entre 10 et 20 minutes pour obtenir une table ? On arrondira à 10./.
3) Quelle est la probabilité qu’un client attende plus de 5 minutes ? Arrondir à 10./.
2 Exercice 4 : Nouvelle Calédonie 2015
On considère la production d’une usine de composants électroniques. On admet que la durée de fonctionnement sans panne (en années) de ces composants peut être modélisée par une variable aléatoire 𝑋 suivant la loi
exponentielle de paramètre 𝜆 = 0,1.
La probabilité qu’un composant pris au hasard soit tombé en panne au bout de 6 ans est, au centième près, de :
a. 1,6 b. 0,55 c. 0,45 d. 0,05
Exercice 5 : Métropole septembre 2015
Un sismologue déclare en janvier 2014 : le « risque d’un séisme majeur le long de la faille de San Andreas, en Californie, dans les vingt prochaines années est supérieur à 70% ».
On s’intéresse au temps, exprimé en années, écoulé entre deux séismes majeurs le long de cette faille en Californie. On admet que ce temps est une variable aléatoire 𝑋 qui suit une loi exponentielle de paramètre 𝜆.
Document 1
La faille de San Andreas, en Californie : séismes majeurs de magnitude supérieure ou égale à 5.
Document 2
1. Pour illustrer la situation, un élève utilise un tableur.
a. Proposer un titre pour la cellule A2 grisée.
b. Quelle formule a saisi l’élève dans la cellule C2 afin de compléter ce tableau jusqu’à la colonne S par « recopie automatique vers la droite » ?
2. a. Calculer en années la moyenne 𝑚, arrondue à 10.4 près, du temps écoulé entre deux séismes majeurs le long de la faille de San Andreas en Californie.
b. Justifier qu’une approximation du paramètre 𝜆 de la loi exponentielle suivie par la variable aléatoire 𝑋 est 0,0694.
3. a. Calculer 𝑝(𝑋 ≤ 20) à 10.4 près.
c. L’affirmation du sismologue paraît-elle cohérente avec cette modélisation par une loi exponentielle ?
4. Le dernier séisme majeur a eu lieu en 2014 à Napa. Calculer la probabilité qu’il n’y ait pas d’autres séismes majeurs le long de la faille de San Andreas, en Californie, avant 2050.
On arrondira à 10.4 près.
5. a. Résoudre l’équation 1 − 𝑒.<,<=>/? = 0,95 b. Interpréter ce résultat.
3 Ü Loi normale
Exercice 6 : Métropole septembre 2015
La variable 𝑋 suit la loi normale d’espérance 3 et d’écart-type 6.
La probabilité 𝑝(𝑋 < 3) vaut :
a. 3 b. 0,5 c. 0 d. 0,997
Exercice C : Loi normale
1) Le poids des nouveau-nés à la naissance est une variable aléatoire qui peut être modélisée par une loi normale de moyenne 𝜇 = 3,3 kg et d’écart-type 𝜎 = 0,5 kg.
Quelle est la probabilité qu’un nouveau-né pèse moins de 2,5 kg à la naissance ?
2) Les températures du mois de juillet, autour du lac Léman, suivent la loi normale d’espérance 18,2°C et d’écart-type 3,6°C. Une personne part camper en juillet autour du lac Léman.
Lui indiquer la probabilité qu’un jour, la température en juillet…
a) … soit inférieure à 10°C.
b) … soit comprise entre 15°C et 22°C.
c) … soit supérieure à 20°C.
Exercice 7 : Métropole juin 2015
Une entreprise achète du sucre et le revend après conditionnement à des grossistes pour le marché de la grande distribution. Les résultats seront arrondis à 10.E près.
1. Une machine de l’usine conditionne des paquets de sucre en poudre de 1 kg. La masse 𝑀 en grammes d’un paquet est une variable aléatoire qui suit une loi normale de moyenne 𝑚 = 1000 et d’écart-type 𝜎 = 7.
a. Calculer 𝑝(995 ≤ 𝑀 ≤ 1005).
b. Un paquet est refusé si sa masse est inférieure à 990 grammes.
Quelle est la probabilité pour qu’un paquet conditionné par cette machine soir refusé ?
Dans la suite de l’exercice, on arrondit à 0,08 la probabilité 𝑝 pour qu’un paquet conditionné dans l’usine soit refusé. Ainsi 𝑝 = 0,08.
On s’intéresse au stock journalier de paquets conditionnés dans l’usine.
2. On prélève au hasard 100 paquets parmi le stock. Le stock est suffisamment important pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise.
On note 𝑋 la variable aléatoire égale au nombre de paquets à rejeter dans cet échantillon.
a. Quelle est la loi de probabilité de 𝑋 ? On donnera ses paramètres.
b. Quelle est la probabilité qu’exactement 3 paquets parmi ces 100 paquets soient refusés ? c. Calculer la probabilité que, parmi ces 100 paquets, 5 ou plus soient refusés ?
Exercice 8 : Nouvelle Calédonie 2015 Les résultats seront arrondis à 10./ près.
1. Dans une usine, une machine remplit automatiquement avec de l’huile de moteur des bidons pouvant contenir au maximum 102 litres. Pour pouvoir être commercialisé, un bidon doit contenir au moins 98 litres d’huile.
La quantité d’huile, exprimée en litres, fournie par la machine, peut être modélisée par une variable aléatoire 𝑋 qui suit une loi normale d’espérance 𝜇 = 100 et d’écart-type 𝜎 = 0,8.
a. Déterminer la probabilité de l’événement « 𝑋 > 102 » et interpréter ce résultat.
b. Déterminer le pourcentage de bidons qui ne pourront pas être commercialisés en expliquant votre démarche.
2. On estime que 99,4% des bidons sont remplis correctement.
4 Soit 𝑌 la variable aléatoire qui, à chaque lot de 30 bidons prélevés au hasard dans la production de l’usine, associe le nombre de bidons non correctement remplis. Le stock est suffisamment important pour que ce prélèvement soit assimilé à un tirage avec remise.
Après avoir précisé la loi suivie par 𝑌, calculer la probabilité qu’il y ait au plus un bidon non- correctement rempli dans un lot de 30 bidons.
Exercice 9 : Concours ENI – GEIPI – POLYTECH Ti2D 2015
Dans tout l’exercice, pour chaque probabilité ou chaque pourcentage demandé, on donnera une valeur approchée à 10.E près.
Partie A
Une étude sur tous les nageurs français de haut niveau a montré que leur taille, mesurée en centimètres, pouvait être représentée par une variable aléatoire 𝑋 suivant la loi normale de moyenne 𝑚 = 190 et d’écart-type 𝜎 = 7.
On choisit au hasard un nageur français de haut niveau.
1. Donner la probabilité 𝑝, que ce nageur mesure plus de 195 cm.
2. Donner la probabilité 𝑝4 que ce nageur mesure moins de 180 cm.
3. Donner la probabilité 𝑝E que ce nageur mesure entre 180 cm et 195 cm.
Partie B
Le tableau ci-dessous donne la taille, en centimètres, et le poids, en kilogrammes, d’un échantillon de 14 nageurs français de haut niveau. La taille et le poids de chaque nageur sont arrondis à une unité près.
1. Donner le poids moyen 𝑚I et la taille moyenne 𝑚? de cet échantillon.
2. Donner le pourcentage 𝑄, de nageurs de cet échantillon qui mesurent entre 186 cm et 190 cm.
3. Donner le pourcentage 𝑄4 de nageurs de cet échantillon qui pèsent plus de 91 kg.
4. Donner le pourcentage 𝑄E de nageurs de cet échantillon qui pèsent moins de 91 kg et et mesurent plus de 186 cm.
Partie C
On considère maintenant la population totale des nageurs français ayant une licence de natation. On suppose que la probabilité qu’un nageur, choisi au hasard dans cette population, pèse plus de 91 kg est égale à 0,3.
Un entraîneur doit constituer, pour une compétition amicale, une équipe de 10 nageurs. Pour cela, il choisit au hasard 10 nageurs dans la population décrite ci-dessus.
On suppose que cette population est suffisamment importante pour que les choix des nageurs puissent être supposés indépendants les uns des autres.
On note 𝑌 la variable aléatoire représentant, parmi les 10 nageurs choisis, le nombre de nageurs pesant plus de 91 kg.
1. 𝑌 suit une loi binomiale. Donner les paramètres de cette loi.
2. Donner la probabilité 𝑅, que l’équipe ne contienne aucun nageur pesant plus de 91 kg.
3. Donner la probabilité 𝑅4 que l’équipe contienne au moins un nageur pesant plus de 91 kg.
