Cours de mathématiques

Cours de mathématiques

Chapitre 14

Courbes paramétrées

Le hinois paramétré :

x(t) = sin(2t) − 6 sin(5t) y(t) = cos ⁵ (4t) − 1, 1 cos(t)

Extrait du blog de Guy Marion. Meri à lui pour toutes es infos.

http://abmathsblog.blogspot.om/

Aymar de Saint-Seine

Année scolaire 2011–2012

1.

Position du problème

1.1.

Point de vue analytique

Une paraboled'axe de symétrie l'axe des ordonnées ouune hyperbole entrée à l'origine

sont les représentations graphiques de fontions d'une variable réelle à valeurs dans R.

Préisément, e sont,dans le plan muni d'un repère, lesensembles de pointsde oordon-

nées

(x; x ² )

^et

(x; _x ¹ )

^{.Danslesdeuxas, l'ordonnéed'unpointde laourbedépend deson}

absisse. Une onséquene direte est qu'àune absisse donnée orrespond aumaximum

un seul point de la ourbe.

Le notion de représentation graphique de fontion d'une variable réelleà valeurs dans R

nesutdonpaspourmodélisertouteslesourbesquel'onpeuttraerdansunplanmuni

d'un repère. Par exemple, un erle n'est la représentation graphique d'auune fontion

d'une variable réelle à valeurs dans R.

Considérons par exemple un erle

C

de rayon 2 et de entre l'origine du repère. Son équation est

x ² + y ² = 4,

e qui donne

y = √

4 − x ²

^{ou bien}

y = − √

4 − x ²

^{. Le erle}

C

est don la réunion des représentations graphiques de es deux fontions.

Il existe une autre façonde modéliser e erle. Soit

I

l'intersetion de

C

ave l'axe des absisses, et

M

^{un point quelonque du erle. Notons}

t

^{la mesure en radians de l'angle}

( ⁻ OI; ^{− −→ −} OM ^{− − − − − − →} )

^.

O ~ı

~

b M

b I

2 cos t 2 sin t

t

On onstate alors que

− − − − − − − →

OM = 2 cos t~ı + 2 sin t~

^{. Autrement dit, les oordonnées du point}

M

^sont

x = 2 cos t y = 2 sin t

Les deux oordonnées dépendant d'un paramètre

t

^{, e système est appelé} représentation paramétrique de

C

.

1.2.

Point de vue inématique

Premier as : Un point

M

^{se déplae sur un axe.}

M (t) x(t) 0

La variable

t

^{représentele temps.}

qui à un nombre réel (le temps)assoieun nombre réel (l'absisse de

M

^).

Deuxième as :

M

^{est un point du plan.}

1 2 3

− 1 1 2 3 4 5

− 1

b

M(t)

La position de

M

^{est xée par deux fontions de}

t

^:

x(t)

^et

y(t)

^.

On note

M (t)

^{pour le point de oordonnées}

M (x(t); y(t))

^{. On a une fontion de R dans}

R

2

qui à

t

^faitorrespondre deux nombres réels.

1.3. Dénition

Définition 1 : Fonction d’une variable réelle à valeur dans

^R

² .

Soit

f

^et

g

^{deuxfontions de R dans R.}

On dénit une nouvelle fontion

F

^{, qui a tout nombre réel}

t

^{assoie le ouple de}

nombre réels

(f (t); g(t))

^.

Cette fontion est dite d'une variable réelle et à valeurs dans R

2

.

F : I ⊂ R 7→

^R

²

t 7→ (f (t); g(t))

A ette fontion, on assoie l'ensemble des points

M(t)

^{de oordonnées}

(f (t); g (t))

appellé ourbe paramétrée

( C )

^.

t

^{est le paramètre.}

les relations

x = f (t)

^et

y = g(t)

^{onstituent e que l'on appelle une représenta-}

tion paramétrique de

( C )

^.

Exemple : On onsidère laourbe dénie paramétriquement, pour

t ∈ [0; 3]

^par

x(t) = 4 − t ²

y(t) = t

On peut aluler et plaer les points

M (0)

^,

M (1)

^,

M (2)

^,

M (3)

^{, ... On obtient le traé}

suivant :

1 2 3

− 1 1 2 3 4 5

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

b

M (0)

b

M (1)

b

M (2)

b

M (3)

2.

Etude d'une ourbe paramétrée

2.1. Dérivation

Théorème 1 : Dérivation

Soit

F

^{une fontion d'une variable réelle à valeur dans R}

²

^.

F : I ⊂ R 7→

^R

²

t 7→ (f (t); g(t))

La fontion

F

^{est dérivable au point}

t 0

^{si et seulement si}

f

^et

g

^{sont dérivable en}

t ₀

^.

Si

F

^{est dérivable en tout point de}

I

^{, alors la fontion dérivée de}

F

^{est la}

fontion dénie sur

I

^par

F ^′ (t) = (f ^′ (t); g ^′ (t)).

•

^Si

F ^′ (t 0 ) = (f ^′ (t 0 ); g ^′ (t 0 )) 6 = (0; 0)

^,lepoint

M (t 0 )

^{estditordinaire.}

(f ^′ (t 0 ), g ^′ t( 0 ))

estun veteur direteur et

f ^′ (t 0 )

g ^′ (t 0 )

^{leoeient direteurde latangente à}

C

en

M(t 0 )

^.

•

^Si

f ^′ (t 0 ) = 0

^et

g ^′ (t 0 ) 6 = 0

^{, la tangente est vertiale (parallèle à}

(Oy)

^).

•

^Si

f ^′ (t 0 ) 6 = 0

^et

g ^′ (t 0 ) = 0

^{, la tangente est} horizontale (parallèle à

(Ox)

^).

•

^Si

F ^′ (t ₀ ) = (f ^′ (t ₀ ); g ^′ (t ₀ )) = (0; 0)

^{, le point}

M (t ₀ )

^{est dit singulier.}

Exemple : On onsidère laourbe dénie paramétriquement pour

t ∈ [0; 1]

^{par :}

F : t 7→

x(t) = − 6t ³ + 6t ² y(t) = − 6t ² + 6t

Calul des dérivées de

x(t)

^et

y(t)

^:

F ^′ : t 7→

x ^′ (t) = − 18t ² + 12t = 6t( − 3t + 2) y ^′ (t) = − 12t + 6 = 6( − 2t + 1)

Tableaudes variationsonjointes de

x

^et

y

^:

t

x ^′ (t) x(t)

y(t) y ^′ (t)

0 ¹ ₂ ² ₃ 1

0 + ³ ₂ + 0 − − 6

00

8 9 8 9

00

1 2

3 4

00

3 2 3 2

00

2 3

4 3

6 + 0 − − 2 − − 6

Pour

t = 1

2

^{, on a une tangente} horizontale ar

y ^′ ( 1

2 ) = 0

^{. C'est au point de oordonnées}

( 3

; 3

)

Pour

t = 0

^et

t = 2

3

^{, on a une tangente vertialear}

x ^′ (0) = x ^′ ( 2

3 ) = 0

^{. C'est aux points}

de oordonnées

(0; 0)

^et

( 8 9 ; 4

3 )

^.

Le point

O(0, 0)

^{est un point double ar obtenu pour}

t = 0

^et

t = 1

^.

( − 6; − 6)

^{est un}

veteur direteur de l'autre tangente en

(0; 0)

^.

1

Uneéquation de latangenteen

t = 1

^{est de la forme}

y = ax + b

^.

a = x ^′ (1) y ^′ (1) = − 6

− 6 = 1

^.Le

point

M (1)

^{apouroordonnée}

(0; 0)

^{estsurettetangentedon}

b = y − ax = 0 − 1 × 0 = 0

^.

L'équation de la tangenteen

t = 1

^est

y = x

^.

2.2. Rédution de l'intervalle d'étude

On onsidère une fontion paramétrée

F

F : D 7→

^R

² t 7→

x(t) y(t) Théorème 2 : Période

Si

x(t)

^et

y(t)

^{sont des fontions de période}

T x

^et

T y

^{, la période de la ourbe est le}

PPCM (plus petit ommun multiple) de

T x

^{et de}

T y

^.

Théorème 3 :

Si lemilieudu domaineDest

α

^{, onpeut leréduirede moitiédans lesas suivants:}

• ∀ t ∈ D, x(α − t) = x(α + t)

^et

y(α − t) = y(α + t)

Dans e as, laourbe est traée 2 fois.

• ∀ t ∈ D, x(α − t) = − x(α + t)

^et

y(α − t) = y(α + t)

Dans e as, laourbe est symétrique par rapport à l'axe

Oy

^.

• ∀ t ∈ D, x(α − t) = x(α + t)

^et

y(α − t) = − y(α + t)

Dans e as, laourbe est symétrique par rapport à l'axe

Ox

^.

• ∀ t ∈ D, x(α − t) = − x(α + t)

^et

y(α − t) = − y(α + t)

Dans e as, laourbe est symétrique par rapport au point O.

• ∀ t ∈ D, x(α − t) = y(α + t)

^et

y(α − t) = x(α + t)

Dans e as, laourbe est symétrique par rapport à l'axe

y = x

^.

Remarque: Si

α = 0

^{, il s'agit de fontions paires ou impaires.}

Exerie résolu 1 :

On onsidère laourbe dénie paramétriquementpour

t ∈ [0; 1]

^{par :}

x(t) = cos(3t)

y(t) = sin(2t)

^pour

t ∈

^R

1

^.

a

^{. Comparer}

M(t)

^et

M (t + 2π)

^.

b

^{. Comparer}

M(t)

^et

M ( − t)

^.

c

^{. Comparer}

M(t)

^et

M (t + 2π)

^.

d

^{. Comparer}

M(t)

^et

M (t + 2π)

^.

2

^{. Établir letableau des variations onjointes.}

3

^{. Traer la ourbe.}

Solution :

1

^.

a

^.

M(t + 2π)

^{a pour oordonnées :}

x(t + 2π) = cos(3(t + 2π)) = cos(3t + 6π) = cos(3t) = x(t) y(t + 2π) = sin(2(t + 2π)) = sin(2t + 4π) = sin(2t) = y(t)

M(t + 2π)

^et

M (t)

^{sont onfondus. Il sut de faire une étude de la ourbe}

sur

[ − π; +π]

^{pour laonnaître en entier.}

b

^.

M( − t)

^{a pour oordonnées:}

x( − t) = cos(3( − t)) = cos( − 3t) = cos(3t) = x(t) y( − t) = sin(2( − t)) = sin( − 2t) = − sin(2t) = − y(t)

M( − t)

^et

M (t)

^sontsymétriquesparrapportà

(Ox)

^.Quand

t

^parourt

[0; π]

^,

− t

^parourt

[ − π; 0]

^{.Il sutde faireune étudede laourbesur}

[0; π]

^{puis de}

faire une symétrie d'axe

(Ox)

^{du moreau obtenu pour onnaître la ourbe}

sur

[ − π; π]

^.

c

^.

M(π − t)

^{a pour oordonnées :}

x(π − t) = cos(3(π − t)) = cos(3π − 3t) = cos(π − 3t) = − cos(3t) = − x(t) y(π − t) = sin(2(π − t)) = sin(2π − 2t) = sin( − 2t) = − sin(2t) = − y(t) M(π − t)

^et

M (t)

^sont symétriques par rapport à

O

^{. Quand}

t

^parourt

[0; π

2 ]

^,

π − t

^parourt

[ π

2 ; π]

^{. Ilsutde faireuneétudede laourbesur}

[0; π 2 ]

puis de faireune symétrie de entre

O

^{du moreau obtenu pour onnaître la}

ourbe sur

[0; π]

^.

2

^{. L'étude des variations onjointes donne:}

t x ^′ (t)

x(t)

y(t) y ^′ (t)

0 ^π ₄ ^π ₃ ^π ₂

0 − − 0 +

11

− 1

− 1

00

π 4

-

√ 2 2

00

1 1

00

π 3

√ 3 2

+ 0 − −

Suite de la solution :

3

^{. On obtient}suessivement :

1

− 1

− 1 1

[0; π 2 ]

1

− 1

− 1 1

[0; π]

1

− 1

− 1 1

[ − π; π]

2.3. Les limites

On étudiera leslimites aux bornes ouvertes du domained'étude. Les branhes innies se

déterminent omme pour les ourbes lassiques, sauf qu'on alule les limites de

x

^{et de}

y

^{par rapportà}

t

^.

2.4.

Compléments

Théorème 4 : Longueurs d’une courbe paramétrique

La longueur d'une ourbe pour

t ∈ [a, b]

^{est donnée par :}

l =

Z b a

p (x ^′ (t)) ² + (y ^′ (t)) ² dt

Théorème 5 : aires d’une courbe paramétrique

Si

A

^et

B

^{sont les points} orrespondant à

t = a

^et

t = b

^{, l'aire omprise entre la}

ourbe et les segments

[OA]

^et

[OB]

^{(dans le sens de}

[OA]

^vers

[OB ]

^{) est donnée}

par :

S = 1 2

Z b a

x(t) x ^′ (t)

y(t) y ^′ (t)

^d

t = 1 2

Z b

a | x(t)y ^′ (t) − y(t)x ^′ (t) |

^d

t

3.

Autres types de représentation paramétrique

3.1.

Courbe plane et fontions à valeurs omplexes

Dans la plan omplexe, le point

M

^d'axe

f(t) +

ⁱ

g(t)

^{a pour absisse}

f (t)

^{et pour}

ordonnée

g (t)

^{.Paronséquent,}

Théorème 6 :

Laourbe

C

représentative dansleplan omplexemuni d'unrepère orthonormal,de la fontion

t 7→ f (t) +

ⁱ

g(t)

^{est laourbe dénie par la} représentation graphique :

x = f (t) y = g(t)

3.2.

Courbe plane en oordonnées polaires

Dansleplan omplexe,lepoint

M

^d'axe

ρ(t)

^ei

^ϕ(t)

^{apour absisse}

ρ(t) cos(ϕ(t))

^etpour

ordonnée

ρ(t) sin(ϕ(t))

^{. Par onséquent,}

Théorème 7 :

Laourbe

C

représentative dansleplan omplexemuni d'unrepère orthonormal,de la fontion

t 7→ f (t) +

ⁱ

g(t)

^{est laourbe dénie par la} représentation graphique :

x = ρ(t) cos(ϕ(t)) y = ρ(t) sin(ϕ(t))

Exerie résolu 2 :

Soit

F

^{lafontion dénie par}

F (t) = t ²

^ei

^t

^pour

t ∈ [ − π; +π]

^.

1

^{. Etudier les variationsdes fontions assoiées au module et à l'argument de}

F (t)

et donnerle tableaudes variationsonjointes.

2

^{. Construire la ourbe}

( C )

^{dans un repère} orthonormal

(O; ~

i

,~

^j

)

^{d'unité graphique}

5m.

Solution :

1

^{. On a}

ρ(t) = t ²

^et

ϕ(t) = t

t ρ ^′ (t)

ρ(t)

ϕ(t) ϕ ^′ (t)

− π 0 +π

-

0

+

π ² π ²

00

π ² π ²

− π

− π

π π

+

Suite de la solution :

2

^{. On alule lesoordonnées de plusieurspoints eton obtient :}

1 2 3 4

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

− 7

− 8

− 9

− 10

Lorsque

ρ(t)

^{déroit,le point}

M(t)

^{se rapprohe de l'origineet lorsque}

ρ(t)

^roit,

il s'en éloigne.

Lorsque

ρ ^′ (t)

^{s'annule, la ourbe présente une tangente}perpendiulaire à

(OM)

^.

4. Exeries

4.1. Courbes en oordonnées artésiennes

14.1 (O; ~

i

,~

^j

)

^{est un repère} orthonormal du plan (unité graphique : 1 m). A haque valeurdu réel

t

^{de l'intervalle}

[ − 1; 3]

^{,on assoie lepoint}

M

^{de oordonnées :}

x = f (t) = 2t ³ − 3t ² . y = g(t) = 4t − t ² . ( C )

^{est la ourbe déritepar lepoint}

M

^.

1

^{. Etudier sur} l'intervalle

[ − 1; 3]

^{, lesens de variations des fontions}

f

^et

g

^.

2

^{. Dresser letableau des variationsonjointes de}

f

^et

g

^.

3

^{. Indiquer dans letableaules valeurs de}

f ^′ (t)

^,

g ^′ (t)

^,

f(t)

^et

g(t)

^pour

t = − 1; 0; 1; 2

^.

4

^{. Traer la ourbe}

( C )

^.

14.2

^{On se plaedans le plan muni d'un repère} orthonormal

(O; ~

i

,~

^j

)

^{(unitégraphique :}

2 m).

A haque valeur du nombre réel

t

^dans

[ − 1; 3]

^{onassoiele point}

M(t)

^{de oordonnées :}

x(t) = t ²

y(t) = t ² − 3t

Le point

M(t)

^{dérit une ourbeque l'on note}

( C )

^.

1

^{. Étudier,sur}l'intervalle

[ − 1; 3]

^{,lesensdevariationdesfontionsdéniespar}

t 7→ x(t)

et

t 7→ y(t)

^{.On donneralesrésultatsdans untableauà5lignesexposantlesvaleurs}

importantes de

t

^{,le signe des fontions dérivées}

x ^′

^et

y ^′

^{etles variationsde}

x

^et

y

^.

2

^{. Traer les tangentes à}

( C )

^{aux points}

M t

^{pour les valeurs}

− 1

^,

0

^,

³ ₂

^et

3

^de

t

^{, puis}

traer la ourbe

( C )

^.

3

^{. On admet que si}

A

^et

B

^{sont les points} orrespondant à

t = a

^et

t = b

^{, l'aire}

omprise entre la ourbe et les segments

[OA]

^et

[OB]

^{(dans le sens de}

OA

^vers

OB

^{) est donnée par :}

A = 1 2

Z b

a | f(t)g ^′ (t) − f ^′ (t)g(t) |

^d

t

On note

A

^{le point de}

( C )

^d'absisse

0

^et

B

^{le point de}

( C )

^d'absisse

9

^.

a

^{. Déterminerles paramètresrespetifs}

t ₁

^et

t ₂

^{des points}

A

^et

B

^.

b

^{. Déterminer l'aire omprise entre}

( C )

^{et les segments}

[OA]

^et

[OB]

^{(dans le}

sens de

OA

^vers

OB

^).

14.3

^{Soit unrepère} orthonormal

(O; ~

i

,~

^j

)

^{,d'unité graphique2men absisseet1men}

ordonnée.

1

^{. Soit}

( C ₁ )

^{l'ar de ourbedont une} représentation paramétriqueest

x = f ₁ (t) = 6t − 6t ² .

y = g 1 (t) = 24t − 15t ² .

^pour

t ∈ [0; 1]

a

^{. Etudier lesvariations de}

f ₁

^et

g ₁

^pour

t

appartenant à

[0; 1]

^.

b

^{. Vérierqueetardeourbeapourextremitélespoints}

O

^et

A

^{deoordonnées}

(0; 0)

^et

(0; 9)

^.

c

^{. Donner une équation de la tangente àl'ar de laourbe aupoint}

O

^.

d

^{. Donner les oordonnées des points en lesquels la ourbe admet des tangentes}

parallèlesaux axes.

2

^{. Soit}

( C ₂ )

^{l'ar de ourbedont une} représentation paramétriqueest

x = f ₂ (t) = − 4t + 4t ² .

y = g ₂ (t) = 14t − 5t ² .

^pour

t ∈ [0; 1]

a

^{. Etudier lesvariations de}

f ₂

^et

g ₂

^pour

t

appartenant à

[0; 1]

^.

b

^{. Vérierqueetardeourbeapourextremitélespoints}

O

^et

A

^{deoordonnées}

(0; 9)

^.

c

^{. Donner une équation de la tangente àl'ar de laourbe aupoint}

O

^.

d

^{. Donner les oordonnées des points en lesquels la ourbe admet des tangentes}

parallèlesaux axes.

3

^{. Vérier qu'au point}

A

^{les deux ourbes ont mêmetangente.}

4

^{. Traer dans le repère donné lestangentes etles deux ars de ourbe.}

4.2.

Rédution de l'intervalle d'étude

14.4

^Soit

( C )

^{laourbedénie dans un repère} orthonormalpar

x = 4 cos(t) sin ² (t)

y = 4 sin(t) cos ² (t)

^pour

t ∈

^R

On appelle

M (t)

^{le point de}

( C )

^{dénipar lavaleur}

t

^{du paramètre.}

1

^.

a

^{. Préiser la} transformation pontuelle, transformant, quel que soit le réel

t

^{, le}

point

M(t)

^{en :}

M(t + 2π) ; M( − t) ; M (π − t) ; M( π 2 − t) b

^{. Quellerédution} d'intervallepeut-on déduire?

2

^.

a

^{. Linéariser}

cos ³ (t)

^et

sin ³ (t)

^.

b

^{. Montrer que}

x ^′ (t) = 3 sin(3t) − sin(t)

^{et que}

y ^′ (t) = 3 cos(3t) + cos(t)

^.

c

^{. Dresser un tableau des variationsonjointes de}

x

^{et de}

y

^pour

t ∈ h

0; π 4 i

.

3

^{. Donner un veteurdireteur destangentes auxpointsde paramètres}

t = 0

^et

t = π 4 4

^{. Traer es veteurs ainsi que la ourbe}

( C )

^pour

t ∈ h

0; π 4 i

. (unité graphique 2,5

m).

5

^{. Terminer laonstrution de}

( C )

^.

14.5

^Soit

( C )

^{laourbedénie dans un repère} orthonormalpar



 

 

x = t 1 + t ⁴ y = t ³

1 + t ⁴

pour

t ∈

^R

On appelle

M (t)

^{le point de}

( C )

^{dénipar lavaleur}

t

^{du paramètre.}

1

^.

a

^{. Comparer les positions, pour}

t 6 = 0

^{, des points}

M( − t)

^et

M ( 1

t )

^{par rapport à}

elle de

M (t)

^.

b

^{. Quellerédution} d'intervallepeut-on déduire?

2

^{. Etudier lesvariationsde}

x

^{et de}

y

^pour

t ∈ [0; 1]

^{. Dresser un tableaudes variations}

onjointes.

3

^{. Donner un veteur direteur des tangentes aux points}

M(0)

^et

M (1)

^.

4

^{. Traer es veteurs ainsiquelaourbe}

( C )

^pour

t ∈ [0; 1]

^{.(unité graphique10m).}

5

^{. Terminer laonstrution de}

( C )

^.

14.6

^Soit

( C )

^{laourbedénie dans un repère} orthonormalpar

( x = 2 sin(t + π 6 ) y = sin(3t)

pour

t ∈

^R

On appelle

M (t)

^{le point de}

( C )

^{dénipar lavaleur}

t

^{du paramètre.}

1

^.

a

^{. Montrer que pour tout}

t ∈

^R,

M (t + 2π) = M(t)

^.

b

^{. Comparer lespositionsdes points}

M (t)

^et

M (t + π)

^.

c

^{. Comparer lespositionsdes points}

M ( π

3 + t)

^et

M ( π 3 − t) d

^{. Montrer que l'on peut réduire} l'intervalled'étude à

t ∈

π 3 ; 5π

6

?

2

^{. Etudier lesvariationsde}

x

^{et de}

y

^pour

t ∈ π

3 ; 5π 6

. Dresser un tableau des varia-

tions onjointes.

3

^{. Donner un veteur direteur des tangentes aux points :}

M( π

3 ) ; M ( π

2 ) ; M ( 2π

3 ) ; M( 5π 6 )

4

^{. Traer es veteurs ainsi que la ourbe}

( C )

^pour

t ∈ π

3 ; 5π 6

. (unité graphique 5

m).

5

^{. Terminer laonstrution de}

( C )

^.

14.7

^{Le plan est muni d'un repère} orthonormal

(O; ~

i

,~

^j

)

^{d'unité graphique1m.}

On note

( C )

^{la ourbe déniepar les équations}paramétriques

( f (t) = ln(t) g(t) = 1

2 (t + 1

t ).

^pour

t ∈ ]0; + ∞ ] 1

^.

a

^{. Comparer}

f( 1

t )

^et

f(t)

^;

g( 1

t )

^et

g (t)

^.

b

^{. Que peut-on en dire pour lespoints}

M (t)

^et

M ( 1 t )

^?

c

^{. Endéduire une rédution de l'intervalled'étude.}

2

^{. Etudier lesvariationsde}

f

^et

g

^pour

t

appartenant à

]0; 1]

^.

3

^{. Traer l'ar de ourbe} orrespondant puis la ourbe entiere.

4

^{. On note}

A

^{le point de}

( C )

^d'absisse

0

^et

B

^{le point de}

( C )

^d'absisse

1

^.

a

^{. Déterminerles paramètresrespetifs}

t ₁

^et

t ₂

^{des points}

A

^et

B

^.

b

^{. On admet quela longeur,en m, de l'ar}

AB

^{est :}

l = Z t ₂

t ₁

q

[f ^′ (t)] ² + [g ^′ (t)] ²

^d

t

Caluler

l

^.

4.3.

Quelques appliations

Remarque:On appelleourbe deLissajous(physiienfrançais1822-1880)touteourbe

dénie paramétriquement par :

x(t) = a cos(ω 1 t + ϕ 1 ).

y(t) = b cos(ω 2 t + ϕ ₂ ).

^où

t

^{est un nombre réel}

On peut observer de telles ourbes sur l'éran d'un osillosope lorsqu'on applique des

tensions sinusoïdales en

x

^{et en}

y

^.

En méanique, lesourbes de Lissajousreprésententlatrajetoire d'unpointdont lemou-

vement résulte de la superposition de deux mouvements vibratoires sinusoïdaux de même

entre et ayant des diretions perpendiulaires.

14.8

^{Sur l'éran d'un} osillosope, on observe la ourbe

( C )

^{dérite par un spot dont}

les oordonnéesdans leplan rapporté àun repère orthonormal

(O; ~

i

,~

^j

)

^{d'unitégraphique}

5 ms'expriment en fontion du temps

t

^{par :}

x = f(t) = cos(2t).

y = g(t) = sin(3t).

^pour

t ∈

^R

1

^.

a

^{. Etudierlespositionsrespetives despoints}

M (t)

^et

M (t + 2π)

^{.Endéduireune}

restrition de l'intervalled'étude.

b

^{. Etudier les positions respetives des points}

M( − t)

^et

M (t)

^{. Que peut-on en}

onlure pour laourbe?

c

^{. Etudierlespositionsrespetivesdes points}

M (π − t)

^et

M (t)

^{. Que peut-onen}

onlure pour laourbe?

d

^{. Préiserles}transformationsgéométriquesquipermettentdeonstruirelaourbe entière àpartir de son traé pour

t ∈ [0; π

2 ]

^.

2

^{. Dresser letableau des variationsonjointes de}

f

^{et de}

g

^sur

[0; π 2 ]

^.

3

^{. Traer}

( C )

^.

14.9

^{Le but de et exerie est de onstruire une ourbe dénie} paramétriquement qui intervient dans l'étude du système d'ouverture des portes des abines téléphoniques

publiques.

Dans leplan munid'une repère orthonormé

(O; ~

i

,~

^j

)

^{(unitégraphique2m), onappelle}

Γ

la ourbe dénie paramétriquement par

x = f (θ) = − 2 cos θ y = g(θ) = 4 sin θ

pour

θ

^{élémentde l'intervalle}

[0; ^π ₂ ]

^.

1

^{. Etudierlesensdevariationdehaunedes fontions}

f

^et

g

^{.Réapitulerlesrésultats}

dans un tableauunique.

2

^{. Traer la ourbe}

Γ

^.

3

^{. Vérier que, pour tout nombre réel}

θ

^de

[0; ^π ₂ ]

^,

x ²

4 + y ²

16 = 1.

14.10

^{La yloïde.}

Layloïde est laourbedéritepar unpoint

M

^d'unerle

( C )

^derayon

r

^,roulantsans

glisser sur une droite.

Partie A : Équation de la cycloïde

b Ω

O ^→ i

→ j

Ω 1

A

b

M

→ i

x t

On note

t

^{une mesure de l'angle}

( ⁻ Ω ^{− − − −} 1 ^{− − −} M , ^{− → −} Ω ^{− − − −} 1 ^{− − →} A)

^.

On suppose

M

^{onfondu ave}

O

^quand

t = 0

^.

1

^.

a

^{. Le erle roulant sans glisser, la mesure}

OA

^{est égale à la mesure de l'ar de}

erle

M A

^{; exprimer elle-ien fontion de}

t

^{et de}

r

^.

b

^{. Endéduire lesoordonnées du point}

Ω 1

^{puis elles du veteur}

− − − − − − − →

OΩ 1

^.

2

^{. On a}

( ^→ i ; ⁻ Ω ^{− − − −} 1 ^{− − −} M ^{− →} ) = − π

2 − t

^(à

2π

^{près).Endéduirelesoordonnéesduveteur}

⁻ Ω ^{− − − −} 1 ^{− − −} M ^{− →}

^.

3

^{. En utilisantla relation}

⁻ OM ^{− − − − − − →} = ⁻ OΩ ^{− − − − − − →} 1 + ⁻ Ω ^{− − − −} 1 ^{− − −} M ^{− →}

^{, montrer que lesoordonnées du point}

M

^{sont :}

x = f (t) = rt − r sin(t).

y = g(t) = r − r cos(t).

^pour

t ∈

^R

Partie B : Etude de la courbe

Dans ette partie, on suppose

r = 2

^{. La yloïde est don dénie par la} représentation paramétrique :

x = f(t) = 2(t − sin(t)).

y = g(t) = 2(1 − cos(t)).

^pour

t ∈

^R

1

^{. Caluler}

f (t + 2π)

^et

g (t + 2π)

^{.En déduireune rédution de l'intervalled'étude.}

2

^{. Caluler}

f ( − t)

^et

g ( − t)

^{. En déduireune autre rédution de} l'intervalled'étude.

3

^{. Dresser letableau des variationsonjointes des fontions}

f

^et

g

^.

4

^{. Traer la ourbe (unité graphique: 1m sur haque axe)}

14.11

^{Unréservoirala formed'un} demi-ylindrede rayon0.35 mètresetde longueur 2 mètres.

1

^{. Caluler levolume du réservoir en litres. Donner une valeur approhée à}

10 ⁻²

^près

2

^{. On se propose de déterminerles valeurs de lahauteur}

h

^{de liquide ontenu dans le}

réservoirorrespondantàun volumede liquidede 50litres,100 litres,150litres,...,

350 litres, e quipermettra, ensuite,de réaliserune jauge graduée.

O

I h

M α K N

a

^{. Lenombreréel}

α

^{étantune mesureen radiansde l'angle}

M OI \

^{, montrer quela}

hauteur

h(α)

^{de liquide, en} entimètres, est égale à

h(α) = 35 − 35 cos α.

b

^.

i

^{. Exprimer l'airedu seteur angulaired'ar}

M N

^{en fontion de}

α

^.

ii

^{. Exprimer l'airedu triangle}

M ON

^{en fontion de}

α

^.

iii

^{. Endéduire} l'expression de l'aire du liquide en fontion de

α

^.

iv

^{. Montrerquelevolume}

V (α)

^{de liquide,en litres,ontenudansleréservoir}

est

V (α) = 245α − 122.5 sin 2α.

3

^{. Leplan est muni d'unrepère orthonormé}

(O; ~

i

,~

^j

)

^{(unités:2 mpour5msur l'axe}

des absisse et2 mpour 50litres sur l'axedes ordonnées). On onsidère laourbe

C

d'équations paramétriques dénies pour tout nombre réel

α

^dans

[0; ^π ₂ ]

^par

x = h(α) = 35 − 35 cos α

y = V (α) = 245α − 122.5 sin 2α

a

^{. Étudierlesvariationsde}

h

^etde

V

^sur

[0; ^π ₂ ]

^{etregrouperlesrésultatsdans un}

même tableaude variations.

b

^{. Dresser à l'aide de la alulatrie un tableau de valeurs de}

h

^etde

V

^{pour les}

valeurs de

α

^{suivantes :}

0

^;

₁₆ ^π

^;

^π ₈

^;

^3π ₁₆

^;

^π ₄

^;

^5π ₁₆

^;

^3π ₈

^;

^7π ₁₆

^;

^π ₂

^{. On y feragurer des}

valeurs approhées àl'unité près.

c

^{. Construire laourbe}

C

.

4

^{. Utiliserlaourbe}

C

pour déterminergraphiquementlesvaleursde

h

^{en entimètres}

orrespondant respetivement à

V = 50

^,

V = 100

^,

V = 150

^,...,

V = 350

^{, qui}

permettront ensuite,de onstruire une jauge.

4.4.

Courbes en oordonnées polaires

14.12

^Soit

F

^{la fontion dénie sur}

[1; 4π]

^par

F (t) = ln(t)

^e

^it

^et

Γ

^{sa ourbe représen-}

tative.

1

^{. Etudier sur}

[1; 4π]

^{, lesfontions}

ρ

^et

ϕ

^déniespar

ρ(t) = ln(t)

^et

ϕ(t) = t

^.

2

^{. Donner un tableauunique résumant lesvariationsde}

ρ

^{et de}

ϕ

^.

3

^{. Traer}

Γ

^{. (unité graphique: 1 msur haque axe)}

14.13

^Soit

F

^{la fontion déniesur}

[0; π]

^par

F (t) = sin(t)

^e

^{it 2}

^et

Γ

^{sa ourbe représen-}

tative.

1

^{. Etudier sur}

[0; π]

^{, lesfontions}

ρ

^et

ϕ

^déniespar

ρ(t) = sin(t)

^et

ϕ(t) = t ²

^.

2

^{. Donner un tableauunique résumant lesvariationsde}

ρ

^{et de}

ϕ

^.

3

^{. Traer}

Γ

^{. (unité graphique: 5 msur haque axe)}

14.14

^Soit

F

^{lafontiondéniesur}

[ − π; π]

^par

F (t) = t ² 1 + t ²

^e

2it

et

Γ

^{saourbereprésen-}

tative.

1

^{. Etudier sur}

[ − π; π]

^{, lesfontions}

ρ

^et

ϕ

^déniespar

ρ(t) = t ²

1 + t ²

^et

ϕ(t) = 2t

^.

2

^{. Donner un tableauunique résumant lesvariationsde}

ρ

^{et de}

ϕ

^.

3

^{. Traer}

Γ

^{. (unité graphique: 5 msur haque axe)}

4.5. Annales

14.15

^{Soientles fontions numériques}

x

^et

y

^{de la variableréelle positive}

t

^.

On sepropose d'etudier une solution du système diérentielle :







x ^′ (t) = x(t) − 2y(t).

y ^′ (t) = x(t) − y(t) − 1.

x(0) = 1; y(0) = 0

1

^.

a

^{. On suppose que la méthode utilisant la}transformée de Laplae est appliable pour larésolutionde e système.En utilisantetteméthodeeten notant

X

^et

Y

^lestransformées de Laplaede

x

^etde

y

^{, déterminerlesystème} d'équations vérié par

X

^et

Y

^{, résoudre e système.}

b

^{. Déomposer en éléments simples}

1

p(p ² + 1)

^et

p ² + p + 2 p(p ² + 1)

c

^{. Déterminerles fontions}

x

^et

y

^{solutionsdu système}diérentiel.

2

^{. On onsidère laourbe}

( C )

^{déniepar le système} d'équations paramétriques :

x(t) = 2 + sin(t) − cos(t).

y(t) = 1 − cos(t).

a

^{. Montrer que l'on peut obtenir toute la ourbe}

( C )

^{à partir de l'étude des}

fontions

x

^et

y

^sur

[0; 2π]

^.

b

^{. Etudierlesfontions}

x

^et

y

^{sur et intervalleetregrouperlesrésultatsdansun}

même tableau.

c

^{. Préiserlespointsde laourbe}

( C )

^{oùlatangenteest parallèleàl'un des axes}

du repère.

d ( C )

14.16

^{On note j lenombre omplexe de module}

1

^etd'argument

π 2

^.

On onsidère la fontion

H

^{dénie, pour tout nombre omplexe}

p

^{distint de}

0

^etde

− 1

par :

H(p) = 1 p(p + 1) .

Danstoutelasuitedel'exerie,onprend

p =

^j

ω

^où

ω

^{désigneunnombreréelstritement}

positif.

1

^{. On note}

r(ω)

^{le module du nombre omplexe}

H(

^j

ω)

^{et on onsidère la fontion}

G

dénie pour tout réel

ω

^{stritement positif par :}

G(ω) = 20

ln(10) ln(r(ω)).

a

^{. Montrer que}

G(ω) = − 20

ln(10) ln(ω √

1 + ω ² ).

b

^{. Déterminerles limitesde lafontion}

G

^en

0

^eten

+ ∞

^.

c

^{. Montrer que lafontion}

G

^{est stritement}déroissante sur

]0; + ∞ [

^.

2

^.

a

^{. Montrer qu'un argument}

ϕ(ω)

^de

H(

^j

ω)

^est

ϕ(ω) = − π

2 − arctan(ω)

^.

b

^{. Etudierlesvariationsde lafontion}

ϕ

^sur

]0; + ∞ [

^{.(Onpréisera leslimitesen}

0

^{et en}

+ ∞

^).

3

^{. On onsidère laourbe}

( C )

^{déniepar la} représentation paramétrique:



 

 

x(ω) = − π

2 − arctan(ω).

y(ω) = − 20

ln(10) ln(ω √

1 + ω ² ).

pour

ω

^{réel stritement positif.}

a

^{. Dresser le tableaudes variationsonjointes des fontions}

x

^et

y

^.

b

^{. Reopier et ompléter le tableau de valeur suivant (on donnera des valeurs}

déimales arrondies auentième).

ω 0, 5 0, 7 0, 786 0, 9 1, 5

x(ω) − 2, 24

y(ω) 0

c

^{. Traerlaourbe}

( C )

^{dansunrepère}orthogonal,onprendrapourunitégraphiques 5m sur l'axe des absisses et 1m sur l'axe des ordonnées.

Remarque : La ourbe

( C )

^{orrespond au diagramme de Blak assoié à la fontion de}

transfert

H

^{. Elleindique le gain en fontion du déphasage.}

14.17

^{Onseproposederésoudrelesystèmediérentiel}

(S)

^{suivant,puisd'endéterminer}

une solutionpartiulière.

(S)

x ^′ (t) + 2y(t) = − 2 sin t (E ₁ ) 2x(t) − y ^′ (t) = − 2 cos t (E 2 )

Les fontions

x

^et

y

^{sont des fontions de lavariableréelle}

t

^{,deux fois dérivables sur}

R

^.

Partie A

1

^{. Montrer en utilisant les équations}

(E 1 )

^et

(E 2 )

^{que la fontion}

x

^{vérie, pour tout}

t

^dans

R

^{, l'équation} diérentielle :

x ^′′ (t) + 4x(t) = − 6 cos t (E)

2

^{. Résoudre sur}

R

^l'équation diérentielle

(E)

^{. En déduire les solutions du système}

(S)

^.

3

^{. Déterminer la solution} partiulière du système

(S)

^{vériant les onditions initiales}

x(0) = − 1

^et

y(0) = 0

^.

Partie B

On onsidère laourbe

(Γ)

^{déniepar la}représentation paramétrique

x = f(t) = cos(2t) − 2 cos t y = g(t) = sin(2t) − 2 sin t

où

t

^{est un réel} appartenant àl'intervalle

[ − π , +π]

^.

1

^{. Montrer quela ourbe}

(Γ)

^{admet un axe de symétrie en alulant}

f ( − t)

^et

g( − t)

^.

2

^{. 2.1 Caluler}

f ^′ (t)

^.

Montrer que :

f ^′ (t) = − 4 sin ₂ ^t

cos ^3t ₂

.

2.2 Établir lesigne de

f ^′ (t)

^{sur l'intervalle}

[0 , π]

^.

3

^{. Onadmetque}

g ^′ (t) = − 4 sin ^t ₂

sin ^3t ₂

etquelesignede

g ^′

^{estdonnéparletableau}

suivant :

t 0 ^2π ₃ π

Signe de

g ^′ (t) 0 − 0 +

Dresser sur l'intervalle

[0 , π]

^{letableaudes variationsonjointes des fontions}

f

^et

g

^.

4

^{. Déterminer un veteur direteur de la tangente à la ourbe}

(Γ)

^{aux points}

B

^,

C

^et

D

^{de paramètrerespetifs}

t B = ^π ₃

^,

t C = ^2π ₃

^et

t D = π

^.

5

^{. Le plan}

P

^{est rapporté àun repère}

(O ; − → i ; − → j )

^{d'unité graphique}

2

^m.

On admet que la tangente à laourbe

(Γ)

^aupoint

A

^{de paramètre}

t A = 0

^{a pour}

veteur direteur

−

→ i

^{. Traer les tangentes aux points}

A

^,

B

^,

C

^et

D

^{puis la ourbe}

(Γ)

^.

14.18

^{On se propose dans et exerie de onstruire une ourbe à l'aide d'un modèle}

utilisé en dessin assisté par ordinateur(DAO).

Dansunrepèreorthonormal

(O; ~

i

,~

^j

)

^{(unitégraphique5m),ondonnelespoints}

A ₀ ( − 1; 0)

^;

A 1 ( − 1; 2)

^;

A 2 (1; − 1)

^;

A 3 (2; 7)

^.

Pour tout

t

^{de l'intervalle}

[3; 1]

^{,on dénitle point}

M(t)

^par

− − − − − − − − − − − − − − →

OM(t) = (1 − t) ⁻ OA ^{− − − − − −→} ₀ + 3t(1 − t) ^{2 −} OA ^{− − − − − −→} ₁

+ 3t ² (1 − t) ⁻ OA ^{− − − − − −→} ₂ + t ^{3 −} OA ^{− − − − − −→} ₃

1

2

^{. Dans le repère}

(O ; ~

i

,~

^j

)

^{, soit}

C

la ourbe d'équations paramétriques déuies pour tout

t

^dans

[0; 1]

^{par :}

x = f (t) = − 3t ² + 6t ² − 8 y = g(t) = 3(3t ³ − 5t ² + 2t)

a

^{. Étudier les variations de}

f

^et

g

^lorsque

t

^{dérit l'intervalle}

[0; 1]

^{et regrouper}

lesrésultats dans un même tableau.

b

^{. Déterminerles points}d'intersetion de

C

ave l'axe des absisses.

c

^{. Préiser les tangentes à}

C

en haun de ses points appartenant à l'axe des absisses.

d

^{. Traerlaourbe}

C

etsestangentesdéterminéesàlaquestionpréédente.Plaer lespoints

A ₀

^,

A ₁

^,

A ₂

^et

A ₃

^.

1 Position du problème . . . 2

1.1 Pointde vueanalytique . . . 2

1.2 Pointde vueinématique. . . 2

1.3 Dénition . . . 3

2 Etude d'une ourbe paramétrée . . . 4

2.1 Dérivation . . . 4

2.2 Rédution de l'intervalled'étude . . . 5

2.3 Les limites . . . 7

2.4 Compléments . . . 7

3 Autres types de représentation paramétrique . . . 7

3.1 Courbe plane etfontions à valeurs omplexes . . . 7

3.2 Courbe plane en oordonnées polaires . . . 8

4 Exeries. . . 9

4.1 Courbes en oordonnéesartésiennes . . . 9

4.2 Rédution de l'intervalled'étude . . . 11

4.3 Quelques appliations. . . 13

4.4 Courbes en oordonnéespolaires. . . 15

4.5 Annales . . . 16