SoitK un corps infini et soitVi =V(Pi), avecP1 =Y −X2,P2 =XY −1 etP3 =X2+Y2−1 des ´el´ements de K[X, Y]

M2 Universit´e de Versailles Saint-Quentin Courbes alg´ebriques

Feuille 2 `a rendre le mardi 29 septembre 2020

Exercice 1. SoitK un corps infini et soitV_i =V(P_i), avecP₁ =Y −X²,P₂ =XY −1 etP3 =X²+Y²−1 des ´el´ements de K[X, Y].

1. D´eterminer K[V_i] et montrer que K[V₁]'K[T] et queK[V₂]6'K[V₁].

2. Pour quels corps K a-t-onK[V3]'K[V1] ou K[V3]'K[V2] ?

Exercice 2. Soit V ( An(K) un ensemble alg´ebrique affine et soit x ∈ An(K)\V. Montrer qu’il existe un polynˆome P ∈K[X₁,· · · , X_n] tel que P(x) = 1 et P(y) = 0 pour tout y∈V.

Exercice 3. Soit M_n(K) =Aⁿ

2(K), soitr ∈[0, n] et soit

R_r={M ∈M_n(K) |rg(M)≤r}

Montrer queRr est un sous-ensemble alg´ebrique affine deAn²(K).

Exercice 4. Soit K un corps infini et soitP ∈K[X, Y] tel queV(P) est infini.

1. Montrer que si P est irreductible, alors I(V(P)) = (P).

2. Soit P =P₁^α1· · ·P_r^αr la d´ecomposition deP est facteurs irr´eductibles. Montrer que si V(P_i) est infini pour tout i∈ [1, r], alors lesV(P_i) sont les composantes irr´eductibles de V(P).

Exercice 5. Soient V ⊂ Aⁿ(K) et W ⊂ A^m(K) des ensembles alg´ebriques affines.

Montrer queV ×W ⊂Aⁿ(K)×A^m(K) est un ensemble alg´ebrique affine.

1