El Amine Continuité

(1)

L.S.Marsa Elriadh

Continuité

^{M : Zribi}

4 ^èmeMaths Fiche

El Amine

¹

Continuité en un point x0:

Soit f une fonction définie sur un intervalle contenant x0,

 f est continue en x0 si et seulement si

0

lim f ( x ) f ( x )0 x x

  .

Exemple: f définie par

x² 3 2

f ( x ) ; si x 1

x 1 f ( 1 ) 1

2

  

 

 

 



Continuité de f en 1:

x 1 x 1 x 1

x 1

x² 3 2 x² 1 x 1 1

lim lim lim

x 1 ( x 1 )( x² 3 2 ) x² 3 2 2

lim f ( x ) f ( 1 ) donc f est continue en 1

  



      

     



 f est discontinue en x0 si et seulement si f n'est pas continue en x0.

Exemple: soit la fonction:

f ( x ) x 1

x² 3x 2 f ( 1 ) 0

  

  

  

 Continuité de f en -1:

x 1 x 1 x 1 x 1

x 1

x 1 x 1 1

lim f ( x ) lim lim lim 1

x² 3x 2 ( x 1 )( x 2 ) x 2

lim f ( x ) f ( 1 ) donc f n' est pas continue en 1.

   



 

   

    

  

Continuité à droite, continuité à gauche:

 f est continue à droite en x₀ si et seulement si ₀

x x0

lim f ( x ) f ( x )

 



 f est continue à gauche en x0 si et seulement si ₀

x x0

lim f ( x ) f ( x )

 



 f est continue en x0 si et seulement si f est continue à droite en x0 et à gauche en x₀.

Exemple: soit la fonction :

x² 1

f ( x ) si x 1

x² x 2

x 5 2 5

f ( x ) x si x 1

x 1 12

f ( 1 ) 2 3

    

  

  

    

 

  

 Continuité de f en -1:

x 1 x 1 x 1 x 1

x² 1 ( x 1 )( x 1 ) x 1 2

lim f ( x ) lim lim lim f ( 1 )

x² x 2 ( x 1 )( x 2 ) x 2 3

   

   

   

    

    

 f est continue à gauche en -1.

x 1 x 1 x 1

5 x 1 5 1 5 1 2

lim f ( x ) lim lim f ( 1 )

12 ( x 1 )( x 5 2 ) 12 x 5 2 12 4 3

  

  

         

    

f est continue à droite en -1

(2)

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Continuité

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²

Par suite f est continue en -1.

Continuité sur un intervalle:

 f est continue sur un intervalle ouvert] a,b[ si et seulement si f est continue en tout x0 ]a,b[.

 f est continue sur un intervalle fermé [a,b] si et seulement si f est continue sur ]a,b[, à droite en a et à gauche en b.

Opérations sur les fonctions continues:

 Si f et g sont continues en x₀ alors f+g , f×g et |f| sont continues en x0.

 Si f est continue en x0 et f positive alors f est continue en x0.

 Si f et g sont continue en x0 et g(x0)0 alors f

g est continue en x0.

Remarque: toute fonction polynôme est continue sur IR ; toute fonction rationnelle est continue sur son domaine de définition.

Exemple: soit la fonction :

x² 1

f ( x ) si x 1

x² x 2

x 5 2 5

f ( x ) x si x 1

x 1 12

f ( 1 ) 2 3

    

  

  

    

 

  

 Continuité de f sur ]- ,-1[:

x² 1

x x² x 2



  est rationnelle donc continue sur son domaine de définition : IR\{-1,2}

et en particulier sur ]- ,-1[.

 f est continue sur ]- ,-1[.

Continuité de f sur ]1,+ [:

x x+5 est continue et positive sur [-5,+ [  x x 5 est continue sur [-5,+ [ et en particulier sur ]-1,+ [  x x 5 2est continue sur ]-1,+ [.

Et x x+1 est continue et non nulle sur ]-1,+ [.

Alors x ^x ⁵ ² x 1

 

 est continue sur ]-1,+ [ comme étant quotient de fonctions continues.

Et x ⁵ x

12 est continue sur IR donc sur ]-1,+ [

 f est continue sur ]-1,+ [ comme étant somme de fonction continues.

En conclusion: f est continue sur ]- ,-1[U]-1,+ [ et en -1 alors le domaine de continuité de f est IR.

Continuité des fonction composées:

 si g est continue en a et f est continue en g(a)=b alors fog est continue en a et on a :

x a

lim fog( x ) f ( b )

  .

 Si g est continue sur un intervalle I et f est continue sur g(I) alors fog est continue sur I.

(3)

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Continuité

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El Amine

³

Image d'un intervalle par une fonction continue:

f est continue et strictement croissante

f est continue et strictement décroissante

I=[a,b] f(I)=[f(a),f(b)] f(I)=[f(b),f(a)]

I=[a,b[ f(I)=[f(x),

x b

lim f ( x )

 [ f(I)=]

x b

lim f ( x )

 ,f(a)]

I=]a,b[ f(I)=]

x a x b

lim f ( x ), lim f ( x )[

  f(I)=]

x b x a

lim f ( x ), lim f ( x )[

 

Théorème des valeurs intermédiaires:

 Si f est une fonction continue sur I= [a,b] alors pour tout   J=f(I), il existe au moins un réel  [a,b] tel que f( )= . (  f(x)= admet dans [a,b] au moins une solution  ).

 Si f est continue sur [a,b] et f(a) . f(b) < 0 alors l'équation f(x)=0 admet dans ]a,b[ au moins une solution  .

Bijection:

 Si f est définie; strictement monotone sur un intervalle I alors f est une bijection de I sur f(I). ( la réciproque de f est notée f^-1)

Et on a: xI, yf(I); f(x)=y  x= f^-1(y)

Si de plus f est continue sur I alors f ^-1 est continue sur f(I)=J.

 f^-1 a le même sens de variation que f sur J;  f et  f -1

sont symétriques par rapport à : y=x.

Théorème des bijections:

 Si f est une bijection de I sur f(I)=J et  J alors f(x)= admet dans I une unique solution  .