Capteurs Industriels

Capteurs Industriels

Premi` ere partie : g´ en´ eralit´ es sur les capteurs

Master Sciences pour l’Ing´ enieur - Sp´ ecialit´ e M´ ecatronique UFR Physique et Ing´ enierie

Universit´ e de Strasbourg

Edouard Laroche laroche@unistra.fr

http://eavr.u-strasbg.fr/~laroche/student

2009–2010

Table des mati` eres

1 Introduction 3

2 Principe, limite et performances 4

2.1 Principe . . . 4

2.2 Imperfection des capteurs . . . 4

2.2.1 Lin´earit´e . . . 4

2.2.2 Composante continue . . . 5

2.2.3 Sensibilit´e aux conditions ext´erieures . . . 5

2.2.4 Bande-passante . . . 6

2.2.5 Bruit de mesure . . . 7

2.2.6 Hyst´eresis . . . 7

2.3 Etalonnage´ . . . 7

2.4 Limite de fonctionnement . . . 8

3 Principes physiques 8 3.1 Effet pi´ezo-´electrique . . . 8

3.2 Effet Hall . . . 8

4 Quelques exemples 9 4.1 Mesure de position . . . 9

4.1.1 G´er´eralit´es . . . 9

4.1.2 Mesure incr´ementale . . . 9

4.1.3 Mesure absolue . . . 10

4.2 Les souris . . . 10

4.3 Jauge de contrainte . . . 12

4.4 Acc´el´erom`etre . . . 12

4.5 Mesure de distance, de niveau . . . 12

4.6 Mesure de courant . . . 12

4.6.1 Shunt . . . 12

4.6.2 Transformateur de courant . . . 13

4.6.3 Mesure par effet Hall . . . 13

5 Capteur logiciel 14 5.1 Estimateur simple . . . 14

5.1.1 Estimateur du flux dans les machines asynchrones . . . 14

5.1.2 Estimation de la vitesse d’un moteur `a courant continu . . . 15

5.2 Observateur . . . 16

6 R´ef´erences 18 6.1 Wikim´edia . . . 18

6.2 Fabricants . . . 18

6.3 Site de l’enseignant . . . 18

1 Introduction

Les capteurs sont des dispositifs permettant de rendre accessible une grandeur physique donn´ee. Leur utilisation se g´en´eralise de plus en plus dans les syst`emes complexes que nous utilisons tous les jours. Prenons par exemple l’exemple de la voiture. D´esormais, de nom- breux v´ehicules sont ´equip´es de capteurs de distance `a l’arri`ere permettant d’assister le conducteur lors des man<sup>1</sup><sub>2</sub>uvres. Les capteurs sont ´egalement pr´esent dans les syst`emes de r´egulation o`u la grandeur `a r´egul´ee est d’abord mesur´ee par un capteur avant d’ˆetre envoy´ee au calculateur pour d´eterminer la commande `a appliquer au processus.

Ce cours de capteur industriels comprends deux parties. Dans la premi`ere partie, on s’int´eressera aux capteurs de mani`ere assez g´en´erale. On pr´ecisera les grandeurs permet- tant de caract´eriser les performance des capteurs. On passera en revue un certain nombre de types de capteurs en expliquant les principes physiques `a la base d’un certain nombre de ces capteurs. La seconde partie de ce cours concerne un type de capteur plus sp´ecifique qui est de plus en plus utilis´e : la vision. Ce document ne concerne que la premi`ere partie du cours ; la seconde partie sera pr´esent´ee par Christophe Doignon, sp´ecialiste en vision.

Modalit´e de contrˆole des connaissances

Cette premi`ere partie du cours de Capteurs Industriels sera ´evalu´ee par un travail personnel sur un sujet en relation avec le cours. Le sujet d’´etude sera d’un des types suivants :

– un effet physique particulier et ses applications en mesure

– un type de mesure donn´ee (position, d´ebit...) ; vous ferez alors un recensement des diff´erentes technologies disponibles et des applications

– un domaine d’application (automobile, a´eronautique...) ; vous ferez alors un recense- ment des diff´erentes grandeurs mesur´ees et des technologies couramment employ´ees.

On appr´eciera un choix original correspondant `a une orientation personnelle. Le travail peut ˆetre fait seul ou en binˆome. Vous r´edigerez un rapport technique sur le sujet et vous ferez une pr´esentation orale pr´esentant de mani`ere didactique le travail r´ealis´e et les informations r´ecolt´ees. Dans le rapport ´ecrit, vous pr´eciserez les r´ef´erences de vos sources. Il est attendu de d´etailler au moins un document technique correspondant `a une utilisation typique. La pr´esentation orale, d’une dur´ee d’environ 10 minutes aura lieur lors de la 3<sup>`eme</sup> s´eance de cours, le 21 octobre. Le rapport devra ˆetre transmis par voie

´

electronique (format pdf) au plus tard le 19 octobre `a l’adresse figurant en premi`ere page de ce document. Le choix du sujet est libre mais doit ˆetre valid´e par votre enseignant lors de la seconde s´eance de TD.

2 Principe, limite et performances

2.1 Principe

Assez peu de grandeurs physiques sont directement accessibles `a la mesure. La grandeur la plus facilement mesurable est la tension ´electrique. Un capteur est un syst`eme per- mettant un couplage entre une grandeur physique `a mesurer et une grandeur physique mesurable encore appel´ee signal de mesure. Notonsyla grandeur `a mesurer ety_mle signal de mesure. Id´ealement, on s’attend `a ce que le signal de mesure soit une fonction aussi simple que possible de la grandeur `a mesur´ee. Notons y_m = f(y) cette fonction. Il faut que cette fonction soit inversible, ce qui permet de d´eterminer la grandeur physique `a partir du signal : y =f<sup>−1</sup>(y<sub>m</sub>). Par exemple, si le signal de mesure varie lin´eairement en fonction de la grandeur physique, c’est-`a-dire que le fonction s’´ecrit f(y) = a y, alors on d´etermine la grandeur par y_m = ¹_ay.

Commef ne sera connu qu’avec une pr´ecision limit´ee, introduisons ˆf la caract´eristique estim´ee du capteur. A l’aide de cette caract´eristique, on d´etermine l’estim´ee de la grandeur physique que l’on nomme ˆy = ˆf⁻¹(y_m). En pr´esence d’erreur de mesure, on a ˆf 6= f et donc ˆy= ˆf⁻¹(f(y)) = ( ˆf⁻¹◦f(y))6=y.

2.2 Imperfection des capteurs

2.2.1 Lin´earit´e

Il est courant que la caract´eristique d’un capteur soit l´eg`erement non-lin´eaire. Par exemple, au d´el`a d’une certaine valeur, un ph´enom`ene de saturation peut ˆetre rencontr´e.

Ces non-lin´earit´e, si elles ne sont pas compens´ees, limite la pr´ecision du capteur. Dans une certaine limite, ces non-lin´earit´e peuvent ˆetre compens´ees.

Exercice 1 (Compensation d’une non-lin´earit´e)

Consid´erons le cas d’une caract´eristique affect´ee par une saturation identifi´ee par la fonc- tion suivante :

ym =f(y) = ay

1 +αy² (1)

o`u a et α ont ´et´e d´etermin´es `a partir de mesures exp´erimentales 1. Donnez l’allure de la caract´eristiques du capteur.

2. D´eterminez l’expression de l’estimation de la mesure yˆen fonction de ym. Exercice 2 (Identification de la caract´eristique d’un capteur non-lin´eaire) Un capteur pr´esente une caract´eristique non-lin´eaire. On dispose d’un ensemble de mesures (y_k, y_mk), k = 1...n avec n > 2 et o`u y<sub>k</sub> a ´et´e donn´e par une technique de mesure compl´ementaire. On cherche `a identifier une caract´eristique du capteur sous la forme d’un mod`ele param´etrique. Dans notre cas, on consid`ere une caract´eristique de la forme :

y_m =f(y) = ay

1 +αy² (2)

o`uaetαsont les param`etres `a d´eterminer. On noteraθ= [a α]<sup>T</sup>le vecteur des param`etres.

1. R´ecrivez l’´equation du capteur sous une forme affine en fonction du vecteur des param`etres :

A(y, y_m)θ=b(y, y_m) (3) 2. D´eduisez-en l’´equation lin´eaire que doit v´erifier le vecteur des param`etres si on con-

sid`ere l’ensemble des mesures. Cette ´equation sera donn´ee sous la forme :

Aθ=B (4)

3. D´eterminez l’expression deθˆqui satisfait l’´equation (4) au sens des moindres carr´es, c’est-`a-dire de mani`ere `a minimiser la norme¹ de Aθˆ−B.

2.2.2 Composante continue

On parle aussi d’offset. Imaginons un capteur presque parfait, de caract´eristique affine f(y) = ay+b. La valeur b introduit une composante continue sur le signal de mesure.

G´en´eralement, cette valeur peut-ˆetre facilement ´evalu´ee en testant le syst`eme avec y= 0.

Ce r´eglage peut ˆetre effectu´e au moment de la calibration. S’il est amen´e `a varier d’un essai `a l’autre, il convient de le r´e-´evaluer r´eguli`erement, ce qui est simple `a mettre en œuvre.

2.2.3 Sensibilit´e aux conditions ext´erieures

On souhaite que le signal de mesure ne soit sensible qu’`a la grandeur `a mesurer.

En r´ealit´e, il sera sans doute (l´eg`erement) sensible `a d’autres ph´enom`enes (par exemple la temp´erature). Notons z un ph´enom`ene perturbateur. La loi de mesure s’´ecrit alors y_m = g(y, z) et, en th´eorie, il est impossible de d´eterminer y sans connaˆıtre z. Notons σy(y, z) = ^∂g(y,z)_∂y la sensibilit´e par rapport `a la grandeur `a mesurer et σz(y, z) = ^∂g(y,z)_∂z la sensibilit´e par rapport `a la perturbation. Deux approches sont possibles suivant le rapport entre ces deux sensibilit´es.

1. Id´ealement, il faut que le capteur soit beaucoup plus sensible par rapport `a la grandeur `a mesurer que par rapport `a la grandeur perturbatrice, c’est-`a-dire que

|σ_y(y, z)| |σ_z(y, z)| pour toutes les conditions (y, z), alors on peut envisager de n´egliger les effets des perturbations et de consid´erer la caract´eristique `az nominal : fˆ(y)'g(y, z<sup>∗</sup>) o`u z^∗ est la valeur nominale de la perturbation.

2. Si le capteur est trop sensible `a la perturbation, il est n´ecessaire de compenser ses effets. Cela revient `a consid´erer que l’on mesure cette perturbation et que l’on d´etermine ensuite ˆytel quey_m =g(ˆy,z) o`ˆ u ˆzest la valeur mesur´ee dez. Par exemple, si la loi de mesure s’´ecrit y_m = ay+cz, l’estimation de la grandeur physique est ˆ

y= ¹_a(y_m−cˆz).

1. On consid`ere la norme euclidienne telle que||x||=pP

k(xk)²o`uxk repr´esente lak<sup>`eme</sup>composantes du vecteurx.

2.2.4 Bande-passante

Jusqu’`a pr´esent, nous avons consid´er´e que le capteur donnait instantan´ement la mesure.

En r´ealit´e, un capteur pr´esente certaines dynamiques qui limitent la rapidit´e de sa r´eponse.

Ainsi, en cas de variation de la grandeur physique, le signal de mesure subit d’abord un r´egime transitoire avant de se stabiliser `a une valeur de r´egime permanent. Dans cette situation, on mesure le temps de r´eponse `a 5 % comme la dur´ee qui s’´ecoule entre l’instant de variation de la grandeur physique et l’instant o`u le signal de mesure se stabilise dans une bande de 5 % autour de la valeur finale.

Une autre grandeur pour caract´eriser la rapidit´e d’un capteur est sa bande passante.

Consid´erons que la grandeur physique varie de mani`ere sinuso¨ıdale `a la fr´equence f avec une amplitude Y donn´ee. Si le capteur est lin´eaire, le signal de mesure varie alors de mani`ere sinuso¨ıdale `a la mˆeme fr´equence. Soit Y_m l’amplitude du signal de mesure et G = Y_m/Y le gain du capteur qui est fonction de f. Le capteur a un comporte- ment de type passe-bas. C’est-`a-dire que pour les fr´equances faibles, le gain est constant

´

egal `a G<sub>0</sub> et que au del`a d’une certaine fr´equence, son gain chutte. La bande-passante est la fr´equence f_bp (en Hz) pour laquelle G(f_bp) = G₀/√

2. En d´ecibels, cela donne 20 log(G_bp) = 20 log(G₀)−3. Pour ˆetre plus pr´ecis, on parle de “bande-passante `a -3 dB”.

On peut aussi consid´erer la pulsation de bande-passante ω_bp = 2πf_bp (en rad/s).

En assimilant le capteur `a un syst`eme du premier ordre, on peut utiliser la relation suivante entre temps de r´eponse et bande-passante :

ω_bpt_r = 3 (5)

Dans le cas o`u le capteur a comportement plus complexe qu’un syst`eme du premier ordre, cette formule est tout de mˆeme utilisable pour d´eterminert_r`a partir deω<sub>bp</sub>o`u le contraire.

Exercice 3 (Caract´erisation d’un capteur)

On suppose qu’un capteur est caract´eris´e par une fonction de transfert suivante :

Y_m(s)

Y(s) =G(s) = K

1 +τ s (6)

Pour les application num´eriques, on prendra K = 2 et τ = 1 ms.

1. D´eterminez la gain statique du capteur.

2. D´eterminez la forme et l’allure de la r´eponse `a un ´echelon du capteur.

3. D´eterminez l’expression du temps de r´eponse `a 95% du capteur en fonction de τ. 4. D´eterminez l’expression de |G(jω)|, le gain fr´equentiel `a la pulsationω, en fonction

des param`etres du mod`ele.

5. Tracez l’allure du gain fr´equentiel en ´echelle log/log.

6. D´eterminez l’expression de la bande-passante `a -3 dB ωbp du capteur.

7. Pour ce capteur, d´eterminez la valeur num´erique de ω_bpt_r.

2.2.5 Bruit de mesure

La mesure peut ˆetre entach´ee d’une erreur al´eatoire. Notons e cette erreur ; la mesure s’´ecrit alorsy_m =f(y) +esi on consid`ere une erreur additive. En consid´erant des mesures effectu´ees aux instants t<sub>k</sub>, les mesures s’´ecrivent y<sub>m</sub>(t<sub>k</sub>) = f(y(t<sub>k</sub>)) +e(k) o`u e(k) sont des r´ealisations d’un processus al´eatoire. On consid`ere g´en´eralement des signaux al´eatoire centr´es (d’esp´erance math´ematique nulle). L’erreur stochastique sera caract´eris´ee par son

´

ecart-type o`u sa variance².

Par nature, il n’est pas possible de compenser une erreur al´eatoire, `a moins qu’elle soit issue d’un mod`ele. Par contre, des techniques de filtrages peuvent ˆetre appliqu´ees afin de r´eduire son impact.

2.2.6 Hyst´eresis

Imaginons que, partant d’une valeur de la grandeur `a mesur´ee y<sub>1</sub> pour laquelle la mesure donney<sub>m1</sub>, que l’on fasse ensuite varierypuis que l’on revienne `a la valeur initiale y₁ mais que dans ce cas on obtienne une nouvelle valeur de la mesure y_m2 diff´erente de la premi`ere. On se trouve alors dans une situation o`u `a une mˆeme valeur de la grandeur physique correspond plusieurs valeurs du signal de mesure. Inversement, pour une mˆeme valeur du signal de mesure peut correspondre plusieurs valeurs de la grandeur physique, ce qui rend difficile le probl`eme de mesure.

Le ph´enom`ene que nous venons de d´ecrire correspond g´en´eralement `a un hyst´eresis.

Il se rencontre notamment en magn´etisme (hyst´eresis de la courbe induction/champ magn´etique) et dans les jauges de d´eformation g´en´eralement utilis´ees pour les mesures de force.

2.3 Etalonnage ´

Au fur et `a mesure de leur vieillissement et de leur utilisation, les capteurs sont sus- ceptibles de voir leurs caract´eristiques f ´evoluer. La proc´edure d’´etalonnage consiste `a comparer des mesures issues du capteur avec celles donn´ees par un capteur de r´ef´erence dont on est assur´e du bon fonctionnement. Ces essais permettront de d´eterminer une nouvelle caract´eristique ˆf plus pr´ecise permettant de d´eterminer avec pr´ecision ˆy'y.

Pour un capteur de caract´eristique affine f(y) = ay + b, l’´etalonnage consiste `a d´eterminer les valeurs num´eriques (ˆa, ˆb) des param`etres (a,b) les plus pr´ecises possibles.

La relation inverse s’´ecrit alors ˆy= ˆf⁻¹(y_m) = ^ym_ˆa^−ˆb = ^a_ˆay+ ^b−_ˆa^ˆb.

2. La variance est l’esp´erance math´ematique du carr´e centr´e (σ²=E((e− E(e))²)). L’´ecart-typeσest la racine carr´ee de la variance.

2.4 Limite de fonctionnement

On distingue g´en´eralement deux types de limite de fonctionnement qui concernent la grandeur `a mesurer mais ´egalement l’environnement (la temp´erature par exemple) :

– une premi`ere limite au del`a de laquelle la pr´ecision de la mesure n’est plus garantie.

Au del`a de cette limite, les imperfections du capteur se font ressentir plus fortement (notamment les non-lin´earit´es). Il est possible d’utiliser le capteur au del`a de cette limite sans d´egradation.

– une seconde limite au del`a de laquelle le capteur sera endommag´e de mani`ere irr´eversible.

3 Principes physiques

A la base d’un capteur, on trouve un transducteur, capable de transformer une grandeur physique en une autre. A titre indicatif, voici quelques principes physiques utilis´es dans les capteurs : effet Hall, effet gyroscopique, pi´ezo-r´esistivit´e, effet pi´ezo-´electrique, effet Doppler, temps de propagation.

3.1 Effet pi´ ezo-´ electrique

Les c´eramiques pi´ezo-´electrique ont la propri´et´e de d´evelopper un champ magn´etique lorsqu’elles subissent une contrainte m´ecanique³. Cet effet est utilis´e pour developper des capteurs de pression, d’acc´el´eration ou de d´eformation. L’effet pi´ezo-´electrique est r´eversible. Ainsi, des actionneurs peremttent de r´ealiser de faibles d´eplacements grace `a l’application d’un champ ´electrique⁴.

3.2 Effet Hall

Un mat´eriaux plac´e dans un champ magn´etique d’induction B~ et parcouru par un courant i dans la direction ~ui voir apparaˆıtre une diff´erence de potentiel ´electrique dans la direction transverse⁵.

L’applications principale est la mesure de courant avec isolation galvanique (isola- tions ´electrique des circuits primaires et secondaires)⁶. On peut utiliser cette technique pour mesurer des tensions de mani`ere isol´ee en mesurant le courant travers´e par une r´esistance. Les sondes `a effet Hall sont ´egalement utilis´ees dans certains moteurs syn- chrones auto-pilot´es (DC brushless) afin de d´etecter la position du rotor et de commander en cons´equence le courant du stator.

3. Vous pourrez vous r´ef´erer au site http://en.wikipedia.org/wiki/Piezoelectricityouhttp:

//fr.wikipedia.org/wiki/Pizolectricit pour plus de d´etails sur cet effet.

4. Voir par exemple la gamme de C´edrat surhttp://www.cedrat.com.

5. http://www.stielec.ac-aix-marseille.fr/cours/abati/hall.htm

6. Voir le site du fabricant LEM, sp´ecialis´e dans les mesures de tension et de courant ´electriques : http://web4.lem.com/

4 Quelques exemples

4.1 Mesure de position

4.1.1 G´er´eralit´es

La mesure de position angulaire se r´ealise g´en´eralement au moyen d’une roue sur laquelle sont plac´es un certain nombre de pistes compos´ees de portions opaques et claires.

En regard, un d´etecteur opto-´electronique permet de d´etecter si on se trouve en face d’une piste opaque o`u d’une piste claire. Ce principe est d´etaill´es dans la suite. Une autre possibilit´e est de recourir `a un potentiom`etre rotatif dont la r´esistance varie lin´eairement avec la position. Cette derni`ere technique a un coˆut moindre mais ne permet pas d’obtenir d’aussi bonnes pr´ecisions.

4.1.2 Mesure incr´ementale

C’est la technique la plus r´epandue. Elle permet une bonne pr´ecision `a un coˆut raisonnable. Comme son nom l’indique, elle ne permet que de compter le d´eplacement depuis la mise en route et ne permet pas de d´eterminer la position absolue. Toutefois, celle-ci pourra ˆetre d´etermin´ee de mani`ere alternative⁷. De plus, l’utilisation d’une pile

´

electrique permet de conserver la position en m´emoire mˆeme lorsque l’alimentation du syst`eme est coup´ee.

Figure 1 – Signal d´elivr´e par un codeur incr´emental `a 1000 points par tour

Le codeur est ´equip´e de deux pistes qui permettent de d´elivrer deux signaux en cr´eneaux qui varient en fonction de la position. Ces deux signaux sont d´ecal´es d’un quart de p´eriode afin de permettre la d´etermination du sens de rotation. Un circuit num´erique

7. Par exemple, en robotique, on peut demander au robot de se d´eplacer jusqu’`a une but´ee articulaire afin d’initialiser la position.

de comptage/d´ecomptage sera ensuite utilis´e afin de permettre la d´etermination du nom- bre de pas de rotations. Chaque piste comptant N cr´eneaux, la pr´ecision exprim´ee en radian est de 2π/4N. Le nombre de points par tour peut atteindre plusieurs milliers.

4.1.3 Mesure absolue

Afin de d´eterminer de mani`ere absolue la position, le codeur comprendsn pistes. Cha- cun des pistes sert `a coder un bit de la d´ecomposition binaire de la position. Par exemple avec n= 3 pistes, on peut coder 2ⁿ= 8 positions.Sur un tour, on rencontrera successive- ment les positions donn´ees dans le tableau 1. La pr´ecision en radian est de 2π/2ⁿ. Par rapport au codeur incr´emental, le codeur absolu a g´en´eralement une pr´ecision moindre.

Son coˆut est plus ´elev´e.

position piste 2 piste 1 piste 0

0 0 0 0

1 0 0 1

2 0 1 0

3 0 1 1

4 1 0 0

5 1 0 1

6 1 1 0

7 1 1 1

Table 1 – Succession des positions en code naturel `a 3 bits

Le code naturel a l’inconv´enient d’entraˆıner des commutation simultan´ees de plusieurs bits. Ainsi, pour passer de la position 3 `a la position 4, l’ensemble des trois bits doivent commuter. En r´ealit´e, la commutation ne se fera pas instantan´ement. De ce fait, on risque de lire des valeurs interm´ediaires aberrantes. Par exemple, si le le bit 2 est le premier `a commuter, on lira la valeur 7 lorsqu’il passera `a 1. Pour ´eviter ce probl`eme, on utilise un codage permettant une seule commutation `a chaque changement de position. On appelle code Gray ce type de codage (voir tableau 2).

4.2 Les souris

Les souris utilis´ees en informatique sont des capteurs permettant de d´eterminer les translations dans le plan. Plusieurs technologies ont ´et´e d´evelopp´ees⁸. Auparavant, les premi`eres g´en´erations de souris ´etaient m´ecaniques. Une bille en contact avec la table roulait au fur et `a mesure des d´eplacements de la souris. Au moyen de deux roues, les d´epalcement horizontaux ´etaient transmis `a un codeur incr´emental de position.

D´esormais, les souris sont optiques. La lumi`ere ´emise par une DEL (diode ´electroluminescente, o`u encore LED en anglais) est r´efl´echie par le plan de travail. Cette lumi`ere est ensuite

8. Voirhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Souris_(informatique).

position piste 2 piste 1 piste 0

0 0 0 0

1 0 0 1

2 0 1 1

3 0 1 0

4 1 1 0

5 1 1 1

6 1 0 1

7 1 0 0

Table 2 – Succession des positions en code Gray `a 3 bits

Figure 2 – Principe de fonctionnement d’une souris m´ecanique [http://fr.wikipedia.org/wiki/Souris_(informatique)]

re¸cue par une cam´era puis analys´ee. De l’analyse des ´ecarts entre deux images succes- sives, on d´eduit le d´eplacement. Les int´erˆets de cette technologie optique, par rapport `a la technologie m´ecaniques, sont : 1/ de ne pas s’encrasser (la boule et les roues de la souris m´ecanique r´ecoltent les poussi`ere et finissent par ne plus tourner correctement) ; 2/ de fonctionner correctement sur des surfaces non planes. Inversement, elle a l’inconv´enient de ne pas fonctionner sur des surface parfaitement uniformes et sans texture.

Le calcul du d´eplacement entre deux images peut se faire par un calcul de corr´elation.

On d´eplace successivement la seconde image de diff´erentes valeur et on observe `a chaque fois la corr´elation entre l’image pr´ec´edente et l’image actuelle d´ecal´ee. La courbe de la corr´elation en fonction du d´eplacement pr´esente un pic qui permet de d´eterminer le d´eplacement entre les deux images. Cette technique est utilis´ee successivement dans chacune des deux directions.

4.3 Jauge de contrainte

Les jauges de contraintes sont en fait des capteurs de d´eformations. Ils s’agit de pi`eces m´ecaniques l´eg`erement d´eformables qui sont ins´er´ees dans une structure m´ecanique.

Les contraintes exerc´ees par la structure sur la jauge entraine une l´eg`ere d´eformation.

Diff´erents transducteurs permettent de r´ecup´erer la valeur de la d´eformation : soit par effet pi´ezo-r´esistif (une r´esistance coll´ee `a la jauge voit sa valeur varier), soit par effet pi´ezo-´electrique. Les jauges de contrainte permettent de r´ealiser des capteurs d’efforts pour 1 `a 6 DDL.

4.4 Acc´ el´ erom` etre

Les acc´el´erom`etres sont g´en´eralement constitu´es d’une petite masselotte en translation reli´ee au boitier du capteur par un ressort. A l’´equilibre, le d´eplacement de la masselotte est proportionnel `a la composante de l’acc´el´eration dans la direction de la mesure. Pr´ecisons que ces capteurs sont sensibles `a la gravit´e. Ils peuvent ´egalement servir d’inclinom`etre en quasi-statique.

Exercice 4 (Acc´el´erom`etre)

1. Faites un sch´ema de principe du dispositif incluant la position x du capteur, celle de la masselotte, le ressort et l’amortisseur.

2. A partir de la relation fondamentale de la dynamique, d´eterminez l’´equation diff´erentielle liant x, δ et leurs d´eriv´ees.

3. Donnez la fonction de transfert H(s) permettant de passer de x¨ `a δ.

4. D´eterminez le gain statique de H(s) et d´eduisez en la loi d’estimation xˆ¨ = g(δ) valable en r´egime statique.

5. D´eduisez-en la fonction de transfert H(s) entre x¨ et x.ˆ¨

6. Donnez l’allure de la r´eponse fr´equentielle du capteur (c’est-`a-dire l’´evolution du gain de H(s) en fonction de la pulsation).

7. D´eterminez l’expression de la fr´equence de r´esonance du capteur en fonction de ses param`etres ainsi que sa valeur num´erique.

4.5 Mesure de distance, de niveau

On peut utiliser les ultrasons ou un laser (plus pr´ecis). Une onde est ´emise dans une direction donn´ee (o`u dans un secteur donn´e). L’onde r´efl´echie est ensuite r´eceptionn´e.

Le d´ephasage o`u le retard entre l’onde ´emise et l’onde re¸cue permet l’estimation de la distance.

4.6 Mesure de courant

4.6.1 Shunt

Un shunt est un ´el´ement r´esistif de faible r´esistance R qui est plac´e dans un circuit

´

electrique afin d’en mesurer le courant i `a l’aide d’un appareil de mesure de tension. La

tension aux bornes du shunt est v(t) = Ri(t), ce qui permet de donner une mesure du courant : ˆi(t) = ¹_ˆ

Rv(t). L’avantage de cette technique est sa tr`es grande simplicit´e, d’o`u son faible coˆut. Ses inconv´enients principaux sont : 1/ le manque d’isolation galvanique ; 2/ sa limitation en fr´equence du fait que le courant traversant le shunt rayonne du flux qui produit une force-´electromotrice induite qui perturbe la mesure.

En effet, le circuit de mesure est une boucle qui coupe le flux rayonn´e par le passage du courant. On peut consid´erer que le flux traversant le circuit de mesure est proportionnel au courant : φ(t) = Li(t) o`u L est un coefficient d’inductance. La tension mesur´ee est alors v(t) =Ri(t) + ^dφ(t)_dt =Ri(t) +L^di(t)_dt .

En pratique, il faut torsader les fils de mesure afin de r´eduire la surface de la boucle et r´eduire ainsi la valeur de l’inductance. Toutefois, cette technique a ses limites. Des shunts dits co-axiaux (ou planaires) ont la particularit´e de permettre aux fils de mesure d’acc´eder aux points de mesure en traversant un espace o`u le champ est nul. Ainsi, le champ coupant la boucle de mesure est nul. Ces shunts co-axiaux permettent une utilisation au del`a de 1 kHz alors que les shunts classiques sont limit´es `a la centaine de Hertz.

4.6.2 Transformateur de courant

Les transformateurs de courant ou transformateurs d’intensit´e sont principalement destin´es `a la mesure de courants sur les lignes ´electriques 50 Hz (ou 60 Hz) en pr´esence de forts courants. Ils ont l’avantage de permettre une mesure isol´ee (isolation galvanique). Ils ont l’inconv´enient de ne pas laisser passer les composantes continues et de disposer d’une bande passante limit´ee.

4.6.3 Mesure par effet Hall

Les pinces de courant ont l’int´erˆet de permettre une mesure de courant sans contact de mani`ere flexible (la pince se met en place sans ouvrir le circuit principal). Elles sont constitu´es d’un circuit magn´etique que l’on place autour du courant `a mesurer o`u est ins´er´e une sonde `a effet Hall. Le flux induit est donn´e par la loi d’Hopkinson :

Rφ=i(t) (7)

o`u R est la r´eluctance du circuit, principalement d´etermin´ee par celle de la sonde : R = e

µ₀S (8)

o`ueest l’´epaisseur de la sonde,Sest sa section etµ₀est sa perm´eabilit´e magn´etique, ´egale

`

a celle du vide. Le champ B est donn´e par B =φ/S. La sonde `a effet Hall, travers´ee par un courant constant, permet ensuite de mesurer le champ B, ce qui permet de mesurer i.

Ce type de sonde permet des mesures `a des fr´equences ´elev´ees, permettant par exem- ple de d´etecter des transitoires rapides. Toutefois, les imperfections du circuit magn´etique

(hyst´er´esis et saturation) affectent la pr´ecision de la mesure.

Afin d’am´eliorer les r´esultats, il est possible de placer un second circuit, faisant n spires autour du circuit magn´etique. Soit j le courant le traversant. Avec une convention ad´equate, la loi d’Hopkinson s’´ecrit alors :

Rφ=i(t)−nj(t) (9)

A l’aide d’une boucle de r´egulation, on injecte le courant j permettant de maintenir nul le champ mesur´e par la sonde `a effet Hall. Comme j est connu, cela permet de mesurer i :

ˆi(t) = nj(t) (10)

Cette technique permet de s’affranchir largement des imperfections du circuit magn´etique.

En bande passante, elle est uniquement limit´ee par la bande passante de l’alimentation du courant j.

5 Capteur logiciel

Dans certains cas, il est possible de remplacer un capteur par un calcul `a partir de la mesure d’autres grandeurs. On parlera alors de capteur logiciel. Les avantages sont : 1/ un coˆut moindre ; 2/ absence de risque de panne du capteur. Les inconv´enients sont g´en´eralement une pr´ecision moindre car l’estimation s’appuie sur les ´equations du syst`eme qui ne sont connues qu’avec une pr´ecision limit´ee. On distinguera deux types d’estimation :

– soit le signal est estim´e `a partir d’un signal unique par simple inversion ;

– soit on d´etermine le signal `a partir d’une fusion d’informations. Dans ce dernier cas, le probl`eme est th´eoriquement surd´etermin´e et on cherchera donc `a minimiser certains crit`eres.

5.1 Estimateur simple

A titre d’illustration, voici deux exemples r´eels.

5.1.1 Estimateur du flux dans les machines asynchrones

Les machines asynchrones (o`u moteur `a induction) ont l’avantage d’ˆetre simple `a fab- riquer mais elles ont l’inconv´enient d’un mod`ele relativement complexe par rapport aux technologies `a courant continu et synchrones. Dans les algorithmes de commande les plus couramment employ´es, i.e. la m´ethode du flux rotorique orient´e (FRO o`u FOC pour flux oriented control), on se place dans un rep`ere tournant li´e au flux magn´etique du rotor.

G´en´eralement, on ne mesure pas le flux ; il est donc n´ecessaire de l’estimer.

En notantφ_rl’amplitude du flux rotorique, on introduit le courant magn´etisanti_m qui est une image du flux : φr =M im o`u M est un coefficient de mutuelle inductance entre le stator et le rotor. Le courant magn´etisant est alors d´etermin´e par l’´equation suivante :

di_m dt + 1

T_ri_m= 1

T_ri_sd (11)

o`u T<sub>r</sub> est un param`etre appel´e constante de temps rotorique et i_sd est la composante di- recte du courant du stator dont la valeur peut ˆetre consid´er´ee comme disponible `a chaque instant.

Cette ´equation se r´e´ecrit sous forme de fonction de transfert i_m(s) = H(s)i_sd(s) o`u : H(s) = 1

1 +T_rs (12)

Pour estimer i_m, il suffit de r´ealiser un filtre de fonction de transfertH(s) et lui fournir en entr´eeisd(t). Cette estimation sera g´en´eralement r´ealis´ee en temps discret sur un calcula- teur. L’algorithme implant´e sera une ´equation aux r´ecurrences obtenue en rempla¸cant la variable de Laplace s par une approximation `a temps discret⁹.

Exercice 5 (Implantation d’un filtre sur calculateur)

Donnez les ´equations aux r´ecurrences `a implanter sur un calculateur num´erique permet- tant de r´ealiser l’estimation du courant magn´etisant `a par partir de la composante directe du courant du stator. On traitera les m´ethodes de discr´etisation de type Euler et Tustin.

Donnez ensuite l’algorithme permettant de faire le calcul de i_m dans une tˆache p´eriodique.

5.1.2 Estimation de la vitesse d’un moteur `a courant continu

Les moteurs `a courant continu destin´es `a la variation de vitesse sont g´en´eralement

´

equip´e d’un codeur incr´emental grˆace auquel on peut estimer la vitesse avec une assez bonne pr´ecision. Toutefois, les variateurs pr´evoient g´en´eralement un mode d’asservisse- ment de vitesse mˆeme sans capteur de position. Ce mode, parfois intitul´e “compensation RI” correspond `a un calcul de la vitesse `a partir de la mesure du courant.

L’´equation de l’induit d’un moteur `a courant continu s’´ecrit : u(t) = KΩ(t) +Ri(t) +Ldi(t)

dt (13)

o`uuest la tension d’alimentation (connue), Ω est la vitesse de rotation du moteur (incon- nue),i(t) est le courant (connu car le moteur fonctionnant `a vitesse variables est toujours

´

equip´e d’une r´egulation de courant permettant de g´er´ee les limitations de courant), K est la constante de force ´electro-motrice, R est la r´esistance d’induit et L est l’induc- tance de l’induit. On suppose que des valeurs num´eriques approch´ees des param`etres sont disponibles : ˆK, ˆR et ˆL.

Il est assez simple d’estimer la vitesse `a partir de la tension et du courant : Ω(t) =ˆ 1

Kˆ(u(t)−Ri(t)ˆ −Lˆdi(t)

dt (14)

9. Le lien entre l’op´erateur avance z et l’op´erateur d´eriv´ee s est donn´e par z = exp(T s) o`u T est la constante d’´echantillonnage. On peut utiliser une approximation au premier ordre exp() ' 1/(1−),

−1

o`u ˆΩ est l’estim´ee de la vitesse. Cette notation est ´egalement utilis´e pour les param`etres afin de rappeler qu’il faut connaˆıtre leur valeur num´erique avec une assez bonne pr´ecision pour que l’estimation de la vitesse soit pr´ecise¹⁰.

En r´ealit´e, le terme ˆL^di(t)_dt est rarement int´egr´e dans l’estimation. En effet, pour un moteur `a courant continu, ce terme est nul en r´egime permanent et ses variations sont bien plus rapides que celles de la vitesse. On pourra alors se contenter de calculer Ω₁(t) =

1

Kˆ(u(t)−Ri(t)) et de filtrer cette grandeur par un filtre passe-basˆ H(s) permettant de filtrer les effets des L^di(t)_dt . La bande-passante de ce filtre sera r´egl´ee de mani`ere `a laisser passer les fr´equences correspondant `a la dynamique de variation de la vitesse. La mention

“compensation RI” indiqu´ee sur les variateurs de la marque Maxon¹¹signifie que le terme Ri est bien int´egr´e dans l’estimation de la vitesse. D’autres produits peuvent s’appuyer sur une estimation plus approximative en n´egligeant ce terme.

5.2 Observateur

La th´eorie de l’observation des syst`emes dynamiques est un domaine bien ´etabli dans lequel on peut puiser de nombreuses m´ethodes permettant de d´evelopper des capteurs logiciels. Dans ce paragraphe, on se limite `a montrer le cas d’un syst`eme dynamique lin´eaire.

Soit un syst`eme dynamique lin´eaire de signal d’entr´ee u(t) et de signal de sortiey(t), ces deux signaux ´etant mesur´es. En notantx le vecteur d’´etat du syst`eme et z le signal `a estimer, nous consid´erons le mod`ele dynamique suivant :

˙

x = Ax+Bu (15)

y = Cx+Du (16)

z = Ex+F u (17)

Plutˆot que d’utiliser un o`u des capteurs pour d´eterminer z, nous cherchons `a l’estimer grˆace aux ´equations du syst`eme et aux mesures de u ety. Pour cela, on passera par l’es- timation de l’´etat x. Une fois l’estim´ee ˆx de l’´etat disponible, la sortie du capteur logiciel est donn´ee par ˆz =C_zx.ˆ

Une premi`ere id´ee est simplement d’utiliser le signal d’entr´eeuet d’int´egrer la premi`ere

´

equation du syst`eme :

ˆ

x(s) = (sI−A)⁻¹Bu(s) (18)

Toutefois, il serait plus judicieux de tenir compte ´egalement du signal de mesure afin de corriger les erreurs diverses qui peuvent affecter l’estimation (bruit de mesure, erreurs de mod´elisation, erreurs d’estimation des param`etres). De plus, cette technique ne peut

10. Le variateur peut ˆetre choisi ind´ependamment du moteur. Ainsi, il sera n´ecessaire de r´egler les valeurs estim´ees des param`etres dans le variateur. De plus, ces valeurs sont susceptibles de varier au cours du fonctionnement, notamment la r´esistance en fonction de la temp´erature et l’inductance `a cause de la saturation magn´etique.

11. www.maxonmotor.com/

ˆ

etre employ´ee pour estimer l’´etat d’un syst`eme instable. On construit alors un syst`eme dynamique proche de celui du syst`eme en int´egrant un terme d’erreur de mesurey−Cxˆ:

˙ˆ

x=Aˆx+Bu+L(y−Cx)ˆ (19) o`u Lest une matrice de gain appel´ee gain de l’observateur.

Notons =x−xˆ l’erreur d’estimation de l’´etat. Sa dynamique s’´ecrit :

˙

= x˙−x˙ˆ (20)

= Ax+Bu−(Axˆ+Bu+L(y−Cx))ˆ (21)

= Ax+Bu−(A−LC)ˆx−Bu−L(Cx+Du)) (22)

= (A−LC) (23)

On observe que la dynamique de l’erreur d’estimation e est ind´ependante de la com- mande u et est r´eglable grˆace au gainL.

D´efinition 1 (Observabilit´e)

On dit que le syst`eme (A, C) est observable si les pˆoles de A−LC peuvent ˆetre plac´es arbitrairement en r´eglant L.

D´efinition 2 (D´etectabilit´e)

On dit que le syst`eme (A, C) est d´etectable s’il existe un gain L tel que A −LC soit Hurwitz (tous ses pˆoles sont `a partie r´eelle n´egative, i.e. stable).

Lorque le syst`eme est observable, le gain de l’observateur peut ˆetre d´etermin´e par diverses m´ethodes. La plus connue est sans doute la m´ethode de Kalman qui d´etermine, dans un contexte stochastique, l’estim´ee de variance minimale. Un r´eglage ad´equat du gain permettra : 1/ de stabiliser l’estimation si le syst`eme de d´epart n’est pas stable ; 2/ d’acc´el´erer la convergence de l’observateur ; 3/ d’att´enuer les effets de perturbations ext´erieures.

Exercice 6 (Estimation de la vitesse d’un moteur `a courant continu) Un moteur `a courant continu a les ´equations suivantes :

u(t) = KΩ(t) +Ri(t) +Ldi(t)

dt (24)

JdΩ(t)

dt = Ki(t)−fΩ (25)

La tension d’induit u(t) et le courant i(t) sont mesur´es. On cherche `a estimer la vitesse Ω(t) `a partir d’un observateur de gain L_o.

1. En prenant comme vecteur d’´etatx= [iΩ]^T, donnez les matrices de la repr´esentation d’´etat du syst`eme.

6 R´ ef´ erences

6.1 Wikim´ edia

– http://fr.wikipedia.org/wiki/Cat’egorie:Capteur – http://fr.wikipedia.org/wiki/Transducteur

– http://fr.wikipedia.org/wiki/Pi’ezo’electricit – http://fr.wikipedia.org/wiki/Effet_Hall

– http://fr.wikipedia.org/wiki/Capteurs_de_courant_‘a_Effet_Hall – http://fr.wikipedia.org/wiki/Capteur_de_proximit’e

– http://fr.wikipedia.org/wiki/Jauge_de_d’eformation – http://en.wikipedia.org/wiki/Accelerometer

6.2 Fabricants

– Fabricant de capteurs multi-domaine :http://www.keyence.fr

– LEM : fabricant de capteurs de tension et de courant ´electrique : http://web4.

lem.com/hq/fr

– C´edrat, sp´ecialiste des capteurs et actionneurs pi´ezo-´electriques :http://www.cedrat.

com/

– Analog Devices, fabricant de composants ´electroniques, produit sous forme de MEMS, des capteurs d’acc´el´eration et des gyroscopes : http://www.analog.com/en/mems/

products/index.html

6.3 Site de l’enseignant

– Fabricant de capteurs multi-domaine :http://eavr.u-strasbg.fr/~laroche/student/

#MMecatro