GIA 400

Cours 3 Cours 3

L’ L ’ inté int érêt et les formules rêt et les formules d’é d ’équivalence quivalence

GIA 400

GIA 400

Louis Parent,

Louis Parent, inging., MBA., MBA

Un mot

Un mot

cé c él lè èbre bre

« L’intérêt composé est la plus grande invention de l’humanité »

- Albert Einstein

« L'éducation est ce qu'il vous restera quand

vous aurez oublié ce que vous avez appris à l'école »

GIA 400 – Cours 3 3

Contenu des 3 prochains cours Contenu des 3 prochains cours

„ Comprendre la notion d’intérêt

„ Comprendre la notion d’équivalence

„ Comprendre les méthodes de calcul de montants équivalents

„ Références:

„ Cours 3: AEI, 2.1 à 2.3.4;

„ Cours 4: AEI, 3.1 à 3.3; 3.5 et 3.6.1

„ Cours 5: AEI, 3.4, 2.3.5, 2.3.6

L

L’ ’int inté érêt rêt

„ Définition de l’intérêt

„ L’intérêt est le loyer de l’argent:

„ Le montant à payer pour l’usage d’un capital pendant une période donnée

„ Composantes de l’intérêt:

„ Le coût d'opportunité pour le prêteur:

„ La compensation à payer au prêteur pour qu'il remette à plus tard ses propres dépenses de consommation ou qu’il cède le rendement qu'il pourrait obtenir en investissant dans ses propres projets.

„ Une prime pour l’inflationou la dévaluationde la monnaie.

„ S’il y a de l’inflation, le pouvoir d’achat de l’argent remboursé plus tard vaudra moins que celui de l’argent prêté aujourd’hui

„ Une prime de risque liée à la probabilité de défautde l’emprunteur

„ Risque que l’emprunteur soit incapable de rembourser les intérêts, le capital ou les deux.

GIA 400 – Cours 3 5

Dé D étermination des taux d termination des taux d’ ’int inté érêts rêts

„ En théorie: la loi de l’offre et de la demande pour l’argent

„ L’offre: l’épargne

„ La demande: l’investissement

„ L'intérêt est le principal mécanisme d'autorégulation de l'activité économique.

$

Taux d’intérêt %

Épargne

Investissement

i

_équilibre

D

Dé étermination des taux d termination des taux d’ ’int inté érêts rêts

„ En pratique: l’État, par l’entremise de sa banque centrale, se substitue au libre- marché de l'argent:

„ La banque centrale manipule les taux d’intérêt et/ou la masse monétaire pour

« stimuler » ou « refroidir la surchauffe » de l’économie.

„ L'intervention de l’État dans le marché de l'argent peut soulager l'économie et même aider la popularité des politiciens à court terme mais crée toujours des dommages sérieux à long terme.

„ Parmi les effets pernicieux de la création de monnaie à partir de rien ("ex-nihilo",

"from thin air"):

„ Inflation

‰ La création de monnaie baisse la valeur de l'argent de papier alors en circulation et cause une montée des prix.

„ Bulles économiques:

‰ De bas taux d’intérêts encouragent la spéculation et les projets

d’investissement dont la rentabilité et la durabilité à long terme est parfois plus que douteuse.

GIA 400 – Cours 3 7

L'actif de la Banque Centrale US (

L'actif de la Banque Centrale US (Federal Federal Reserve Bank) Reserve Bank)

2010 2008 2009

- 500 000 1 000 000 1 500 000 2 000 000 2 500 000

1/3/07 4/3/07 7/3/07 10/3/07 1/3/08 4/3/08 7/3/08 10/3/08 1/3/09 4/3/09 7/3/09 10/3/09 1/3/10 4/3/10 7/3/10 10/3/10

Actif de la Federal Reserve (en millions de $ US)

Hypoyhèques

"subprime"

Autres Prêts Commerciaux Prêts aux banques

Obligations à long- terme du gouver- nement US ("QE" ) Obligations à court- terme du gouvernement US Or: Moins de 0.5%

Cet actif est ce qui garantit la valeur du passif de la

"Fed", c'est-à- dire celle de l'argent en circulation

1971: Abandon de l'

1971: Abandon de l'é étalon talon- -or (Gold Standard) or (Gold Standard)

1967 1973

1/35 once d'or 1/1 500 once d'or (juillet 2011)

GIA 400 – Cours 3 9

Cours mensuel moyen de l Cours mensuel moyen de l’ ’or or

Abandon du lien entre le $ et l'or

Années 1970:

taux d'inflation de 12% à 15%/année

Début de la crise des subprime

Crise financière de septembre 2008

Bulle spéculative

Taux d'intérêts Portés à 20% +

http://www.goldprice.org/gold-price-history.html#20_year_gold_price

Augmentations des prix de certaines denr

Augmentations des prix de certaines denré ées de base en 2010 es de base en 2010

Coton + 102.5% Bœuf + 23.2%

Fer + 80.2% Sucre + 22.9%

Caoutchouc + 53.2% Soya + 21.5%

Café + 46.3% Cuivre + 21.2%

Huile de palme + 45.5% Saumon + 20.4%

Maïs + 43.7% Pétrole + 20.0%

Blé + 33.0% Orge + 18.8%

Laine + 32.4% Cuir + 18.5%

Charbon + 23.6% Arachides + 13.8%

Source: Fonds monétaire International

http://www.imf.org/external/np/res/commod/External_Data-120910.csv

Î Toutes ces augmentations seront tôt ou tard repassées aux consommateurs

Î Les taux d'intérêts maintenus très bas pour ne pas nuire à la

"relance" de l'économie et la perte de confiance envers la valeur future du dollar américain, encouragent actuellement la spéculation sur les denrées de base.

GIA 400 – Cours 3 11

L'essence

L'essence à à un prix record… un prix record … maximum ou minimum??? maximum ou minimum???

„ En avril 2011 l'essence atteignit le niveau "record" de 1.45$/litre, soit presque 30 fois le prix le plus bas jamais enregistré qui fut d'environ 5¢/litre en 1931.

„ En 1931, une pièce de 10¢

achetait donc 2 litres d'essence

„ En avril 2011, la valeur intrinsèque du métal contenu dans la pièce de 1931 était parvenu à 2.90$ (contre 7¢ à l'époque)

„ La pièce de 1931 peut donc acheter en 2011: 2.90/1.45 = 2 litres d'essence, soit la même quantité qu'en 1931, alors que son prix était à son minimum

historique.

Î La contrefaçon légale de la monnaie par l'État est

essentiellement responsable de la hausse du prix de l'essence!

Pièce de 10¢ de 1931

• Pièces émises entre 1920 et 1967:

• Poids: 2.33 g

• Composition: 80% argent, 20% cuivre

• Valeur intrinsèque du métal en 1931: 7¢

• Valeur intrinsèque du métal en 2011: 2.90$

Pièce de 10¢ de 2011

• Pièces émises depuis 2000

• Poids: 1.75 g

• Composition: 92% acier, 5.5% cuivre, 2.5%

nickel

• Valeur intrinsèque du métal en 2011: 2¢

Le mot de la fin appartiendra

Le mot de la fin appartiendra- -t t- -il il à à Thomas Jefferson? Thomas Jefferson?

“La question de savoir si la circulation d'argent de papier, plutôt que d'espèces

sonnantes, est un bienfait ou une malédiction est

fort débattue...

Je pense qu'il s'agit là d'un cas où la raison ne fera

jamais taire la clameur mercantile, du moins jusqu'à ce que la ruine

l'étouffe."

(1813)

Thomas Jefferson (1743-1826) 3^eprésident des États-Unis (1801-1809)

Principal auteur de la déclaration d'indépendance et fondateur de l'Université de

Virginie

GIA 400 – Cours 3 13

Deux lectures chaudement recommand

Deux lectures chaudement recommandé és pour s'initier s pour s'initier à à l' l'é économie conomie

Murray N. Rothbard,

« The Mystery of Banking » Version pdf gratuite ici:

http://mises.org/Books/mysteryofbanking.pdf

Peter D. Schiff,

(Un des seuls économistes à avoir prédit en détail le crash de 2008)

« How an Economy Grows and why it Crashes »

Divers types de taux d

Divers types de taux d’ ’int inté érêts rêts

Taux du marché monétaire

1,87%

Rendements d'obligations types du gouvernement canadien, à 3 ans

3,48%

Rendements moyens des obligations négociables du gouvernement canadien, plus de 10 ans

Rendements des obligations

5,19%

Prêts hypothécaires ordinaires à 5 ans

3,00%

Taux de base des prêts aux entreprises (prime rate) Taux d'intérêt

1,12%

Acceptations bancaires à 1 mois

0,92%

Bons du Trésor à 1 mois

1,07%

Taux du papier commercial de premier choix à 1 mois

1,00%

Taux directeur du financement à un jour

31/12/10 Taux directeur de la Banque du Canada

Source: Banque du Canada

GIA 400 – Cours 3 15

Taux d

Taux d’ ’int inté érêt en fonction du temps ( rêt en fonction du temps (é éch ché éance) ance)

Source: Banque du Canada, en date du 31 décembre 2010

1 mois 0.92%

3 mois 0.97%

6 mois 1.13%

1 an 1.37%

2 ans 1.67%

3 ans 1.87%

5 ans 2.41%

7 ans 2.70%

10 ans 3.11%

Long terme 3.52%

La courbe de rendement (

La courbe de rendement (Yield Curve Yield Curve) )

y = 0.0117x^0.3589 R² = 0.9887

0.0%

0.5%

1.0%

1.5%

2.0%

2.5%

3.0%

3.5%

4.0%

0 5 10 15 20 25

Années

Taux annuel effectif

GIA 400 – Cours 3 17

Les risques de d

Les risques de dé éfaut en fonction de la note de cr faut en fonction de la note de cré édit (rating) dit (rating)

"Investment grade": AAA à BBB

"Speculative grade" (i.e. "junk bonds"): BBB– à C

Rating 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

AAA - 0.0 0.1 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.7 0.8 0.8 0.9 0.9 1.0 1.1 AA+ - 0.1 0.1 0.1 0.2 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 AA 0.0 0.0 0.1 0.2 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.0 1.1 1.2 1.3 AA- 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.6 0.7 0.8 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.3 A+ 0.1 0.1 0.3 0.5 0.6 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 1.7 1.8 2.1 2.4 2.6 A 0.1 0.2 0.3 0.5 0.6 0.9 1.1 1.3 1.6 1.9 2.1 2.3 2.4 2.5 2.8 A- 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1.1 1.5 1.8 2.0 2.2 2.3 2.5 2.7 2.8 2.9 BBB+ 0.2 0.5 0.8 1.1 1.5 2.0 2.3 2.7 3.1 3.4 3.8 4.0 4.3 4.8 5.3 BBB 0.2 0.6 0.9 1.4 1.9 2.4 2.9 3.3 3.9 4.4 5.0 5.5 6.0 6.2 6.5 BBB- 0.4 1.2 2.1 3.2 4.3 5.3 6.2 7.0 7.7 8.5 9.2 9.9 10.6 11.6 12.3 BB+ 0.6 1.5 2.8 4.1 5.3 6.5 7.6 8.4 9.5 10.5 11.2 12.0 12.6 13.1 14.0 BB 0.8 2.5 4.7 6.8 8.7 10.5 12.1 13.4 14.6 15.6 16.6 17.5 18.0 18.4 18.8 BB- 1.3 3.9 6.6 9.3 11.5 13.8 15.7 17.7 19.4 20.9 22.0 22.9 23.9 24.9 25.8 B+ 2.6 7.0 11.3 15.0 17.8 20.0 22.0 23.8 25.4 27.1 28.4 29.4 30.4 31.4 32.3 B 5.9 12.6 18.0 21.8 24.4 27.0 28.4 29.5 30.4 31.3 32.3 33.2 34.0 34.7 35.6 B- 9.1 17.2 23.1 27.1 30.0 31.8 33.6 34.7 35.5 36.1 36.7 37.3 37.6 37.9 38.5 CCC/C 27.4 36.8 42.1 45.2 47.6 48.7 49.7 50.6 51.9 52.9 53.7 54.6 55.7 56.6 56.6 Investment

grade 0.1 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 2.4 2.7 2.9 3.2 3.4 3.6 3.8 Speculative

grade 4.4 8.5 12.2 15.1 17.5 19.5 21.1 22.6 23.9 25.2 26.2 27.1 27.9 28.7 29.4 All rated 1.6 3.2 4.6 5.8 6.8 7.6 8.4 9.0 9.6 10.2 10.7 11.1 11.5 11.8 12.2 Source: S&P, 2010 Annual Global Corporate Default Study And Rating Transitions, Mars 2011

Années

Taux de défaut cumulatif depuis l'attribution de la note de crédit (%) (1981-2010)

Comment les agences attribuent

Comment les agences attribuent- -ils les notes de cr ils les notes de cré édit? dit?

„ Modèles quantitatifs, par exemple: le Score "Z" de Altman*

total Actif

Ventes total Passif

propres Capitaux

total Actif

on exploitati d'

Bénéfice total Actif

répartis non Bénéfices

total Actif

roulement de

Fonds

998 0 420 0 107 3 847 0 717 0

5 4 3 2 1

5 4

3 2

1

=

=

=

=

=

+ +

+ +

=

X X X X X

X . X . X . X . X . Z

„ Jugement qualitatif des analystes sur les perspectives de rentabilité de l'entreprise

2.90

1.23

élevé faible

moyen Risque de défaut Z

* Source: Altman, Edward I., Predicting Financial Distress of Companies: Revisiting the Z-Score and Zeta Models, New York University, July 2000, http://pages.stern.nyu.edu/~ealtman/Zscores.pdf

GIA 400 – Cours 3 19

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

7%

8%

9%

10%

0 5 10 15 20 25 30

Terme (années)

Taux d'intérêt

La structure des taux d

La structure des taux d’ ’int inté érêt en fonction du terme et du risque rêt en fonction du terme et du risque de dé de d éfaut faut

Obligation du Gouvernement

BBB BB

(«junk bond») Primes de risque

de défaut

« le spread»

Note

Inflation attendue Droit d’usage

sans risque

AAA

É

Él lé éments des transactions ments des transactions à à int inté érêt rêt

An Le montant d'un flux monétaire régulier et constant Aà la

période n (une annuité)

Fn La valeur future d’un montant P, à la fin de la période n

In Le montant d’intérêt en $ de la période n

F La valeur future d’un montant P,après Npériodes

I Le montant d’intérêt total (entre 0 et N) en $

La position dans le temps où on se situe dans l’analyse n (entre 0 et N)

N Nombre total de paiements ou de périodes d’intérêt

i Taux d’intérêt périodique en %

P Capital initial ou valeur présente (au temps 0)

Notation Élément

GIA 400 – Cours 3 21

Les calculs d

Les calculs d’ ’int inté érêt rêt

L’intérêt simple

„ L’ intérêt est calculé sur le capital initial seulement

„ Il n’y a pas d’intérêt sur l’intérêt des périodes précédentes, même si on ne le retire pas.

N P

i

I = × ×

) 1

(

) (

iN P

F

iPN P

F

I P F

+

= +

= +

=

La valeur future de P:

Int

Inté érêt simple: Exemple rêt simple: Exemple

400$

1 1.4 000$

1 4) 10%

000$(1 1 ) 1 (

$ 400 4

% 10 000$

1 : ou

1400$

400$

000$

1

$ 400

$ 100

% 10

$ 000 1

$ 100

% 10

$ 000 1

$ 100

% 10

$ 000 1

$ 100

% 10

$ 000 1

ans 4

% 10

$ 000 1

4 3 2 1

=

×

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= +

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×

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=

iN P F

PiN I

I P F

I I I I I N i P

GIA 400 – Cours 3 23

Les calculs d

Les calculs d’ ’int inté érêt rêt

L’intérêt composé

„ L’intérêt est calculé sur le solde de la période précédente, comprenant capital et les intérêts accumulés, si ceux-ci n’ont pas été retirés.

) 1 ) 1 ((

) 1 (

) 1 (

: général En

etc.

...

) 1 )(

1 )(

1 ( ) 1 (

) 1 )(

1 ( ) 1 (

) 1 (

2 3

1 2 1

− +

=

− +

=

−

= +

=

+ + +

= +

=

+ +

= +

= +

=

N N

N

i P P i P I

P F I

i P F

i i i P i F F

i i P i F F

i P F

Int

Inté érêt compos rêt composé é: Exemple : Exemple

464$

1 1.464 000$

1 10%) 000$(1 1 ) 1 (

464$

1) - 1.464 ( 000$

1 ) 1 )

% 0 1 ((1 000$

1 ) 1 ) 1 ((

: ou

1464$

464$

000$

1

$ 464

$ 133

% 10

$ 31 3 1

$ 121

% 10

$ 0 1 2 1

$ 110

% 10

$ 100 1

$ 100

% 10

$ 000 1

ans 4

% 10

$ 000 1

4 4 4

3 2 1

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×

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N N

i P F

i P I

I P F

I I I I I N i P

GIA 400 – Cours 3 25

Diagramme de flux mon Diagramme de flux moné étaire taire

Conventions:

„ +: Entrée d’argent

„ –: Sortie d’argent

„ Les flux monétaires sont toujoursen fin de période

0 1 2 N

F

0$

+$

–$ P 3 …………..

n Période

temps

Autre exemple Autre exemple

„ Dépôt (P) de 1000$ dans un placement à 8% par année pendant 10 ans.

„ Quel montant (F) peut-on retirer à la fin de la 10eme année?

0

1 2 10

F = 1000$(1+.08)

¹⁰

=2 159$

0 +

–

P = 1 000$

N = 10 i = 8%

3 4 5 6 7 8 9

GIA 400 – Cours 3 27

Illustration (Exemple 2.2) Illustration (Exemple 2.2)

„ Achat de l’île de Manhattan en 1626 pour 24$.

„ Combien cette somme vaudrait-elle à la fin de 2009 si elle avait été placée dans un compte portant intérêt à 8% par année?

$ 875 141 149 883 151 10 3284 . 6

$ 24 ) 08 . 1

$(

24 ) 1 (

composé Intérêt

$ 759 64 . 31

$ 24 ) 383 08 . 1

$(

24 ) 1 (

: simple Intérêt

années 383

% 8

$ 24

12

383= × × =

+

= +

=

=

×

=

× +

= +

=

=

=

=

i N

P F

Ni P F N i P

Plus de 151 trillions $, soit une augmentation de plus de 75 trillions $ au cours des 9 dernières années!

0 $ 500 $ 1 000 $ 1 500 $ 2 000 $ 2 500 $ 3 000 $

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Année (N )

Valeur Future (F)

Intérêt composé Intérêt simple

Int

Inté érêt simple vs. int rêt simple vs. inté érêt compos rêt composé é

P = 1 000$

i = 10%

GIA 400 – Cours 3 29

Inté Int érêt simple vs int rêt simple vs inté érêt compos rêt composé é

Gain du à l’intérêt composé

[ ]

[ ]

[ 1 . 464 1 . 400 ] 1000 $ . 064 64 $

$ 000 1

) 4

% 0 1 ( (1 )

% 0 1 (1 000$

1

: de est gain le ans 4 après exemple, notre

Dans

) 1 ( ) 1 (

) 1 ) 1 ((

: Gain

) 1 ) 1 ((

: composé Intérêt

: simple Intérêt

4

=

×

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∆I

∆I

iN i

P

∆I

iPN i

P

∆I

i P I

iPN I

N N N

Notions d

Notions d’é ’équivalence quivalence é économique conomique

„ Deux flux monétaires sont économiquement équivalents si leur valeur économique actualisée au même moment dans le tempsest égale.

„ Si deux flux monétaires sont équivalents, un investisseur sera indifférent à la substitution d’un flux monétaire pour l’autre.

Équivalence = Indifférence

GIA 400 – Cours 3 31

Diagramme de flux mon

Diagramme de flux moné étaire: taire: É Équivalence et transaction quivalence et transaction

Équivalence Transaction

0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5

P= 100$

F= 161.05$

À 10% d'intérêt composé par année, recevoir 161.05$ dans 5

ans est équivalent à recevoir 100$ aujourd'hui.

Une ligne pointillée va signifier une équivalence

À 10% d'intérêt composé par année, il faut investir 100$

aujourd'hui pour recevoir 161.05$ dans 5 ans.

Une ligne pleine va signifier une transaction P= 100$

F= 161.05$

+

- -

+

i= 10% i= 10%

Exemple 2.4: Un exemple simple d

Exemple 2.4: Un exemple simple d’é’équivalencequivalence

„ On vous propose de recevoir 3 000$ en fin de période dans 5 ans ou P$ maintenant.

Vous avez la garantie de recevoir le montant de 3 000$ dans 5 ans (risque nul). Vous n'avez pas besoin des P$ maintenant et vous pourriez les déposer à un taux de 8%.

Quel est le montant P $ vous rendrait indifférent entre recevoir P $ aujourd'hui et 3 000$ à la fin d'une période de 5 ans.

$ 4693 2042

. 1

$ 3000 )

08 . 1 (

$ 3000

) 1 (

) 1 (

5

%;

8

$;

3000

5 = =

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=

=

=

P i P F

i P F

N i

F

N N

„ 2 042$ maintenant est équivalent à 3 000$ dans 5 ans

„ 2 042$ maintenant est équivalent à 3 000$ dans 5 ans

0 1 2 3 4 5

P= 2 042$

F= 3 000$

GIA 400 – Cours 3 33

Les principes d

Les principes d’é ’équivalence quivalence

1. Deux flux monétaires équivalents sont équivalents à n’importe quel moment dans le temps

0 1 2 3 4 5

Années 2 042$

2 572 $

3 000$

3 0 3

P ( 1 i )

F = +

2 5 3

( 1 i ) P F

= +

„ La valeur future à 8% par année de 2 042$ à n= 3 est égale à la valeur actualisée à 8% par année de 3 000$ à n=3

Les principes d

Les principes d’é ’équivalence quivalence

Corolaire du Principe 1:

Une transaction financière est justement valorisée si la somme des valeurs équivalentes (VE) des flux monétaires entrants et des flux monétaires sortants est égale à 0, à n'importe quel moment dans le temps.

0 1 2 3 4 5

3 000$

2 572$

0 1 2 3 4 5

3 000$

2 042$

( )

0

$ 042 2

$ 042 2

08 1

$ 3000

$ 042

2 ⁵

0

= +

−

=

+ +

−

= ⁻

∑

^{VE . ( ) ( )}

0

$ 2 7 5 2

$ 2 7 5 2

08 1

$ 000 3 .08 1

$ 042

2 ^{3 2}

3

= +

−

=

+ + +

−

= ⁻

∑

^{VE .}

0 1 2 3 4 5

3 000$

- 2 042$

i = 8%

à t =0 à t =3

Transaction:

Investir 2 042$

Recevoir 3 000$ dans 5 ans

GIA 400 – Cours 3 35

Les principes d

Les principes d’é ’équivalence: Analogie m quivalence: Analogie mé écanique canique

100 N

75 N Structure en équilibre

25 N

Si la structure est en équilibre, elle est en équilibre en tout point.

Par exemple, la somme des moments autour du point "X" est de 0:

( ) ( ) ( )

0 225 25 200

3 75 1 25 2 100

=

− +

=

− +

∑

^MX =

Transaction financière en équilibre

0 1 2 3 4 5

3 000$

- 2 042$

i = 8%

X

1 2 1

(1+.08)³

(1+.08)^-2

Si la transaction est en équilibre, elle est en équilibre en tout point dans le temps.

Par exemple, la somme des valeurs équivalentes (VE) au point "X", à t=3, est de 0:

( ) ( )

( ) ( )

0 572 2 572 2

8573 0 000 3 2597 1 042 2

08 1 1 000 3 08 1 042

2 ^{3 2}

= +

−

=

+

−

=

+ + +

−

∑

= ⁻

. .

. .

VE_X

- 2 572$

+ 2 572$

X

+

Les principes d

Les principes d’é ’équivalence quivalence

2. L’équivalence est fonction du taux d’intérêt

„ Le changement de taux d’intérêt annule l’équivalence

Années

0 1 2 3 4 5

2 042$

3 000$ à 8%

3 289 $ à 10%

„ À 10% d’intérêt 2 042$ maintenant n’est plus équivalent à 3 000$ dans 5 ans, mais à 3 289$ dans 5 ans.

GIA 400 – Cours 3 37

Les principes d

Les principes d’é ’équivalence quivalence

3. Les flux monétaires à paiements multiples peuvent être convertis en flux monétaires à paiement unique

( )

$ .

i F P

45 970 3

.09) (1 141.85$

5 1

3 - 3

3 3

=

+

×

= +

= ⁻

„ Les trois plans dont économiquement équivalents: ils ont la même valeur actualisée

„ Le plan 2, à paiement unique, est équivalent aux plans à paiements multiples 1 et 3

„ Prêt de 20 000$

à 9% d’intérêt pour 5 ans:

„ Choix de 3 plans de remboursement

Année Plan 1 Plan 2 Plan 3

1 5 141.85 $ 0.00 $ 1 800.00 $

2 5 141.85 $ 0.00 $ 1 800.00 $

3 5 141.85 $ 0.00 $ 1 800.00 $

4 5 141.85 $ 0.00 $ 1 800.00 $

5 5 141.85 $ 30 772.48 $ 21 800.00 $

Versements totaux 25 709.25 $ 30 772.48 $ 29 000.00 $ Intérêts totaux 5 709.25 $ 10 772.48 $ 9 000.00 $

Année Plan 1 Plan 2 Plan 3

1 4 717.29 $ 0.00 $ 1 651.38 $

2 4 327.79 $ 0.00 $ 1 515.02 $

3 3 970.45 $ 0.00 $ 1 389.93 $

4 3 642.62 $ 0.00 $ 1 275.17 $

5 3 341.85 $ 20 000.00 $ 14 168.50 $

Valeuractualisée totale 20 000.00 $ 20 000.00 $ 20 000.00 $ Versements annuels

Valeur actualisée des versements

Les principes d

Les principes d’é ’équivalence quivalence

4. L’équivalence ne dépend pas du choix du point de vue, soit celui de l’emprunteur ou du prêteur

„ Choix entre payer3 000$ dans 5 ans ou P $ maintenant. Si vous pouvez investir Pà 8%, trouvez P.

„ Quel montant actualiséPest équivalent à payer 3 000$ dans 5 ans, si ce montant peut être placé à un taux de 8% pour 5 ans?

$ 4693 2042

. 1

$ 3000 )

08 . 1 (

$ 3000

) 1 (

) 1 (

5

%;

8

$;

3000

5 = − =−

+

= −

= + +

=

=

=

−

=

P i P F

i P F

N i

F

N N

„ Payer ourecevoir 2 042$ maintenant est toujours respectivement équivalent à payer ourecevoir 3 000$ dans 5 ans

GIA 400 – Cours 3 39

Cinq types de flux mon Cinq types de flux moné étaires taires

„ Flux monétaire unique

„ Flux monétaires irréguliers

„ Flux monétaires constants et périodiques: annuités à intervalles réguliers

Dans deux semaines

„ Flux monétaire à gradient linéaire

„ Flux monétaire à gradient géométrique

Les formules de flux mon

Les formules de flux moné étaires uniques taires uniques 1. Capitalisation

1. Capitalisation

0 N

Processus de capitalisation

F = P(1+i)^N P

F

) , , (

) , , ( ) 1 (

: Notation

tion capitalisa de

facteur le

appelé est ) 1 (

) 1 (

N i P F P F

N i P F i

i i P F

N N

N

=

= + +

+

=

GIA 400 – Cours 3 41

Capitalisation d

Capitalisation d’ ’un flux mon un flux moné étaire unique: Exemple 2.7 taire unique: Exemple 2.7

„ Vous possédez 2 000$ que vous investissez à un taux de 10% par année.

Combien vaudra cette somme dans 8 ans?

$ 20 . 287 4 ) 1436 . 2 (

$ 000 2

8)

%, 10 , / ( 000$

2

) , , (

C annexe l' de table la par ou

$ 20 . 287 4 ) 10 . 0 1

$(

000 2

) 1 (

8

=

=

=

=

= +

= +

=

F

P F F

N i P F P F F

i P

F ^N

P= 2 000 $

0 1 2 3 4 5 6 7 8

F= ? i^=10%

N=8 0

Transaction

TI Voyage 200: le "TVM TI Voyage 200: le "TVM SolverSolver""

( 10%, 8 ) 4 287 20 $

$ 000

2

F/P, .

F = =

0 1 2 3 4 5 6 7 8

P= - 2000 $

F= ? i=10%

N=8 0

N i(%) P A F K

Solveur TVM Fonctions TVM

C M=CK

Les fonction financières des calculatrices (et d'Excel) font toujours les calculs d'équivalence comme s'il s'agissait d'une transaction. Le signe est donc toujours inversé.

Nous verrons la signification de K et C au prochain cours

GIA 400 – Cours 3 43

TI Nspire TI Nspire: le "TVM : le "TVM Solver Solver" "

Solveur TVM Fonctions TVM

Seule différence avec la Voyage 200:

Pas de "_" après "tvm"

Les formules de flux mon

Les formules de flux moné étaires uniques taires uniques 2. Actualisation

2. Actualisation

0 N

P

F

Processus d’actualisation

F = P (1+i)^-N

) , , (

) , , ( ) 1 (

: Notation

ion actualisat d'

facteur le

appelé est ) 1 (

) 1 ) (

1 (

N i F P F P

N i F P i

i

i i F

P F

N N

N N

=

= + +

+ + =

=

−

−

−

GIA 400 – Cours 3 45

Actualisation d

Actualisation d’ ’un flux mon un flux moné étaire unique: Exemple 2.9 taire unique: Exemple 2.9

„ Quelle somme doit-on investir maintenant pour accumuler une somme de 1 000$ dans 5 ans si le taux annuel est de 12%?

0 1 2 3 4 5

P= ?

F= 1 000$

i=12%

N=5

( )

( 0 5674 ) 567 43 $

$ 000 1

5 12

$ 1000 ou

$ 43 567 12

0 1 ( 000$

1 1

5

. .

P

%, , F / P P

) N , i , F P ( F P

. )

. P

) i ( F

P

^N

=

=

=

=

= +

= +

=

−

−

Sensibilit

Sensibilitéédes facteurs F/P et P/F àdes facteurs F/P et P/F àNNet et ii

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Périodes

(P/F,i,n)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Périodes

(F/P,i,n)

Capitalisation Actualisation

0%

5%

10%

15%

i% 0%

5%

10%

15%

i%

GIA 400 – Cours 3 47

Effet de divers taux d

Effet de divers taux d’ ’actualisation: Exemple 2.10 actualisation: Exemple 2.10

„ Montant forfaitaire de 1 millions $ sera reçu dans 50 ans. Quelle est la valeur actualisée équivalente de ce montant à 5%, à 10% et à 25%?

14.27$

27) 014 (0,000

$ 000 000 1 50) 25%, , / (

$ 000 000 1

: 25%

à

519$

8 519)) (0,008

$ 000 000 1 50) 10%, , / (

$ 000 000 1

: 10%

à

200$

87 (0,0872)

$ 000 000 1 50) 5%, , / (

$ 000 000 1

: 5%

à

) , , (

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

F P P

F P P

F P P

N i F P F P

Les formules de flux mon

Les formules de flux moné étaires uniques: Comment trouver taires uniques: Comment trouver N

N

„ Connaissant P, Fet i, comment trouver N:

) 1 ( log

) ( log

i) (1 log log

) 1 (

) 1 (

i P N F

P N F P i F

i P F

N N

= +

+

⎥⎦ =

⎢⎣ ⎤

⎡ +

⎥⎦ =

⎢⎣ ⎤

⎡

+

=

GIA 400 – Cours 3 49

Comment trouver

Comment trouver

N: Exemple 2.8N:

Exemple 2.8

„ Combien de temps mettra 6 000$ pour capitaliser à 12 000$ à 20% année?

années 80

3

20 1

2 1

log

20%

000$;

12 000$;

6

. N

) . log(

) ( log )

i ( log

) P F N (

i F

P

=

+ =

=

=

=

=

Un truc commode pour estimer

Un truc commode pour estimer N

N

ou i si F/P = 2 ou

i si F/P = 2: La r

: La rè ègle de 72 gle de 72

„ Combien de temps met un placement pour doubler en valeur (i.e. F/P= 2) si le taux d’intérêt est de 8%?

années 00

. 8 9 72 72

72 : 72 de règle ou

années 01

. ) 9 08 . 1 log(

) 2 ( log )

1 ( log

) ( log

=

=

=

=

×

+ = + =

=

N i i N

i P N F

i en %

GIA 400 – Cours 3 51

La rè La r ègle de 72 gle de 72

i Calcul exact Règle de 72 Erreur

1% 69.66 72.00 3.36%

2% 35.00 36.00 2.85%

3% 23.45 24.00 2.35%

4% 17.67 18.00 1.85%

5% 14.21 14.40 1.36%

6% 11.90 12.00 0.88%

7% 10.24 10.29 0.40%

8% 9.01 9.00 -0.07%

9% 8.04 8.00 -0.54%

10% 7.27 7.20 -1.00%

11% 6.64 6.55 -1.45%

12% 6.12 6.00 -1.90%

13% 5.67 5.54 -2.34%

14% 5.29 5.14 -2.78%

15% 4.96 4.80 -3.22%

16% 4.67 4.50 -3.64%

17% 4.41 4.24 -4.07%

18% 4.19 4.00 -4.49%

19% 3.98 3.79 -4.90%

20% 3.80 3.60 -5.31%

Années pour doubler P

N Calcul exact Règle de 72 Erreur

1

100.0% 72.0% -28.00%

2

41.4% 36.0% -13.09%

3

26.0% 24.0% -7.66%

4

18.9% 18.0% -4.87%

5

14.9% 14.4% -3.16%

6

12.2% 12.0% -2.01%

7

10.4% 10.3% -1.18%

8

9.1% 9.0% -0.56%

9

8.0% 8.0% -0.07%

10

7.2% 7.2% 0.32%

11

6.5% 6.5% 0.64%

12

5.9% 6.0% 0.90%

13

5.5% 5.5% 1.13%

14

5.1% 5.1% 1.32%

15

4.7% 4.8% 1.49%

16

4.4% 4.5% 1.64%

17

4.2% 4.2% 1.77%

18

3.9% 4.0% 1.89%

19

3.7% 3.8% 1.99%

20

3.5% 3.6% 2.08%

Rendement si P double

Estimation de N Estimation de i

Les formules de flux mon

Les formules de flux moné étaires uniques: Comment trouver i taires uniques: Comment trouver i

„ Connaissant P, Fet N, comment trouver i:

1 ) 1 (

) 1 (

) 1 (

1 1

⎥⎦ −

⎢⎣ ⎤

= ⎡

+

⎥⎦ =

⎢⎣ ⎤

⎡

+

⎥⎦ =

⎢⎣ ⎤

⎡

+

=

N N

N N

P i F

P i F P i F

i P F

Attention: Vrai seulement pour les flux monétaires uniques!

GIA 400 – Cours 3 53

Comment trouver

Comment trouver i:

i: Exemple

Exemple

„ Google a émis ses premières actions au public le 19 août 2004 au prix de 100$ par action. Le 17 janvier 2011, ces actions valaient 624 $. Quel est le taux de rendement annuel moyen depuis l’émission?

année par 06 33 100 1

624 1

années 41 6 624$;

100

4 6

1 1

% , i

P i F

. N F

$;

P

. N

=

⎥⎦ −

⎢⎣ ⎤

= ⎡

⎥⎦ −

⎢⎣ ⎤

= ⎡

=

=

=

0 $ 100 $ 200 $ 300 $ 400 $ 500 $ 600 $ 700 $ 800 $

2004 2004 2005 2005 2005 2005 2006 2006 2006 2006 2007 2007 2007 2007 2008 2008 2008 2008 2009 2009 2009 2009 2010 2010 2010 2010

Application: Le rendement des actions de Google Application: Le rendement des actions de Google

% . ,

i . ^. 1 3306

$ 00 100

$ 18

624 ⎥⎦⎤¹⁶⁴¹− =

⎢⎣⎡

=

Prix par action

86,45% / an Depuis Oct. 08:

50,38% / an 33,08% / an

-63,53% / an

14/01/11:

624.18$

Du 19 août 2004 au 14 janvier 2011: