Notation Structure à terme Zéro-coupon Taux à terme Le taux court Références
La structure par terme des taux d’intérêt
80-646-08 Calcul stochastique I
Geneviève Gauthier
HEC Montréal
Notation Structure à terme Zéro-coupon Taux à terme Le taux court Références
La notation I
Cette section est fortement inspirée du livre ”La structure à terme des taux d’intérêt” de Christophe Bisière.
P(t,T) =le prix au tempst d’une obligation zéro-coupon venant à échéance au temps T. P(T,T) =1.
Bisière, p.4.
Notation Structure à terme Zéro-coupon Taux à terme Le taux court Références
La notation II
R(t,T) =le taux derendement au tempst de
l’obligation zéro-coupon venant à échéance au temps T. C’est le taux d’intérêt qui, appliqué continûment à un investissement de montant P(t,T)au temps t, permet d’obtenir une unité au temps T :
P(t,T)exp[R(t,T) (T t)] =1.
Nous avons donc
R(t,T) = 1
T tln[P(t,T)]. Bisière, p.5-6.
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La notation III
r(t) =le taux court au tempst.
r(t) =limT#tR(t,T)
C’est le taux porté par un prêt au tempst devant être remboursé instantanément!
Bisière, p.8-10.
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La notation IV
f (t,T1,T2) =taux à terme (taux forward)
Il est possible de construire un portefeuille d’obligations permettant de déterminer à l’avance (c’est-à-dire au temps t) le taux d’intérêt d’un prêt débutant au temps T1 t et venant à échéance au tempsT2 T1.
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La notation V
Au tempst :
vente d’une obligation venant à échéance à la dateT2 et achat deP(t,T2)/P(t,T1)obligation venant à échéance àT1 pour un coût de
P(t,T2) P(t,T2)
P(t,T1)P(t,T1) =0.
Au tempsT1, nous recevons les ‡ux monétaires engendrés par la quantité d’obligations que l’on a achetées: nous recevons donc
P(t,T2)
P(t,T1)P(T1,T1) = P(t,T2) P(t,T1). Au tempsT2, nous devons rembourser l’obligation vendue : nous devons donc payer
P(T2,T2) =1.
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La notation VI
Ainsi, f (t,T1,T2) est le taux d’intérêt qui satisfait l’équation
P(t,T2)
P(t,T1)exp[f (t,T1,T2) (T2 T1)] =1.
Il est possible de montrer que f (t,T1,T2) = 1
T2 T1 ln P(t,T2) P(t,T1) .
Bisière, p.10-12.
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La notation VII
LorsqueT2 tend vers T1, le taux à terme devient celui d’un prêt d’une durée de plus en plus courte.
f (t,T) = le taux à terme instantanéau tempst pour l’instant futur T
f (t,T) = limε#0f (t,T,T +ε) Il est possible de montrer que
P(t,T) =exph RT
t f (t,s) dsi f(t,T) = ∂lnP(t,u)∂u
Bisière, p.10-12. u=T
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La notation VIII
En e¤et, par dé…nition,f (t,T1,T2)satisfait l’équation f (t,T1,T2) = 1
T2 T1
ln P(t,T2) P(t,T1) . Ainsi
f (t,T,T +ε) = 1
T +ε T ln P(t,T +ε) P(t,T)
= ln[P(t,T +ε)] ln[P(t,T)]
ε .
Par conséquent,
f (t,T) lim
ε#0f (t,T,T +ε)
= lim
ε#0
ln[P(t,T +ε)] ln[P(t,T)]
ε
= ∂ln[P(t,u)]
∂u u=T .
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La notation IX
D’où Z T
t
f (t,s) ds =
Z T
t
∂ln[P(t,s)]
∂s ds
= ln[P(t,T)] +ln[P(t,t)]
= ln[P(t,T)] car P(t,t) =1.
Ce qui complète la preuve puisqu’alors exp
Z T
t
f (t,s) ds =P(t,T).
Notation Structure à terme
Zéro-coupon Taux à terme Le taux court Références
Structure à terme I
Supposons qu’aujourd’hui correspond au temps t =0. Les seuls prix d’obligations connus sont de type P(0,T). Les prix de type P(t,T),t >0 ne sont pas encore observés.
Par conséquent, nous pouvons déduire des prix observés les taux à terme
f (0,T1,T2), 0 T1 T2 mais les taux à terme de type
f (t,T1,T2), 0<t T1 T2
sont encore inconnus.
Il faut donc les modéliser!
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Taux à terme Le taux court Références
Zéro-coupon I
Supposons que
dP(t,T) =α(t,T) P(t,T) dt+P(t,T)δ>(t,T)
1 k
dWP(t)
k 1
oùWP est un mouvement brownien multidimensionnel construit sur l’espace(Ω,F,P).
PuisqueP(T,T) =1 et comme le fait de détenir une obligation un instant avant son échéance revient à placer son argent dans un compte bancaire rémunéré au taux sans risque r(T), nous avons
α(T,T) = r(T) etδ(T,T) = 0.
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Taux à terme Le taux court Références
Zéro-coupon II
Theorem
Il est possible de montrer (la preuve suit!) que P(t,T) =EPt exp
Z T
t
α(s,T) ds Bisière, p.52.
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Taux à terme Le taux court Références
Zéro-coupon III
Démonstration. Posons V(u) =exp
Z u
t
α(s,T) ds . Puisque
dV (u) = α(u,T)V (u) du et
dP(u,T) = α(u,T) P(u,T) du +P(u,T)δ>(u,T)
1 k
dWP(u)
k 1
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Taux à terme Le taux court Références
Zéro-coupon IV
alors la règle de multiplication (le lemme d’Itô), nous donne
dP(u,T)V(u)
= V(u) dP(u,T) +P(u,T) dV(u) +dhV,Piu
= V(u) α(u,T)P(u,T) du+P(u,T) δ>(u,T)
1 k
dWP(u)
k 1
!
+P(u,T) ( α(u,T)V(u) du)
= V(u) P(u,T)δ>(u,T)
1 k
dWP(u)
k 1
.
Exprimé sous une forme intégrale, nous obtenons
P(T,T)
| {z }
=1
V(T) P(t,T)V(t)
| {z }
=1
= ZT
t V(u) P(u,T)δ>(u,T)
1 k
dWP(u)
k 1
.
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Taux à terme Le taux court Références
Zéro-coupon V
Rappel :
P(T,T)
| {z }
=1
V(T) P(t,T)V(t)
| {z }
=1
= ZT
t V(u) P(u,T)δ>(u,T)
1 k
dWP(u)
k 1
.
En prenant l’espérance conditionnelle de part et d’autre de l’égalité, il vient
EPt [V(T)] EPt [P(t,T)] =0.
Par conséquent,
P(t,T) = EPt [P(t,T)] =EPt [V(T)]
= EPt exp
Z T
t α(s,T) ds .
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Taux à terme Le taux court Références
Absence d’arbitrage I
Un argument basé sur l’absence d’opportunités d’arbitrage et sur la construction d’un portefeuille localement non risqué contenantk+1 obligations établit un lien entre α,r et δ: il existe un processus ˜tel que α(t,T) r(t) = Λ>t
1 k
δ(t,T)
k 1
pour tout 0 t T < ∞. Ce résultat est important dans la mesure où il nous
indique qu’il y a un lien entre les coe¢ cients de dérive et de di¤usion de l’équation di¤érentielle stochastique modélisant l’évolution du prix d’une obligation.
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Absence d’arbitrage II
Idée de la construction. Considérons une stratégie d’investissement auto…nancée sur l’intervalle de temps [0,T] composée dek+1 obligations de maturités di¤érentes (ces maturités étant ultérieures au temps T).
Soit φ1(t), ..., φk+1(t), les nombres desk+1 obligations détenues au temps t.
La valeur de la stratégie d’investissement est donnée par le processus stochastique V et
Vt =
k+1 j
∑
=1φj(t)P(t,Tj).
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Absence d’arbitrage III
Comme la stratégie est auto…nancée, nous avons
dVt
=
k+1∑
j=1
φj(t) dP t,Tj
=
k+1∑
j=1
φj(t) α t,Tj P t,Tj dt+P t,Tj δ> t,Tj
1 k
dWP(t)
k 1
!
=
k+1∑
j=1
φj(t) P t,Tj α t,Tj dt
+
k+1 j=1∑
φj(t) P t,Tj δ> t,Tj
1 k
dWP(t)
k 1
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Absence d’arbitrage IV
=
k+1 j=1∑
φj(t) P t,Tj
Vt
| {z }
wj(t)
Vt α t,Tj dt
+
k+1∑
j=1
φj(t) P t,Tj Vt
| {z }
wj(t)
Vt δ> t,Tj
1 k
dWP(t)
k 1
=
k+1 j=1∑
wj(t) Vt α(t,Tj) dt+
k+1 j∑=1
wj(t) Vt δ> t,Tj 1 k
dWP(t)
k 1
oùwk(t)représente la proportion au temps t de la valeur globale du portefeuille investie dans lek ième actif.
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Absence d’arbitrage V
Idée de la construction (suite) Rappel
dVt
=
k+1∑
j=1
wj(t) Vt α t,Tj dt+
k+1∑
j=1
wj(t) Vt δ> t,Tj 1 k
dWP(t)
k 1
=
k+1∑
j=1
wj(t) Vt α t,Tj dt+
k+1∑
j=1
wj(t) Vt
∑k i=1
δi t,Tj dWi(t)
=
k+1∑
j=1
wj(t) Vt α t,Tj dt+
∑k i=1
k+1∑
j=1
wj(t) Vt δi t,Tj
!
dWi(t)
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Absence d’arbitrage VI
On pourrait choisir w1(t), ..., wk+1(t) de sorte que
∑kj=+11wj (t)Vt δi(t,Tj) =0 pour touti 2 f1, ...,kg C’est un système linéaire dek équations et dek+1 inconnues.
Si tel est le cas, il faudra que le rendement soit le taux sans risque:
k+1 j
∑
=1wj(t) Vt α(t,Tj) dt =r(t) Vt dt
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Absence d’arbitrage VII
Le système linéaire à résoudre s’écrit
2 66 64
α(t,T1) r(t) α(t,Tk+1) r(t) δ1(t,T1) δ1(t,Tk+1)
.. .
.. . δk(t,T1) δk(t,Tk+1)
3 77 75 2 66 64
w1(t) w2(t)
.. . wk+1(t)
3 77 75=
2 66 64
0 0 .. . 0
3 77 75
Pour que ce système possède une solution non triviale (c’est-à-dire di¤érente de zéro), le déterminant de la matrice carrée de dimension k+1 doit être égal à zéro, et son rang doit être strictement inférieur à k+1.
Les lignes de cette matrice étant linéairement
dépendantes, il existe une combinaison linéaire non nulle de celles-ci qui est égale à un vecteur ligne dek+1 zéros.
Bisière, page 55.
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Taux à terme Le taux court Références
Absence d’arbitrage VIII
Cette propriété étant totalement indépendante des titres sélectionnés, le vecteur des coe¢ cients de la combinaison linéaire ne dépend pas des échéances T1, ...,Tk+1 choisies.
Par conséquent, il existe un processus Λtel que α(t,T) r(t) =Λ>t
1 k
δ(t,T)
k 1
pour tout 0 t T <∞. Bisière, page 55.
Il faudrait tout de même véri…er que la stratégie choisie est bien auto…nancée...
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Taux à terme Le taux court Références
Autre approche I
Sous une mesure neutre au risque, il faut que le prix de la valeur actualisée d’une obligation soit une martingale.
Ceci est équivalent à dire que, sous une mesure neutre au risque, le rendement instantané de l’obligation est le taux sans risque:
dP(t,T)
= α(t,T) P(t,T) dt+P(t,T)δ>(t,T)
1 k
dWP(t)
k 1
= α(t,T) P(t,T) dt+P(t,T)
∑
k i=1δi(t,T) dWi(t)
= α(t,T)
∑
k i=1δi(t,T)γi(t)
!
P(t,T) dt +P(t,T)
∑
k i=1δi(t,T) d Wi(t) +
Z t
0 γi(s)ds
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Taux à terme Le taux court Références
Autre approche II
dP(t,T) = α(t,T)
∑
k i=1δi(t,T)γi(t)
!
P(t,T) dt +P(t,T)
∑
k i=1δi(t,T) dWfi(t) où
fWi(t) =Wi(t) +
Z t
0
γi(s)ds.
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Autre approche III
Posons donc α(t,T)
∑
k i=1δi(t,T)γi(t) =r(t) qui se réécrit sous forme matricielle
α(t,T) r(t) = Λ>
1 k δ(t,T).
Il faut alors véri…er que le processus Λainsi construit satisfait la condition de Novikov a…n queWQ soit un Q mouvement brownien.
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Taux à terme Le taux court Références
Nous obtenons aussi le prix de l’obligation :
P(t,T)
= EPt exp ZT
t α(s,T) ds
= EPt exp ZT
t r(s) ds 1 2
ZT
t Λ>sΛs ds ZT
t Λ>s dWPs
(La démonstration suit) Bisière, p.55-58.
Taux d’intérêt
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Taux à terme Le taux court Références
Démonstration. Posons
V(u) =exp 0 BB
@ Z u
t
r(s) ds 1 2
Z u
t Λ>s Λs ds Z u
t Λ>s dWsP
| {z }
Yu
1 CC A.
En considérantV comme une fonction de u et deY, on utilise le lemme d’Itô a…n d’établir
dV (u) = ∂V
∂udu+ ∂V
∂ydYu+1 2
∂2V
∂y2dhYiu
= r(u) 1
2Λ>uΛu V(u)
| {z }
∂V
∂u
du
V (u)
| {z }
∂V
∂y
Λ>u dWPu
| {z }
dYu
+1 2V (u)
| {z }
∂2V
∂y2
Λu>Λu du
| {z }
dhYiu
= r(u)V (u) du V(u)Λ>u dWPu
Notation Structure à terme Zéro-coupon
Taux à terme Le taux court Références
Rappelons que
dV (u) = r(u)V (u) du V (u)Λ>u dWPu etdP(u,T) = α(u,T) P(u,T) du
+P(u,T)δ>(u,T)
1 k
dWP(u)
k 1
Notation Structure à terme Zéro-coupon
Taux à terme Le taux court Références
La règle de multiplication (le lemme d’Itô), nous donne
dP(u,T)V(u)
= V(u) dP(u,T) +P(u,T) dV(u) +dhV,Piu
= V(u) α(u,T)P(u,T) du+P(u,T) δ>(u,T) dWP(u) +P(u,T) r(u)V(u) du V(u)Λ>u dWPu
V(u)P(u,T) Λ>u δ(u,T) du
= V(u) P(u,T) α(u,T) r(u) Λ>u δ(u,T)
| {z }
=0
du
+V(u) P(u,T) δ>(u,T) Λ>u
1 k
dWP(u)
k 1
.
= V(u) P(u,T) δ>(u,T) Λ>u
1 k
dWP(u)
k 1
Notation Structure à terme Zéro-coupon
Taux à terme Le taux court Références
Écrit sous sa forme intégrale, nous obtenons
P(T,T)
| {z }
=1
V(T) P(t,T)V(t)
| {z }
=1
= ZT
t V(u) P(u,T) δ>(u,T) Λ>u 1 k
dWP(u)
k 1
En prenant l’espérance conditionnelle de part et d’autre, il vient EPt [V(T)] P(t,T) =0
d’où
P(t,T) =EPt exp Z T
t r(s) ds 1 2
ZT
t Λ>sΛs ds Z T
t Λ>s dWPs .
Notation Structure à terme Zéro-coupon
Taux à terme Le taux court Références
Finalement I
P(t,T)
= EPt exp Z T
t rs ds 1
2 ZT
t Λ>sΛs ds Z T
t Λs>dWPs
= EQt exp ZT
t rs ds
où
dP
dQ =exp 1 2
Z T
0 Λ>s Λs ds Z T
0 Λ>s dWPs En utilisant le théorème de Girsanov, nous a¢ rmons que
WtQ=WPt +
Z t
0 Λsds :t 0 est un Q mouvement brownien multidimensionnel.
Notation Structure à terme Zéro-coupon
Taux à terme Le taux court Références
Finalement II
dP(t,T)
= α(t,T) P(t,T) dt+P(t,T)δ>(t,T)
1 k
dWP(t)
k 1
= α(t,T) P(t,T) dt+P(t,T)δ>(t,T)
1 k
d WQt
k 1 Zt
0 Λs k 1
ds
!
= α(t,T) δ>(t,T)
1 k
Λt k 1
!
P(t,T) dt+P(t,T)δ>(t,T)
1 k
dWQ(t)
k 1
= rt P(t,T) dt+P(t,T)δ>(t,T)
1 k
dWQ(t)
k 1
carα(t,T) r(t) = Λ>t δ(t,T)
Notation Structure à terme Zéro-coupon
Taux à terme Le taux court Références
Finalement III
La morale de cette histoire. Nous pouvons tarifer les obligations directement, avec la mesure empirique P, en utilisant le bon taux de rendementαou sous la mesure neutre au risque Q, en travaillant avec le taux court instantanér.
Notation Structure à terme Zéro-coupon Taux à terme
Le taux court Références
Taux à terme I
Theorem Supposons que
df (t,T) =η(t,T) dt+ θ>(t,T)
1 k
dWP(t)
k 1
.
Puisque f (t,T) = ∂lnP∂u(t,u)
u=T alors nous appliquons le lemme d’Itô àlnP(t,u)a…n de déterminer les coe¢ cients η et θ.Nous obtenons
η(t,T) = δ>T (t,T)
1 k
δ(t,T)
k 1
αT (t,T) et θ>(t,T) = δ>T (t,T)
Bisière, p.59-61.
Notation Structure à terme Zéro-coupon Taux à terme
Le taux court Références
Taux à terme II
Démonstration. À montrer: si
dP(t,T) = α(t,T) P(t,T) dt+P(t,T)δ>(t,T)
1 k
dWP(t)
k 1
etdf (t,T) = η(t,T) dt+ θ>(t,T)
1 k
dWP(t)
k 1
.
alors
η(t,T) = δ>T (t,T)
1 k
δ(t,T)
k 1
αT (t,T) et θ0(t,T) = δ>T (t,T)
Notation Structure à terme Zéro-coupon Taux à terme
Le taux court Références
Taux à terme III
Rappelons que
dP(t,T) =α(t,T) P(t,T) dt+P(t,T)δ>(t,T)
1 k
dWP(t)
k 1
et
f (t,T) = ∂lnP(t,u)
∂u u=T .
Notation Structure à terme Zéro-coupon Taux à terme
Le taux court Références
Taux à terme IV
Le lemme d’Itô, appliqué à lnP(t,T)nous donne dlnP(t,T)
= 1
P(t,T)dP(t,T) 1 2
1 P(t,T)
2
dhPit
= α(t,T) dt+ δ0(t,T)
1 k
dWP(t)
k 1
! 1
2δ>(t,T)
1 k
δ(t,T)
k 1
dt
Sous sa forme intégrale, nous obtenons
lnP(t,T) lnP(0,T)
= Zt
0 α(s,T) 1
2δ>(s,T)
1 k
δ(s,T)
k 1
! ds+
Z t
0 δ>(s,T)
1 k
dWP(s)
k 1
.
Notation Structure à terme Zéro-coupon Taux à terme
Le taux court Références
Taux à terme V
Puisque
f (t,T) = ∂lnP(t,u)
∂u u=T , alors
f (t,T) f (0,T)
= ∂lnP(t,T)
∂T +∂lnP(0,T)
∂T
= ∂
∂T (lnP(t,T) lnP(0,T))
Notation Structure à terme Zéro-coupon Taux à terme
Le taux court Références
Taux à terme VI
Donc
f(t,T) f(0,T)
= ∂
∂T Zt
0 α(s,T) 1
2δ>(s,T)
1 k
δ(s,T)
k 1
! ds+
Zt
0 δ>(s,T)
1 k
dWP(s)
k 1
!
= Zt
0 δ>T(s,T)
1 k
δ(s,T)
k 1
αT(s,T)
! ds
Zt
0 δ>T(s,T)
1 k
dWP(s)
k 1
carδ>(s,T)δ(s,T) =∑ki=1δ2i (s,T)implique que
∂
∂Tδ0(s,T)δ(s,T) = ∂
∂T
∑k i=1
δ2i (s,T) =
∑k i=1
2δi(s,T) ∂
∂Tδi(s,T).
Notation Structure à terme Zéro-coupon Taux à terme
Le taux court Références
Taux à terme VII
Sous l’hypothèse d’absence d’arbitrage, nous avons établi la relation
α(t,T) r(t) = δ>(t,T)
1 k
Λt k 1
et nous avons construit la mesure Q et le Q mouvement brownienWQ.
Par conséquent,
η(t,T) = δT>(t,T)δ(t,T) αT (t,T)
= δ>T (t,T)δ(t,T) δT>(t,T)Λt
Notation Structure à terme Zéro-coupon Taux à terme
Le taux court Références
Taux à terme VIII
et
df (t,T)
= δ>T (t,T)δ(t,T) δT>(t,T)Λt dt +θ>(t,T) dWP(t)
= θ>(t,T)
Z T
t θ(t,s)ds+Λt dt+ θ>(t,T) dWPt car θ>(t,T) = δ>T (t,T)
Notation Structure à terme Zéro-coupon Taux à terme
Le taux court Références
Taux à terme IX
Déterminons maintenant l’équation di¤érentielle stochastique def ( ,T)sous la mesure neutre au risque Q :
df(t,T)
= θ>(t,T) ZT
t θ(t,s)ds+Λt dt+ θ>(t,T) dWPt
= θ>(t,T) ZT
t θ(t,s)ds+Λt dt+ θ>(t,T) d WQt
k 1 Zt
0 Λs k 1
ds
!
= θ>(t,T) Z T
t θ(t,s)ds+Λt θ>(t,T) Λt dt +θ>(t,T) dWQt
= θ>(t,T) ZT
t θ(t,s)ds dt+ θ>(t,T) dWQt
Notation Structure à terme Zéro-coupon Taux à terme Le taux court Références
Taux court I
Rappelons que
df(t,T) = θ>(t,T) ZT
t θ(t,s)ds+Λt dt+ θ>(t,T) dWPt df(t,T) = θ>(t,T)
ZT
t θ(t,s)ds dt+ θ>(t,T) dWQt .
Sous forme intégrale, nous obtenons f (t,T) f (0,T) =
Z t
0 θ>(u,T)
Z T
u θ(u,s)ds+Λu du +
Z t
0 θ>(u,T) dWPu f (t,T) f (0,T) =
Z t
0 θ>(u,T)
Z T
u θ(u,s)ds du +
Z t
0 θ>(u,T) dWQu.
Notation Structure à terme Zéro-coupon Taux à terme Le taux court Références
Taux court II
Donc le taux court est r(t)
= f (t,t)
= f (0,t) +
Z t
0 θ>(u,t)
Z t
u θ(u,s)ds+Λu du +
Z t
0 θ>(u,t) dWPu
= f (0,t) +
Z t
0 θ>(u,t)
Z t
u θ(u,s)ds du +
Z t
0 θ>(u,t) dWQu. Bisière, p.59-61.
Notation Structure à terme Zéro-coupon Taux à terme Le taux court Références
Références
Martin Baxter et Andrew Rennie (1996). Financial Calculus, an introduction to derivative pricing, Cambridge university press.
Christophe Bisière (1997). La structure par terme des taux d’intérêt, Presses universitaires de France.
Damien Lamberton et Bernard Lapeyre (1991).
Introduction au calcul stochastique appliqué à la …nance, Ellipses.