GIA 400

Cours 4 Cours 4

Les transactions Les transactions à à int int é é rêt rêt

GIA 400

GIA 400

Louis Parent,

Louis Parent, inging., MBA., MBA

R

Ré ésum sumé é des calculs d des calculs d’é ’équivalence quivalence

A=P(A/P ,i ,N) Annuité équivalente à une

valeur présente (recouvrement)

A=F(A/F ,i ,N) Annuité équivalente à une

valeur future (amortissement)

P=A(P/A, i, N) Valeur présente d’une

annuité

F=A(F/A, i, N) Valeur future d’une annuité

P=F(P/F, i, N) Valeur présente d’un flux

unique

F=P(F/P, i, N) Valeur future d’un flux

unique F=P(1+i)^N

i N

P F ) 1 ( +

=

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ + −

= i

A i F

N 1

) 1 (

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ +

−

= + ^N_N i i A i P (1 )

1 ) 1 (

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

= +

1 ) 1 ( i ^N F i A

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

− +

= +

1 ) 1 (

) 1 (

N N

i i P i A

GIA 400 – Cours 4 3

Ré R ésum sumé é des calculs d des calculs d’é ’équivalence (suite) quivalence (suite)

Valeur future d’un flux irrégulier Valeur présente d’un

flux irrégulier ⁿ

n N n

n i

P F

) 1

1 ( +

=

∑

⁼

=

( )

∑

⁼

=

=^{n N}

n

n P F i N

F P

1

, , /

∑

⁼

=

+ −

=^{n N}

n

n N

n i

P F

1

) 1

( )

(

∑

⁼

=

=^{n N}

n

n F Pi N

P F

1

, , /

GIA 400 – Cours 4 4

Objectif du cours Objectif du cours

„

Comment calculer les taux effectifs à partir des taux nominaux

„

Apprendre à calculer le montants du capital des intérêts dans une série de paiements égaux

„

Référence: AIE 3.1 à 3.3; 3.5 et 3.6.1

GIA 400 – Cours 4 5

Taux d

Taux d’ ’int inté érêt nominal et taux effectif: rêt nominal et taux effectif:

Pourquoi s

Pourquoi s’ ’int inté éresser resser à à ce sujet? ce sujet?

„ Dans tous les exemples fait jusqu’à maintenant, nous avons implicitement supposé que les paiements étaient effectués une fois par année.

„ Mais la plupart du temps, les flux monétaires générés par un projet d’ingénierie ou utilisés pour rembourser son financement le sont d’une façon beaucoup plus régulière qu’une fois par année.

„ On continuera cependant toujours à parler du rendement d’un projet en terme de son rendement annuel, car c’est la base utilisée par tous les entreprises pour évaluer leur rendement en le comparant au leur coût du capital qui lui aussi toujours exprimé annuellement.

„ Il nous donc apprendre comment transformer les taux d'intérêt exprimés en taux annuel nominal en taux d'intérêt effectifs pour une période quelconque ou en taux effectif annuel.

Le taux d

Le taux d’ ’int inté érêt nominal rêt nominal

„ En général, et même si le mois ou le trimestre sont des périodes de paiements beaucoup plus fréquentes, les institutions financières annoncent leurs taux d’intérêts en terme de taux annuel, mais se composant sur une fréquence autre qu’annuelle.

„ Ex: 12% par année, se composant mensuellement

„ Le taux annuelainsi donné est le taux nominal, parce que la période du taux d’intérêt « affiché » ne correspond pas à la fréquence réelle de capitalisation.

„ Exemple:

„ Taux de carte de crédit « 18% par année, se composant mensuellement »

„ Nous verrons que le taux effectif annuel est alors de 19.56%.

GIA 400 – Cours 4 7

Le taux effectif annuel:

Le taux effectif annuel:

1. Calcul du taux effectif sur la p

1. Calcul du taux effectif sur la pé ériode de capitalisation riode de capitalisation

„ Une première chose facile à faire:

„ Trouver le taux effectif pour la période de capitalisation

mois par 5 12 1 18 2

1 M

18%

mensuel

effectif

% . %

i r

=

=

=

=

„ Exemple: taux nominal de 18% par année, composé mensuellement

M

i r i M r

=

=

=

=

tion capitalisa de période par effectif

tion capitalisa de

période par effectif intérêt d' taux le

année par tion capitalisa de

périodes de

nombre le

annuel) (toujours nominal

intérêt d' taux le

GIA 400 – Cours 4 8

Le taux effectif annuel:

Le taux effectif annuel:

2. Calcul du taux effectif annuel 2. Calcul du taux effectif annuel

„ Celui qui est toujoursutilisé en analyse de rentabilité.

„ Lorsqu’on parle d’un projet qui a un « rendement de 20% », on veut toujoursdire un rendement effectif annuel de 20%.

1

1 ⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ +

=

M

a

M

i r

„ Exemple: taux nominal de 18% par année, composé mensuellement

( . % ) . % i

i % r

a a

56 19 1 5

1 1

12 1 1 18 2 1 M

18%

12 12

=

− +

=

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ +

=

=

=

Fonction eff(r,M)

GIA 400 – Cours 4 9

Gé G én né éralisation: le taux effectif sur une p ralisation: le taux effectif sur une pé ériode quelconque riode quelconque

„ Lorsqueles périodes de versement sont différentes des périodes de capitalisation.

[ ]

année par tion capitalisa de

période de nombre le

année par versement de

périodes de mombre le

versement de

période par tion capitalisa de

période de nombre le

1

versement 1

de période

=

=

=

=

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

=

CK M K C

CK i r

C

„ Par exemple:

„ Un prêt à 18% nominal, dont les intérêts sont composés mensuellement, mais payés à tous les trois mois:

[ ]

[ ]

(

^{1 15%}

)

^{1 457%par trimestre}

12 1

% 1 18

4 3

% 18

3 3

3 3

. .

i i

K , C , r

mois mois

=

− +

=

−

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

=

=

=

=

Fonction "maison" pour Voyage 200 et Nspire disponible sur le site du cours:

ieff(r,C,K)

Période de versement

Période de

capitalisation K C M

Taux effectif par période de versement

Taux effectif annuel

Mensuel Quotidien 12 30 360 1.51% 19.72%

Trimestriel Quotidien 4 90 360 4.60% 19.72%

Semestriel Quotidien 2 180 360 9.41% 19.72%

Annuel Quotidien 1 360 360 19.72% 19.72%

Mensuel Mensuel 12 1 12 1.50% 19.56%

Trimestriel Mensuel 4 3 12 4.57% 19.56%

Semestriel Mensuel 2 6 12 9.34% 19.56%

Annuel Mensuel 1 12 12 19.56% 19.56%

Mensuel Trimestriel 12 0.333333 4 1.48% 19.25%

Trimestriel Trimestriel 4 1 4 4.50% 19.25%

Semestriel Trimestriel 2 2 4 9.20% 19.25%

Annuel Trimestriel 1 4 4 19.25% 19.25%

Mensuel Semestriel 12 0.166667 2 1.45% 18.81%

Trimestriel Semestriel 4 0.5 2 4.40% 18.81%

Semestriel Semestriel 2 1 2 9.00% 18.81%

Annuel Semestriel 1 2 2 18.81% 18.81%

Le taux effectif sur une p

Le taux effectif sur une pé ériode quelconque: Exemples riode quelconque: Exemples

Taux nominal = 18%

[_{périodede versement}] 1 ⎟ −1

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

=

C

CK

i r _a 1 ⎟ −1

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

=

M

M i r

GIA 400 – Cours 4 11

Le taux effectif Le taux effectif Le taux effectif

Le taux effectif à à composition continue composition continue

„ Quand les flux monétaires sont énormes ou continus, il est fréquent que la composition soit continue

[ ]

[ ]

1

: 1) ( continue n compositio à

annuel effectif taux Le

1

1 1

1 1

−

=

=

−

=

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

∞

= →

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

=

∞

r a

K r

C C

e i

K e

i

CK r CK

i lim CK i r

Le nombre eou le "nombre d'Euler" est une constante mathématique donnée par:

Geek fact:

La première émission d'actions de Google fut d'un montant global de emilliards $ (2 718 281 828$).

Le nombre eou le "nombre d'Euler" est une constante mathématique donnée par:

Geek fact:

La première émission d'actions de Google fut d'un montant global de emilliards $ (2 718 281 828$).

71828 1 2

1 .

n n

e lim

n

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

∞

= →

GIA 400 – Cours 4 12

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0 10 20 30 40 50

n

n ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ + 1

1 1 2 . 71828

1

lim ⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ +

ⁿ

n

∞

→ n

n

Le nombre

Le nombre e e

GIA 400 – Cours 4 13

Exemple Exemple

„ Prêt d’un an à 12%

„ Composition mensuelle:

i

_a= (1+ 12%/12)¹² – 1 = 12.6825%

„ Composition continue:

i

_a= e^0.12 – 1 = 12.7497%

„ Si le prêt est de 100 000$, la différence d’intérêt n’est que de 67.18$

„ Si le prêt est de 100 000 000$, la différence d’intérêt est de 67 182.14$!

Influence de la p

Influence de la pé ériode de composition sur le taux effectif riode de composition sur le taux effectif

Taux nominal: 12%

Composition continue

11.9%

12.0%

12.1%

12.2%

12.3%

12.4%

12.5%

12.6%

12.7%

12.8%

0 5 10 15 20 25

Nombre de périodes de composition par année

Taux effectif annuel

GIA 400 – Cours 4 15

Ré R ésum sumé é des formules d des formules d’ ’int inté érêt rêt

Taux annuel effectif à composition continue Taux effectif sur une période quelconque

Taux effectif annuel

Taux effectif par période de composition

M i= r

1

1 ⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

=

M

a M

i r

1

1 ⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

= ^C

CK i r

−1

=e^r i

GIA 400 – Cours 4 16

Calcul d

Calcul d’é ’équivalence: quivalence:

Quand les p

Quand les pé ériodes de versement et capitalisation co riodes de versement et capitalisation coï ïncident ncident

Une période de versement = une période de capitalisation

donc C = 1

Procédure générale

1. Trouver le nombre de versement par année K

„ Ex: Paiements mensuels : K=12

2. Trouver le nombre de périodes de capitalisation par période versement C

„ Ex: Paiements mensuels, intérêts composés mensuellement: C=1 3. Calculer le taux d’intérêt effectif

i

par période de versement:

4. Calculer le nombre total de périodes de capitalisation N

„ N =Kx nombre d’années

„ Ce sont les iet Nà utiliser dans les formules d’équivalence des page 2 et 3 (AEI, p. 100)

M r CK

r CK

i r

i ⎟ − = =

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

=

=

1 1

1 tion

capitalisa de période versement

de période

GIA 400 – Cours 4 17

Exemple 3.5: Prêt Exemple 3.5: Prêt- -auto auto

„ Mustang 21 599$*, taux de financement de 48 mois à 8.5%!**

* Plus 1% de frais de transport et de préparation, plus TPS & TVQ

** Taux nominal, composé mensuellement

* Plus 1% de frais de transport et de préparation, plus TPS & TVQ.

** Taux nominal, composé mensuellement

P = 20 000$

r= 8.5%

K= 12, C=1 ⇒M= CK= 12 N= 48 mois

i mensuel=r/M = 8.5%/12

= 0.7083%

A = P(A/P, i, N)

A = 20 000$ (A/P, 0.7083%, 48) A= 492.97$ par mois

K M

r i_mensuel

OU:

Prix de vente 21 599.00 $

Frais de transport (1%) 215.99 $ Total avant taxes 21 814.99 $

TPS (5,0%) 1 090.75 $

TVQ (8.5%) 1 946.99 $

Total à payer 24 852.73 $

Versement com ptant (4 852.73 $)

Solde à financer 20 000.00 $

Transaction

Auto: Comment calculer un prix de location Auto: Comment calculer un prix de location

„ Supposons qu’un contrat de location de 48 mois, à 0$ comptant, au même taux de 8.5% et avec une valeur résiduelle du véhicule de 10 000$ soit offert.

„ Un contrat de location n’est en fait qu’un financement dont la valeur présente de la valeur résiduelle du véhicule à la fin du bail est enlevée du montant du initial.

„ La valeur résiduelle du véhicule revient au locateur et non au locataire

„ Contrairement à un achat, La TPS et la TVQ sont calculées sur le montant des paiements et non sur la valeur initiale du véhicule.

Du point de vue du locateur:

-21 814.99 $

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1246 1347 1448

10 000 $

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Montant équivalent du financement=

– 21 814.99$ + 10 000$ (P/F, .7083%, 48)

= – 21 814.99$ + 7 126.24$ = –14 688.75$

48 47 46

GIA 400 – Cours 4 19

Auto: Prix d

Auto: Prix d’ ’une location une location

( )

( )

( )(

.

)

. $

$ .

, P / A ( A

F / P

$

N , i , F / P P

47 412 085 1 1.05 356.72$

mensuel Paiement

: (8.5%) TVQ et (5%) TPS Plus

05 362

48) 0.7083%, 688.75$

14 688.75$

14

48 .7083%, ,

$ 000 10 21599

résiduelle Valeur

Prix

=

=

=

=

=

+

=

−

=

„ Pour calculer le taux de location, il faut calculer l’annuité pour rembourser le montant équivalent du financement et y ajouter la TPS et la TVQ. Ce montant équivalent est égal au prix initial, moins la valeur présente de la valeur résiduelle :

GIA 400 – Cours 4 20

Auto: Achat ou location Auto: Achat ou location

„L’option de location, en plus de n’exiger aucun comptant, permet d’économiser 80.50$ par mois.

Achat Location

Prix de la voiture 21 599.00 $ 21 599.00 $ Transport et préparation 215.99 $ 215.99 $ Montant avant taxes 21 814.99 $ 21 814.99 $

TPS & TVQ 3 038 $

24 852.73 $ 21 814.99 $

Valeur résiduelle 10 000.00 $

Valeur présente (7 126.24 $)

Comptant (4 852.73 $) 0.00 $

Montant financé 20 000.00 $ 14 688.75 $

Paiements 492.97 $ 362.05 $

TPS&TVQ 50.42 $

Paiements totaux 492.97 $ 412.47 $

„ Cependant, l’option d’achat permet à l’acheteur de récupérer la valeur résiduelle de 10 000$ dans 48 mois. Est-ce que le paiement comptant de 4 853$ et le déboursé additionnel mensuel de 80$ le justifient? Tout dépend du rendement que l’acheteur pourrait obtenir en plaçant ces montants pendant 48 mois: aurait-il plus ou moins que 10 000$ dans 48 mois?

„ Si on peut placer cet argent à plus que 0,3664% par mois (4.49%

effectif par année), on devrait préférer la location:

4 852.73$(F/P, 0.3664%,48)+80.50$(F/A, 0.3664%,48)

= 5 783.95$+4 216.05$ = 10 000.00$

GIA 400 – Cours 4 21

Calcul d

Calcul d’é ’équivalence: quivalence:

Quand les p

Quand les pé ériodes de versement et capitalisation diff riodes de versement et capitalisation diffè èrent rent A: Cas o

A: Cas où ù

C>1C

>1

i.e. Plus d’une période de capitalisation par période de versement Procédure générale:

1. Trouver le nombre de périodes de versements par année (K) et le nombre de capitalisation par période de versement (C)

2. Calculer le taux d’intérêt effectif ipar période de versement:

„ Capitalisation discrète:

„ Capitalisation continue:

3. Trouver le nombre total de périodes de versements (N):

4. Utiliser i et N dans les formules appropriées des la pages 2 et 3 (AEI p. 100)

(

¹⁺

)

⁻¹

= r/CK ^C i

−

1

=

e

^rK

i

années) d' nombre ( K N

= ×

Exemple 3.7 Exemple 3.7

„ Dépôt trimestriels (à tous les trois mois) de 1 000 $ dans un fonds rapportant des intérêts de 12% nominal annuel, se composant

mensuellement. Trouvez le solde accumulé à la fin de la deuxième année.

„ Étape 1

„

K = 4, C = 3 Î M = CK =12

„ Étape 2

„

i = (1 + r/CK)

^C

– 1 = (1 +12%/12)

³

-1 = 3.030% par trimestre

ieff(12,3,4)=3.03

„ Étape 3

„

N = K x Nombre d’années = 4 x 2 = 8 trimestres

„ Étape 4

„

F = A(F/A, i, N) = 1000 $ (F/A, 3.030%, 8) = 1000 $ x 8.901 808

F = 8 901.81$

GIA 400 – Cours 4 23

Exemple 3.7 avec les TI Exemple 3.7 avec les TI

„ Dans un examen la formule du calcul du taux d'intérêt effectif, correspondant aux périodes de versement est exigé, i.e.:

i = (1 + r/CK)

^C

– 1 = (1 +12%/12)

³

-1 = 3.030% par trimestre

„ Vous pouvez toujours utiliser la méthode directe ou la fonction ieff(r,C,K)pour vérifier votre calcul

K M Méthode du taux effectif Méthode directe

r itrimestriel

GIA 400 – Cours 4 24

Calcul d

Calcul d’é ’équivalence: quivalence:

Quand les p

Quand les pé ériodes de versement et capitalisation diff riodes de versement et capitalisation diffè èrent rent B: Cas o

B: Cas où ù

C<1C

<1

i.e. Moins d’une période de capitalisation par période de versement

Procédure générale

1. Si l'intérêt payé dès que le montant est déposé

„ Procédure générale: même que pour

C

> 1

„

C

peut être une fraction dans les formules

„ Ex: Dépôts mensuels, intérêt composé trimestriellement

„

C

^{= 1/3}

2. Si l'intérêt n'est pas payé sur un dépôt fait après le début de la période de capitalisation

„ On additionne les dépôts fait au cours de la période de capitalisation et on les reporte à la fin de la période.

„ Ensuite, même procédure générale que pour

C

= 1

GIA 400 – Cours 4 25

Exemple 3.9 Exemple 3.9

„ Dépôt mensuels de 500 $ dans un fonds rapportant des intérêts de 10%

nominal par année, se composant trimestriellement et calculés à partir du moment où l'argent est déposé. Trouvez le solde accumulé à la fin de la dixième année.

„ Étape 1

„

K = 12, C = 1/3Î M = CK =4

„ Étape 2

„

i = (1 + r/CK)

^C

– 1 = (1 +10%/4)

^1/3

-1 = 0.826% par mois

ieff(10,1/3,4)=0.826

„ Étape 3

„

N = K x Nombre d’années = 12 x 10 = 120 mois

„ Étape 4

„

F = A(F/A, i, N) = 500 $ (F/A, 0.826%, 120) = 500 $ x 203.883 47

„

F = 101 907.89$

Exemple 3.9 avec les TI Exemple 3.9 avec les TI

„ Même remarque: le calcul du taux effectif, correspondant aux périodes de versement est toujours exigé lors d'un examen, i.e.:

i = (1 + r/CK)

^C

– 1 = (1 +10%/4)

^1/3

-1 = 0.826% par mois

Méthode du taux effectif Méthode directe

K M r itrimestriel

GIA 400 – Cours 4 27

Exemple 3.10 Exemple 3.10

„ Dépôt mensuels de 500 $ dans un fonds rapportant des intérêts de 10%

nominal par année, se composant trimestriellement et mais aucun intérêt payé si l'argent est déposé après le début de la période de

capitalisation. Trouvez le solde accumulé à la fin de la dixième année.

„ Étape 0

„

A = 500$ x 3 = 1 500$ par période de capitalisation

„ Étape 2

„

i = (1 + r/CK)

^C

– 1 = (1 +10%/4)

¹

-1 = 2.5% par trimestre

ieff(10,1,4)=2.50

„ Étape 3

„

N = K x Nombre d’années = 4 x 10 = 40 trimestres

„ Étape 4

„

F = A(F/A, i, N) = 1 500 $ (F/A, 2.5%, 40) = 1 500 $ x 67.402 55

„

F = 101 103.83$ (une différence de 804.06$)

„ Étape 1

„

K = 4, C = 1

GIA 400 – Cours 4 28

Taux d

Taux d’ ’int inté érêt variables: Capitalisation en cha rêt variables: Capitalisation en chaî îne ne Exemple: Montant unique

Exemple: Montant unique

„ Placement de 1 000$ pour 10 ans rapportant 6% p.a. effectif les deux premières années, 8% les trois années suivantes et 10% les 5 dernières années. Trouver F et le taux d’intérêt moyen des 10 années.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

P= 1000$

B₂= P(F/P,6%,2)

F= B₅(F/P,10%,5) B₅= B₂ (F/P,8%,3)

i = 6% i = 8 % i = 10 %

1 124$

1 415$

2 279$

( )( )( )

( )( )

( )

$ 279 2

10%,5 ,

$ 415 1

10%,5 , 8%,3 ,

$ 124 1

10%,5 , 8%,3 , 6%,2 ,

$ 000 1

=

=

=

=

F

F/P F

F/P F/P

F

F/P F/P

F/P F

GIA 400 – Cours 4 29

Taux d

Taux d’ ’int inté érêt variables: Capitalisation en cha rêt variables: Capitalisation en chaî îne ne Exemple: Montant unique (suite)

Exemple: Montant unique (suite)

„ Calculer le montant d'une annuité équivalente à taux constant à ce placement unique à taux variable.

i

_moyen

= (F/P)

^{1 /N}

– 1 = (2 279$/1000$)

^{1 /10}

–1 = 8.59%

A = F(A/F, i, N)

= 2 279$ (A/F, 8.59%, 10)

= 152.97$

ou:

A = P(A/P, 8.59%, 10)

= 152.97$

„ Signification:

„ Si au lieu de placer 1 000$ à t=0 aux taux variables indiqués, on plaçait 152.97$ à la fin de chaque année pendant 10 ans à un taux constant de 8.59% on obtiendrait le même 2 279$ à la fin de la 10^eannée.

Taux d

Taux d’ ’int inté érêt variable: S rêt variable: Sé éries de flux mon ries de flux moné étaires taires

A₂

0 1 2 3 N

A₁ A₃

A_N A_N-1

i₁ i₂ i₃ i_N-1 i_N

( )( ) ( )

[ ] [ ( )( ) ( ) ]

( ) [ ( )( ) ] [ ( )( ) ( ) ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

[

1 1 1 1 1 1

]

1 1

1 1

1 1

e équivalent annuité

L'

1 1 1 1

1 1

1 1 1 1

1 1

2 1

2 1

1

1 1

2 1 1 1

2 1 1 1 1

2 1

1 2

1 1

2 1 2 1 1 1

4 3 2 3

2 1

, i , F / P ...

, i , F / P , i , F / P ...

, i , F / P , i , F / P , i , F / P A P

i ...

i i ...

i i i

A P

A ....

A A A

A

i ...

i i A ...

i i A i A P

A ....

i ...

i i A i ...

i i A F

N N

n

N N

N N

N

+ +

= +

+ +

+ + + + + +

= +

=

=

=

=

+ + + + + + + + +

=

+ + + + + + + +

=

−

−

−

−

−

−

−

−

−

GIA 400 – Cours 4 31

Taux d

Taux d’ ’int inté érêt variable: S rêt variable: Sé éries de flux mon ries de flux moné étaires taires Exemple 3.13

Exemple 3.13

i ^{0 1 2 3}

100$ 200$ 250$

5% 7% 9%

Déterminez la série uniforme (annuité) équivalente de:

1. Calculer P

( ) ( )( ) ( )( )( )

: ou

$ 40 477

5%,1 , 7%,1 , 9%,1 ,

$ 250 5%,1 , 7%,1 ,

$ 200 5%,1 ,

$ 100

. P

P/F P/F

P/F P/F

P/F P/F

P

=

+ +

=

( )

( )( )

[ ]

{

250$P/F ,9%,1 200$ P/F ,7%,1 100$

}(

P/F ,5%,1

)

477.41$

P= + + =

2. Calculer A

( ) ( )( ) ( )( )( )

$ 54 6591 179 2

$ 41 471

6591 2

$ 41 471

5%,1 , 7%,1 , 9%,1 , 5%,1

, 7%,1 , 5%,1

,

$ 41 471

. . A .

A . .

P/F P/F

P/F A P/F

P/F A P/F

A . P

=

=

=

+ +

=

=

GIA 400 – Cours 4 32

Taux d

Taux d’ ’int inté érêt variable: S rêt variable: Sé éries de flux mon ries de flux moné étaires taires

Exercice supplémentaire:

Quel est le taux d'intérêt unique équivalent (i*)?

( ) ( ) ( )

: ) ( solution de algorithme un

d' munies sont ces calculatri Les

(TRI) interne rendement de

taux le est pur équation cette à solution la

0

$ 41 477 1

$ 41 179 1

$ 41 179 1

$ 41 179

3 2

1

TRI i*

.

* i .

* i .

* i

. − =

+ + + +

+

i*=TRI=IRR(-477.41,{179.54}, {3})= 6.2838%

i ^{0 1 2 3}

100$ 200$ 250$

5% 7% 9% 0 1 2 3

179.54$

5% 7% 9%

179.54$ 179.54$

0 1 2 3

179.54$

i*%

179.54$ 179.54$

i*% i*%

P = 477.41$

P = 477.41$ P = 477.41$

GIA 400 – Cours 4 33

Taux d

Taux d’ ’int inté érêt variable: S rêt variable: Sé éries de flux mon ries de flux moné étaires taires

i ^{0 1 2 3}

100$ 200$ 250$

5% 7% 9% 0 1 2 3

179.54$

6.2838%

179.54$ 179.54$

P = 477.41$

P = 477.41$

Année 1 2 3 Taux d'intérêt 5.00% 7.00% 9.00%

Solde au début $477.40 $401.27 $229.36 Intérêts 23.87 28.09 20.64 Retraits (100.00) (200.00) (250.00) Solde à la fin $401.27 $229.36 $0.00

Année 1 2 3 T aux d'intérêt 6.28% 6.28% 6.28%

Solde au début $477.40 $327.86 $168.92 Intérêts 30.00 20.60 10.61 R etraits (179.54) (179.54) (179.54) Solde à la fin $327.86 $168.92 $0.00

Preuve de l'équivalence

Prêts commerciaux amortis: calcul du capital et des int Prêts commerciaux amortis: calcul du capital et des inté érêts rêts

„ Structure de prêt la plus courante

„ Tous les versements sont égaux dans le temps et incluent une portion de remboursement de capital, une portion d’intérêts.

„ Pourquoi cela nous intéresse-t-il?

„ Préparation des états financiers: intérêts affectent l’ER et le bilan, le capital affecte le bilan seulement

„ Les intérêts sont déductibles pour fins d’impôt, pas le capital

„ Le calcul du montant total du paiements’effectue selon la formule d’annuité:

A=P(A /P, i, N) Où:

A: Montant du versement, capital et intérêts P: Montant du prêt

i: le taux d’intérêt effectif par période de versement N: le nombre total de versements

GIA 400 – Cours 4 35

Prêts commerciaux amortis: calcul du capital et des int Prêts commerciaux amortis: calcul du capital et des inté érêts rêts

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Capital Intérêts

Période

$

A

A

„ Capital + Intérêt = Annuité constante

„ Montant du capital et des intérêts varient d’un paiement à l’autre

GIA 400 – Cours 4 36

Calcul du capital et des int Calcul du capital et des inté érêts rêts Deux m

Deux mé éthodes possibles thodes possibles

1. Méthode tabulaire:

„

Tableau d’amortissement du prêt:

„

Montants du capital et des intérêt à chaque période

2. Méthode analytique:

„

Calcul des montant de capital et d’intérêts pour une période

donnée seulement en calculant le solde impayé à la fin de la

période précédente.

GIA 400 – Cours 4 37

Balance Balance Balance Balance

Mois C ap. Début Capital Intérêt Total Capital Fin Mois Cap. Début Capital Intérêt Total Capital Fin 1 20 000.00 $ 351.30 $ 141.67 $ 492.97 $ 19 648.70 $ 25 10 844.98 $ 416. 15 $ 7 6.82 $ 492.97 $ 10 428.84 $ 2 19 648.70 $ 353.79 $ 139.18 $ 492.97 $ 19 294.91 $ 26 10 428.84 $ 419. 10 $ 7 3.87 $ 492.97 $ 10 009.74 $ 3 19 294.91 $ 356.29 $ 136.67 $ 492.97 $ 18 938.62 $ 27 10 009.74 $ 422. 06 $ 7 0.90 $ 492.97 $ 9 587.68 $ 4 18 938.62 $ 358.82 $ 134.15 $ 492.97 $ 18 579.80 $ 28 9 587.68 $ 425. 05 $ 6 7.91 $ 492.97 $ 9 162.62 $ 5 18 579.80 $ 361.36 $ 131.61 $ 492.97 $ 18 218.44 $ 29 9 162.62 $ 428. 06 $ 6 4.90 $ 492.97 $ 8 734.56 $ 6 18 218.44 $ 363.92 $ 129.05 $ 492.97 $ 17 854.52 $ 30 8 734.56 $ 431. 10 $ 6 1.87 $ 492.97 $ 8 303.46 $ 7 17 854.52 $ 366.50 $ 126.47 $ 492.97 $ 17 488.03 $ 31 8 303.46 $ 434. 15 $ 5 8.82 $ 492.97 $ 7 869.31 $ 8 17 488.03 $ 369.09 $ 123.87 $ 492.97 $ 17 118.93 $ 32 7 869.31 $ 437. 23 $ 5 5.74 $ 492.97 $ 7 432.09 $ 9 17 118.93 $ 371.71 $ 121.26 $ 492.97 $ 16 747.23 $ 33 7 432.09 $ 440. 32 $ 5 2.64 $ 492.97 $ 6 991.77 $ 10 16 747.23 $ 374.34 $ 118.63 $ 492.97 $ 16 372.89 $ 34 6 991.77 $ 443. 44 $ 4 9.53 $ 492.97 $ 6 548.33 $ 11 16 372.89 $ 376.99 $ 115.97 $ 492.97 $ 15 995.90 $ 35 6 548.33 $ 446. 58 $ 4 6.38 $ 492.97 $ 6 101.74 $ 12 15 995.90 $ 379.66 $ 113.30 $ 492.97 $ 15 616.23 $ 36 6 101.74 $ 449. 75 $ 4 3.22 $ 492.97 $ 5 652.00 $ 13 15 616.23 $ 382.35 $ 110.61 $ 492.97 $ 15 233.88 $ 37 5 652.00 $ 452. 93 $ 4 0.03 $ 492.97 $ 5 199.07 $ 14 15 233.88 $ 385.06 $ 107.91 $ 492.97 $ 14 848.82 $ 38 5 199.07 $ 456. 14 $ 3 6.83 $ 492.97 $ 4 742.93 $ 15 14 848.82 $ 387.79 $ 105.18 $ 492.97 $ 14 461.04 $ 39 4 742.93 $ 459. 37 $ 3 3.60 $ 492.97 $ 4 283.56 $ 16 14 461.04 $ 390.53 $ 102.43 $ 492.97 $ 14 070.50 $ 40 4 283.56 $ 462. 62 $ 3 0.34 $ 492.97 $ 3 820.93 $ 17 14 070.50 $ 393.30 $ 99.67 $ 492.97 $ 13 677.20 $ 41 3 820.93 $ 465. 90 $ 2 7.06 $ 492.97 $ 3 355.03 $ 18 13 677.20 $ 396.09 $ 96.88 $ 492.97 $ 13 281.12 $ 42 3 355.03 $ 469. 20 $ 2 3.76 $ 492.97 $ 2 885.83 $ 19 13 281.12 $ 398.89 $ 94.07 $ 492.97 $ 12 882.23 $ 43 2 885.83 $ 472. 52 $ 2 0.44 $ 492.97 $ 2 413.31 $ 20 12 882.23 $ 401.72 $ 91.25 $ 492.97 $ 12 480.51 $ 44 2 413.31 $ 475. 87 $ 1 7.09 $ 492.97 $ 1 937.43 $ 21 12 480.51 $ 404.56 $ 88.40 $ 492.97 $ 12 075.95 $ 45 1 937.43 $ 479. 24 $ 1 3.72 $ 492.97 $ 1 458.19 $ 22 12 075.95 $ 407.43 $ 85.54 $ 492.97 $ 11 668.52 $ 46 1 458.19 $ 482. 64 $ 1 0.33 $ 492.97 $ 975.55 $ 23 11 668.52 $ 410.31 $ 82.65 $ 492.97 $ 11 258.20 $ 47 975.55 $ 486. 06 $ 6.91 $ 492.97 $ 489.50 $ 24 11 258.20 $ 413.22 $ 79.75 $ 492.97 $ 10 844.98 $ 48 489.50 $ 489. 50 $ 3.47 $ 492.97 $ 0.00 $

Pa iement Paiement

Mé M éthode tabulaire thode tabulaire

„ Exemple du prêt auto de 20 000$ à 8,5% p.a. nominal, 48 mois.

A = 492.97$ I₄= B_4–1xi

= 18 938.62$ x0.7083%

= 134.15$

PP₄= A–I₄

= 492.97$ - 134.15$

= 358.82$

B₄= B₃–PP₄

= 18 938.62$ - 358.82$

=18 579.80$

A I

_n

PP

_n

B

_n-1

B

_n

B

_n-1

PP

_n

I

_n

A B

_n

Forme analytique Forme analytique

1. Calculer

B

_n-1directement:

„

B

_n-1est la valeur présente des N – n +1annuités qui restent àn –1

0

N

A …….. A

B_n-1= A(P /A, i, N-n+1)

N – n + 1 n-1

n

2. Calculer

I

_n

„

I

_nest l'intérêt à payer sur

B

_n-1

: I

_n

= B

_n-1

x i

période de capitalisation

3. Calculer

PP

_n

„

PP

_nest le capital à payer àn:

PP

_n=

A - I

_n

En français:

Le solde du capital à la fin de n-1est la valeur présente des paiements qui restent à faire.

En fran En franççais:ais:

Le solde du capital Le solde du capital ààla la fin de

fin de nn--11est la valeur est la valeur pr

préésente des paiements sente des paiements qui restent

qui restent ààfaire.faire.

GIA 400 – Cours 4 39

Forme analytique: Exemple du prêt auto Forme analytique: Exemple du prêt auto à à n=21 n=21

„ Exemple du prêt auto à

n

= 21, Paiements:

A

^{= 492.97$}

B

_21–1

= B

₂₀

= A(P/A, 0.7083%, 48–21+1)

= 492.97$(P/A, 0.7083%, 28)

= 12 480.67$

I

₂₁

= B

₂₀ ^x

i

= 12 480.67$ x 0.7083%

= 88.40$

PP

₂₁

= A – I

₂₁

= 492.97$

^–

88.40$ = 404.56$

GIA 400 – Cours 4 40

Prêts

Prêts à à taux variables: Exemple taux variables: Exemple

„ Mustang 21 599$*, 0$ comptant, taux de financement de 1%!**

* Plus TPS & TVQ, plus 1% de frais de transport et de préparation

** Contrat de crédit de 48 mois, 1% la première année seulement, Taux de 12% par les trois années suivantes.. Taux nominaux, composés mensuellement

* Plus TPS & TVQ, plus 1% de frais de transport et de préparation

** Contrat de crédit de 48 mois, 1% la première année seulement. Taux de 12% par les trois années suivantes. Taux nominaux, composés mensuellement

$ 39 . 32 7 18

36) 0.0833%, ,

/ (

$ 41 . 528

) , , /

12 (

=

=

=

A P

N i A P A B

Solde du prêt à la fin de la première année:

Valeur présente à la fin de n =12 des 36 paiements qui restent

$ 41 . 528

48) 0.0833%,

, / ( 852.73$

24

) , , /

12 (

1

=

=

− =

P A N i P A P A

Paiements de la première année (K = 12, C = 1):

Le prêt est amorti sur 48 mois

( )

(

1 0112

)

1 000833 1 1

1 .

.

CK r

i_mensuel ^C

=

− +

=

− +

=

GIA 400 – Cours 4 41

Prêts

Prêts à à taux variables: Exemple (suite) taux variables: Exemple (suite)

$ 18 . 622

6) 3 1%, , / (

$ 39 . 32 7 18

) , , /

12(

48 13

=

=

− =

P A N i P A B A

Montant des 36 paiements restants (K=12, C=1):

Quel plan est le meilleur?

„ La réponse a cette question dépend en grande partie du rendement qu'il serait possible d'obtenir sur le montant comptant de 4 853$. Est-il suffisant pour compenser les paiements plus élevés, compte tenu de leurs distributions dans le temps?

„ Nous verrons comment répondre efficacement à cette question à partir du cours 8.

( )

(

1 0 1212

)

1 001 1 1

1 .

.

CK r

i_mensuel ^C

=

− +

=

− +

=

Plan original Plan modifié

Prix de la voiture 24 853 $ 24 853 $

Comptant (4 853 $) 0 $

Montant financé 20 000 $ 24 853 $

Paiements 1 à 12 492.97 $ 528.41 $

Paiement 13 à 48 492.97 $ 622.18 $

Paiements totaux 23 662 $ 28 739 $

Comptant 4 853 $ 0 $

Déboursés totaux 28 515 $ 28 739 $

Plan modifi

Plan modifié é: le tableau d'amortissement du prêt : le tableau d'amortissement du prêt

(aussi nomm

(aussi nomméécalendrier de remboursement du prêt)calendrier de remboursement du prêt)

Balance Balance

Mois Capital Capital Intérêt Total Mois Capital Capital Intérêt Total

0 24 852.73 $

1 24 345.03 $ 507.69 $ 20.71 $ 528.41 $ 25 12 727.27 $ 490.01 $ 132.17 $ 622.18 $ 2 23 836.92 $ 508.12 $ 20.29 $ 528.41 $ 26 12 232.36 $ 494.91 $ 127.27 $ 622.18 $ 3 23 328.37 $ 508.54 $ 19.86 $ 528.41 $ 27 11 732.50 $ 499.86 $ 122.32 $ 622.18 $ 4 22 819.41 $ 508.96 $ 19.44 $ 528.41 $ 28 11 227.64 $ 504.86 $ 117.33 $ 622.18 $ 5 22 310.02 $ 509.39 $ 19.02 $ 528.41 $ 29 10 717.74 $ 509.91 $ 112.28 $ 622.18 $ 6 21 800.21 $ 509.81 $ 18.59 $ 528.41 $ 30 10 202.73 $ 515.01 $ 107.18 $ 622.18 $ 7 21 289.97 $ 510.24 $ 18.17 $ 528.41 $ 31 9 682.58 $ 520.16 $ 102.03 $ 622.18 $ 8 20 779.30 $ 510.66 $ 17.74 $ 528.41 $ 32 9 157.22 $ 525.36 $ 96.83 $ 622.18 $ 9 20 268.22 $ 511.09 $ 17.32 $ 528.41 $ 33 8 626.61 $ 530.61 $ 91.57 $ 622.18 $ 10 19 756.70 $ 511.51 $ 16.89 $ 528.41 $ 34 8 090.69 $ 535.92 $ 86.27 $ 622.18 $ 11 19 244.76 $ 511.94 $ 16.46 $ 528.41 $ 35 7 549.41 $ 541.28 $ 80.91 $ 622.18 $ 12 18 732.39 $ 512.37 $ 16.04 $ 528.41 $ 36 7 002.72 $ 546.69 $ 75.49 $ 622.18 $ 13 18 297.53 $ 434.86 $ 187.32 $ 622.18 $ 37 6 450.57 $ 552.16 $ 70.03 $ 622.18 $ 14 17 858.32 $ 439.21 $ 182.98 $ 622.18 $ 38 5 892.89 $ 557.68 $ 64.51 $ 622.18 $ 15 17 414.72 $ 443.60 $ 178.58 $ 622.18 $ 39 5 329.63 $ 563.25 $ 58.93 $ 622.18 $ 16 16 966.69 $ 448.04 $ 174.15 $ 622.18 $ 40 4 760.75 $ 568.89 $ 53.30 $ 622.18 $ 17 16 514.17 $ 452.52 $ 169.67 $ 622.18 $ 41 4 186.17 $ 574.58 $ 47.61 $ 622.18 $ 18 16 057.13 $ 457.04 $ 165.14 $ 622.18 $ 42 3 605.85 $ 580.32 $ 41.86 $ 622.18 $ 19 15 595.52 $ 461.61 $ 160.57 $ 622.18 $ 43 3 019.72 $ 586.12 $ 36.06 $ 622.18 $ 20 15 129.29 $ 466.23 $ 155.96 $ 622.18 $ 44 2 427.74 $ 591.99 $ 30.20 $ 622.18 $ 21 14 658.40 $ 470.89 $ 151.29 $ 622.18 $ 45 1 829.83 $ 597.91 $ 24.28 $ 622.18 $ 22 14 182.80 $ 475.60 $ 146.58 $ 622.18 $ 46 1 225.95 $ 603.89 $ 18.30 $ 622.18 $ 23 13 702.44 $ 480.36 $ 141.83 $ 622.18 $ 47 616.02 $ 609.92 $ 12.26 $ 622.18 $ 24 13 217.28 $ 485.16 $ 137.02 $ 622.18 $ 48 (0.00 $) 616.02 $ 6.16 $ 622.18 $

Paiement Paiement

GIA 400 – Cours 4 43

Prêt simple: comment construire le tableau d'amortissement Prêt simple: comment construire le tableau d'amortissement

„ Prêt de 10 000$ à un taux nominal de 6%, composé mensuellement, remboursé en 5 paiements annuels égaux, comprenant capital et intérêt, payables en fin d'année.

%

% . M

i r

CK M C

; K

%;

r

M effectif

annuel 1 617

12 1 6 1 1

12 12

1 6

12

=

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

=

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

=

=

=

⇒

=

=

=

0 1 2 3 4 5

P = 10 000$

A A A A A

( 6.17%, 5 ) 2 385 $

$ 000

10

=

= A/P,

A

eff(6,12)=6.17%

GIA 400 – Cours 4 44

Prêt simple: comment construire le tableau d'amortissement Prêt simple: comment construire le tableau d'amortissement

Année 1 2 3 4 5 Capital au début (Bn-1) 10 000 $ 8 232 $ 6 355 $ 4 362 $ 2 246 $

Intérêts (I) 617 $ 508 $ 392 $ 269 $ 139 $

Remb. de capital (PP) 1 768 $ 1 877 $ 1 993 $ 2 116 $ 2 246 $

Capital à la fin (Bn) 8 232 $ 6 355 $ 4 362 $ 2 246 $ (0 $)

( )

n n

n

n n

n n

PP B

B

I A PP

i B I

−

=

−

=

=

−

−

1 1

Programme « maison »:

tblamort(npmt,N,i,PV,FV)

• npmt: les "npmt" premières années du tableau à afficher.

• Ce programme est disponible sur le site du cours: tblamort.v2p

• Fonction déjà inclue sur Nspire (voir page suivante)

tblamort(5,5,6.17,10000,0)