GIA 400

Cours 5 Cours 5

L’ L ’int inté érêt et les rêt et les formules d

formules d ’équivalence: ’é quivalence:

Cas particuliers Cas particuliers

GIA 400

Louis Parent,

Louis Parent, inging., MBA., MBA

Contenu Contenu

„ Flux monétaires en début de période

„ Flux monétaires continus

„ Gradient linéaire

„ Gradient géométrique

„ Référence

„ AEI 3.4, 2.3.5, 2.3.6

GIA 400 - Cours 5 3

Calculs d

Calculs d’é’équivalence de flux non conventionnels:quivalence de flux non conventionnels:

Versements en d

Versements en déébut de pbut de péérioderiode

„ Quand le flux monétaire et le taux d'intérêts sont connus, le flux monétaire de début de période est transformé en flux monétaire de fin de période en lui appliquant un facteur de capitalisation d’une période.

„ Exemple:

0 1 2 3

100 $ 200 $ 150 $

0 1 2 3

x(¹ + i) ^{110 $}

220 $ 165 $

i = 10% i = 10%

( )

( )

$ 79 405

$ 97 123

$ 82 181

$ 100

2 10%, ,

$ 150

1 10%, ,

$ 200

$ 100

. .

. P

F / P

F / P P

= + +

=

+ +

= ( )

( )

( )

$ 79 405

$ 97 123

$ 82 181

$ 100

3 10%, ,

$ 165

2 10%, ,

$ 220

1 10%, ,

$ 110

. .

. P

F / P

F / P

F / P P

= + +

=

+ +

=

P=NPV(10,100,{200,150})=405.79 P=NPV(10,0,{110,220,165})=405.79

GIA 400 - Cours 5 4

Calculs d

Calculs d’é’équivalence de flux non conventionnels:quivalence de flux non conventionnels:

Versements en d

Versements en déébut de pbut de péérioderiode

„ Quand le flux monétaire ou le taux d'intérêts sont inconnus, il faut manipuler les années.

„ Exemple: Combien déposer en début de période pendant 5 ans à un taux d'intérêt 10%, pour accumuler 5 000$ à la fin de l'année 5.

0 1 2 3 4 5

A = ?

F = 5 000$

0 1 2 3 4 5

F = 5 000$

-1

P=5 000$(P/F, 10%, 6) P = 2822.37$

A=2832.37$(A/P, 10%, 5) = 744.53$

Directement avec la TI:

nsolve(npv(10,-A,{-A,5000},{4,1})=0,A)=744.53

GIA 400 - Cours 5 5

Calcul d

Calcul d’é ’équivalence d'un quivalence d'un Versement unique

Versement unique à à composition continue composition continue

( )

( )

rN rN

r N r

N

Fe P

Pe F

e P F

r e

i

i P F

=

=

− +

=

−

= +

=

: et

1 1 : Donc

nominal annuel

taux le est où 1

: que sait on

continue, est

n compositio la

Si 1

„ Exemple:

„ Valeur dans 5 ans de 1 000$

déposés àr= 8%, composé continuellement:

1491.82$

000$

1 000$

1

4 5 08

=

=

=

=

× . . rN

e e F

Pe F

Calculs d

Calculs d’é ’équivalence de flux non conventionnels: quivalence de flux non conventionnels:

Flux continus et composition continue Flux continus et composition continue

( )

( )

( ^{P A r N} )

re A A e P

A f(t) dt

e t f P

r

t t

f

rN rN

rt N

, , 1 /

: constant

flux à fonction une

Pour

: par donné est nominal au taux

continue façon

de composé

monétaire, flux

ce de actualisée valeur

La

au temps monétaire

flux le donnant continue

fonction une

Soit

0

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ −

=

=

= ∫

„ La plupart du temps, lorsque l'on choisit de construire un modèle financier à flux continus, on choisira aussi la composition continue du flux monétaire.

0 N

f(t)=A

Note: rest un taux annuel, Adoit être un flux par année

∆t

GIA 400 - Cours 5 7

Calculs d

Calculs d’é’équivalence de flux non conventionnels:quivalence de flux non conventionnels:

Versements continus et composition continue (suite) Versements continus et composition continue (suite)

„ Si le flux continu est constant, plutôt que de transformer les formules de Pet F comme dans le manuel, on peut plutôt continuer à utiliser toutes nos formules en transformant le flux continu en un flux de fin de période comme ceci:

0 1

A

Flux continu

0 1

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

× +

) 1 ln( i

i

Flux de fin de période

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

× +

= ln( i)

A i

A 1

Si ce flux Ase répète ensuite sur plusieurs périodes Net qu'il est composé de façon continue on peut utiliser tousles facteurs d'équivalence habituels avec i = e^r–1

GIA 400 - Cours 5 8

Versements continus et composition continue: Exemple Versements continus et composition continue: Exemple

Le Gouvernement du Québec prévoit que son déficit budgétaire fera

augmenter la dette de la province de 5 700$ par minute en 2010. Supposons que pour financer cette dette, le gouvernement tire des chèques 24/7 sur une marge de crédit offerte par un syndicat bancaire à un taux nominal de 6% par année, composé continuellement.

Si le déficit continue ainsi pendant 3 ans, à combien s'élèvera la marge de crédit utilisée à la fin de la troisième année?

On peut approximer ce flux monétaire par un flux monétaire continu car:

Une minute = 1.9 x 10^-6 année

Première chose à faire, exprimer Adans la même unité de temps que r :

A= 5 700 $ /minute

A = 5 700 $/min x 60 min/hre x 24 hres/jr x 365 jrs/année

= 2 995 200 000 $/année

GIA 400 - Cours 5 9

Versements continus et composition continue: Exemple Versements continus et composition continue: Exemple

( )

( )

( )

G$

847 9

1893 3 G$

098 3

3 6.1837%, G$

098 3

G$

098 3

061837 1

061837 G$

2.995

1837 6 1 : où

1

.

. .

, A / F .

N , i , A / F A F

.

) . ln(

.

% . e i

) i ln(

A i A

r

=

=

=

=

=

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

=

−

=

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

= +

Exercice: vérifier que cette méthode donne le même résultat que celui qui peut être trouvé avec la formule donnée au tableau 3.2, p 155 du manuel.

Versements continus et composition continue:

Versements continus et composition continue:

Flux

Flux nonnon--constants dans le tempsconstants dans le temps Cas d’une fonction linaire (Rampe)

„ Le flux monétaire augmente (diminue) d’un montant constant G.

( )

(

) (

)

rt N rt N

e r N e G r P G

dt e Gt dt e t f P

−

−

−

−

−

−

−

=

=

= ∫ ∫

2

1

0 0

0 N

∆t

Gt t f ( ) =

0 N

∆t

ce

t f ( ) =

c

( )

( )

(

)

rt N

jt rt

N

j e r P c

dt e ce dt e t f P

+

−

−

−

+ −

=

=

= ∫ ∫

1

0 0

Cas d’une fonction exponentielle (extinction)

„ Le flux monétaire décroit à un taux constant j.

GIA 400 - Cours 5 11

Retour aux flux discrets: Gradient lin

Retour aux flux discrets: Gradient liné éaire strict aire strict

N N -1 Années

0 G

2G 3G

(N-2)G (N-1)G G > 0

0 1 2 3 4

(N-1)G

N N -1

0 G

2G 3G

(N-2)G G < 0

0 1 2 3 4

Le premier mouvement d'un gradient linéaire strict est

toujours 0 Définition:

Flux monétaire qui augmente ou diminue d'un montant constant Gà chaque période

GIA 400 - Cours 5 12

Situation pratique Situation pratique

„ Malheureusement, il est très rare dans la pratique que A₁= 0

„ Dans un modèle financier, la situation suivante est beaucoup plus courante:

0 1 2 3 4 5

A₁ A₁+G

A₁+2G A₁+3G

A₁+4G

„ Il nous faut recourir à une astuce…

GIA 400 - Cours 5 13

DéDécomposition en une annuitcomposition en une annuitééet un gradient linéet un gradient linéaire strictaire strict

0 1 2 3 4 5

A₁ A₁+G A₁+2G

A₁+3G A₁+4G

0 1 2 3 4 5

A₁

0 1 2 3 4 5

G 2G

3G 4G

+

=

„ Ces deux flux monétaires peuvent maintenant être analysés algébriquement…

Formules d'

Formules d'é équivalence d'un gradient lin quivalence d'un gradient liné éaire: aire:

Actualisation Actualisation

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

(

)

i i

iN G i

P

i G n i G n P

i / G N ...

i / G i / G P

N N

N

n

n N n

n

N

⎥=

⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

+

−

−

= +

+

= − +

−

=

+

− + + + +

+ +

=

∑

∑

−

=

1

1 1

: suit comme résout se série cette

1 1 1

1 ou

1 1 1

2 1 0

2

1 1

3 2

Facteur d'actualisation d'un gradient linéaire

0 1 2 3 4 5

G 2G

3G 4G

GIA 400 - Cours 5 15

Actualisation d'un gradient lin

Actualisation d'un gradient linééaire: Exemple 2.20aire: Exemple 2.20

„ Une usine de textile vient d'acheter un chariot élévateur dont la durée de vie utile est de 5 ans. L'ingénieur estime que les coûts d'entretien de ce véhicule durant la première année seront de 1 000$. Les coûts d'entretien devraient augmenter à mesure que le chariot élévateur s'use, au rythme de 250$ par année pour le reste de sa durée de vie utile. Supposons que les dépenses d'entretien surviennent à la fin de chaque année. L'entreprise souhaite créer un compte d'entretien qui porte intérêt à un taux (effectif) annuel de 12%. Tous les frais d'entretien seront acquittés à partir de ce compte. Combien l'entreprise doit-elle déposer dans ce compte aujourd'hui.

0 1 2 3 4 5

P = ?

1 000$

1 250$

1 500$

1 750$ 2 000$

GIA 400 - Cours 5 16

0 1 2 3 4 5

Exemple 2.20 (suite) Exemple 2.20 (suite)

P = P_A+ P_G 1 000$

1 250$

1 500$

1 750$

2 000$ 0 1 2 3 4 5

P_A

1 000$

0 1 2 3 4 5

P_G

1 000$

250$500$750$

=

+

Annuité

Gradient linéaire

GIA 400 - Cours 5 17

Exemple 2.20 (suite) Exemple 2.20 (suite)

1. Actualisation de l'annuité:

P_A=A(P/A, i, N)

= 1000$(P/A, 12%, 5)

= 3 604$

2. Actualisation du gradient linéaire P_G=G(P/G, i, N)

= 250$(P/G, 12%, 5)

= 250$ (6.3970)

= 1 599$

3. Valeur actualisée totale P=P_A+P_G

= 3 604$ + 1 599$

= 5 204$

( ) ( )

(

) (

)

1 5 12 0 12 0 1

5 2

5

. .

. .

. =

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

+

−

− +

Fonction "maison" sur les TI (disponible sur le site du cours):

pvgl(N,i%,A,G)

pvgl(5,12,1000,250)=5204 Fonction "maison" sur les TI (disponible sur le site du cours):

pvgl(N,i%,A,G)

pvgl(5,12,1000,250)=5204

Exemple 2.20 (suite) Exemple 2.20 (suite)

„ Exercice: On peut vérifier la solution en calculant la valeur présente du flux monétaire irrégulier.

0 1 2 3 4 5

P = 5 204$

1 000$

1 250$

1 500$

1 750$

2 000$

Année Flux monétaire

Facteur d'actualisation

Valeur actualisée 1 1 000 $ 0.8929 $893 2 1 250 $ 0.7972 $996 3 1 500 $ 0.7118 $1 068 4 1 750 $ 0.6355 $1 112 5 2 000 $ 0.5674 $1 135

Total $5 204

( )

∑

=

=^{n N}

n

n P F i N F

P

1

, , /

P = PE = npv(12,0,{1000,1250,1500,1750,2000})=5204$

Méthode de la PE d’un flux irrégulier:

GIA 400 - Cours 5 19

Rappel: Exercice 2.4 Rappel: Exercice 2.4

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 A = ?

25K$

27K$

29K$

31K$

i =10%

Combien faudra-t-il avoir accumulé à la fin de l'année 16:

P₁₆= 0$(P/F, 10%, 1)+ 25 000$(P/F, 10%, 2) +27 000$(P/F, 10%, 3) + 29 000$ (P/F, 10%, 4)+ 31 000$(P/F, 10%, 5)

= 80 002.06$

GIA 400 - Cours 5 20

Exercice 2.4: Calcul avec gradient Exercice 2.4: Calcul avec gradient

17 18 19 20 21 25K$

27K$

29K$

31K$

17 18 19 20 21 25K$

27K$

29K$

31K$

17 18 19 20 21 25K$

27K$

29K$

31K$

17 18 19 20 21 25K$

27K$

29K$

31K$

17 18 19 20 21 25K$

27K$

29K$

31K$

17 18 19 20 21 25K$

27K$

29K$

31K$

17 18 19 20 21 25K$

27K$

29K$

31K$

17 18 19 20 21 25K$

27K$

29K$

31K$

17 18 19 20 21 25K$

27K$

29K$

31K$

16

16 17 18 19 20 21 25K$

P_A= A(P/A,i%, N) P_A= 25K$(P/A, 10%, 4) P_A=79.247 K$

16 17 18 19 20 21 2K$

4K$

6K$

P_G= G(P/G, i%, N) P_G= 2K$(P/G, 10% 4) P_G= 2K$ (4.3781) P_G= 8.756 K$

À t=17:

P = P_A+ P_G

P = 79 247$ + 8756 $ = 88 003$

TI:pvgl(4,10,25000,2000)=88003 À t=16:

P = 88 013$(P/F, 10%, 1) = 80 003$

TI:tvm_pv(1,10,0,-88003)=80003

=

+

GIA 400 - Cours 5 21

Formules d'

Formules d'é équivalence d'un gradient lin quivalence d'un gradient liné éaire: aire:

Conversion d'un gradient lin

Conversion d'un gradient liné éaire en annuit aire en annuité é constante constante

( ) ( )

( ) ⁱ [ ( ) ^{i i iN} ] ^{G ( A / G , i , N )}

G A

P i

i P i

A

N N N

N

⎥ =

⎥ ⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

− +

−

−

= +

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

− +

= +

1 1

1 1

: obtient on

linéaire gradient

un d' subsituant En

1 1

1

: est capital du nt recouvreme de

annuité l'

que déjà sait On

Facteur de conversion d'un gradient linéaire en annuité

Conversion d'un gradient lin

Conversion d'un gradient linééaire en annuitaire en annuitéé: Exemple 2.21: Exemple 2.21

„ Jean et Bernadette ouvrent chacun un compte d'épargne à leur coopérative d'épargne et de crédit. Ces comptes portent intérêt à un taux annuel de 10% (effectif). Jean souhaite déposer 1 000$ dans son compte à la fin de la première année et accroître ce montant de 300$ à chacune des 5 années suivantes, Bernadette veut déposer un montant égal pendant les 6 prochaines années. Quel devra être la valeur du dépôt annuel de Bernadette pour que les deux comptes aient un solde égal à la fin des 6 années?

0 1 2 3 4 5 6

1 000$

1 300$

1 600$

1 900$2 200$

2 500$

Jean

0 1 2 3 4 5 6

F(Jean) = F(Bernadette) A=?

Bernadette i=10%

GIA 400 - Cours 5 23

Exemple 2.21: Premi

Exemple 2.21: Premièère solutionre solution

0 1 2 3 4 5 6

1 000$

1 300$

1 600$

1 900$

2 200$

2 500$

Jean

i=10% ^{0 1 2 3 4 5 6}

0 1 2 3 4 5 6

A= 1 000$

300$ 600$

900$ 1200$1500$

+

0 1 2 3 4 5 6

A_G= 667.08$

=

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

[ ]

( )

667.08$

1

$ 08 667

$ 000 1 2236 2

$ 300

2236 2 1 1 0 1 1 0

1 6 1 0 1 0 6 1

% 10

6

% 10

$ 300

6 6

= +

= +

=

=

⎥=

⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

− +

−

−

= +

=

=

. A

A A

. A

. .

. . , .

, G / A

, , G / A A

N , i , G / A G A

G total G G G

GIA 400 - Cours 5 24

Exemple 2.21: Premi

Exemple 2.21: Premièère solutionre solution

0 1 2 3 4 5 6

A= 1 000$

0 1 2 3 4 5 6

A_G= 667.08$

Jean: Annuité

Jean:

Annuité équivalente au gradient

+

0 1 2 3 4 5 6

A_Total= 1 667.08$

Bernadette:

Annuité totale équivalente

=

GIA 400 - Cours 5 25

Exemple 2.21: Deuxi

Exemple 2.21: Deuxièème solutionme solution

0 1 2 3 4 5 6

1 000$

1 300$

1 600$

1 900$

2 200$

2 500$

Jean

i=10% ^{0 1 2 3 4 5 6}

0 1 2 3 4 5 6

P_A=A(P/A,i,N)

P_A=1 000$(P/A, 10% 6) P_A= 4 355.26$

300$ 600$

900$ 1200$

1500$

+

P = P_A+ P_G

P= 4 355.26$ + 2 905.26$ = 7 260.52$

TI:pvgl(6,10,1000,300)=7260.51 A= P(A/P, i, N)

A= 7 260.52$ (A/P, 10%, 6) = 1 667.08$

TI:tvm_pmt(6,10,-7260.51, 0)=1667.07

=

P_G=G(P/G,i,N) P_G=300$(P/G, 10% 6) P_G= 300$ (9.6842) = 2 905.26$

P_A

P_G

Exemple 2.21: Troisi

Exemple 2.21: Troisiè ème solution me solution

0 1 2 3 4 5 6

1 000$

1 300$

1 600$

1 900$2 200$

2 500$

Jean

0 1 2 3 4 5 6

F(Jean) = F(Bernadette) A=?

Bernadette i=10%

P=npv(10,0,{1000,1300,1600, 1900,2200,2500})= 7260.68

P = 7260.68

A = 7260.68 (A/P, 10, 6) = 1667.08$

tvm_pmt(6,10,npv(10,0,{1000,1300,1600,1900,2200,2500}),0) 1667.07 En une étape avec la TI:

GIA 400 - Cours 5 27

Exemple 2.21: Quatri

Exemple 2.21: Quatriè ème solution avec me solution avec nSolve nSolve

PJean= pvgl(6,10,1000,300) PBernadette= npv(10,0,{A},{6}) FJean=FBernadette ⇒ PJean=PBernadette

⇒ pvgl(6,10,1000,300)=npv(10,0,{A},{6})

nsolve(pvgl(6,10,1000,300)−npv(10,0,{A},{6})=0,A)= 1667.07

0 1 2 3 4 5 6

1 000$

1 300$

1 600$

1 900$

2 200$

2 500$

Jean

0 1 2 3 4 5 6

F(Jean) = F(Bernadette) A=?

Bernadette i=10%

P P

GIA 400 - Cours 5 28

Formules d'

Formules d'ééquivalence d'un gradient linquivalence d'un gradient linééaire:aire:

Capitalisation d'un gradient lin Capitalisation d'un gradient linééaireaire

( )

( ) ( )

(

)

faut Il

).

, , / ( facteur le t directemen pas

donnent ne

tables Les

, , 1 /

1 : obtient on

linéaire, gradient un d' e équivalent annuité

l' à subsituant En

1 1

: est annuité une d' e capitalisé valeur

la que déjà sait On

N i P F N i G P G N i G F G

N i G F N

i G F G i N

i i F G

A i A i F

N N

=

⎥=

⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ + − −

=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ + −

=

Facteur de capitalisation d'un gradient linéaire

Facteur d'actualisation

d'un gradient linéaire

Facteur de capitalisation d'un montant

unique X

GIA 400 - Cours 5 29

Capitalisation d'un gradient lin

Capitalisation d'un gradient linééaire (daire (déécroissant): Exemple 2.22croissant): Exemple 2.22

„ Vous effectuez une série de dépôts annuels dans un compte bancaire qui porte intérêt à un taux de 10% (effectif). Le dépôt initial à la fin de la première année est de 1 200$. Les dépôts subséquents décroissent de 200$ chacune des 4 années suivantes. De combien disposerez-vous immédiatement après le cinquième dépôt?

0 1 2 3 4 5

1 200$ 1 000$

800$ 600$ 400$

F = ? i = 10%

Exemple 2.22 Exemple 2.22

0 1 2 3 4 5

A= 1 200$

F_A

0 1 2 3 4 5

200$

400$

600$

800$

–

G

F= F_A– F_G

F= A(F/A, i, N)– G(F/G, i, N)

F= A(F/A, i, N)– G(P/G, i, N)(F/P, i, N)

F= 1 200$ (F/A, 10%, 5)–200$ (P/G, 10%, 5)(F/P,10%, 5)

F=7 326$ –200$ (6.862)(F/P, 10%, 5) = 7 326$ –1 372$(F/P,10%,5) F=7 326$ –2 211$ = 5 115$

0 1 2 3 4 5

1 200$ 1 000$ 800$ 600$ 400$

=

F= F_A+ F_G

GIA 400 - Cours 5 31

Exemple 2.22 Exemple 2.22

0 1 2 3 4 5

1 200$ 1 000$ 800$ 600$ 400$

P = pvgl(6,10,-1200,200)=-3176.58 F = tvm_fv(5,10,-3176.58.0)=5115.92

i = 10%

F = 3176.58$ (F/P, 10%,5) = 5 115.91$

En une seule étape:

tvm_fv(5,10,pvgl(6,10,-1200,200),0)=5115.92

GIA 400 - Cours 5 32

Gradients g

Gradients gé éom omé étriques triques

Définition:

Flux monétaire qui augmente ou diminue d'un pourcentage constant gà chaque période

Une situation très fréquente en modélisation financière

g > 0

0 1 2 3 4

g < 0

N N -1

A₁ A₁(1+g)

A₁(1+g)^N-1

A₁(1+g)²

0 1 2 3 4 N -1 N

A₁

A₁(1+g) A₁(1+g)²

A₁(1+g)^N-1

Années

Années

GIA 400 - Cours 5 33

Formules d'

Formules d'é équivalence d'un gradient g quivalence d'un gradient gé éom omé étrique: trique:

Actualisation Actualisation

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

(

)

A P

g i i

P NA

g g i

i i A g

P

i g A P

P P

i g A i A P

A g

A A

N N N

n

n n

n n

n n

n n

n n

n

: Notation

si 1

si 1

1 1

: à résout se série Cette

1 1

: des addition l' est monétaires flux

de série la de

1 1 1

par donnée est monétaire flux

tout de actualisée valeur

la que sait On

1 Soit

1 1

1 1

1

1

1 1 1

1

1

= + =

=

⎥ ≠

⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

− + +

= −

+ +

=

+ +

= +

=

+

=

−

=

−

−

−

−

−

−

∑

Facteur d'actualisation d'un gradient géométrique

Actualisation d'un gradient g

Actualisation d'un gradient gééomoméétrique: Exemple 2.23trique: Exemple 2.23

„ Ansell Inc., un fabricant d'appareils médicaux, utilise l'air comprimé pour contrôler divers équipements de production automatisé. Le système de distribution d'air comprimé actuel présente de nombreuses fuites et fonctionne actuellement 70% du temps (24 heures par jour, 250 jours de production par année). La puissance du système est de 260 kW (et non kWh: erreur dans le livre) au tarif de 0.05$/kWh.

„ Si le système n'est pas remis en état, les fuites continueront d'augmenter de sorte que le temps de fonctionnement du compresseur augmentera de 7% par année et ne suffira plus dans 5 ans.

„ Si Ansell décide de remplacer tout le système de distribution aujourd'hui, il en coûtera 28 570$, mais le taux d'utilisation du compresseur diminuera de 23% et se situera donc à 70%x(1-23%) = 53.9% par jour.

„ Si Ansell obtient un taux d'intérêt de 12%, devrait-elle remplacer son système maintenant?

GIA 400 - Cours 5 35

0 1 2 3 4 5

Exemple 2.23 Exemple 2.23

„ Il faut calculer la valeur présente de la consommation d'énergie des deux options. Si la différence est plus grande que le coût du remplacement, il est avantageux de remplacer

1. Non-remplacement

440$) 54 non (et 600$

54

0.05$/kWh kw

260 r heures/jou 24

e jours/anné 250 70

kWh par Tarif kW jour par heures

année par jours jour par n utilisatio

année première la consommée énergie

l' de Coût

1 1

-

%

% A A

−

=

×

×

×

×

=

×

×

×

×

=

= P = ?

A₁= ? g = +7%

i = 12% ( )

( ) ( )

( ) ( )

937$

222

07 0 12 0

12 0 1 07 0 1 600 1 54

si 1

1 1

5 5

1 1 1

- P

. .

.

$ . P

g i g

i i A g

P

N , i , g , A / P A P

N N

=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

− + +

− −

=

⎥ ≠

⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

− + +

= −

=

−

−

Fonction "maison" sur les TI (disponible sur le site du cours):

pvgg(N,i%,A1,g)

pvgg(5,12,-54600,7)=-222937 Fonction "maison" sur les TI (disponible sur le site du cours):

pvgg(N,i%,A1,g)

pvgg(5,12,-54600,7)=-222937

GIA 400 - Cours 5 36

Exemple 2.23 Exemple 2.23

„ Il faut calculer la valeur présente de la consommation d'énergie des deux options. Si la différence est plus grande que le coût du remplacement, il est avantageux de remplacer.

2. Remplacement

0 1 2 3 4 5

P = ? A = ? i = 12%

( )

( )

552$

151

5) 12%,

$(

042 42

$ 042 42

042$

42

23%) - (1 600$

54

économies)

% - (1 actuel Coût

année par consommée énergie

l' de Coût

−

=

−

=

−

=

=

−

=

×

−

=

×

=

=

, P/A

N , i , A / P N , i , A / P A P

A Coût de l'énergie

Non-Remplacement $222 937

Remplacement $151 552

Économie du remplacement $71 385

Coût du remplacement $28 570

Gain net du remplacement $42 815

Remplacer

GIA 400 - Cours 5 37

Rappel: Exercice 2.8 Rappel: Exercice 2.8

0 1 2 3 4

11 000$

12 100$

14 641$

i =10%

P = 11 000$(P/F, 10%, 1)+ 12 100$(P/F, 10%, 2) +14 641$(P/F, 10%, 4)

= 10 000$ + 10 000$ + 10 000$

= 30 000$

13 310$

– 13 310$

Exercice 2.8: Solution par gradient Exercice 2.8: Solution par gradient

0 1 2 3 4

11 000$ 12 100$

14 641$

i =10%

g =10%

( )

( )

( )

( )

000$

30 000$

10 000$

40

$ 000 10 3 0%

1

$ 310 13

3 à 310$

13 de actualisée valeur

la moins

$ 000 10 40

0 1

000$

11 4 1

: quand

10 que observe on

1

=

−

=

=

=

=

= + =

+ =

=

=

=

⇒

=

P

, , F / P P

N , i , F / P F P

n .

) i ( P NA

i g i g

% g

gradient

GIA 400 - Cours 5 39

Formules d'

Formules d'é équivalence d'un gradient g quivalence d'un gradient gé éom omé étrique: trique:

Capitalisation Capitalisation

( ) ( ) ( )

( )

( ^{F / A , g , i , N} )

A F

g i i

NA F

g g i

i

g A i

F

i F P

N-

N N

N

: Notation

si 1

si 1

1 : obtient on

ion, actualisat d'

formule la

dans 1

t substituan En

1 1

1 1

1

=

= +

=

⎥ ≠

⎥ ⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

− +

−

= +

+

=

Facteur de capitalisation d'un gradient géométrique

GIA 400 - Cours 5 40

Capitalisation d'un gradient g

Capitalisation d'un gradient gééomoméétrique: Exemple 2.24trique: Exemple 2.24

„ Jérémie Cantin, un travailleur autonome, ouvre un compte de retraite à la banque. Son objectif est d'y accumuler 1 000 000$ d'ici son départ pour la retraite dans 20 ans. Une banque locale lui propose un compte de retraite portant intérêt à 8%, composé annuellement, pendant 20 ans. Jérémie prévoit que son revenu annuel augmentera de 6% par année pendant le reste de sa carrière. Il entend faire un premier dépôt à la fin de la première année et augmenter ses dépôts subséquents de 6% chaque année. Quel devra être le montant de son premier dépôt?

GIA 400 - Cours 5 41

Exemple 2.24 Exemple 2.24

0 1 2 3 4 N -1 20

Années

A₁= ?

F = 1 000 000$

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

$ 756.85 13 691084 72 000$

000 1

691084 72 000 000 1

6 8

6 1 8 000 1

000 1

si 1

1

1

1

20 20

1 1

1 1

=

=

⇒

=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

− +

−

= +

⎥ ≠

⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

− +

−

= +

=

. A

. A

$

%

%

% A %

$

g g i

i g A i

F

N , i , g , A / F A F

N N

i =8%

g =6%

P = tvm_pv(20,8,0,1000000) P = pvgg(20,8,a1,6) Î

Nsolve(tvm_pv(20,8,0,1000000)

=pvgg(20,8,a1,6),a1)

=13756.85

Rendement de la Bourse en longue p Rendement de la Bourse en longue pé ériode riode

Indice S&P 500

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

1/3/1980 1/3/1982 1/3/1984 1/3/1986 1/3/1988 1/3/1990 1/3/1992 1/3/1994 1/3/1996 1/3/1998 1/3/2000 1/3/2002 1/3/2004 1/3/2006 1/3/2008 1/3/2010

i=13.4%/an sur 21 ans

i=8.2%/an sur 31 ans

GIA 400 - Cours 5 43

Rendement de la Bourse en longue p Rendement de la Bourse en longue pé ériode riode

Taux effectif moyen: 7.24%/an

Valeur accumulée de 741$ placé à tous les mois dans le S&P500 (Janvier 1980 - Janvier 2011)

0 $ 200 000 $ 400 000 $ 600 000 $ 800 000 $ 1 000 000 $ 1 200 000 $

1/3/1980 7/1/1981 1/3/1983 7/2/1984 1/2/1986 7/1/1987 1/3/1989 7/2/1990 1/2/1992 7/1/1993 1/3/1995 7/1/1996 1/2/1998 7/1/1999 1/2/2001 7/1/2002 1/2/2004 7/1/2005 1/3/2007 7/1/2008 1/4/2010

GIA 400 - Cours 5 44

Gradient g

Gradient gééomoméétrique compostrique composéé

„ Quand la croissance du flux monétaire dépend de plusieurs gradients:

„ On calcule le facteur gtotal en composant les sous-facteurs ainsi:

( )( )( ) ( )

[ 1 +

1 +

1 +

1 +

] − 1

= g g g .... g

g

„ Exemple:

„ Flux monétaire = Unités vendues x Prix de vente unitaire

„ Croissance du volume de vente (unités vendues): 7% par année

„ Croissance du prix de vente: 5% par année

„ Croissance du flux monétaire

( )( )

[ % % ] . %

g

= 1 + 7 1 + 5 − 1 = 12 35

GIA 400 - Cours 5 45

Gradient g

Gradient gé éom omé étrique infini trique infini

( ) ( )

g g i

i P A

g A i P

N

g g i

i i A g

P

N N

− >

=

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

= −

∞

→

⎥ ≠

⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

− + +

= − ⁻

si seulement et

si

0 1

: si

si 1

1 1

1 1 1

Une des formules les plus remarquables de la Finance!

Application: Valeur marchande d'une entreprise Application: Valeur marchande d'une entreprise

„ La valeur marchande d'une entreprise se modélise comme la valeur actualisée des flux monétaires qu'elle peut générer dans l'avenir.

„ La plupart du temps on construit un modèle prévisionnel des flux monétaires pour les 5 ou 10 prochaines années.

„ Mais qu'arrive-t-il pour la suite? Est-ce que l'entreprise a une valeur de 0 à l'année 6 ou 11? Bien sûr que non!

„ On doit donc estimer la valeur terminale de l'entreprise à la fin de la période de prévision détaillée. On a souvent alors recours à un gradient

géométrique infini:

Valeur actualisée à t = 0 2 800 $ 583 $ 625 $ 579 $ 530 $ 482 $

(en K$) 0 1 2 3 4 5

Flux monétaire net 700 $ 900 $ 1 000 $ 1 100 $ 1 200 $ 1 250 $ + 5%/an 6 et +

i= 20% g= 5%

Valeur terminale

Actualisée à t = 5 8 333 $

Actualisée à t = 0 3 349 $ Valeur actualisée totale 6 149 $

1 250$/(20%–5%) 8 333$ (1+20%)^-5

GIA 400 - Cours 5 47

IntéIntérêt et formules d'rêt et formules d'ééquivalence: Rquivalence: Réécapitulation gcapitulation géénnééralerale

A=P(A/P ,i ,N) Annuité équivalente à une

valeur présente (recouvrement)

A=F(A/F ,i ,N) Annuité équivalente à une

valeur future (amortissement)

P=A(P/A, i, N) Valeur présente d’une

annuité

F=A(F/A, i, N) Valeur future d’une annuité

P=F(P/F, i, N) Valeur présente d’un flux

unique

F=P(F/P, i, N) Valeur future d’un flux

unique F=P(1+i)^N

i N

P F ) 1 ( +

=

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ + −

= i

A i F

N 1

) 1 (

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ +

−

= + ^N_N

i i A i

P (1 )

1 ) 1 (

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

= +

1 ) 1 ( i ^N F i A

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

− +

= +

1 ) 1 (

) 1 (

N N

i i P i A

GIA 400 - Cours 5 48

Formules d'

Formules d'ééquivalence: Rquivalence: Réécapitulation gcapitulation géénnééralerale

P=A₁(P/A₁, g, i, ) Valeur présente d'un

gradient géométrique infini

F=A₁(F/A₁, g, i, N) Valeur future d'un

gradient géométrique (i = g)

P=A₁(P/A₁, g, i, N) Valeur présente d'un

gradient géométrique (i = g)

A=G(A/G, i, N) Annuité équivalente

d'un gradient linéaire

F=G(F/G, i, N) Valeur future d'un

gradient linéaire

P=G(P/G, i, N) Valeur présente d’un

gradient linéaire

( ) ( )

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ +

−

−

= + ^N _N

i i

iN G i

P

1 1 1

2

( )

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ + − −

= N

i i i F G

N 1

1

( ) [ ( ) ]

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

− +

−

−

= +

1 1

1 1

N N

i i

iN G i

A

( ) ( )

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

− + +

= − ⁻

g i

i A g

P

N N 1 1 1

1

( ) ( )

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

− +

= +

g i

g A i

F

N N 1 1

1

∞ i g

P A

= −¹