ZlZl -.fl[--.r-

-.fl[--.r- _{rcrrELlFA ZlZl}

Table ^{des matières}

Espace

mesurable - APPlication

1-:

-\:neau et ^{algèbre de Booie}

l.'l

^:-arneau. a-algèbre. Classe rle Dynkin

i-3

lmage réciproque d'une

tribu

i-{

^Tribu borélienne d'un espace topologique

1.;

^Espace mesurable, Application ^mesurable

1-d

Fonction étagée

1.:

^{Exercices sur les} anneaux, les a-algèbres et les fonctions mesurables

\Iesures sur un anneau(resp. une o-algèbre) -

Convergence des

suites de

^fonc-

tions

mesurables

:.1

\Iesure sur un anneau de ^Boole

1.1.1

Ensembles négligeables ^. La nesure de Lebesgue-Stieltjes sur ^iR

2.2.1

\{esure ^associée à une fonction crOissante, continue à ^gauche

\Iesure extérieure

-

Le théorèrne de Carathéodory

2.3.1

La ^rnesure de Lebesgue-Stieltjes sur ^IR

\Iesure irnage

Propriétés particulières de la ^rnesure de Lebesgue sur ^IR' Conr-ergence pl'esque partout et conl€rgence ^{en mesure}

2.6.1

Convergence presque partout-Théorème d'Egoroff

2.6.2

Convergence en mesure - Théorème de Lebesgue

Exercices sur les mesures et la convergence ^des suites de fonctions ^mesurables

3 \Iesure de Borel - Mesure

^de

Radon

3.1

\Iesure de Borel régulière

3-2

\Iesure de Radon

)

0

3.2.1

prolongemen1 rl'une mesure de Radon positive sur I'ensemble ^des fonctions

t.l

rnesurable

l';;" *"r,r.l a" nti"" poriti"u'a'rtr,rà*ul; ;"; ro"*L"'

o rd

I

13

I+

lf)

22 26

39 39 45 45 45

OU

ôô 65 65 69 69 (L B3

1t1

111 115

116

120 121 r29

131 134

r42

1.3

-) -i

l.l

'1.6

't_;

s.c.i. positives

3.2.2

Prolongement

3.3 3.1

positives

3.2.3

Théorèrne de Beppo-Levi et iemme de Fatou

3.1.1

\Iesurabilité au sens de Lusin

3.:.5

^\Iesure essentielle associée à une rnesure de Radon

L,intégrale ^de Riemann-Stielqes ^: Exemple d'une ^mesure de Radon

)

0 Exercices sur les Inesures de Borel et de ^Radorl

TABLE DES MATTER,ES

Fonctions intégrables

4.1

Intégrales des fonctions

4.2

Intégraie d'une fonction

eragees posrtrves mesurable positive

4.3

Théorème de Beppo-Levi ou de la convergence monotone

4.4

Fonctionsintégrables

4.5

Le théorème de Lebesgue ou théorème de la convergence dominée

4.6

Comparaison de I'intégrale de Riemann et de I'intégrale de Lebesgue

4.7

Intégration par rapport à une mesure image

4.8

Application du théorème de Lebesgue àux intégrales dépendant d'un paramètre

4.9

Exercices sur les fonctions intéqrables

5 Propriétés particulières aux

rnesures de Letresgue

sur la droite

réelle

5.1

Dérivation des fonctions à variatiori bornée

5.1.1

Fônctions absolument continues

5.1.2

Le théorème fondamental de dérivation

5.1.3

Formule d'intêg-r-ation par parties

5.2

Fonctions semi-intégrables - Intégrales impropres

5.2.1

Fonctions semi-intégrables

5.2.2

Farnille de fonctions uniformément semi-intégrables

163 163 166 'J.67

170 rlu 181 184 186 189

221 22t

zôz 240 246 247 248 250

276 280

5.3

Exercices sur les propriétés particulières des mesures sur la droite

rêelle

2b4

fntégrales rnultiples

26L

6.1

Produit tensoriel de deux me-sures

o-frnies

2St

6.2

Intégrale d'une fonction par rapport à une mesure

produit

265

6.2.1

Le théorème de

Fubini-Tonelli

26b

6.2.2

Le théorème de

Fubini

267

6.3

Théorème d'intégration par parties et formule de la mo)'enne pour les rlesures de

Lebesgue-Stieltjès

268

La mesure de Lebesgue sur

IRP

2Tg

6.4 6.5 6.6 6.7

6.8 6.9

Le théorème de dérivation de Lebescue dans IRl'

Théorème rlu changement de variables da,ns une intégrale

dals

lRp

Applications pratiques du théorème clu changemenl de

variables

2BT

6.7.1

Coordonnées

polaires

287

6.7.2

Coordonnées

sphériques

2Bg

\,{esure inl'ariante sur la sphère

Sp-r

de

lRe

290

Exercices sur les intégrales

multiples

294

Fouctions de

puissance

pèrne intégrable Blb

;.1

^{Les espaces}

Lr(X,T,p),Inégalités

de

Hôlder

31b

7.2

Relations entre les divers espaces

Le(X,T,p)

B1B

;.3

Inégalité de Minkowski

-

L'espace normé

Lo(X,T, p) .

J2t

;.J

Le théorème de Riesz-Fisher pour les espaces

Le(X,T,p)

^g2B

;.5

Théorèmes de

densité

326

;-6

Le: espaces

L-(p,F)

et

L*(X,T,p)

32g

;-7

Lxercices sur les fonctions de ^puissance

intégrables

3A1

Dæ

MATTEF"ES

de convolution Ia

convolution dans

t1(R*)

E:rtension de la convolution à d'autres classes de fonctions Approximation de I'unité

Une application de la convolution : la régularisation

8:4-f

^{Partition de l'unité}

kension

^{de la} convoiution ^grâce à des conditions sur ^les supports Êænvolution des mesures

B.etcicet sur le produit de convolution '

de Fourier

@sformee

de Fourier des fonctions intégrables

9-r.1 llansformation

de Fourier ^des fonctions indéûniment dêrivables

à

décrois- sance rapide ^.

ion de la transformation ^de Fourier aux ^espaces

L'(R')'

9.5-f

Convergence d'une suite de mesures ^bornées

t

345 M5

347

3U

356 358 359 362

388 392 399 406 429 lfit3 364

377

377

383 386 386

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