ESPACE I. Rappels

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I. Rappels

1. Rappels : formules d’aires

𝑨_{𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂𝒏𝒈𝒍𝒆} = 𝑳 × 𝒍 𝐴_{𝑐𝑎𝑟𝑟é} = 𝑐 × 𝑐 = 𝑐²

𝑚² 𝑑𝑚² 𝑐𝑚² 𝑚𝑚²

𝐴_{𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒} =𝑏 × ℎ 2

𝐴𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙é𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑚𝑒 = 𝑏 × ℎ 𝑨_{𝒅𝒊𝒔𝒒𝒖𝒆} = 𝝅 𝒓^𝟐 ( 𝑃_{𝑐𝑒𝑟𝑐𝑙𝑒} = 2𝜋𝑟 )

𝐴_{𝑙𝑜𝑠𝑎𝑛𝑔𝑒} =𝐷 × 𝑑

2 𝐴_{𝑡𝑟𝑎𝑝è𝑧𝑒} =(𝐵 + 𝑏) × ℎ

2

2. Formules de volumes

𝑽_{𝒅𝒓𝒐𝒊𝒕}= 𝑨_{𝑩𝒂𝒔𝒆}× 𝑯𝒂𝒖𝒕𝒆𝒖𝒓 𝑽_{𝒔𝒐𝒎𝒎𝒆𝒕}= 𝑨_{𝑩𝒂𝒔𝒆}× 𝑯𝒂𝒖𝒕𝒆𝒖𝒓

𝟑

𝐿

𝑙 𝑐

𝑏

ℎ ℎ

𝑏

𝑟

𝐷

𝑑 ℎ

𝐵 𝑏

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Cas remarquables :

𝑉_{𝑝𝑎𝑣é 𝑑𝑟𝑜𝑖𝑡}= 𝐿 × 𝑙 × 𝐻 𝑉_{𝑐𝑢𝑏𝑒} = 𝑐³ 𝑉_{𝑐𝑦𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑒} = 𝜋 𝑟² 𝐻

𝑉𝑐ô𝑛𝑒 𝑑𝑒 𝑟é𝑣𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛 =𝜋 𝑟² 𝐻 3

𝑘𝑚³ ℎ𝑚³ 𝑑𝑎𝑚³ 𝑚³ 𝑑𝑚³ 𝑐𝑚³ 𝑚𝑚³

Litre dL cL mL

Méthode : Calculer le volume d’une pyramide

AB = 4 cm et CH = 5 cm.

La hauteur de la pyramide est de 3,5 cm

Calculer son volume arrondi au centième de cm³.

Calcul de l’aire de la base :

La base est un triangle de hauteur CH = 5 cm.

𝐴_𝐴𝐶𝐵 =𝑏𝑎𝑠𝑒 × ℎ𝑎𝑢𝑡𝑒𝑢𝑟

2 =𝐴𝐵 × 𝐶𝐻

2 =4 × 5

2 = 10 𝑐𝑚² Calcul du volume de la pyramide :

La pyramide a pour hauteur H = 3,5 cm.

𝑉 =𝐴_𝐴𝐶𝐵×𝐻𝑎𝑢𝑡𝑒𝑢𝑟

3 =10×3,5 3 =35

3 𝑐𝑚³≈ 11,67 𝑐𝑚³

II. Sphères et boules

1. Définitions

- « Sphère » du grec « sphaira » (balle à jouer)

La sphère

S

de centre O et de rayon R est l’ensemble des points M tels que 𝑂𝑀 = 𝑅

ex : balle de ping-pong

- La boule

B

de centre O et de rayon R est l’ensemble des points M tels que 𝑂𝑀 ≤ 𝑅

ex : la Terre

𝐵 ∈ 𝑩 ; 𝐵 ∉ 𝑺 ; 𝐴 ∈ 𝑩 ; 𝐴 ∈ 𝑺 ; 𝐶 ∉ 𝑩 ; 𝐶 ∉ 𝑺

S

3,5cm

H

C

B A

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2. Aire de la sphère 𝐴 = 4𝜋𝑟²

Exemple : Surface terrestre (rayon de la terre ≈ 6 370 km) 𝐴 = 4𝜋𝑟² ≈ 4 × 3,14 × 6 370² ≈ 509 904 364 𝑘𝑚²

3. Volume de la boule 𝑉 =4

3𝜋𝑟³

Exemple : Volume de la Terre 𝑉 = 4

3𝜋𝑟³ ≈ 4

3× 3,14 × 6 370³ ≈ 1 082 696 932 000 𝑘𝑚³

III. Sections de solides par un plan

1. Sphère

Cas particuliers : a) Si OH = 0, alors r = R

Le plan passe par le centre de la sphère.

La section est un GRAND CERCLE.

b) Si OH = R, alors r = 0

Le plan et la sphère ont un seul point commun.

On dit que le plan est TANGENT à la sphère.

La section d’une sphère par un plan est un cercle.

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2. Parallélépipède

3. Cylindre

4. Cône et pyramide

Plan parallèle à une face Plan parallèle à une arête La section est un rectangle.

Plan parallèle à l’axe Plan perpendiculaire à l’axe La section est un rectangle La section est un cercle

Plan parallèle à la base

La section est un cercle La section est un polygone réduction du polygone de la base

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IV. Agrandissement et réduction

1. Exemple d’introduction : Une pyramide réduite Les faces CBA et CBD de la pyramide sont des triangles

rectangles en B et la base DBA est un triangle rectangle et isocèle en B. CB = 6 cm et AB = 4 cm.

1) a. Calculer l’aire du triangle DBA.

𝐴_𝐷𝐵𝐴 = 𝑏𝑎𝑠𝑒 × ℎ𝑎𝑢𝑡𝑒𝑢𝑟

2 =𝐵𝐷 × 𝐵𝐴

2 = 4 × 4

2 = 8 𝑐𝑚²

b. Calculer le volume de la pyramide CDAB.

𝑉_{𝐶𝐴𝐵𝐷} =𝐴_{𝐵𝑎𝑠𝑒}× 𝐻𝑎𝑢𝑡𝑒𝑢𝑟

3 =𝐴_𝐷𝐵𝐴× 𝐵𝐶

3 = 8 × 6

3 = 16 𝑐𝑚³

2) On coupe la pyramide par un plan parallèle à la base passant par le point E tel que CE = 3 cm. La pyramide CGFE est une réduction de la pyramide CDAB.

a. Calculer le coefficient de réduction.

𝐶𝐸 𝐶𝐵= 3

6= 0,5 0,5 est le coefficient de réduction.

Les longueurs sont multipliées par 0,5.

b. Calculer l’aire du triangle GEF.

𝐴_𝐺𝐸𝐹 =𝑏𝑎𝑠𝑒 × ℎ𝑎𝑢𝑡𝑒𝑢𝑟

2 = 𝐸𝐹 × 𝐸𝐺

2 or, = 𝐸𝐺 = 0,5 × 𝐴𝐵 = 0,5 × 4 = 2 𝑐𝑚 , donc : 𝐴_𝐺𝐸𝐹 =2 × 2

2 = 2 𝑐𝑚² Remarque :

𝐴_𝐺𝐸𝐹 𝐴_𝐷𝐵𝐴 = 2

8= 0,25 = 0,5² Les aires sont multipliées par 0,5².

c. Calculer le volume de la pyramide CGFE.

𝑉_{𝐶𝐺𝐹𝐸} =𝐴_{𝐵𝑎𝑠𝑒}× 𝐻𝑎𝑢𝑡𝑒𝑢𝑟

3 =𝐴_𝐺𝐸𝐹 × 𝐶𝐸

3 =2 × 3

3 = 2 𝑐𝑚³ Remarque :

𝑉_{𝐶𝐺𝐸𝐹} 𝑉_{𝐶𝐷𝐵𝐴} = 2

16= 0,125 = 0,5³ Les volumes sont multipliés par 0,5³.

C

4cm E 6cm G

F

B

A D

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2. Propriétés Propriétés :

Pour un agrandissement ou une réduction de rapport k, - les longueurs sont multipliées par k,

- les aires sont multipliées par k², - les volumes sont multipliés par k³.

Remarque : Dans la pratique, on applique directement la propriété.

3. Application

Méthode : Appliquer un agrandissement ou une réduction

Le récipient représenté ci-contre a une forme conique et a pour dimensions : OM = 6 cm et SO = 12 cm.

1) Calculer, en cm³, le volume de ce récipient. Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie au dixième de cm³.

2) On remplit d'eau le récipient jusqu'au point O' tel que

SO' = 4,5 cm. Le cône formé par l'eau est une réduction du cône initial. Calculer le coefficient de réduction.

3) Déduire une valeur approchée du volume d'eau.

1) Calcul du volume du récipient dont la base est un disque de rayon [OM] et le cône a pour hauteur [SO] :

𝑉 = 𝐴_{𝐵𝑎𝑠𝑒}× 𝐻𝑎𝑢𝑡𝑒𝑢𝑟

3 = 𝜋 × 𝑂𝑀²× 𝑆𝑂

3 =𝜋 × 6²× 12

3 = 144𝜋 𝑐𝑚³ ≈ 452,4 𝑐𝑚³

2) Le coefficient de réduction est le rapport de deux longueurs qui se correspondent sur les deux solides. On prend ici les hauteurs SO et SO’ des deux solides.

𝑘 =𝑆𝑂′

𝑆𝑂 =4,5

12 = 0,375

3) Pour une réduction de rapport 𝑘 = 0,375, les volumes sont multipliés par 𝑘³ = 0,375³. Ainsi, le volume du petit cône correspondant à l’eau dans le récipient est égal à :

𝑉 = 144𝜋 × 0,375³ ≈ 23,9 𝑐𝑚³

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V. Repérage dans l’espace

1. Rappel : Repère de l’espace

Méthode : Se repérer sur le parallélépipède rectangle

On donne le repère de l’espace représenté ci-dessous défini à partir du parallélépipède ABCDEFGH. Le repère a pour origine le point A, les abscisses sont lues sur l’axe (AD), les ordonnées sont lues sur l’axe (AB) et les altitudes sont lues sur l’axe (AE).

Donner l’abscisse, l’ordonnée et l’altitude des sommets du parallélépipède et du milieu K du segment [FG].

Pour chaque point, on note dans l’ordre entre parenthèses l’abscisse, l’ordonnée et l’altitude.

A (0 ; 0 ; 0) E (0 ; 0 ; 4) K (3,5 ; 5 ; 4) B (0 ; 5 ; 0) F (0 ; 5 ; 4)

C (7 ; 5 ; 0) G (7 ; 5 ; 4) D (7 ; 0 ; 0) H (7 ; 0 ; 4)

2. Coordonnées géographiques Exemple : les coordonnées géographiques de New York sont :

( 74°O ; 41°N)

Longitude Latitude ou (-74° ; +41°)

Longitude Latitude

S N

O E

Equateur

Méridien de Greenwich New York

x

Axe de rotation de la terre

S Méridien de Greenwich

Méridien

Équateur

Parallèle

N

New York

74° O

Greenwich

41°N