Exercice 2 (10 points) 1) Pour tout n ∈IN? on d´efinit la fonction un par : x∈IR, un(x

UNIVERSIT´E PARIS 6 LM260. 2011-2012 Partiel de Math´ematiques du 3 Novembre 2011

Dur´ee 2h30. Les documents sont interdits. Les exercices sont ind´ependants.

Exercice 1 (6 points)

1) ´Etudier, en discutant selon la valeur du param`etre a ∈ IR, la conver- gence des s´eries P+∞

n=1un et P+∞

n=1vn, o`u un =n^a√

n+ 1−√ n

, vn =n^ap

n+ (−1)ⁿ−√ n

. 2) Pour n ∈ IN^?, on pose un = lnn−Pn

k=11/k. Trouver un ´equivalent simple de un+1 − un quand n tend vers +∞. En d´eduire que la suite (un)n≥1 est convergente.

Exercice 2 (10 points) 1) Pour tout n ∈IN^? on d´efinit la fonction u_n par :

x∈IR, un(x) = (1−x²)ⁿ. a) Calculer R1

0 t un(t)dt.

b) Montrer que si t∈[0,1/√

n], alors (1−t²)ⁿ ≥1−nt² ≥0.

c) En d´eduire l’in´egalit´e : R¹

0 u_n(t)dt≥2/(3√n).

2) On note cn =R¹

−1un(t)dt et on d´efinit le polynˆome Qn, n≥1, par x∈IR, Q_n(x) = 1

cn

(1−x²)ⁿ.

V´erifier que Qn est une fonction positive, paire et qu’on a : Z ¹

−1

Qn(t)dt= 1,

Z ¹

−1|t|Qn(t)dt−−−−→_n→+∞ 0.

3) Soit f : IR→C une fonction de classe C¹ dont la d´eriv´ee est born´ee.

On note M = sup_t∈IR|f⁰(t)|. Pour n∈IN^?, on d´efinit la fonction fn par : x∈IR, fn(x) =

Z ¹

−1

f(x+t)Qn(t)dt.

D´emontrer, pour tout x∈IR et tout n∈IN^?, les propri´et´es suivantes : a) pour tout t∈IR, |f(x+t)−f(x)| ≤M|t|;

b) f(x) =R¹

−1f(x)Qn(t)dt;

1

2

c) |fn(x)−f(x)| ≤MR¹

−1|t|Qn(t)dt.

4) En d´eduire que la suite de fonctions (fn)∈IN^? converge uniform´ement sur IR vers la fonction f.

5) Montrer que la fonction g_n d´efinie par x∈IR, gn(x) =

Z 1

−1

f(t)Qn(x−t)dt est un polynˆome.

6) Dans cette question, on fait l’hypoth`ese suppl´ementaire que f(t) = 0 pour tout t /∈[0,1]. D´emontrer la double ´egalit´e

∀x∈[0,1], fn(x) = Z 1+x

−1+x

f(t)Qn(x−t)dt=gn(x).

En d´eduire que la suite de polynˆomes (gn)n∈IN^? converge uniform´ement vers la fonction f sur le segment [0,1].

Exercice 3 (6 points)

Etant donn´e´ a >0, on consid`ere les int´egrales g´en´eralis´ees I(a) =

Z ⁺∞

1

cost

t^a dt, J(a) = Z ⁺∞

1

cos(t^a)dt

1) Montrer que l’int´egrale g´en´eralis´ee I(a) est absolument convergente pour tout a >1.

2) Montrer `a l’aide du r´esultat pr´ec´edent, sans faire appel `a un th´eor`eme du cours, que l’int´egrale g´en´eralis´eeI(a) est convergente pour touta >0.

3) Apr`es avoir transform´e l’int´egraleRx

1 cos(t^a)dtpar un changement de variable bien choisi, montrer que l’int´egrale g´en´eralis´ee J(a) est conver- gente pour tout a >1.

4) Pour n ∈IN^?, on posean= (2πn)^1/a et bn = (2πn+π/3)^1/a. a) Trouver un ´equivalent simple de bn−an quand n tend vers +∞. b) Montrer que sia∈]0,1], la suiteu_n =Rbn

an cos(t^a)dtne tend pas vers 0.

c) En d´eduire que l’int´egrale g´en´eralis´ee J(a) est divergente si 0< a≤1.