Nom : Prénom : Classe : 2nde...
CONTROLE n°4
Consignes : -Le sujet est à rendre avec la copie.
- L’utilisation de la calculatrice est autorisée.
Le tableau suivant sera rempli par le professeur lors de la correction.
Capacités attendues Acquis En cours d’acquisition Non acquis
Décrire, avec un vocabulaire adapté ou un tableau de variations, le comportement d’une fonction définie par une courbe.
Dessiner une représentation graphique compatible avec un tableau de variations.
Lorsque le sens de variation est donné, par une phrase ou un tableau de variations :
• comparer les images de deux nombres d’un intervalle ; Modéliser un problème par une inéquation.
Résoudre graphiquement des inéquations de la forme : f(x) < k (k ∈ ℝ)
Résoudre graphiquement des inéquations de la forme : f(x) < g(x).
Exercice 1 : / 7 points
f est la fonction définie sur l'intervalle [-5 ; 10]
par sa représentation graphique ci-contre.
1. Décrire par des phrases les variations de f.
2. Dresser le tableau de variation de f.
3. Quel est le maximum de f sur l’intervalle [-5 ; 10] ?
4. Quel est le minimum de f sur l’intervalle [-5;10] ?
5. Résoudre graphiquement, avec la précision
permise par le graphique, l’inéquation f (x)⩾2 .
6. Résoudre graphiquement, avec la précision permise par le graphique, l’inéquation f(x)<0.
Exercice 2 : / 3 points
Voici le tableau de variation d’une fonction f définie sur l’intervalle [ -4 ; 6] :
x – 4 3 6
f (x) 3
–5
0
1. Sur votre feuille, tracer un repère puis construire une courbe pouvant représenter la fonction f.
2. Comparer les nombres réels f(4) et f(5). Justifier la réponse.
Exercice 3 : / 3,5 points
On considère la fonction B définie sur ℝ par B(x)=– x2+2x+7
1. Tracer la courbe représentative de B sur l’écran de la calculatrice et conjecturer quel est son maximum et pour quelle valeur de x il est atteint.
2. Calculer B(1) puis démontrer que pour tout réel x, B(x) – B(1) = - (x -1)².
3. En déduire le maximum de la fonction B sur ℝ.
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Exercice 4 : / 1,5 points f est une fonction définie sur l’intervalle [-5;10]. Sa courbe représentative
C
f passe par les points A(-5 ; 3), B(2 ; 7) et C(10 ; 0).Démontrer que la fonction f n’est pas croissante sur [-5;10].
Exercice 5 : / 2 points
Un constructeur automobile décide de commercialiser des automobiles à bas coût.
On note x le nombre de milliers de voitures produites et vendues. Pour des raisons techniques, x est compris entre 0 et 100.
R(x) est la fonction qui donne les recettes de l’entreprise, en millions d’euros, pour x milliers de voitures vendues.
P(x) est la fonction qui donne le coût de production, en millions d’euros, pour x milliers de voitures produites.
On a représenté ci-dessous les courbes représentatives des fonction R et P.
1. Résoudre graphiquement l’inéquation R(x)⩾P(x).
2. Pour quelles quantités de voitures produites et vendues l’entreprise réalise-t-elle des bénéfices ? Vocabulaire : l’entreprise réalise des bénéfices lorsque les recettes sont supérieures aux coûts de production. Elle gagne alors de l’argent.
Exercice 6 : / 3 points
On considère l’algorithme ci-dessous : Variables N, P, Q, S sont des entiers Entrée Saisir N
Traitement P prend la valeur N + 1 Q prend la valeur P + 1 S prend la valeur N + P + Q Sortie Afficher S
Nb de voitures (en milliers) Montants (en
millions d’euros)
C
RC
P1. Donner la valeur obtenue en sortie pour N = 5 puis pour N = 10.
2. Qu’effectue cet algorithme ?
CONTRÔLE N°4 Correction
Exercice 1 :
1. f est croissante sur les intervalles [-5 ;-3], [0;2] et [6;10].
f est décroissante sur les intervalles [-3;0] et [2;6].
2.
x –5 –3 0 2 6 10
f (x) –3
6
4
5
–2
3
3. Le maximum de f sur [-5;10] est 6.
4. Le minimum de f sur [-5;10] est -3.
5. L’ensemble des solutions de l’inéquation f (x)⩾2 est [-4;3,5] ∪ [9,2;10].
6. L’ensemble des solutions de l’inéquation f(x)<0 est [-5 ;-4,3[ ∪ ]5 ; 7,5[.
Exercice 2 :
1. 2. 4 et 5 appartiennent à l’intervalle
[3;6] sur lequel f est croissante.
D’après la définition d’une fonction croissante, comme 4<5, on a donc f(4)<f(5).
Exercice 3 :
1. Le maximum semble être 8, atteint pour x = 1.
Réglages possibles sur la calculatrice : Xmin = -10 Xmax = 10
Ymin = -10
Ymax = 10 (ce sont les réglages standards) 2. B(1)=−12+2×1+7
B(1) = 8
B(x) – B(1) = -x² + 2x + 7 -8
= -x² + 2x – 1
= -(x² - 2x + 1)
= -(x – 1)² (c’est une identité remarquable) 3. Pour tout réel x, on a : B(x) – B(1) = -(x-1)²
Pour tout réel x, (x−1)2⩾0 car le carré d’un nombre réel est toujours positif, donc −(x−1)2⩽0 . On en déduit que pour tout réel x, B(x)−B(1)⩽0 , d’où : B(x)⩽B(1).
B(1) est donc le maximum de la fonction B sur ℝ. Donc 8 est le maximum de la fonction B sur ℝ.
Exercice 4 :
On a le tableau de valeurs suivant :
x -5 2 10
f(x) 3 7 0
10>2 et f(10)<f(2), ce qui contredit la définition d’une fonction croissante, donc f n’est pas croissante sur l’intervalle [-5;10].
Exercice 5 :
1. L’ensemble des solutions de l’inéquation R(x)⩾P(x) est l’intervalle [20;80].
2. D’après la question précédente, l’entreprise réalise des bénéfices lorsqu’elle produit et vend entre 20 000 et 80 000 voitures.
Exercice 6 : 1. Si N = 5 : P = 5 + 1 P = 6 Q = 6 + 1 Q = 7
S = 5 + 6 + 7 S = 18
On obtient 18 en sortie.
Si N = 10 : P = 10 + 1 P = 11 Q = 11 + 1 Q = 12
S = 10 + 11 + 12 S = 33
On obtient 33 en sortie.
2. Cet algorithme calcule la somme du nombre entier donné en entrée avec ses deux successeurs.
