e Correction du devoir de mathématiques n° 3: fonction exponentielle Classe : TS3le lundi 24 novembre 2008

Correction du devoir de mathématiques n° 3: fonction exponentielle

Classe : TS3 le lundi 24 novembre 2008

Exercice1:voir cours Exercice2: .

Affirmation a Faux : Pour tous les réels a et b : e^a^b =

e

e^b .

Affirmation c Faux La droite d’équation y = x + 1 est tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle en son point d’abscisse 0 ( voir cours )

Affirmation d Vrai :Si f est dérivable en a, alors la fonction h  ^{fah– fa}

h  admet une limite finie en 0.

Affirmation e Faux :Une solution de l'équation différentielle y' + 2 y = 5 est la fonction définie sur ℝ par f (x) = e^{– 2x} + 5

2 ( ou dériver la fonction f ) Exercice3: ( 1,5 :points )

e^3x

e^x  e^x²

e^x×e^x ⇔ e^{3x – x}  e^2x e^2x

⇔ e^2x  e⁰

⇔ 2 x  0 car la fonction exp est strictement croissante

⇔ x  0 Exercice4: ( 5 + 1 point bonus )

Soient f et g les deux fonctions définies sur ℝ par f ( x ) = 1

2 e^xe^{– x} et g ( x ) = 1

2 e^x−e^{– x}

a) Pour tout réel x , e^x > 0 donc e^{– x} > 0 . Donc la fonction f ne s'annule jamais sur ℝ ainsi on peut calculer gx

fx .

On note h la fonction définie sur ℝ par h(x) = gx

fx

b) D'après la formule ( f( ax+b) ' = a f ' ( ax+b) : pour tout réel x , f ' ( x ) = 1

2 e^x−e^{– x} = g(x) et g ' (x ) = 1

2 e^xe^{– x} = f(x) .

c) Pour tout réel x , h ( x ) = 1

2e^x−e^{– x} 1

2e^xe^{– x}

de la forme ^u_v

Donc h' = g '×f – g×f '

f² = f²– g²

f² = fgf – g f² Donc, pour tout réel x h ' ( x ) =

1

4×2 e^x×2 e^{– x}

f²x = 1

fx² . Autre méthode : développer les expressions.

d) Pour tout réel x, h(x) = 1

2e^x−e^{– x} 1

2e^xe^{– x}

= e^x−e^{– x}

e^xe^{– x} = e^−x×1 – e^{– 2x}

e^−x×1e^{– 2x} = 1 – e^{– 2x} 1e^2x . e) Limites de h en + ∞ :

x ∞lim e^x = + ∞ donc lim_{x ∞}e^−x = lim

x∞

1 e^x = 0 or e^{– 2x} = e^{– x}×e^{– x} donc lim

x∞1 – e^{– 2x} = 1 et lim

x ∞1e^{– 2x} = 1 Par conséquent : lim_{x ∞}hx = 1

1 = 1

Pou la limite en - ∞ , on pouvait remarqué que la fonction h était impaire : h(-x) = - h(x) ou alors transformer l'expression de h en mettant e^{– 2x} en facteur dans l'expression du d) ou e^{– x} dans l'expression de départ.

Comme h est impaire et qu'elle admet un limite en + ∞ elle en admet aussi une en - ∞ et lim_x–∞hx = - lim_x∞hx = -1.

f) D'après l'expression vu au c) pour h' (x) , comme un carré est toujours positif, la fonction h est strictement croissante :

x –∞ +∞

f'(x) +

f(x) –1

1

Exercice5: ( 2 points )

Soit f une fonction dérivable sur ℝ telle que f ' + 3 f = 1 et C sa courbe représentative.

On sait que C admet au point d'abscisse - 1 une tangente de coefficient directeur 2.

f ' + 3 f = 1 ⇔ f ' = -3 f + 1

La fonction f est solution d'une équation différentielle du type y' = a y + b; sa solution générale s'écrit donc f ( x ) = k e^{– 3x}– 1

– 3 = k e^{– 3x}1 3

D'après l'énoncé, on sait aussi que f ' ( -1 ) = 2 , et comme f ' = -3 f + 1 : f ' ( -1 ) = - 3 ( k e^{– 3−1}1

3 ) + 1 = -3 k _e³ - 1 + 1 = -3 k _e³ Donc -3 k e³ = 2 soit k = ^–2₃ e⁻³

Par suite , f ( x ) = –2

3 e⁻³ e^{– 3x}1 3 f ( x ) = –2

3 ^{e– 3 – 3x} + 1 3

Exercice6: ( 6 points ) voir livre page 49

La solution h de (E) vérifiant h (2) = 1 est h( x) = e^2x ( e^{– 4} - 2 + x )