DEVOIR FONCTION EXPONENTIELLE

(1)

O100-Devoir fonction exponentielle

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DEVOIR FONCTION EXPONENTIELLE 1

Exercice 1 :

VRAI ou FAUX. Justifier

1. La fonction : ↦ − 2 est croissante sur ℝ 2. Pour tout , =

3. Si < 1, l’équation = + admet exactement deux solutions réelles.

4. lim→ ^! ^! = 0

5. La courbe de la fonction #: ↦ ² admet deux tangentes horizontales Exercice 2

% = ^√'× ^√' ) =^*× ^*

^+*× , = 16 ^+*

−12 ^*.

Exercice 3

= + 3 − 1

# = ^!⁺ ℎ = 1 =−

+

Exercice 4 Partie A

Soit # la fonction définie sur ℝ par # = −+ 1 1) Etudier la limite de # en +∞ et en−∞

2) Etudier les variations de # sur ℝ

3) En déduire que l’équation # = 0 admet une solution sur ℝ notée >. Donner un encadrement de

> d’amplitude 10^*

4) En déduire le signe de # sur ℝ en fonction de Partie B

1) Etudier la limite de en +∞ et en−∞

2) Démontrer que pour tout ∈ ℝ, ^A et # sont de même signe. En déduire les variations de sur ℝ.

3) Donner une équation de la tangente à F,GH au point d’abscisse 0

(2)

2 CORRECTION

Exercice 1 1) FAUX :

La fonction est dérivable et ^A = + − 2 = − 1 qui est du signe de − 1 donc est strictement sur [1 ; +∞[ mais strictement décroissante sur ] − ∞ ; 1]

2) VRAI : Pour tout réel ,= =

3) FAUX : On pose ℎ = − − . La fonction ℎ est dérivable sur ℝ et ℎ^A = − 1. Donc :

−∞ 0 + ∞ ℎ′ − 0 +

ℎ

1 −

Donc si < 1, 1 − > 0 donc ℎ > 0 pour tout Donc l’équation ℎ = 0 n’a pas de solution.

4) FAUX :

→ lim ² = +∞ donc en posant N = ²

→ lim ^²

² = lim

→

^O

N + ∞ comme résultat du cours 5) VRAI : La fonction # est dérivable et

#^A = 2+ ² − = 2 − ^* = 2 −

Cette dérivée s’annule en 0 et en 2 qui sont les deux abscisses où la courbe admet une tangente horizontale.

Exercice 2

% = ^√'× ^√'= ^√'√'= ^* ) =^*× ^*

^+*× =^**

^+* = ^**+* = ^.

, = 16^+*

−12^*.= −4

3 ^+**.= −4

3 ^*= − 4 3^* Exercice 3

′ = + + 3

#^A = −2 − 3 ^!⁺ ℎ^A = − 1

²

1^A =^F^H^! =^!_! ^! 1^A = 4

+ ^* Exercice 4

Partie A 1) En −∞

→ lim = 0 donc par somme lim

→ # = 1 En +∞

→ lim − = −∞ et

→ lim = +∞ donc par produit et somme lim

→ # = −∞

2) # est dérivable sur ℝ et #^A = −1− = −1 −

(3)

3

Le signe de #^A est celui de −1 −

On obtient le tableau de variations suivant avec #−1 = + 1 −∞ − 1 + ∞

#′ + 0 −

# + 1

3) Sur ] − ∞; −1], # > 1 > 0 donc # = 0 n’admet pas de solution.

Sur [−1; +∞[, la fonction # est continue et strictement décroissante

#−1 = + 1 > 0 et lim

→ # = −∞ donc 0 ∈ ] − ∞ ; + 1]

D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation

# = 0 admet une unique solution > sur [−1; +∞[ donc sur ℝ.

A la calculatrice, on obtient : #0,56 ≈ 0,020 et #0,57 ≈ −0,08 donc 0,56 < > < 0,57

4) D’après le tableau de variations, on déduit que pour tout ≤ >, # ≥ 0 et pour tout ≥ >, # ≤ 0

Partie B 1) En −∞

→ lim + 1 = −∞ et lim

→ + 1 = 1 donc par quotient lim

→ = −∞

En +∞

On a une forme indéterminée de type , on factorise donc . = X1 + 1Y

X1 + 1Y=

× 1 + 1 1 + 1

Or

→ lim

= +∞ donc lim

→

= 0 De plus

→ lim 1 +1

= lim^→1 + 1 = 1 Donc par produit et quotient, lim

→ = 0

2) est dérivable sur ℝ et ^A =+ 1 − + 1

+ 1 ^* =−+ 1

+ 1 ^*= # + 1 ^* ^A est donc du signe de #

Donc est croissante sur ] − ∞ ; >] et décroissante sur [> ; +∞[.

3) La tangente à la courbe de au point d’abscisse 0 a pour équation N = ^A0 − 0 + 0

Or ^A0 =_[ et 0 =

*. Donc l’équation est N =_[ +_*