Correction du devoir 1 TS 3 : complexes du lundi 29 septembre 2008
Démonstration ex 2:
( ) ( )
Soit z r= cosθ + isinθ et 'z = r' cos 'θ +isin ' avec θ r> 0 et ' 0r >
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
' cos sin ' cos ' sin '
' cos cos ' sin sin ' sin cos ' cos sin '
' cos ' sin '
zz r i r i
rr i
rr i
θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ θ θ
θ θ θ θ
= + × +
= − + +
= + + +
or r r' > 0 donc l'expression ci-dessus est la forme trigonométrique de z z ', par suite :
. ' '
arg( . ') arg( ) arg( ') .2 ,
z z z z
z z z z k π k
= ×
= + + ∈
¢
Exercice 4:
1.
Z =
2 i 6 2 2i
x2 – 2i 2 2i
=
2 22 6− 2 i 2 2 i 6 2²2²
=
2 6 4
+ i 6− 2 4
2.
z 1 : |
2
+ i 6
| = 26
= 2 2
z 1 =
2 2
(1 2
+ i 3
2
) donc Arg ( z 1 ) = 3
z2 : | 2 + 2 i | =
222
2 = 2 2
z2 = 2
2
(1
2
+ i1
2
) donc Arg ( z2 ) = 4
Z : | Z | = | z 1| /| z 2 | = 1 arg (Z) = arg ( z 1 ) - arg ( z 2 ) à un multiple de 2 près
=
3
-
4
à un multiple de 2 prèsArg ( Z) =
12
à un multiple de 2 près3. D'après les questions 1 et 2 : Z = 1 ( cos
12
+ i sin
12
) = 2 6
4
+ i 6− 2
4
Par identification de la partie réelle et la partie imaginaire : cos
12
= 2 6 4
et sin
12
= 6−i 2 4
4.
On trace le cercle C1 de centre O, passant par B, il coupe l'axe (Ox) en T.
On trace le cercle C2 de centre T, passant par B, il coupe le C1 en A.
On report, au compas, l'ange (
OB
, OA
) = ( u
, OC
) =
12
on place C sur le cercle de centre 1.5. Cherchons un argument et le module de Z2007: arg (Z^ 2007 ) = 2007 x arg (Z ) = 2007 x
12
à un multiple de 2 près Or 2007 x
12
= 2 k + Donc 2007 = 24 k + ' avec k ∈ ℤIl suffit de faire la division euclidienne de 2007 par 24 : 2007 = 83 x 24 + 15 Donc 2007 x
12
= 2 x 83 +15 12
Par suite arg ( Z ) =
5
4
à un multiple de 2 près Comme | Z | = 1 , |Z
2007 | =1
2007 = 1Z2007 = cos
5
4
+ i sin5
4
= -1
2
- i1
2
ou Z2007 = -
