TS GRILLE DE CORRECTION - Devoir préparé n◦5 - 10 janvier 2019 NOTE :
Ex 1 Réponse Points Obtenus
Q1. On peut réaliser un arbre de probabilités
b b
A x
b C
0,98
b C
0,02
b
B 1−x
b C
0,95
b C
0,05 2
La formule des probabilités totales donneP(C) =P(C∩A) +P(C∩B)
=PA(C)×P(A) +PB(C)×P(B) = 0,98x+ 0,95(1−x) = 0,03x+ 0,95 Q2. La relation précédente va nous permettre de calculerxet donc 1−x, c’est à dire
P(A) et P(B). L’information donnée signifie que P(C) = 0,96, ce qui permet d’écrire que 0,03x+ 0,95 = 0,96⇔0,03x= 0,01⇔x= 1
3. Ainsi P(A) = 1 3 et par suite,P(B) =2
3. On a bien justifié l’affirmation.
1
Q3a. « Regarder » si une tablette est commercialisable ou non est une épreuve de Ber- noulli. On répète 10 fois le choix d’une tablette dans un stock important (on assimile cette opération à un tirage avec remise) de manière identique et indépen- dante. La variable aléatoireX qui compte les tablettes commercialisables (succès) suit donc une loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0,96 (probabilité du succès).
1.5
Q3b. L’événement « on ne trouve que des tablettes commercialisables » est l’événement (X= 10). On cherche donc P(X = 10)≈0,665 arrondi à 10−3 près.
1.5 Q3b. S’il y a au moins 2 tablettes non commercialisables, il y au plus 8 tablettes com-
mercialisables donc on chercheP(X 68)≈0,058 arrondi à 10−3 près.
2
Total −→ 8 points
Ex 2 Réponse Points Obtenus
Q1.
x→+∞lim
−2x=−∞
X→−∞lim eX = 0
) (composition)
x→+∞lim e−2x= 0
Ylim→0
3 4 + 6Y = 3
4
(composition)
x→+∞lim f(x) = 3 4
1.5
x→−∞lim
−2x= +∞
X→+∞lim eX= +∞
) (composition)
x→−∞lim e−2x= +∞
Y→+∞lim 3 4 + 6Y = 0
(composition)
x→−∞lim f(x) = 0 1
Q2. f = 3× 1
u avec u : x 7→ 4 + 6e−2x. u est dérivable et ne s’annule pas sur R, u′ :x7→ −12e−2x; f est dérivable surRetf′ =−3× u′
u2. Ainsi, pour toutxdeR,f′(x) = −9e−2x
(2 + 3e−2x)2
1.5
Q3. Pour tout x de R, e−2x > 0, −9e−2x <0, (2 + 3e−2x)2 > 0 donc f′(x) < 0 et finalementf est strictement décroissante surR.
x Signe def′(x)
Variations def
−∞ +∞
−
3 4 3 4
0
0 1
Total −→ 5 points
1
Ex 3 Réponse Points Obtenus Q1. f =uev oùu: x7→ax+b et v :x7→ −x.u et v sont définies et dérivables sur
[1; 8] doncf est dérivable sur [1; 8] :f′ =u′ev+uv′ev.
Pour toutx de [1; 8], f′(x) = ae−x−(ax+b)e−x = e−x(−ax+a−b). En tout point de la courbe def, il existe donc une tangente àC. Celle construite en 1 est horizontale, ce qui se traduit parf′(1) = 0⇔b= 0. Ainsi, pour toutxde [1; 8], f(x) =axe−x.
2
Q2. f(1) =ae−1=a
e est la hauteur maximale du toboggan ; on doit avoir 3,56a e 64 C’est à dire 3,5e6a64e. Commea∈N,a= 10.
Finalement,∀x∈[1; 8], f(x) = 10xe−2x
2
Total −→ 4 points
2
