Corrigé de l'épreuve de mathématiques – Obligatoire Baccalauréat série S, 20 juin 2013
Exercice 1 (/4 points)
1. a) Voir arbre ci-contre.
b) = c)
=
=0,525
d)On cherche : : sachant que c'est un conifère, la probabilité qu'il provienne de l'horticulteur est d'environ 0,533.
2. a) Choisir au hasard un arbre ne comporte que deux issues : - soit c'est un conifère (succès S avec ).
- soit non (échec : avec )
On répète 10 fois de manière identique et indépendante ce tirage, ainsi la variable aléatoire X qui donne le nombre de conifères parmi ces 10 arbres choisis suit une loi binomiale de paramètres et . b) ainsi –
c) et – – – – –
Exercice 2 (/7 points)
1. a) (ordonnée du point B) et . b)
.
c) On a : donc et d'où . Avec , on a donc : et .
2. a) Avec pour tout , , on obtient : du même signe que . b) Limite de f en :
et
(formule croissances comparées) donc par somme,
. Limites de f en 0 :
donc
. De plus,
+ donc par quotient,
. c) Tableau de variations de f :
x 0 1
signe de ln(x) 0 +
signe de + 0
2
0
3. a) Sur l'intervalle , la fonction f est définie, continue (car dérivable) et strictement monotone. De plus,
et avec 1 . Donc d'après le théorème de LA valeur intermédiaire,
l'équation admet une unique solution sur . On note cette solution .
b) En utilisant la calculatrice, on a : et donc . D'où .
Exercice 3 (/4 points)
1. Proposition 1 : VRAI
Posons A et B les points d'affixes respectives i et -1 dans le repère.
On a : et donc d'où l'ensemble cherché est la médiatrice du segment . C'est bien une droite.
2. Proposition 2 : FAUX
. 3. Proposition 3 : VRAI
.
Or par propriété du cube, est orthogonale au plan donc orthogonale à toutes les droites de ce plan d'où orthogonale à et par suite : .
De plus, la face est un carré donc les diagonales et sont perpendiculaires donc . Ainsi . Donc les droites et sont orthogonales.
4. Proposition 4 : VRAI
Notons la droite de représentation paramétrique
, t . On a donc : vecteur directeur de .
L'équation cartésienne de P nous donne vecteur normal de P.
Comme = , la droite est donc orthogonale au plan P.
Pur vérifier la proposition, il nous reste donc à montrer que .
Or si et seulement s'il existe t tel que t soit solution du système :
. Ce système étant
équivalent à
on a bien . Donc droite orthogonale à P passant par S.
Exercice 4 (/5 points) 1. a)
donc ≈2,33 de même :
≈2,89 ≈3,59 ≈4,40 b) semble croissante.
2. a) on pose H(n): « » et on va démontrer par récurrence sur que cette propriété est vraie pour tout entier .
Initialisation :
et donc et est vraie.
Hérédite :
On suppose vraie.
Alors donc donc en développant on obtient : et donc est vraie.
Ainsi la propriété est vraie en et héréditaire
donc pour tout entier , .
b)pour tout entier – – – – c) D'après 2.a), pour tout entier : donc – ainsi – On en déduit donc que la suite est croissante.
3. a) –
= – –
= –
=
ainsi la suite est géométrique de premier terme – raison . b) donc or – donc
ainsi pour tout entier , . c) donc
donc
Or
donc par somme,
. 4. a) = = +
or est géométrique de raison : – – –
– – et
donc = – +
b) donc = – + comme vu en 3.c)
donc
– or
donc
– or donc
ainsi
.
