EPFL 11 décembre 2006 Algèbre linéaire
1ère année 2006-2007
Série 8
L'exercice 4 est à rendre le 18 décembre au début de la séance d'exercices.
Exercice 1 Dire si les applications suivantes sont des applications linéaires. Lorsque l' appli- cation est linéaire, donner une description du noyau et de l'image et en donner une base lorsque ce sont des espaces de dimension nie.
1. T1 :R→R; T1(x) = 4x−3. 2. T2 :R→R; T2(x) = 2x2. 3. T3 :R2 →R2; T3(x, y) = (y, x). 4. T4 :R2 →R; T4(x, y) = 3x+ 5y. 5. T5 :R2 →R; T5(x, y) = p
3x2+ 5y2. 6. T6 :R2 →R; T6(x, y) = sin(3x+ 5y). 7. T7 :R2 →R; T7(x, y) = xy.
8. T8 :P(R)→R; T8(P) = P(0) +P(2). 9. T9 :P(R)→ P(R); T9(P) =P0. 10. T10 :P(R)→ P(R); T10(P) =P0.P. 11. T11 :F([0,1],R)→R; T11(f) =f(3/4).
12. T12 :F([0,1],R)→ F([0,1],R); T12(f) ={t 7→ 1+tf(t)2}. 13. T13 :F([0,1],R)→ F([0,1],R); T13(f) ={t 7→ f1+t(t)22}.
Exercice 2 Soient V et W deux espaces vectoriels et T :V →W une application linéaire.
1. Montrer que si T est injective et (v1, . . . , vn) est linéairement indépendante, alors (T v1, . . . , T vn) est linéairement indépendante.
2. Montrer que si T est surjective et(v1, . . . , vn) engendre V alors (T v1, . . . , T vn) engendre W.
Exercice 3 SoitE un espace vectoriel de dimension n et ϕ une application linéaire de E dans lui-même telle que ϕn = 0 et ϕn−1 6= 0. Soit x∈E tel que ϕn−1(x)6= 0. Montrer que la famille {x, . . . , ϕn−1(x)} est une base de E.
Exercice 4 Soient f et g, les applications de C dans C, dénies par f(z) = ¯z et g(z) =R(z) (où R désigne la partie réelle). Montrer que f et g sont linéaires sur C en tant que R-espaces vectoriels, et non linéaires sur C en tant que C-espaces vectoriels.
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