Leçon N°1 : EXPRESSIONS NUMÉRIQUES
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Règles importantes pour effectuer correctement un enchaînement d'opérations (expression numérique) R1 Pour expliquer les différentes étapes d'un calcul il faut en général écrire des intermédiaires, et dans chaqueintermédiaire il faut écrire le calcul en entier car sinon on ne peut pas mettre le signe "=".
R2 Quand un calcul comporte seulement des additions ou seulement des multiplications on peut compter dans l'ordre que l'on veut
64 + 2,9 + 36 + 0,3 + 7,1 + 0,7= (64 + 36) + (2,9 + 7,1) + (0,3 + 0,7) = 100 + 10 + 1 = 111 1,25×2×7×4×50×0,66×0,25×8 = (1,25×8)×(2×50)×(4×0,25)×(7×0,66) =10×100×1×4,62 = 4 620
R3 Dans un enchaînement d'opérations écrit sans parenthèses la multiplication et la division sont prioritaires sur l'addition et la soustraction, c'est à dire qu'il faut effectuer les × et les ÷ avant les + et les –
3 × 107 – 7 ÷ 2 = 321 – 3,5 = 317,5
R4 Quand il n'y a pas d'opération prioritaire (ni de parenthèses) on compte de gauche à droite.
151 – 24 – 4 + 6 = 127 – 4 + 6 = 123 + 6 = 129
R5 Quand une expression comporte des parenthèses on compte d'abord dans les parenthèses, en commençant par les parenthèses les plus intérieures.
444 – [44 – (4÷4 + 4×4)] = 444 – [44 – (1 + 16)] = 444 – [44 – 17] = 444 – 27 = 417
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DistributivitéIntroduction :
E F
G H
a b
k
Sur la figure ci-contre l'aire du rectangle EFGH est donnée par l'expression k×(a + b), mais on l'obtient tout aussi bien avec l'expression k×a + k×b.
a
b k
I J
K L
.
.
Sur la figure ci-contre l'aire du rectangle IJKL est donnée par l'expression k×(a – b), mais on l'obtient tout aussi bien avec l'expression k×a – k×b.
Généralisation :
Quels que soient les trois nombres k, a et b les expressions k×(a + b) et k×a + k×b donnent toujours le même résultat.
De même les deux expressions k×(a – b) et k×a – k×b donnent également le même résultat.
De façon générale on a donc kk×(a + b) = k×a + k×bb et aussi kk×(a – b) = k×a – k×bb Vocabulaire :
Lorsqu'on passe d'une expression de la forme k×(a + b) à l'écriture k×a + k×b , on dit que l'on développe l'expression.
Exemple : 45 × 99 = 45 × (100 – 1) = 45×100 – 45×1 = 4500 – 45 = 4455
Dans une expression de la forme k×a + k×b on dit que k est un facteur commun. Lorsqu'on passe de k×a + k×b à l'écriture k×(a + b) , on dit que l'on met le nombre k en facteur (on dit aussi que l'on factorise l'expression).
Exemple : 63×174 + 63×26 = 63 × (174 + 26) = 63 × 200 = 12 600
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Simplifications d'écriture(1)Dans un enchaînement d'opérations on peut supprimer le symbole de multiplication devant une lettre ou devant une parenthèse.
Exemples : 6,3×a = 6,3a ; k×a = ka ; 9×(
x
+ 0,5) = 9(x
+ 0,5) ; (4 + a)×(b – 5) = (4 + a)(b – 5) (2) Ecriture avec exposantExemples : r × r = r2 (r au carré) ; 75 × 75 × 75 = 753 (75 au cube)
