Montrer que si une suite (un) converge vers 1, tous ses termes sont positifs `a partir d’un certain rang

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Feuille 2 d’exos en analyse.

1. Soit(un)la suite d´efinie sur N⁺=N\ {0} par u_n= √¹n.

• A partir de quel entier` N1 la conditionu_n∈]−0.1,0.1[est v´erifi´ee ? Combien de termes u_n ne v´erifient pas la condition ?

• A partir de quel entier` N2 la conditionu_n∈]−10⁻⁶,10⁻⁶[est v´erifi´ee ?

• Quelle est la limite de la suite(u_n)pour n→+∞ ?

• Quelle est la limite de la suite(vn)d´efinie par v_n= 2−u_n pourn→+∞? D´emontrer ce r´esultat `a l’aide de la d´efinition.

2. Montrer que si une suite (un) converge vers 1, tous ses termes sont positifs `a partir d’un certain rang.

3. Montrer que toute suite convergente est born´ee. Pour le montrer, on proposera un minorant et un majorant de cette suite.

4. Montrer que toute suite convergente est une suite de Cauchy.

5. Calculer, si possible, pourn→+∞ la limite des suite(u_n) avec

• u_n=√

n+ 1−√ n−1;

• u_n= _n2ⁿ₊₁² ;

• u_n=a^1/n aveca >0;

• u_n=qⁿ (en variant q);

6. Soit(u_n)la suite d´efinie par : u0 = 1, u_n+1 =√

u_n+ 2.

• Montrer que(u_n)est monotone croissante.

• Montrer que(un)est born´ee : 0< u_n<2.

• En deduire que(u_n)→2 pourn→+∞.

• Montrer que toute suite monotone (croissante ou decroissante) born´ee est convergente.

7. Montrer que la suite (F_n) de Fibonacci d´efinie par

F0 = 0, F1 = 1, F_n+1 =F_n+F_n−1

est divergente pour n→+∞.

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8. Soient(u_n),(v_n),(w_n) trois suites r´eelles telles que :

• ∃N ∈N, ∀n∈N, (n≥N =⇒ u_n≤v_n≤w_n)

• (u_n) et(w_n) convergent vers une mˆeme limiteℓ pourn→+∞. Montrer que(v_n) converge aussi versℓ pourn→+∞.

Utiliser ce th`eoreme (connu comme celui des gendarmes) pour montrer que la suite(u_n) est convergente, avec u_n=Pn

k=1 n

n²+k, ou u_n= ^cos_nⁿ. 9. Soient(u_n),(v_n) deux suites r´eelles telles que :

• ∃N ∈N, ∀n∈N, (n≥N =⇒ u_n≤v_n)

• (u_n)→+∞ pour n→+∞.

Montrer que(v_n)→+∞pour n→+∞.

Utiliser ce th`eoreme (corollaire du pr´ecedent si ℓ = +∞) pour montrer que la suite {u_n} diverge, avecu_n=Pn

k=1 n²

n²+k², ouu_n=Pn k=1

1

√n²+2k, ouu_n=Qn

k=1 1 +^k_n . 10. Pour ´etudier la suite(u_n)d´efinie par

u0 = 1, u_n+1= u_n

u²_n+ 1 n≥1

montrer queu_n∈[0,+∞[pour toutn et que(u_n) est une suite decroissante.

11. On veut ´etudier la suite(u_n)d´efinie par

u0 = 1, u_n+1 = 1

u_n+ 2 n≥1.

• Montrer queα = √

2−1 v´erifie l’´equation f(x) =x o`u f : [0,+∞[→ [0,+∞[est la fonction x7→ x+2¹ .

• Montrer en suite queu_n∈[0,+∞[.

• Montrer par recurrence que

|u_n−α| ≤ 1

4ⁿ|u0−α|, ∀n.

• Montrer graphiquement la convergence de la suite `a α.