II – Expression algébrique des nombres complexes

Leçon 16 Construction du corps C des complexes. Propriétés.

Pré-requis Anneaux, corps Morphismes de corps L’espace vectoriel R² Introduction

Certaines équations du second degré à coefficients réels n’ont pas de solution dans R, par exemple l’équation 0

1

²+ =

x .

On va donc chercher à construire un ensemble qui contient le corps des réels dans lequel ces équations ont au moins une solution. On veut également prolonger l’addition et la multiplication de Rà cet ensemble.

I – Construction de C

Théorème 1 : (R²,+,×) muni des deux lois de composition interne suivantes est un corps commutatif.

Pour tous couples ( ba, ) et (a',b') de R , les lois sont définies par : ² )

' , ' ( ) ' , ' ( ) ,

(a b + a b = a+a b+b ) ' ' , ' ' ( ) ' , ' ( ) ,

(a b × a b = aa−bb ab+ab Preuve : - (R²,+,×) est un anneau :

)

²,

(R + est un groupe commutatif : vu comme un espace vectoriel

La loi × est associative :

)) '' , ' ' ( ) ' , ' ((

) , (

)) ' ' ' '' ' ( ) ' ' ' '' ' ( ), '' ' ' ' ' ( ) '' ' ' ' ' ( (

) ' ' ' ' ' ' '' ' ' ' ' , ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (

) '' , ' ' ( ) ' ' , ' ' ( ) ' ' , '' ( )) ' , ' ( ) , ((

b a b a b a

b b a a b a b b a a b a a b b b b a a a

ba a a ab b bb b aa bb a b ab a bb a aa

b a b a ab bb aa b

a b a b a

×

×

=

− +

+ +

−

−

=

+ +

−

−

−

−

=

× +

−

=

×

×

La loi × admet un élément neutre : (a,b)×(1,0)=(a,b)

La loi × est distributive sur la loi + ^:

) '' , ' ' ( ) , ( ) ' , ' ( ) , (

)) ' ' ' ( ) '' ' ( ), '' ' ( ) '' ' ( (

)) ' ' , '' ( ) ' , ' ((

) , (

b a b a b a b a

a a b b b a b b b a a a

b a b a b a

× +

×

=

+ + + +

− +

=

+

×

- Tout élément distinct du neutre est inversible pour la loi × :

Soit (a,b)≠(0,0), on cherche (a',b')∈R² tel que (a,b)×(a',b')=(1,0)





= +

=

⇔ −

=

× ' ' 0

1 ' ) '

0 , 1 ( ) ' , ' ( ) ,

( ab ba

bb b aa

a b a

0

²

²+ ≠

− =

b a a

b b

a car (a,b)≠(0,0) (système de Cramer)

Donc

²

²

²

² 0 1

' a b

a b

a a

b

a = +

+

−

= et

²

²

²

² 0 1

' a b

b b

a b a

b =− +

= +

Donc tout élément ( ba, ) distinct du neutre additif admet pour inverse )

² , ²

² ( ²

b a

b b

a a

− + + - La loi × est commutative

Définition 1 : Ce corps commutatif est appelé corps des nombres complexes et est noté C

II – Expression algébrique des nombres complexes

Proposition 1 : L’application π :R→C est un isomorphisme du corps R sur π(R)^. aa(a,0)

Remarque : Par identification de R à π(R)^{, on note} a à la place de (a,0) pour tout réel aet on trouve ainsi que R⊂C

Preuve : La surjectivité est évidente.

Injectivité : ^ker(π)=

{ }

π(a+b)=(a+b,0)=(a,0)+(b,0)=π(a)+π(b) π(ab)=(ab,0)=(a,0)×(b,0)=π(a)π(b)

π(1)=(1,0)=1

Conséquence : Pour tout λ∈R ^{et tout} (^a,^b)∈^C, λ(a,b)=(λa,λb) Remarque : si λ =−1^{, (}−^a,−^b) est appelé l’opposé de ( ba, )

Preuve : λ(a,b)=(λ,0)×(a,b)=(λa,λb)

Proposition 2 : 1− est un carré dans C Preuve : (0,1)×(0,1)=(−1,0)

Notation : On pose i=(0,1) Remarque : On a donc i² =−1

Proposition 3 : Tout nombre complexe s’écrit de manière unique sous la forme a+ib avec (a,b)∈R² Preuve : Pour tout b∈R, (0,b)=(0,1)×(b,0)=ib

Donc pour tout (a,b)∈R², (a,b)=(1,0)a+(0,1)b=a+ib

Unicité : soient (a,b,a',b')∈R⁴, a+ib=a'+ib'⇔(a,b)=(a',b')⇔a=a' et b=b' Conséquence : ^C=

{

}

Propriété 1 : Soient les nombres complexes z=a+ib et z'=a'+ib', on a : )

' ( ) ' (

' a a i b b

z

z+ = + + +

) ' ' ( ) ' ' (

' aa bb i ab ab

z

z× = − + +

Preuve : Immédiat par construction de C

Propriété 2 : L’inverse du nombre complexe z=a+ib non nul est

²

² 1

b a

ib a

z +

= −

Preuve : Tout élément ( ba, ) distinct du neutre admet pour inverse )

² , ²

² ( ²

b a

b b

a a

− + +

III – Propriétés des nombres complexes et définitions

Soit le nombre complexe z=a+ib A – Partie réelle, partie imaginaire

Définition 2 : - a est appelé la partie réelle de z et est notée Re(z ) - b est appelé la partie imaginaire de z et est notée Im(z ) Définition 3 : z est un imaginaire pur si a=0 et b∈R*

B – Représentation géométrique

Soit P le plan euclidien orienté muni d’un repère orthonormé direct (O,ur,vr) Dessin

Théorème 2 : L’application C→P est bijective zaM(Re(z),Im(z))

Preuve : Unicité de l’écriture d’un nombre complexe

Définition 4 : Soit z∈C. Le point M de coordonnées (Re(z),Im(z)) est appelé l’image de z et z est appelé l’affixe du point M . On note M(z).

Définition 5 : Pour tous points M(m) et N(n) de P , MN a pour affixe n−m et on note MN(n−m). Propriété 3 : Soit m∈C et M(m)∈P

- m est réel si et seulement si M est sur l’axe réel (Ox )

- m est imaginaire pur si et seulement si M est sur l’axe imaginaire (Oy )

C– Conjugaison

Définition 6 : On appelle conjugué de z le nombre complexe z=a−ib Propriétés 4 : Pour tout (z,z')∈C² : z+z'=z+z' ; −z=−z ; z×z'=z×z'

pour z≠0,

z z

1 1=



 





Preuve : Par le calcul

Proposition 4 : L’application C→C est un automorphisme de corps involutif, donc pour tout z∈C: z=z z

za

Preuve : D’après la propriété 4 : on a z+z'=z+z' et z×z'=z×z' 1

1= (et de même pour tout réel) z

ib a ib a

z= − = + =

Propriétés 5 : Pour tout z∈C : z+z=2Re(z) ; z−z=2iIm(z) Preuve : par le calcul

Conséquence : z=z⇔z∈R

z=−z⇔z=0 ou z est imaginaire pur

Définition 7 : Dans le plan P , le réel positif zz est appelé le module de z et est noté z

D– Résolution d’une équation du second degré dans C

Lemme 1 : Soit c∈C*, l’équation z²=c admet deux solutions complexes opposées.

Preuve : Soit c=a+ib non nul

Cherchons z=x+iy tel que z²=c



=

=

⇔ − +

=

+ xy b

a y ib x

a iy

x 2

² )² ²

(

Or : a²+b² =(x²+y²)²+(2xy)²=(x²+ y²)² et a²+b² ≥a

Donc on a :











−

= +

+

= +

⇒





+

= +

=

⇒ − +

= +

2

²

² 2

²

²

²

²

²

²

² )² ²

(

a b y a

a b x a

b a y x

a y ib x

a iy x

ε ε

avec ε =±1

Or 2xy=b donc en fixant le signe de x, on a obligatoirement y du signe de b×x

On vérifie que











−

− + +

− +

=

− + +

+

= +

2

²

² 2

²

²

2

²

² 2

²

²

2 1

a b i a

a b z a

a b i a

a b z a

λ λ

,λ le signe de b ; sont bien solution

Théorème 3 : Soient (a,b,c)∈C*×C² et ∆=b²−4ac L’équation (E):az²+bz+c=0 admet : soit une solution double

a z b

0 =−2 si ∆=0 sinon deux solutions

a z b

1 2

δ +

= − et

a z b

2 2

δ

−

=− , avec δ ^{tel que} δ²=∆ Preuve

2 0 0 2

2 2 2

0 2

²

² 4 ) 2

( =



 



 



 



 −− +



 



 − − −

⇔

=



 



 



 



 + −



 



 + +

⇔

=



 



  − ∆



 



 +

⇔ a

z b a z b

a a a z b a a z b a a

a z b a

E δ δ δ δ

Si ∆=0, δ =0 ^et

a z b

0 =−2

Si ∆≠0, le lemme 1 assure l’existence de δ et on a donc trouver z₁ et z₂.

Corollaire 1 : Toute équation du second degré à coefficients réels qui n’a pas de solution réelles admet deux solutions complexes conjuguées.

Preuve : D’après le théorème 3, z₁ et z₂ sont des solutions. Elles sont conjuguées car il n’y a que δ∈C

E– Factorisation dans C (facultatif)

Théorème 4 : théorème fondamental de l’algèbre (de d’Alembert)

Toute fonction polynôme de degré n,n≥1, admet au moins une racine complexe.

Preuve : Admis

Corollaire 2 : Toute fonction polynôme de degré n,n≥1, admet exactement n racines complexes (comptées avec leur ordre de multiplicité).

Preuve : Soit P:C→C[X] de degré n,n≥1 zaP(z)

D’après le théorème 4, P admet au moins une racine z₀, donc il existe une fonction polynôme Q de degré n−1≠0 tel que P(z)=(z−z₀)Q(z)

Par suite, on trouve bien n racines (dont certaines peuvent être confondues).

Exercice : Factoriser le polynôme P(x)=4x²−3x+1 dans C. Correction : Soit l’équation 4x²−3x+1=0

7 16 9− =−

=

∆ donc l’équation n’a pas de solutions réelles On prend δ =i 7, on a bien δ²=∆

L’équation a deux solutions complexes conjuguées :

8 7 3

1

z = +i et

8 7 3

2

z = −i Donc P(x)=4(z−z₁)(z−z₂)