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ATHÉMATIQUESMéthodes d’analyse et un peu de probabilités I – Études de signe
Les études de signe sont au cœur de nombreuses méthodes d’analyse (études de variations de fonctions ou de suites, démonstration d’inégalités, utilisation de critères réservés aux expressions positives, . . .). Voici un recense- ment de différentes méthodes usuelles permettant (ou facilitant) l’étude d’un signe : elles sont présentées dans l’ordre dans lequel il est préférable de les envisager. Cette liste n’est pas exhaustive, d’autres techniques pouvant s’avérer efficaces dans certains cas particuliers, mais celles qui sont recensées ici doivent impérativement être maîtrisées et utilisées de votre propre initiative.
1o) Cas idéal
Il est impératif de ne jamais passer à côté du cas simple où l’expression qui nous intéresse ne contient que des termes positifs . Sachant qu’un produit, somme, quotient, puissance de termes positifs est toujours positif, le signe de l’expression est dans ce cas immédiat.
Attention : bien évidemment, une différence de termes positifs n’est pas forcément positive ! Exemple 1 : Étudions le signe deun= 1
pn+2+n3×2−npourn∈N. Pour toutn∈N,pn+2>0,n3>0 et 2−n>0 doncun>0.
2o) Utilisation de techniques de calcul
Pour étudier un signe, il est toujours utile de FACTORISER. De plus, en présence d’une somme ou d’une dif- férence de fractions, il est souvent intéressant de réduire au même dénominateur . Grâce à ces méthodes, on est ramené à l’étude du signe d’un produit ou d’un quotient.
Une fois ceci fait, on peut parfois conclure grâce à un tableau de signes, ou plus fréquemment utiliser le fait qu’en présence d’un produit (ou quotient) de termes certains positifs, d’autres de signe variable, le signe est donné par les termes dont le signe varie (tout terme positif ne modifie pas le signe d’un produit ni d’un quotient).
Attention : bien évidemment, si dans une somme (ou une différence) certains termes sont positifs, et d’autres de signe variable, on ne peut pas se contenter d’étudier le signe des termes non positifs, ce qui est valable pour un produit ou quotient ne l’est plus pour une somme ou différence.
Exemple 2 :
1o) Étudions le signe defn(x)=n− ex
¡1+ex¢2, oùxest un réel etnun entier naturel non nul.
Réduisons au même dénominateur : fn(x)=n¡ 1+ex¢2
−ex
¡1+ex¢2 . Le dénominateur étant positif, fn(x) est du signe den¡
1+ex¢2
−ex=n¡
1+2ex+e2x¢
−ex=n+(2n−1)ex+ne2x. Cette expression est une somme de termes positifs, carn∈N∗entraîne 2n−1>0 et l’exponentielle d’un réel est strictement positive. D’où (voir le cas idéal ci-dessus)fn(x)>0 pour toutn∈N∗et toutx∈R.
2o) Étudions le signe deg(x)=e−2xx4−x2+1
(2x−1)2 pour toutx∈R\
½1 2
¾ . Comme e−2x>0 et (2x−1)2>0 pour toutx∈R\
½1 2
¾
,g(x) est du signe dex4−x2+1. En posantX=x2, on étudie le signe du trinômeX2−X+1, dont le discriminant vaut∆= −3<0. Avec la règle usuelle sur le signe d’un trinôme, on en déduit queg(x)>0 pour toutx6=1
2.
3o) Résolution d’inéquation
Connaître le signe d’une expressionf(x) revient à déterminer les solutions de l’inéquationf(x)>0 (ou l’inéquation f(x)60, mais il suffit de résoudre l’une des deux inéquations).
Exemple 3 : Étudions le signe def(x)=ln(x+1)+2 pour toutx> −1.
Soitx> −1 : f(x)>0⇐⇒ ln(x+1)+2>0 ⇐⇒ln(x+1)>−2 ⇐⇒exp
croissante
x+1>e−2 ⇐⇒ x>e−2−1. Cette valeur étant strictement supérieure à−1 (car e−2>0), on en déduit que f(x) est positif sur£
e−2−1,+∞£
et négatif sur
¤−1, e−2−1¤ .
4o) Étude de fonction
Dans le cas où aucune des techniques précédentes n’est applicable, ou si elles ne suffisent pas pour déterminer complètement le signe d’une expression, il reste toujours le recours ultime consistant à étudier les variations d’une fonction : la détermination des variations d’une fonctionf, éventuellement résumées dans un tableau de variation, peut permettre d’en déterminer son signe.
Exemple 4 : Étudions le signe deh(x)=x−sin(x) surR.
hest dérivable surReth0(x)=1−cos(x)>0, donchest croissante surR. Orh(0)=0, d’oùhest négative sur R−et positive surR+.
II – Recherche de limites
Lorsqu’une limite doit être déterminée, il convient de toujours commencer parobserver(à vue ou au brouillon) vers quoi tendent chacun des termes qui la composent, afin de se faire une idée de la marche à suivre, notamment (et en priorité) de savoir dans lequel des deux cas suivants on se trouve.
1o) Cas idéal : pas de forme indéterminée
Dans ce cas, on conclut tout simplement par les règles opératoires sur les limites, en rédigeant correctement.
Exemple 5 : Déterminons lim
x→0 x<0
xe1x. On a lim
x→0 x<0
1
x= −∞et lim
X→−∞eX =0 donc, par composition, lim
x→0 x<0
ex1 =0. Par produit, il vient lim
x→0 x<0
xe1x =0.
2o) Cas d’une forme indéterminée a) Utilisation de techniques de calcul
La factorisation estLAgrande méthode générale permettant de lever les indéterminations. En général, on retient qu’il est préférable (mais pas toujours indispensable) de mettre en facteur le terme prépondérant.
Ce principe de factorisation a conduit à une règle simple utilisable directement en pratique (sans factoriser par conséquent) : la limiteen l’infinid’une fonctionpolynômeest donnée par la limite de sonterme de plus haut degré. De même, la limiteen l’infinid’une fonctionrationnelle(ou quotient de polynômes) est donnée par la limite du quotient destermes de plus haut degré.
Une autre technique pouvant s’avérer utile est le changement de variable. Par exemple, en présence d’une forme indéterminée pourxtendant vers un réelx0, introduire la variableutelle quex=x0+upermet d’obtenir une limite (toujours indéterminée !) à chercher pourutendant cette fois vers 0.
Exemple 6 :
1o) Déterminons lim
x→+∞x3−2x−3p x.
∀x>0,x3−2x−3p x=x3
µ 1− 2
x2− 3 x2p
x
¶
. Or lim
x→+∞
2
x2 = lim
x→+∞
3 x2p
x =0 donc lim
x→+∞1− 2 x2− 3
x2p x =1.
Comme lim
x→+∞x3= +∞, par produit on déduit que limx
→+∞x3−2x−3p
x= +∞.
Autre méthode : en posantX =p
x, on ax3−2x−3p
x=X6−2X2−3X. Or lim
x→+∞X = +∞et (règle des polynômes) lim
X→+∞X6−2X2−3X= lim
X→+∞X6= +∞, donc on retrouve bien lim
x→+∞x3−2x−3p
x= +∞. 2o) Déterminons lim
x→−2
x2−x−6 x3+8 .
Soitu 6=0 tel que x= −2+u : x2−x−6
x3+8 = (−2+u)2−(−2+u)−6
(−2+u)3+8 = u2−5u
u3−6u2+12u = u−5
u2−6u+12. Or
ulim→0
u−5
u2−6u+12=−5
12, donc lim
x→−2
x2−x−6 x3+8 = − 5
12. b) Croissances comparées
En présence d’exponentielles, puissances, logarithmes pour les fonctions, ou de factorielles, puissances, termes géométriques, logarithmes pour les suites, on peut être amené à exploiter la propriété des croissances comparées.
Rappel rapide et pratique (non rédigé sous forme mathématique) : pour les suites, (n!) l’emporte sur¡ qn¢
(pour q >1), qui lui même l’emporte sur (na) (pour a>0), qui lui même l’emporte sur¡
ln(n)b¢
(pourb >0). Pour les fonctions : en+∞,x7→ax l’emporte (poura>1, notammenta=e) surx7→xα(pourα>0), qui lui même l’emporte surx7→ln(x)b(pourb>0) ; en 0,x7→xα(pourα>0) l’emporte surx7→ln(x)b(pourb>0).
Attention : les croissances comparées ne sont pas non plus une baguette magique, la limite d’une expression faisant intervenir des termes plus complexes que ceux écrits ci-dessus ne peut être résolue instantanément en invoquant simplement les croissances comparées.
Exemple 7 : Déterminons lim
x→0 x>0
xe1x.
On a constaté (à vue d’œil) la présence d’une forme indéterminée. PosonsX=1
x : on a alors pour toutx>0, xe1x = 1
XeX=eX
X . Or lim
x→0 x>0
X= +∞et par croissances comparées, lim
X→+∞
eX
X = +∞, d’où lim
x→0 x>0
xe1x = +∞.
c) Équivalents
On utilise ici la propriété suivante : si deux fonctions (ou suites) sont équivalentes et si l’une d’elle admet une limite, alors l’autre admet également une limite et ces deux limites sont égales. Attention à la rédaction : il ne s’agit pas de se contenter de remplacer, lors d’une recherche de limite, certaines fonctions (ou suites) par leur équivalent. Rappel sur les équivalents :
– Équivalents usuels : sin(x)∼
0x tan(x)∼
0 x ln(1+x)∼
0 x et donc ln(x)∼
1x−1 ex−1∼
0x 1−cos(x)∼
0
x2 2
p1+x−1∼
0
1
2x ∀α∈R∗, (1+x)α−1∼
0 αx
– Tout polynôme est équivalent à son terme deplus haut degréen l’infini, et à son terme deplus bas degré en0.
– On peut multiplier ou diviser des équivalents, on peut élever un équivalent à une puissance constante, mais on ne peut pasajouter (ou soustraire) des équivalents, ni composer des équivalents (on peut toutefois faire un changement de variable dans un équivalent, notamment le changement de variable évoqué en 2o)a)).
Exemple 8 : Déterminons la limite de µ
1+1 x
¶x
en−∞.
Cette expression est définie pour toutxnon nul tel que 1+1
x >0 et dans ce cas µ
1+1 x
¶x
=exln¡1+1x¢. Comme
x→−∞lim 1+1
x =1>0, on en déduit que, au voisinage de−∞, µ
1+1 x
¶x
existe. Or ln(1+X)∼
0 Xet en posantX= 1 x, on a lim
x→−∞X =0, donc ln µ
1+1 x
¶
−∞∼ 1
x. Par produit,xln µ
1+1 x
¶
−∞∼ 1. On s’arrête à temps avec les équivalents, car on ne peut pas composer par l’exponentielle, mais on revient aux limites : l’équivalent précédent prouve que
x→−∞lim xln µ
1+1 x
¶
=1 donc, par composition (et par continuité d’exponentielle en 1), lim
x→−∞exln
¡1+1x¢
=e1. Ainsi
x→−∞lim µ
1+1 x
¶x
=e.
d) Développements limités
L’utilisation de développements limités pour la détermination de limites permet notamment de pallier les in- suffisances des équivalents, par exemple l’incompatibilité des équivalents avec les sommes. Il s’agit dans ce cas d’utiliser les développements limitésa minima, uniquement dans le but de parvenir à lever l’indétermination (par exemple en obtenant des équivalents plus simples).
Exemple 9 : Déterminons la limite desin(x)−x xtan(2x) en 0.
On a sin(x) =
x→0x−x3 6 +o¡
x3¢
donc sin(x)−x =
x→0−x3 6 +o¡
x3¢
: ceci prouve que sin(x)−x∼
0 −x3
6. De plus, tan(2x)∼
0 2x donc, par produit, xtan(2x)∼
0 2x2. Par quotient, on en déduit que sin(x)−x xtan(2x) ∼
0
−x63 2x2 ∼
0 −x 12. Or
x→0lim−x
12=0, donc lim
x→0
sin(x)−x xtan(2x) =0.
e) Comparaisons
Les théorèmes de comparaison et des gendarmes (ou d’encadrement, voir cours de première année) peuvent parfois permettre de calculer des limites indéterminées.
Exemple 10 : Déterminons lim
x→+∞
xsin(x) x2+1 .
Pour tout réel x, on a−16sin(x)61. Pour obtenir un encadrement, nous allons multiplier par x, dont le signe est indéterminé (alors quex2+1>0). Mais la limite cherchée est en+∞, il suffit donc de se limiter au cas x>0 : alors− x
x2+16xsin(x) x2+1 6 x
x2+1. Or lim
x→+∞
x
x2+1= lim
x→+∞
x
x2= lim
x→+∞
1
x =0= lim
x→+∞− x
x2+1. Par théorème d’encadrement, il vient lim
x→+∞
xsin(x) x2+1 =0.
III – Convergence de séries
Dans tout ce qui suit nous allons résumer les méthodes pratiques principales pour étudier la nature d’une série de terme généralun.
1o) Cas simple
À examiner avant tout autre tentative : une condition nécessaire pour que la série converge est que son terme général tende vers 0. Autrement dit, si (un) ne converge pas vers 0, alorsX
undiverge grossièrement.
Exemple 11 : Nature de la sérieXn!
2n, et somme éventuelle.
D’après la propriété des croissances comparées rappelée plus haut, limn!
2n = +∞, donc la série est divergente.
2o) Reconnaissance de séries usuelles
Avant de se lancer sur des outils sophistiqués, il est important de savoir reconnaître une série usuelle, ce qui peut permettre de donner une réponse immédiate concernant la convergence, voire de donner la somme. Rappelons les séries à connaître :
1o) Série géométrique et dérivées : les séries X
xn , X
nxn−1 et X
n(n−1)xn−2 convergent ssi |x| <1 et dans ce cas on a
+∞X
n=0
xn= 1 1−x ,
+∞X
n=1
nxn−1= 1 (1−x)2 et
+∞X
n=2
n(n−1)xn−2= 2 (1−x)3 . 2o) Série de Riemann : la série X 1
nα converge ssi α>1 et dans ce cas on n’a aucune idée de la valeur de sa somme (sauf cas particuliers)...
3o) Série exponentielle : la série Xxn
n! converge pour tout réelx et
+∞X
n=0
xn n! =ex . Exemple 12 :
1o) Nature de la sérieX 1
2nn!, et somme éventuelle.
Le terme général s’écrit encore
¡1
2
¢n
n! : on reconnaît une série exponentielle, qui est donc convergente et
+∞X
n=0
1 2nn!=e12.
2o) Nature de la sérieXn+1
3n , et somme éventuelle.
Pour toutN∈N, XN n=0
n+1 3n =
XN n=0
· n
µ1 3
¶n
+ µ1
3
¶n¸
=1 3
XN n=1
n µ1
3
¶n−1 +
XN n=0
µ1 3
¶n
. On reconnaît une série géométrique et sa dérivée : comme
¯
¯
¯
¯ 1 3
¯
¯
¯
¯<1, chacune d’elles converge donc, par combinaison linéaire de séries conver- gentes, la série considérée converge. De plus,
+∞X
n=0
n+1 3n = 1
3
+∞X
n=1
n µ1
3
¶n−1
+
+∞X
n=0
µ1 3
¶n
= 1 3
1
¡1−13¢2+ 1 1−13 = 1
3×9 4+3
2=3 4+3
2=9 4. 3o) Séries à termes positifs
Dans le cas où le terme général est positif à partir d’un certain rang, on dispose de critères efficaces de conver- gence :
– comparaison : supposons qu’à partir d’un certain rang on a 06un6vn. – siX
vnconverge, alorsX
unconverge (mais ceci ne donne pas la valeur de la somme, on sait juste que
+∞X
n=0
un6
+∞X
n=0
vn).
– siX
undiverge, alorsX
vndiverge.
– équivalents : si à partir d’un certain rangunetvnsont positifs et siun∼vn, alors les séries de terme général unetvnsont de même nature (toutes deux convergentes ou toutes deux divergentes).
Exemple 13 : Nature de la série de terme général 1−cos µ1
n
¶ . Comme 1−cos(x)∼
0
x2
2 et lim
n→+∞
1
n =0, alors 1−cos µ1
n
¶
∼ 1
2n2. Ces deux expressions sont positives pour toutn∈N∗, donc les séries correspondantes sont de même nature. Or 1
2n2 =1 2× 1
n2 etX 1
n2 converge (série de Riemann), doncX
· 1−cos
µ1 n
¶¸
converge.
4o) Séries à termes de signe quelconque
Si la série n’est pas à termes positifs, deux méthodes doivent permettre de s’en sortir dans la plupart des cas : – négligeabilité : siun =
n→+∞o (vn) et siX
vn est une série à termes positifs convergente, alorsX
unest con- vergente.
– convergence absolue : siX
|un| converge (on parle de convergence absolue de la sérieX
un), alorsX un
converge.
Exemple 14 : Nature de la série de terme général sin(n) 4n . Pour toutn∈N, on a
¯
¯
¯
¯ sin(n)
4n
¯
¯
¯
¯=|sin(n)|
4n 6 1
4n car|sin(n)|61. Donc
¯
¯
¯
¯ sin(n)
4n
¯
¯
¯
¯6 µ1
4
¶n
. OrX µ1
4
¶n
converge (série géométrique avec
¯
¯
¯
¯ 1 4
¯
¯
¯
¯<1), et les deux termes généraux
¯
¯
¯
¯ sin(n)
4n
¯
¯
¯
¯ et
µ1 4
¶n
sont positifs. Par critère de com- paraison des séries à termes positifs (voir précédemment), on en déduit queX
¯
¯
¯
¯ sin(n)
4n
¯
¯
¯
¯converge : ceci signifie queXsin(n)
4n converge absolument, donc elle converge.
IV – Convergence d’intégrales généralisées
Dans tout ce qui suit nous allons résumer les méthodes pratiques principales pour étudier la nature d’une inté- grale généralisée de type
Z b a
f(t) dtoù f est une fonction continue soit sur ]a,b[ (a∈R∪{−∞} etb∈R∪{+∞}), soit sur [a,b[, soit sur ]a,b].
1o) Cas simples
Si l’intégrale est généralisée ena par exemple, et si f est prolongeable par continuité ena, alors l’intégrale est convergente (on parle alors d’intégrale faussement impropre). D’autre part, si une primitiveF de f sur ]a,b[
est connue, alors pour connaître la nature de l’intégrale il suffit de savoir déterminer une limite : pour tout (x,y)∈]a,b[2,
Z y x
f(t) dt =F(y)−F(x) et l’intégrale généralisée est convergente ssiF(y)−F(x) admet une lim- ite finie lorsquextend versaetyversb(une seule limite si l’intégrale n’est généralisée qu’à une borne).
Exemple 15 : Nature de Z +∞
0
1 2+t2 dt. La fonction t 7→ 1
2+t2 étant continue sur R+, l’intégrale n’est généralisée qu’en +∞. Pour tout t >0, 1
2+t2 =1 2× 1
1+t22 =1
2× 1
1+³
pt 2
´2. Or en notantu : t7→arctan µ t
p2
¶
,uest dérivable surRetu0(t)=
p1 2
1+³
pt 2
´2
donc une primitive det7→ 1
2+t2 surR+est1 2×p
2u. Pour toutA>0, on a alors Z A
0
1 2+t2dt=
"p 2 2 arctan
µ t p2
¶#A 0
= p2
2 arctan µ A
p2
¶
. Or lim
A→+∞arctan µ A
p2
¶
=π
2, donc l’intégrale est convergente et Z +∞
0
1 2+t2 dt=
p2π 4 .
2o) Reconnaissance d’intégrales usuelles
Avant de se lancer sur des outils sophistiqués, il est important de savoir reconnaître une intégrale usuelle, ce qui peut permettre de donner une réponse immédiate concernant la convergence. Les intégrales à connaître :
1o) Intégrale de Riemann : Z +∞
1
1
tα dt converge ssi α>1 (similaire au cas des séries).
Z b a
1
(t−a)α dt con- verge ssi α<1 .
2o) Intégrale d’une exponentielle : Z +∞
0
e−αtdt converge ssi α>0 .
3o) Intégrale d’une fonction positive
Dans le cas où la fonction intégrée est positive, comme pour les séries on dispose de critères efficaces de conver- gence :
– comparaison : supposons qu’au voisinage deb, 06f(t)6g(t), où f etgsont continues sur [a,b[.
– si Z b
a
g(t) dtconverge, alors Z b
a
f(t) dtconverge.
– si Z b
a
f(t) dtdiverge, alors Z b
a
g(t) dtdiverge.
– équivalents : si f etg sont positives au voisinage de b, f etg étant continues sur [a,b[, et si f ∼
b g, alors les intégrales
Z b a
f(t) dtet Z b
a
g(t) dtsont de même nature (toutes deux convergentes ou toutes deux diver- gentes).
– négligeabilité : sif est positive et continue sur [a,b[, s’il existegcontinue et d’intégrale divergente sur [a,b[
telle queg =
x→bo¡ f¢
, alors Z b
a
f(t) dt diverge (si on arrive à trouver une fonction négligeable devant f et d’intégrale divergente, alors l’intégrale def diverge).
Exemple 16 : Nature de l’intégrale Z +∞
0
e−2t pt dt. t7→e−2t
pt est continue sur ]0,+∞[, l’intégrale est généralisée en 0 et en+∞: étudions donc la convergence de Z 1
0
e−2t
pt dt et de Z +∞
1
e−2t
pt dt. La fonction intégrée étant positive sur ]0,+∞[, on peut utiliser les critères précé- dents.
Sur ]0, 1], on a : 0<t61=⇒ −26−2t <0 =⇒
exponentielle croissante
e−26e−t<1. On en déduit quee−2t pt 6p1
t. Or 1 pt = 1
t12 donc l’intégrale converge sur [0, 1] (intégrale de Riemann). Par le critère de comparaison ci-dessus,
Z 1 0
e−2t pt dtest convergente.
Sur [1,+∞[, on a : t >1=⇒p
t >1=⇒ 1
pt 61. On en déduit que e−2t
pt 6e−2t. Or Z +∞
1
e−2t dt converge (intégrale usuelle) donc, par le critère de comparaison ci-dessus,
Z +∞
1
e−2t
pt dtest convergente.
En conclusion, Z +∞
0
e−2t
pt dt est convergente.
4o) Intégrale d’une fonction de signe quelconque
Si la fonction intégrée n’est pas positive, deux méthodes doivent permettre de s’en sortir dans la plupart des cas : – négligeabilité : sif =
x→bo¡ g¢
, oùf etgsont continues sur [a,b[, et sigest positive et d’intégrale convergente sur [a,b], alors
Z b
a f(t) dtconverge.
– convergence absolue : si Z b
a
¯
¯f(t)¯
¯ dt converge (on parle de convergence absolue de l’intégrale Z b
a
f(t) dt converge), alors
Z b a
f(t) dtconverge.
Exemple 17 : Convergence de l’intégrale Z 2
0
ln(x) px dx.
f :x7→ln(x)
px est une fonction continue sur ]0, 2] et l’intégrale est impropre en 0. De plus, on constate que cette fonction n’est pas positive, on n’a donc pas accès aux critères du paragraphe précédent. Prouvons la convergence par négligeabilité : cherchons pour cela une fonctiongpositive du typex7→ 1
xαtelle quef soit négligeable devant gen 0 et l’intégrale degconverge sur ]0, 2].
D’après le cas des intégrales de Riemann, l’intégrale deg converge sur ]0, 2] ssiα<1. De plus, pour tout x∈]0, 2], f(x)
g(x)=ln(x)
x12 ×xα=xα−12ln(x) : avec la propriété des croissances comparées, ceci tend vers 0 ssiα−1 2>0, soit ssiα> 1
2. Prenons par exemple α=0, 6 : alors Z 2
0
g(x) dx converge, g est positive et lim
x→0
f(x)
g(x) =0 donc f(x) =
x→0o¡ g(x)¢
. Par le critère de négligeabilité ci-dessus, on en déduit que Z 2
0
ln(x)
px dxest convergente.
V – Variables à densité
Recensons ici un certain nombre de savoir-faire incontournables lorsqu’on travaille avec des variables à densité.
Il suffit de s’assurer que la fonction f donnée vérifie les 3 points suivants :
• f estpositivesurR.
• f estcontinuesurR, sauf éventuellement en un nombre fini de points. Attention, on ne doit pas réciter cette ligne : on doit réellement prouver (brièvement la plupart du temps) la continuité et ne pas écrire sauf en un nombre fini de points, il faut préciser concrètement en quels points elle est susceptible de ne pas être continue.
• f est d’intégrale convergentesurRet Z +∞
−∞
f(t) dt=1 .
Prouver qu’une fonction donnée est une densité de probabilité
Exemple 18 : Soitf définie parf(t)=
c
1+t sit∈[0, 1]
0 sinon.
. Déterminons la constante réellecpour quef soit une densité de probabilité d’une variable aléatoireX.
• f estpositivesurRssic>0.
• f estcontinuesur ]0, 1[ (quotient de fonctions continues) et surR\[0, 1] car c’est la fonction nulle. Elle est donc continue surRsauf éventuellement en 0 et en 1.
• f étant nulle en dehors de [0, 1], Z +∞
−∞
f(t) dt converge ssi Z 1
0
f(t) dt converge. De plus,t7→ c
1+t est con- tinue sur [0, 1] donc on est certain de la convergence de l’intégrale et
Z +∞
−∞
f(t) dt= Z 1
0
c
1+tdt=c£
ln(1+t)¤1 0= cln(2). Par conséquent,
Z +∞
−∞
f(t) dt=1 ⇐⇒cln(2)=1 ⇐⇒c= 1 ln(2). D’oùf est une densité de probabilité ssi c= 1
ln(2) .
La méthode repose essentiellement sur lecalcul d’une intégrale. SiX est une variable aléatoire à densité et si f est une de ses densités, alors sa fonction de répartitionF(qui est définie surR) se détermine grâce aux étapes suivantes :
• On observe, à partir de la densitéf, ce que vaut l’univers imageX(Ω) : il est inclus dans l’ensemble des réels où la densité est non nulle.
• Pour tout réelxn’appartenant pas àX(Ω), la valeur deF(x) s’obtient sans calcul : siX(Ω)⊂[a,+∞[, alorsF(x)=0 pour toutx<aet siX(Ω)⊂]− ∞,b], alorsF(x)=1 pour toutx>b. Autrement for- mulé, la fonction de répartition est nulle pour tout réel inférieur à toutes les valeurs prises par la variable aléatoire, elle vaut 1 pour tout réel dépassant toutes les valeurs prises par la variable aléa- toire. Plus généralement on peut dire que la fonction de répartition est constante sur tout intervalle où la densité est nulle.
• Pour tous les autres réels, on calcule F(x)= Z x
−∞
f(t) dt . Remarquons qu’il n’est pas nécessaire de prouver la convergence de l’intégrale, ceci est assuré par le fait que f est une densité de probabilité.
Déterminer la fonction de répartition à partir d’une densité de probabilité
Exemple 19 : Déterminons la fonction de répartition d’une variable aléatoireXde densité donnée dans l’exemple précédent.
La densité f deX étant nulle en dehors de [0, 1], on aX(Ω)=[0, 1]. On en déduit queFX(x)=0 six60 et FX(x)=1 six>1.
De plus, pour tout x ∈]0, 1[, FX(x)= Z x
−∞
f(t) dt = Z x
0
1
(1+t) ln(2)dt = 1 ln(2)
£ln|1+t|¤x
0 = ln(1+x)
ln(2) . D’où
FX(x)=
0 six60
ln(1+x)
ln(2) si 0<x<1 1 six>1
.
Il faut avant tout s’assurer que la fonction de répartitionFde la variableXvérifie les 2 points suivants :
• FestcontinuesurR.
• Fest declasse C1surR, sauf éventuellement en un nombre fini de points. On ne doit à nouveau pas réciter cette ligne : il faudra préciser (et prouver !) où la fonction est de classe C1et en quels points elle est susceptible de ne pas être de classe C1. Il est possible voire préférable de commencer par ce critère puisque la classe C1entraîne la continuité : il ne restera plus qu’à prouver que la fonction est continue aux points où elle n’est potentiellement pas de classe C1.
La détermination d’une densité de probabilité repose ensuite sur la dérivation: toute densité f deX vérifie F0=f en tout point oùFest de classe C1. Aux endroits oùFn’est pas de classe C1, on peut prendre n’importe quelle valeur positive. Retenons que de toute façon on peut modifier une densité de probabilité deXen un nombre fini de points, à condition que la fonction reste positive, la fonction obtenue reste une densité de probabilité deX.
La fonction de répartition étant donnée, montrer qu’une variable est à densité et déterminer une densité
Exemple 20 : Xest une variable aléatoire dont la fonction de répartition est définie parF(x)=
(1−e−
px six>0
0 sinon .
Montrons qu’il s’agit d’une variable à densité et déterminons une densité deX. x7→ −p
xest de classe C1surR+∗donc, par composition avec exp qui est de classe C1surRpuis par somme,F est de classe C1surR+∗, ainsi que surR−∗ bien évidemment ; elle est donc continue sur ces deux intervalles.
De plus, lim
x→0 x>0
−p
x =0 et lim
X→0 1−eX =0 donc lim
x→0 x>0
F(x)=0 =lim
x→0 x<0
F(x) ce qui prouve la continuité de F aussi en 0. F étant continue surRet de classe C1 surR∗,X est une variable aléatoire à densité et une densité est définie par f(x)=F0(x) en toutx oùF est dérivable. Ceci donne f(x)= 1
2p
xe−px pour tout y >0. D’où f(x)=
e−
px
2p
x six>0
0 sinon
.
On peut déjà dire que pour touta∈R, P(X=a)=0 .
1o) À partir de la fonction de répartitionF: pour tout (a,b) ∈ R2 (avec a 6 b), P(a6X6b)=P(a6X<b)=P(a<X6b)=P(a<X<b)=F(b)−F(a) ,
P(X<a)=P(X6a)=F(a) et P(X>a)=P(X>a)=1−F(a) .
2o) À partir de la densitéf : cela se fait par un calcul d’intégrale. Pour tout (a,b)∈R2 (aveca 6b), P(a6X6b)=P(a6X<b)=P(a<X6b)=P(a<X<b)=
Z b a
f(t) dt , P(X<a)=P(X6a)=
Z a
−∞
f(t) dt et P(X>a)=P(X>a)= Z +∞
a f(t) dt . Calculer des probabilités faisant intervenir une variable à densité
Exemple 21 : Soitf définie surRparf(x)=
3
2x2 six∈[0, 1[
3
2(2−x)2 six∈[1, 2]
0 sinon.
. Montrons quef est une densité de proba-
bilité et calculer, siXest une variable aléatoire de densitéX,P¡
|X−1|6x¢pour toutx∈]0, 1[.
1o) Commençons par montrer quef est une densité de probabilité.
• f est positive surR.
• La fonction carré et la fonctionx7→(2−x)2étant continues surR(sans parler de la fonction nulle...), f est continue surRsauf éventuellement en 0, 1 et 2.
• f est nulle sur ]−∞, 0[ et sur ]2,+∞[ donc Z +∞
−∞
f(x) dxest convergente ssi Z 2
0
f(x) dxest convergente.
La fonction carré étant continue sur [0, 1], on peut écrire Z 1
0
f(x) dx = Z 1
0
x2dx= 3 2
·x3 3
¸1
0= 1 2. De même, la fonctionx7→(2−x)2étant continue sur [1, 2],
Z 2 1
f(x) dx= Z 2
1
3
2(2−x)2dx=3 2
·
−(2−x)3 3
¸2
1
= 1
2. Tout ceci entraîne que Z +∞
−∞
f(x) dxest convergente et Z +∞
−∞
f(x) dx=1.
On peut alors conclure que f est une densité de probabilité et on considère une variable aléatoireX de densitéf.
2o) Deux méthodes envisageables :
– Par la fonction de répartition : ce n’est pas la plus rapide mais cela permet d’illustrer la méthode. Nous allons commencer par déterminer la fonction de répartition deX. f étant nulle en dehors de [0, 2], on aX(Ω)=[0, 2] donc on peut déjà dire queFX(x)=0 six60 etFX(x)=1 six>2.
– Six∈]0, 1[ :FX(x)= Z x
−∞
f(t) dt= Z x
0
f(t) dt=3 2
·t3 3
¸x
0=x3 2 . – Six∈[1, 2[ :FX(x)=
Z x
−∞
f(t) dt =
Z 1 0
f(t) dt
| {z }
calculé dans la question précédente
+ Z x
1
f(t) dt =1 2+3
2
·
−(2−t)3 3
¸x
1
=
1 2−1
2(2−x)3+1
2=1−(2−x)3
2 .
D’où FX(x)=
0 six60
x3
2 si 0<x61 1−(2−x)3
2 si 1<x<2 1 six>2
.
Soitx∈]0, 1[ : on peut alors calculer la probabilité cherchée. P¡
|X−1|6x¢
=P¡
1−x6X 61+x¢
= FX(1+x)−FX(1−x). Or 1+x∈]1, 2] donc, le calcul précédent,FX(1+x)=1−(2−1−x)3
2 =1−(1−x)3
2 .
De même, 1−x∈]0, 1[ doncFX(1−x)=(1−x)3
2 . Ceci donneP¡
|X−1|6x¢=1−(1−x)3
2 −(1−x)3
2 ,
d’où P¡
|X−1|6x¢=1−(1−x)3 .
– Par la densité de probabilité : Soitx∈]0, 1[. P¡
|X−1|6x¢=P¡
1−x6X61+x¢
= Z 1+x
1−x
f(t) dt avec 1−x∈]0, 1[ et 1+x∈]1, 2]. Il faut donc découper l’intégrale par la relation de Chasles, étant donné que l’expression de f diffère sur [0, 1] et sur [1, 2]. On aP¡
|X−1|6x¢= Z 1
1−x
f(t) dt+ Z 1+x
1
f(t) dt= Z 1
1−x
3 2t2dt+
Z 1+x
1
3
2(2−t)2dt=3 2
·t3 3
¸1
1−x+3 2
·
−(2−t)3 3
¸1+x 1
=1 2
¡13−(1−x)3−(2−1−x)3+(2−1)3¢
= 1
2
¡2−2(1−x)3¢
ce qui donne la même valeur que précédemment, évidemment : P¡
|X−1|6x¢=1−(1−x)3 .
SiXadmet pour densitéf, alors :
1o) Xadmet une espérance ssi l’intégrale Z +∞
−∞
t f(t) dtconverge absolument. Dans le cas où la variable aléatoireX est presque sûrement à valeurs positives (X(Ω)⊂R+), la convergence absolue équivaut à la convergence.
2o) SiXadmet une espérance, alors celle-ci vaut E(X)= Z +∞
−∞
t f(t) dt . Montrer l’existence (ou pas) de l’espérance et la calculer
Remarque :
– SiX(Ω)⊂]a,b[, c’est-à-dire sif est nulle en dehors de ]a,b[ (oùapeut être remplacé par−∞etbpar+∞), il suffit d’étudier la convergence absolue de
Z b a
t f(t) dt. Si cette intégrale converge absolument, alors elle est égale àE(X).
– Attention, il y a bien a priori deux choses à faire : prouver la convergence absolue de l’intégrale et la calculer.
Dans les cas simples, lorsqu’on sait qu’on va trouver une primitive directe det 7→t f(t), on peut faire les deux étapes en une à condition de démarrer la rédaction par «Sous réserve de convergence absolue» et le calcul lèvera les réserves de convergence lorsqu’on calculera la limite permettant d’accéder à la valeur de l’espérance (si elle existe). Il ne faut cependant jamais oublier l’étape d’existence de l’espérance et ne pas se lancer dans un calcul sans en avoir parlé avant.
Exemple 22 : Reprenons la variable aléatoire admettant pour densité la fonction f définie dans l’exemple 18.
Nous avions vu queX(Ω)=[0, 1] doncXadmet une espérance ssi Z 1
0
t f(t) dtconverge absolument. Comme t 7→t f(t) est positive sur [0, 1], la convergence absolue équivaut à la convergence, et comme cette fonction est continue sur ce segment, on peut dire que
Z 1 0
t f(t) dtconverge. Par conséquent,X admet une espérance.
De plus,E(X)= Z 1
0
t f(t) dt= 1 ln(2)
Z 1 0
t+1−1
1+t dt= 1 ln(2)
Z 1 0
µ 1− 1
1+t
¶
dt= 1 ln(2)
ht−ln|1+t|i1 0= 1
ln(2)(1−ln(2)) donc E(X)= 1
ln(2)−1 .
Récapitulatif des lois usuelles à connaître :
Type de loi Univers image Densité Fonction de répartition Espérance
U¡ [a,b]¢
[a,b] f(x)=
1
b−a, sia6x6b;
0, sinon.
F(x)=
0 six<a x−a
b−a, sia6x6b;
1, sinon.
a+b 2 E(λ),λ>0 R+ f(x)=
½ λe−λx, six>0;
0, sinon. F(x)=
½ 1−e−λx, six>0;
0, sinon.
1 λ N ¡
µ,σ2¢
,σ>0 R f(x)= 1
σp 2πe−12
¡x−µ
σ
¢2
F(x)= Z x
−∞
f(t) dt µ
Remarque :
– Toute fonction de répartition qui est affine sur un intervalle, nulle avant cet intervalle et vaut 1 après corre- spond à la fonction de répartition d’une variable à densité qui suit la loi uniforme.
– La fonction de répartition de la loi normale ne possède aucune expression simple, l’intégrale n’est pas cal- culable.
– Le cas particulier de la loi normale centrée réduite n’est à oublier sous aucun prétexte : sa densité est ϕ : x7→ 1
p2πe−x
2
2, elle est paire. Sa fonction de répartition (non calculable donc) est notéeΦet l’unique valeur connue est Φ(0)=1
2 .
On commence avant toute chose par déterminer l’univers-image deY. Ensuite, tout repose sur la fonction de répartition deY : pour touty∈R,FY(y)=P(Y 6y)=P(a X+b6y)=P(a X6y−b). Deux cas sont à distinguer suivant le signe dea:
– Sia>0 :FY(y)=P µ
X6y−b a
¶
=FX
µy−b a
¶ . – Sia<0 :FY(y)=P
µ
X>y−b a
¶
=1−FX
µy−b a
¶ .
Une fois la fonction de répartition obtenue, on détermine une densité en dérivant cette fonction, là où elle est dérivable (voir la méthode ci-dessus pour déterminer une densité connaissant la fonction de réparti- tion).
Détermination de la loi deY =a X+boù(a,b)∈R∗×R
Exemple 23 : X est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. Déterminons la loi de Y = −2X+1.
On aX(Ω)=RdoncY(Ω)=R: on ne peut déduire aucune valeur simple pour la fonction de répartition deY. Soity∈R:FY(y)=P(Y 6y)=P(−2X+16y)=P(−2X6y−1)=P
µ
X>1−y 2
¶
.Xétant à densité et sa fonction de répartition étant notéeΦ, ceci donneFY(y)=1−Φ
µ1−y 2
¶ .
On sait que la fonction de répartitionΦde la loi normale centrée réduite est de classe C1 surR. De plus, y7→ 1−y
2 est de classe C1surR. Par composition et somme,FY est de classe C1 surR: elle y est donc égale- ment continue. FY vérifie ainsi toutes les conditions permettant de dire queY est une variable à densité. FY
étant dérivable surR, on peut dire qu’une densité deY est fY =FY0. Ceci donne, par dérivation d’une fonction composée, pour touty∈R: fY(y)= −
µ
−1 2
¶ Φ0
µ1−y 2
¶
=1 2ϕ
µ1−y 2
¶
. En reprenant la densitéϕde la loi normale centrée réduite, on obtient fY(y)= 1
2× 1 p2πe−
³1−y 2
´2
2 = 1
2p 2πe−
1 2
³1−y
2
´2
= 1 2p
2πe−
1 2
³y−1
2
´2
. On reconnaît la densité d’une loi normale, avecµ=1 etσ=2. D’où Y ,→N(1, 4) .
