ESIM 2000 PC : 1/6. converge normalement, donc uniformément sur [a, b].

Corrigé :

Partie I

1.a. Soit [a, b] ⊂ ⁺* ; on a : ∀x∈[a, b], ∀k∈*, |uk(x)| ≤ (2 k² x² + 1) e^−k2x2≤ (2 k² b² + 1) e^−k2a2= vk. Par croissances comparées, on a :

+∞

→

klim k² v_k = 0 car a > 0 ; donc v_k = o(

2

1

k ). Comme

∑

¹₂

k converge,

∑

vk

converge. D'où la série

∑

uk converge normalement, donc uniformément sur [a, b].

1.b. Pour tout k∈*, la fonction u_k est continue sur ⁺*. Comme la série

∑

uk converge uniformément sur tout segment de ⁺*, par théorème, S est continue sur ⁺*.

2.a. Pour tout k∈*, la fonction uk est continue sur ⁺. De plus, par croissances comparées :

+∞

→

xlim x² uk(x) = 0.

Donc, au voisinage de +∞, uk(x) = o(

2

1

x ) ; comme x a

2

1

x est intégrable sur [1, +∞[, par comparaison, uk est intégrable sur [0, +∞[ et ce, pour tout k > 0.

2.b. On constate que, si wk(x) = – x e^−k2x2, w_k est dérivable sur ⁺ et, pour tout x∈⁺, (wk)'(x) = – e^−k2x2+ 2 k²x² e^−k2x2= uk(x). Comme uk est intégrable sur [0, +∞[, on a donc :

∫

₀^{+∞ uk(t) dt=} _A^lim_→+∞

∫

₀^{A wk' (t)dt =} _A^lim_→+∞^{wk(A) – wk(0) =}_A^{lim – A} _→+∞ ^{e−k2A2 car wk}(0) = 0. Par croissances comparées,

+∞

→

Alim – A e^−k2A2 = 0. Donc ∀k∈*,

∫

₀^{+∞ uk(t)dt= 0.}

Donc la série

∑∫

₀^+∞uk(t)dt converge et

∑∫

^+∞

=

∞ +

1 0 ( )

k

k t dt

u = 0.

2.c. Soit k ≥ 1. On a : ∀t∈[

k

1, +∞[, 2 k² t ² ≥ 2 ; donc uk est positive sur [ k

1, +∞[.

Comme u_k est intégrable sur ⁺ et que |uk| est positive, on a :

∫

₀^{+∞ uk(t) dt≥}

∫

^+∞

k

k t dt

1 u ( ) =

∫

^+∞

k

k t dt

1 u ( ) .

Or

∫

^+∞

k

k t dt

1 u ( ) =

+∞

→ Alim

∫

^A

k

k t dt

1 w

' ( ) =

+∞

→

Alim wk(A) – wk( k 1) =

k e⁻¹

. D'où : ∀k > 0,

k e⁻¹

≤

∫

₀^{+∞ uk(t) dt. Or,}

∑

k

1 diverge. Par minoration,

∑∫

≥

∞ +

1 0 ( )

k

k t dt

u diverge.

3.a. Par hypothèse, f est continue, positive et décroissante sur [a, +∞[.

Par le théorème de comparaison série-intégrale,

∑

≥m k

k f

d ( ) est convergente. De plus, on ne change par la nature d'une série en lui ajoutant ou retranchant un nombre fini de termes. Donc

∑

≥0

) (

k k f

d est convergente.

3.b. Notons m = a + 1 où a désigne la partie entière de a.

Alors : ∀k ≥ m, ∀t∈[k, k + 1], f (k + 1) ≤ f (t) ≤ f (k).

Par croissance de l'intégrale, on a : ∀k ≥ a, f (k + 1) ≤

∫

_k^k+1f(t)dt ≤ f (k), soit 0 ≤ f (k) –

∫

_k^k+1f(t)dt ≤ f (k) – f (k + 1), soit 0 ≤ dk(f) ≤ f (k) – f (k + 1).

Alors : ∀n ≥ m, 0 ≤

∑

= n

m k

k f

d ( )≤ f (m) – f (n + 1) ≤ f (m) ≤ f (a) car f est positive sur ⁺ et admet en a un maximum. Donc, par passage à la limite quand n tend vers +∞, on a : 0 ≤

∑

^+∞

=m k

k f

d ( )≤ f (a).

Si 0 ≤ k ≤ m – 2 ≤ a – 1, comme f est croissante sur [0, a], f est croissante sur [k, k + 1] donc

∀t∈[k, k + 1], f (k) ≤ f (t) ≤ f (k + 1).

Par croissance de l'intégrale : ∀k∈0, m – 2, f (k) ≤

∫

_k^{k+1 f(t)dt} ≤ f (k + 1), donc f (k) – f (k + 1) ≤ f (k) –

∫

_k^k+1f(t)dt ≤ 0, soit f (k) – f (k + 1) ≤ d_k(f) ≤ 0.

Donc : f (0) – f (m – 1) ≤

∑

⁻

= 2

0

) (

m

k k f

d ≤ 0. Comme f (0) ≥ 0 et f (m – 1) ≤ f (a), on a : – f (a) ≤

∑

⁻

= 2

0

) (

m

k k f d ≤ 0.

Enfin : d_{m – 1}(f ) = f (m – 1) –

∫

_m^m₋₁^{f(t)dt ; donc –}

∫

_m^m₋₁ ^{f(t)dt ≤ dm – 1}(f ) ≤ f (m – 1) (car f est positive).

Or, f est majorée par f (a) sur [m – 1, m], donc : 0 ≤

∫

_m^m₋₁^{f(t)dt ≤}

∫

_m^m₋₁^f(a)dt = f (a).

D'où : – f (a) ≤ dm – 1(f ) ≤ f (a). Donc – 2 f (a) ≤ D(f ) =

∑

⁻

= 2

0

) (

m

k k f

d + dm – 1(f ) +

∑

^+∞

=m k

k f

d ( )≤ 2 f (a).

D'où : |D(f )| ≤ 2 f (a). En posant p = 2, on a bien : |D(f )| ≤ p f (a).

4.a. D'après le calcul fait à la question 2.b., en remplaçant k > 0 par x > 0, on a déjà que :

∫

₀^{+∞ f1(t)dt =}

∫

₀^{+∞ f2(t)dt} (le fait que k soit entier n'intervenait pas dans les calculs).

On pose : v = ϕ(t) = x t ; ϕ est bijective de ⁺ sur ⁺ et de classe C ¹ sur ⁺ avec ϕ'(t) = x.

Par le théorème de changement de variable, on a :

∫

₀^{+∞ f1(t)dt =}

∫

₀^{+∞ −}

2

x dv e ^v

= x

1

∫

₀^{+∞e−v2dv =} ₂^π_x ^.

D'où :

∫

₀^{+∞ f1(t)dt =}

∫

₀^{+∞ f2(t)dt =}

x 2

π .

4.b.(i) Par propriétés des fonctions usuelles, f1 est continue, positive, décroissante sur ⁺ et f₁(0) = 1 = max f₁. f2 est continue, positive et dérivable sur ⁺ ; ∀t∈⁺, f2'(t) = 4t x² e^−x2t2(1 – x² t ²).

Donc f2 est croissante sur [0, x

1], décroissante sur [ x

1, +∞[ et son maximum vaut f2( x

1) = 2e ^–1. Donc f₁ et f₂ vérifient les hypothèses de la question 3.

On en déduit que les séries

∑

≥0 ( 1)

k k f

d et

∑

≥0 ( 2)

k k f

d sont convergentes.

De plus, par comparaison séries-intégrales, comme f1 et f2 sont intégrables sur ⁺, les séries

∑

≥0 1( )

k

k f et

∑

≥0 2( )

k

k

f sont convergentes. Enfin, grâce à l'intégrabilité des applications f₁ et f₂ et à la relation de Chasles, on a, pour i∈{1, 2} :

∑∫

≥ + 0

1 ( )

k k

k fi t dt converge et

∫

₀^{+∞ fi(t)dt =}

∑∫

^+∞

= + 0

1 ( )

k k

k fi t dt.

Or : ∀x > 0, S(x) =

∑

^+∞

=

− − 1

2

2 ²²

) 1 2

(

k

t

e x

x

k =

∑

^+∞

=1 2( )

k

k f −

∑

^+∞

=1 1( )

k

k f =

∑

^+∞

=0 2( )

k

k f −

∑

^+∞

=0 1( )

k

k f + 1.

Mais

∫

₀^{+∞ f1(t)dt =}

∫

₀^{+∞ f2(t)dt}; donc S(x) =

∑

^+∞

=0 2( )

k

k

f –

∫

₀^{+∞ f2(t)dt –}

∑

^+∞

=0 1( )

k

k

f +

∫

₀^{+∞ f1(t)dt} + 1, soit S(x) =

∑

^+∞

=0 2( )

k

k

f –

∑∫

^+∞

= + 0

1 2( )

k k

k f t dt –

∑

^+∞

=0 1( )

k

k

f +

∑∫

^+∞

= + 0

1 1( )

k k

k f t dt + 1.

D'où : ∀x > 0, S(x) =

∑

^+∞

=0 ( 2)

k k f

d –

∑

^+∞

=0 ( 1)

k k f

d + 1.

D'après la question I.3.b., on sait que

∑

^+∞

=0 ( 1)

k k f

d = D(f₁) vérifie : |D(f1)| ≤ 2 f1(0) = 2 et que

∑

^+∞

=0 ( 2)

k k f

d = D(f2) vérifie : |D(f2)| ≤ 2 f2( x

1) = 4 e ^–1. D'où : ∀x > 0, |S(x)| ≤ |D(f1)| + |D(f2)| + 1 ≤ 3 + 4 e ^{– 1}. Donc S est bornée sur ⁺*.

(ii) ∀n ≥ 1, ∀x > 0 :

∑

= n

k k x u

1

) ( =

∑

= n

k

k f

1

2( )−

∑

= n

k

k f

1

1( )= 1 +

∑

= n

k k f d

0

2)

( +

∫

₀^{n+1 f2(t)dt –}

∑

= n

k k f d

0

1)

( –

∫

₀^{n+1 f1(t)dt.}

Comme f₁ et f₂ sont positives et intégrables sur ⁺, on a : ∀n ≥ 1, ∀x > 0,

0 ≤

∫

₀^{n+1 f1(t)dt ≤}

∫

₀^{+∞ f1(t)dt =} ₂^π_x ^{et 0 ≤}

∫

₀^{n+1 f2(t)dt ≤}

∫

₀^{+∞ f2(t)dt =} ₂^π_x ^.

Donc : ∀x > 0, ∀n ≥ 1, – x 2

π _≤

∫

₀^{n+1f2(t)dt –}

∫

₀^{n+1f1(t)dt ≤} ₂^π_x . D'après les calculs faits en 3.b., on a :

∀x > 0, ∀n ≥ 1, – 2 f1(0) ≤

∑

= n

k k f d

0 1)

( ≤ 2f1(0) et – 2 f2( x

1) ≤

∑

= n

k k f d

0

2) ( ≤ 2 f2(

x 1), soit ∀x > 0, ∀n ≥ 1, – 2 ≤ –

∑

= n

k k f d

0 1)

( ≤ 2 et – e 4 ≤

∑

= n

k k f d

0

2)

( ≤

e 4. Donc : ∀n ≥ 1, ∀x > 0, –

x 2

π – e

4 – 1 ≤

∑

= n

k k x u

1

) ( ≤ 3 +

e 4 +

x 2

π , donc

∑

= n

k k x u

1

)

( ≤ 3 + e 4 +

x 2

π .

En posant M₁ = 3 + 4 e ^–1, on en déduit donc que : ∃M₁, ∀n ≥ 1, ∀x > 0,

∑

= n

k k x u

1

)

( ≤ M₁ + x 2

π .

5.a. On pose : ∀w∈⁺, h(w) = 4 e ^{w / 4} – w. h est dérivable sur ⁺ et ∀w∈⁺, h'(w) = e ^{w / 4} – 1 ≥ 0.

Donc h est croissante sur ⁺. Comme h(0) = 4 > 0, on a : ∀w∈⁺, h(w) ≥ 0, soit ∀w∈⁺, w ≤ 4 e ^{w / 4}. 5.b. On a : ∀k∈*, ∀x ≥ 1, u_k(x) = (2 k ² x² – 1) e^−x2k2≥ (2 k ² – 1) e^−x2k2≥ 0.

De plus : ∀k∈*, ∀x ≥ 1, uk(x) = (2 k ² x² – 1) e^−x2k2≤ 2 k ² x² e^−x2k2≤ 4 e^−x2k2 e^2x2k2/4 d'après la question 5.a..

D'où : ∀k∈*, ∀x ≥ 1, uk(x) ≤ 4 e^−x2k2/2. Mais, si k ≥ 1, k² ≥ k, donc e^−x2k2/2≤ e^−x2k/2. On a bien : ∀k∈*, ∀x ≥ 1, 0 ≤ uk(x) ≤ 4e^−x2k/2.

5.c. La série

∑

≥

− 1

2

2/ k

x

e k est convergente car c'est une série géométrique de raison e^−x2/2∈]0, 1[. D'où : ∀x ≥ 1, 0 ≤ S(x) ≤ 4

∑

^+∞

=

− 1

2

2/ k

x

e k = 4(− 1 +

2

2/

1 1 e⁻x

− ) =

2 / 2 /

2 2

1 4

x x

e e

−

−

− =

1 4

2

2/

− ex

, donc ∀x ≥ 1, 0 ≤ (e^x2/2-1) S(x) ≤ 4.

6. D'après la question 1.b., S est continue sur ]0, +∞[. D'après la question 4.b.(i), S est bornée sur ⁺*.

En particulier, il existe M > 0 tel que : ∀x∈]0, 1], |S(x)| ≤ M. Or, x a M est intégrable sur ]0, 1], donc, par majoration, S est intégrable sur ]0, 1].

Si x ≥ 1, on a vu que : 0 ≤ S(x) ≤

1 4

2

2/

− ex

= F(x). Or, F(x)

) (~

+∞ 4e^−x2/2 et x a 4e^−x2/2 est intégrable sur [1, +∞[ (cf. f1). Donc F et S sont intégrables sur [1, +∞[. Finalement, S est intégrable sur ]0, +∞[.

Partie II

1. On a : ∀x∈]– 1, +∞[, x + 1∈]0, +∞[ et Λ(x) = Γ(x + 1). Donc Λ est bien définie sur ]– 1, +∞[.

L'application t a S(t) t^x est continue sur ]0, +∞[. D'après I.6. : ∃M > 0, ∀t∈]0, 1], |S(t)| ≤ M.

Donc : ∀t∈]0, 1], |S(t) t^x| ≤ M t^x et t a t^x est intégrable sur ]0, 1] car x > – 1.

Donc, par majoration, t a S(t) t^x est intégrable sur ]0, 1].

Pour t ≥ 1, on a : 0 ≤ S(t) t^x ≤

1 4

2

2/

−

t x

e

t = g(t). Comme

+∞

→ tlim

1 4

2 /

2

2 −

+ t

x

e

t = 0, g(t) = o(

2

1

t ) au voisinage de +∞.

Donc g est intégrable sur [1, +∞[, donc t a S(t) t^x est intégrable sur [1, +∞[.

Finalement, t a S(t) t^x est intégrable sur ]0, +∞[ et Φ est bien définie sur ]– 1, +∞[.

2.a. On sait que Γ est continue sur ]0, +∞[. Par composition, Λ est continue sur ]– 1, +∞[.

Pour tout x∈]– 1, +∞[, t a S(t) t^x est intégrable sur ]0, +∞[.

Pour tout t > 0, x a S(t) t^x est continue sur ]– 1, +∞[. On considère un segment [a, b] ⊂ ]– 1, +∞[.

Pour tout x∈[a, b], si t∈]0, 1], t ^x∈[t^b, t ^a] et si t ≥ 1, t ^x∈[t ^a, t ^b] donc :

∀x∈[a, b], ∀t∈]0, +∞[, |S(t) t ^x| ≤ |S(t)| t ^a + |S(t)| t ^b = h(t). D'après la question 1., h est intégrable sur ⁺*.

Par le théorème de continuité d'une intégrale dépendant d'un paramètre, Φ est continue sur ]– 1, +∞[.

2.b. On a : Λ(–

2

1) =

∫

₀^{+∞ − dt}

t

e ^t . On pose ϕ(t) = t ; ϕ est bijective de ]0, +∞[ sur ]0, +∞[ et de classe C ¹ sur cet intervalle, avec ϕ'(t) =

t 2

1 . Par le théorème de changement de variable, on obtient : Λ(– 2

1) = ²

∫

₀^{+∞ e−u2 du}, soit Λ(–

2

1) = π .

3. Pour x > 0 et k ≥ 1, t a u_k(t) t ^x est continue sur ]0, +∞[, prolongeable par continuité en 0, donc intégrable sur ]0, 1]. Comme, au voisinage de +∞, t ^x uk(t) = o( 1₂

t ), t a uk(t) t ^x est intégrable sur [1, +∞[.

Donc t a u_k(t) t ^x est intégrable sur ]0, +∞[.

On note I(x) =

∫

₀^{+∞ uk(t)txdt =}

∫

₀^{+∞ (2k2t2 −1)e−k2t2txdt} et l'on pose : u = k ² t ² soit t = k

u = φ(u).

φ est bijective de ]0, +∞[ sur ]0, +∞[ et de classe C ¹ sur cet intervalle.

Par le théorème de changement de variable, on obtient :

I(x) = +

∫

^+∞ − ^{− −}

0

2 1

1 (2 1)

2

1 u e u du

k

x u

x = +

∫

0^{+∞ − +}

2 1 1

1 e u du

k

x u

x – +

∫

0^{+∞ − −}

2 1

2 1

1 e u du

k

x u

x (avec φ'(u) =

u k 2

1 ).

Si s(u) = ²

+1 x

u et r(u) = – e ^{– u}, r et s sont de classe C ¹ sur ]0, +∞[ et l'on a :

0

lim→

u s(u) r(u) = 0 car 2 +1 x > 0

et ulim→+∞s(u) r(u) = 0 par croissances comparées. De plus : s'(u) = 2 +1 x ^x₂⁻¹

u et r'(u) = e ^{– u}. Par intégration par parties :

∫

₀^{+∞e−uux2+1du= (x}₂⁺¹⁾

∫

₀^{+∞e−uux2−1du.}

D'où : I(x) = +

∫

0^{+∞ − −} 2 1

2 1 e u du

k

x u ^x

x et

∫

₀^{+∞ uk(t)txdt =} 1

2k^x+

x Λ 



 



 − 2 1

x .

4.a. D'après les résultats sur les séries de Riemann, Z(x) existe ssi 1 + x > 1, soit x > 0. Donc DZ = ]0, +∞[.

4.b. Soit la fonction F : t a

) 1

1 ( 2

1

+t ^x+ . F est continue, positive et décroissante sur [0, +∞[ ; son maximum est atteint en 0, donc max(F) = F (0) =

2

1. D'après I.3.b.,

∑ ∫

≥

+

+

+ 









− +

0 +

1

1

1 2(1 )

) 1 ( 2

1

k

k

k x

x t

dt

k converge et

∑

^+∞

∫

=

+

+

+ 









− +

0 +

1

1

1 2(1 )

) 1 ( 2

1

k

k

k x

x t

dt

k ≤ 2 F(0) = 1. Pour tout x > 0,

∑

≥0 + +

) 1

1 ( 2

1

k

k x converge, donc, par le théorème de comparaison séries-intégrales, F est intégrable sur [0, +∞[ et l'on peut donc écrire :

∀x > 0,

∑

^+∞

∫

=

+

+

+ 









− +

0 +

1

1

1 2(1 )

) 1 ( 2

1

k

k

k x

x t

dt

k = |Z(x) –

∫

^0+∞2(1+t)^x+¹

dt | ≤ 1.

Mais

∫

^0+∞2(1+t)^x+¹

dt =

∞ +



 





− +

) 0

1 (

1 2

1 t x

x

= x 2

1 . D'où : ∀x > 0, |x Z(x) – 2

1| ≤ x. Par encadrement, ₊ lim→0

x x Z(x) = 2 1 .

5.a. D'après la question I.4.b.i) : ∃M2 > 0, ∀t∈]0, 1], |S(t) t ^x| ≤ M2.

D'après la question I.4.b.ii). : ∃M1 > 0, ∀t∈]0, 1], ∀n∈*, |Sn(t) t ^x| ≤ M1 + π t^{x – 1}. Donc : ∀t∈]0, 1], ∀n∈*, |[S(t) – Sn(t)] t ^x| ≤ |S(t) t ^x| + |Sn(t) t ^x| ≤ M1 + M2 + π t^{x – 1}. Or, comme x – 1 > – 1, la fonction t a M1 + M2 + π t^{x – 1} est intégrable sur ]0, 1].

Donc : ∃λ > 0,

_∫

^λ

(

^{+ + π −}

)

0

1 2

1 M

M t^x dt≤

3

ε et, par majoration, t a [S(t) – Sn(t)] t ^x est intégrable sur ]0, 1].

Puis : ∀n∈*,

∫

₀^λ

[

^S(t)−Sn(t)

]

^{txdt ≤}

∫

₀^{λ S(t)−Sn(t) txdt ≤}

_∫

^λ

(

^{+ + π −}

)

0

1 2

1 M

M t^x dt≤

3 ε Donc : ∃λ∈]0, 1[, ∀n∈*, :

∫

₀^λ

[

^S(t)−Sn(t)

]

^{txdt <}

3 ε .

5.b. D'après la question I.1.a., on sait que la suite (S – Sn)n converge uniformément vers Θ sur [λ, 1].

De plus, comme x > 0, G : t a t ^x est bornée sur [λ, 1]. Donc la suite (G(S – S_n))_n converge elle aussi

uniformément vers Θ sur [λ, 1]. Comme la convergence uniforme implique la convergence en moyenne, on en déduit que :

+∞

→

nlim

∫

_λ¹

[

^S(t)−Sn(t)

]

^txdt = 0. Donc il existe N1 tel que : ∀n ≥ N1,

∫

_λ¹

[

^S(t)−Sn(t)

]

^{txdt < ε}₃^.

5.c. D'après la question I.5.b., on a : ∀t ≥ 1, ∀k ≥ 1, 0 ≤ uk(t) ≤ 4 e^−kt2/2. On sait que la série

∑

≥

− 1

2

2/ k

x

e k est convergente, donc on en déduit que :

∀t ≥ 1, ∀n ≥ 1, 0 ≤ S(t) – Sn(t) =

∑

^+∞

+

= 1

) (

n k

k t

u ≤ 4

∑

^+∞

+

=

− 1

2

2/ n k

t

e k =

2 /

2 / ) 1 (

2 2

1 4

t t n

e e

− +

−

− = 4 e^−nt2/2

2 / 2 /

2 2

1 ^t

t

e e

−

−

− =

1 4

2 /

2 /

2 2

−

− t

t n

e

e .

D'où : ∀t ≥ 1, ∀n ≥ 1, 0 ≤ [S(t) – S_n(t)] t ^x ≤ 4 e ^{– n/2}

2 1

2/

−

t x

e

t .

Or, comme t a

2 1

2/

−

t x

e

t est continue et intégrable sur [1, +∞[ (car négligeable devant 1₂

t en +∞), on en déduit que : ∀n ≥ 1, 0 ≤

∫

₁^+∞

[

^S(t)−Sn(t)

]

^{txdt ≤ 4 e – n/2}

∫

₁^+∞ _{/2 −}

2 1dt

e t

t x

= vn. Mais

+∞

→

nlim vn = 0, donc, par encadrement,

+∞

→

nlim

∫

₁^+∞

[

^S(t)−Sn(t)

]

^{txdt = 0.}

Donc il existe N₂ tel que : ∀n ≥ N₂,

∫

₁^+∞

[

^S(t)−Sn(t)

]

^{txdt < ε}₃^.

5.d. On utilise les différents résultats établis aux questions précédentes.

On a : Ψ(x) = Φ(x) –

∑

= + 



 



 −

n Λ

k x

x k

x

1

1 2

1

2 =

∫

₀^{+∞S(t)txdt –}

∑∫

=

∞ n +

k

x k t t dt u

1 0 ( ) =

∫

₀^{+∞S(t)txdt –}

∫

⁺₀^{∞Sn(t)txdt ;}

donc Ψ(x) =

∫

₀^λ

[

^S(t)−Sn(t)

]

^{txdt +}

∫

_λ¹

^[

^S(t)−Sn(t)

^]

^{txdt +}

∫

₁^+∞

^[

^S(t)−Sn(t)

^]

^txdt.

D'où, si N = max (N1, N2), on a, pour tout n ≥ N : Ψ(x)≤ |

∫

₀^λ

[

^S(t)−Sn(t)

]

^{txdt| + |}

∫

_λ¹

^[

^S(t)−Sn(t)

^]

^{txdt| +}

|

∫

₁^+∞

[

^S(t)−Sn(t)

]

^{txdt| ≤ ε}₃ ^{+ ε}₃ ^{+ ε}₃ ^{= ε.}

D'où : ∀x > 0, ∀ε > 0, ∃N∈*, ∀n∈*, n ≥ N ⇒ Φ(x) –

∑

= + 



 



 −

n Λ

k x

x k

x

1

1 2

1

2 ≤ ε.

6. Donc : ∀x > 0, Φ(x) =

+∞

→ nlim

∑

= + 



 



 −

n Λ

k x

x k

x

1

1 2

1

2 , soit Φ(x) = x Z(x) Λ 



 



 − 2 1

x .

7. Φ et Λ sont continues sur ]– 1, +∞[ donc ₊ lim→0 x

Φ(x) = Φ(0) =

∫

₀^+∞S(t)dtet lim→0+

x

Λ 



 



 −

2 1

x = Λ 



 



− 2

1 = π .

Comme on a vu que ₊ lim→0 x

x Z(x) = 2

1, on en déduit, d'après l'égalité de la question 6. :

∫

₀^+∞S(t)dt= ₂^{π .}

8. On a vu que :

∫ ∑

^{+∞ +∞}

0 = 1

) (t dt u

k

k =

2

π ≠ 0 alors que

∑∫

^+∞

=

∞ +

1 0 ( )

k

k t dt

u = 0.

On ne peut donc pas échanger les symboles

∑

^et

_∫

^.

Le théorème d'interversion série-intégrale s'énonce sous la forme :

Soit (f_n) une suite de fonctions à valeurs réelles ou complexes, continues par morceaux et intégrables sur I.

On suppose que la série

∑

fn converge simplement vers une fonction f continue par morceaux sur I et que

∑∫

_I ^fn converge. Alors f est intégrable sur I et

∫

_I ^{f =}

∑∫

^+∞

=0 I n

fn . Ici,

∑∫

_I^un diverge et c'est ce qui met en défaut le théorème.